初中数学二次函数综合题及答案经典题型.docx

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初中数学二次函数综合题及答案经典题型

启东教育学科教师辅导讲义

二次函数试题

选择题：

1、y=（m-2）xm2-m是关于x的二次函数，贝Um=（）

A-1B2C-1或2Dm不存在

y=ax2+bx+c（a*0）模型的是（

在一定距离内，汽车行驶的速度与行驶的时间的关系

我国人中自然增长率为1%,这样我国总人口数随年份变化的关系

矩形周长一定时，矩形面积和矩形边长之间的关系圆的周长与半径之间的关系

17、抛物线y=（k+1）x2+k2-9开口向下，且经过原点，则k=

解答题：

（二次函数与三角形）

39

1、已知：

二次函数y=x2+bx+c，其图象对称轴为直线x=1，且经过点（2,-）.

（1）求此二次函数的解析式.

（2）设该图象与x轴交于B、C两点（B点在C点的左侧），请在此二次函数x轴下方的图象上确定一点己，使厶EBC的面积最大,并求出最大面积.

2、如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与

轴交于点C（0，4），顶点为（1，2

（1）求抛物线的函数表达式;

（2）设抛物线的对称轴与轴交于点D,试在对称轴上找出点卩，使厶CDP为等腰三角

（3）

若点E是线段AB上的一个动点（与A、B不重合），分别连接AC、BC,过点

作EF//AC交线段BC于点F，连接CE,记厶CEF的面积为S,S是否存在最大值?

S的最大值及此时E点的坐标；若不存在，请说明理由.

3、如图，一次函数y=—4x—4的图象与x轴、y轴分别交于A、C两点，抛物线y=彳^十bx+c的图象经过A、C两点，且与x轴交于点B.

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）设抛物线的顶点为D,求四边形ABDC的面积；

（3）作直线MN平行于x轴，分别交线段AC、BC于点M、N•问在x轴上是否存在点P,使得厶PMN是等腰直角三角形？

如果存在，求出所有满足条件的P点的坐标；如果不存在，请说明理由.

1

27

（二次函数与四边形）4、已知抛物线y-xmx2m—.

22

⑴试说明：

无论m为何实数，该抛物线与x轴总有两个不同的交点；

⑵如图，当该抛物线的对称轴为直线x=3时，抛物线的顶点为点C,直线y=x—1与抛物线交于A、B两点，并与它的对称轴交于

点D.

①抛物线上是否存在一点P使得四边形ACPD是正方形？

若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由;

②平移直线CD,交直线AB于点M,交抛物线于点N,通过怎样的平移能使得C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形.

5、如图，抛物线y=mx2-11mx+24m（mv0）与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），抛物线另有一点A在第一象限内，且

/BAC=90°.

（1）填空：

OB=_▲,OC=_▲

（2）连接OA,将厶OAC沿x轴翻折后得△ODC，当四边形OACD是菱形时，求此时抛物线的解析式；

（3）如图2,设垂直于x轴的直线I:

x=n与

（2）中所求的抛物线交于点M，与CD交于点N，若直线I沿x轴方向左右平移,

且交点M始终位于抛物线上A、C两点之间时，试探究：

当n为何值时，四边形AMCN的面积取得最大值，并求出这个最大

值.

6、如图所示，在平面直角坐标系中，四边形的中点，A、B、D三点的坐标分别是A（

ABCD是直角梯形，BC//AD，/BAD=90°，BC与y轴相交于点M，且M是BC

1，0），B（1，2），D（3,0）•连接DM，并把线段DM沿DA方向平移到ON.若

抛物线yax2bxc经过点D、M、N.

（1）求抛物线的解析式.

（2）抛物线上是否存在点P,使得PA=PC，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

（3）设抛物线与x轴的另一个交点为E,点Q是抛物线的对称轴上的一个动点，当点Q在什么位置时有|QE-QC|最大？

并求出最大值.

2

7、已知抛物线yax2ax3a（a0）与x轴交于a、b两点（点a在点b的左侧），与y轴交于点c,点d为抛物线的顶点.

（1）求A、B的坐标；

（2）过点D作DH丄y轴于点H，若DH=HC，求a的值和直线CD的解析式；

（3）在第

（2）小题的条件下，直线CD与x轴交于点E,过线段0B的中点N作NF丄x轴，并交直线CD于点F,则直线NF上是否存在点M，使得点M到直线CD的距离等于点M到原点0的距离？

若存在，求岀点M的坐标；若不存在，请说明理由.

（二次函数与圆）

8、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a^0的图象经过M（1，0）和N（3，0）两点，且与y轴交于D（0，3），

直线I是抛物线的对称轴.1）求该抛物线的解析式.

2）若过点A（-1，0）的直线AB与抛物线的对称轴和x轴围成的三角形面积为6，求此直线的解析式.

3）点P在抛物线的对称轴上，。

P与直线AB和x轴都相切，求点P的坐标.

9、如图，y关于x的二次函数y=-—（x+m）（x-3m）图象的顶点为M,

图象交x轴于A、B两点，交y轴正半轴于D点.以AB为直径作圆，圆心为C.定点E的坐标为（-3,0）,连接ED.（m>0）

（1）写出A、B、D三点的坐标；

（2）当m为何值时M点在直线ED上？

判定此时直线与圆的位置关系；

（3）当m变化时，用m表示△AED的面积S,并在给出的直角坐标系中画出S关于m的函数图象的示意图。

2

10、已知抛物线yaxbxc的对称轴为直线

x2,且与x轴交于A、B两点.与y轴交于点C.其

中AI（1,0）,C（0,3）.

（1）（3分）求抛物线的解析式；

（2）若点P在抛物线上运动（点P异于点A）.

◎（4分）如图I.当△PBC面积与△ABC面积

相等时.求点P的坐标；

笑（5分）如图2.当/PCB=/BCA时，求直线

CP的解析式。

答案：

1、解：

（1）由已知条件得

（2分）

解得b=-c=-，二此二次函数的解析式为yx2-_x-；（1分）

（2）*••睿x—斗x-¥=0,「.x1=-1,X2=3,

•••B（-1,0）,C（3,0）,「.BC=4（1分）

•••E点在x轴下方，且△EBC面积最大，「.E点是抛物线的顶点，其坐标为（1,-3）,（1分）

•△EBC的面积仝X4X3=6.（1分）

（2）

解：

P1（1,.17）,P2（1，—.17）,P3（1,8）,P4（1,石）,

19

（3）解：

令一2x—1）2+9=0,解得X1=—2,X1=4

•抛物线y=—1（x—1）2+号与x轴的交点为A（—2,0）C（4,0）过点F作FM丄0B于点M,

Eb2

•/OC=4,AB=6,•MF=^XOC=3EB

求AB

•D3E交x轴于（—1,0）代入解析式得b=—.3,把x=—1代入得y=0•D3（—1,0）,

在Rt△D1HB中，由勾股定理得D1H=.11可求交点坐标D1（—1,.11+.3）,D2（—1,22）

•y=—:

-73x—\3

过B做BH//x轴，贝UBH=1.11

•D1（—1,11+3）同理可求其它点的坐标。

D3（—1,0）,D4（—1,.11—.3）D5（—1,—2.2）

2m

7222

=m4m7=m4m43=m23,•不管m为何实数，总有2

3>0,

•无论m为何实数，该抛物线与x轴总有两个不同的交点.

（2）•/抛物线的对称轴为直线

1-x2

抛物线的解析式为

x=3,

3x

•••m

51

2，顶点C坐标为（3,—2）,

yx

解方程组1

y2x

1,

3x

解得

yi

X2

y2

7一一

，所以A的坐标为（1,0）、B的坐标为（7,6）,I

6

x3时y=x—1=3—1=2,•D

0）,所以AE=BE=3,DE=CE=2,

1假设抛物线上存在一点P使得四边形

相垂直平分且相等，于是P与点B重合，但AP=6,CD=4,APMCD,故抛物线上不存在一点P使得四边形ACPD是正方形.

2（I）设直线CD向右平移n个单位（n>0）可使得C、D、M、N为顶

点的四边形是平行四边形，则直线CD的解析式为x=3n,

与直线y=x—1交于点M（3n,2n）,又tD的坐标为（坐标为（3,—2）,•D通过向下平移4个单位得到C.

tC、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，•四边形

形.

（i）当四边形CDMN是平行四边形，•M向下平移

1251

又N在抛物线yx3x上,•n23

222

的坐标为（

3,2）,设抛物线的对称轴与X轴的交『点为E,则E的坐标为（3,

ACPD是正方形，则AP、CD互

解得n10（不合题意，舍去），n22,

（ii）当四边形CDNM是平行四边形，•M向上平移

1•-n63

2

125

又N在抛物线yx3x上,

22

解得n11,17（不合题意，舍去）

CDMN

4个单位得

4个单位得

（n）设直线CD向左平移n个单位（

CD的解析式为x=3n,直线CD与直线y=x—1交于点标为（3,—2）,•D通过向下平移4个单位得到C.

•••C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，•四边形形.

（i）当四边形CDMN是平行四边形，•

125

又N在抛物线y—x3x-上,•

22

n>o）可使得C、

解得n10（不合题意，舍去），n2

（ii）当四边形

又N在抛物线

解得n11

直线CD

3,2）,C

是平行四边形或四边形

CDNM是平行四边

N,

N,

•N坐标为（3

5

2

•N坐标为（3

5

2

N为顶点的四边形是平行四边形，则直线

M（3n,2n）,又•••D的坐标为（3,2）,C坐

CDMN是平行四边形或四边形

M向下平移

1

2n3n33

2

4个单位得N,•N坐标为（3

5

n2，

2（不合题意，舍去），

CDNM是平行四边形，•M向上平移4个单位得

12

yx

3x5上，•6n13n233

22

N,

•N坐标为（3

5

2，

CDNM是平行四边

17,n2

1-17（不合题意，舍去），

综上所述，直线CD向右平移

2或（117）个单位或向左平移

1.17）个单位，可使得C、D、M、

N为顶点的四边形是平行四边形.

5、解：

（1）OB=3,OC=8

（2）连接OD，交OC于点

•••四边形OACD是菱形

•AD丄OC,OE=EC=1X8=4

2

BE=4—3=1

又•••/BAC=90°

AECE

BEAE

•AE2=BE•CE=1X4

•AE=2

••点A的坐标为（4,2）

把点A的坐标（4,2）代入抛物线y=mx2—11mx+24m,

1111

得m=-2•抛物线的解析式为y=-0x2+yx—12

（3）•••直线x=n与抛物线交于点M

111

••点M的坐标为（n，—尹2+"n—12）

由

（2）知，点D的坐标为（4,—2）,

则C、D两点的坐标求直线CD的解析式为

1

••点N的坐标为（n,2n—4）

•-S四边形AMCN=SaAMN+SaCMN=

-CE=2（—2n2+5n-8）X

1

y=qx—4

12

•MN=（—2n2+

11

4=-（n—5）2+9

•••当n=5时，

6、解：

（1）•/BC//AD,

S四边形AMCN=9

B（-1,2）,M是BC与x轴的交点,

0

（0,

2）,

•/DM//ON,D（3,0）,

9a

•N（-3,2）,则c

3b

解得

9a

3b

3x2；

（2）连接AC交y轴与G,•/M是BC的中点，•AO=BM=MC

AB=BC=2,•AG=GC,即G（0,1）,

•••/ABC=90,•BG丄AC,即BG是AC的垂直平分线,要使

在直线BG上，•点P为直线BG与抛物线的交点，

PA=PC,即点P在AC的垂直平分线上，故

kb2

…k1

kxb,则

，解得，•

■-y

b1

b1

设直线BG的解析式为y

x1

121-,解得

xx2

93

33、2

23.2

x233一2

y23.2

•点P（3

3,2,

2

32）或P（3-32,23.2）,

12

1

1/

3、29

,,,3

（3）•••y

x

x

2

（x

-）-,

•对称轴x-

9

3

9

24

2

令〔x2

lx2

0,

解得捲

3,

x6,/

■-E（6,0）,

9

3

3

故E、D关于直线x—对称，•QE=QD,•|QE-QC|=|QD-QC|,

2

Q

£

J

A

\

要使|QE-QC|最大，则延长DC与x

-相交于点Q,即点Q为直线DC与直线x

2

-的交点,

2

由于M为BC的中点，•C（1,2）,

r3k

b0

，解得

k

1

则

•y

k

b2

b

3

3

3

9丄

当x

—时，

y-

3

故当

2

2

2

设直线CD的解析式为y=kx+b,

x3,

39

Q在（—，—）的位置时，|QE-QC|最大,

22

过点C作CF丄x轴，垂足为F,则CD=:

―DF^.—2222.

7、解：

（1）由y=0得，ax2-2ax-3a=0,

o•x2-2x-3=0,解得刘=-1,X2=3,•点A的坐标（-1,0）,点B的坐标（3,0）;

（2）由y=ax2-2ax-3a,令x=0,得y=-3a,•C（0,-3a）,

又.y=ax2-2ax-3a=a（x-1）2-4a,得D（1,-4a）,

•DH=1,CH=-4a-（-3a）=-a,•-a=1,•a=-1,•C（0,3）,D（1,4）,

fb=3Pfe=3

设直线CD的解析式为y=kx+b,把C、D两点的坐标代入得，1屮二赴，解得Li-1,

•直线CD的解析式为y=x+3;

（3）存在.

0

4m2+36m-63=0,•m2+9m=-,

作MQ丄CD于Q,设存在满足条件的点M（…m）,贝UFM=&-m,

EF=

由题意得：

Rt△FQMsRt△FNE,•=FT,整理得

•••点M的坐标为Mi（寻，8）,M2（N-警）.

2

8、解：

（1）•••抛物线y=ax+bx+c（a工0的图象经过M（1,0）和N（3,0）两点，且与y轴交于D（0,3）,•假设二次函数解析式为：

y=a（x-1）（x-3）,

将D（0,3）,代入y=a（x-1）（x-3）,得：

3=3a,•a=1,

•抛物线的解析式为：

y=（x-1）（x-3）=x2-4x+3;

（2）•••过点A（-1,0）的直线AB与抛物线的对称轴和x轴围成的三角形面积为6，•一AOBC=6,•••抛物线y=ax+bx+c（a工0的图象经过M（1,0）和N（3,0）两点，•二次函数对称轴为x=2,

•AC=3,•BC=4,•B点坐标为：

（2,4）,一次函数解析式为；y=kx+b,

4=2k+b（k=5斗4

=壮十扩解得：

£=扌,尸郭埒；

（3）•••当点P在抛物线的对称轴上，OP与直线AB和x轴都相切，

•MO丄AB,AM=AC,PM=PC,

•/AC=1+2=3,BC=4,•AB=5,AM=3,•BM=2,

~•••/MBP=/ABC，/BMP=/ACB,

:

△ABCs\CBM,二

■｝、pr

•••,•••PC=1.5,P点坐标为：

（2,1.5）.

9、解：

（1）A（-m,0）,B（3m,0）,D（0,

（2）设直线ED的解析式为y=kx+b，将E（-3,0）,D（m）代入得：

_?

、解得，k=^7；；.,b=Em.•直线ED的解析式为y=^mx+.Em.

lb二73m

将y=-三（x+m）（x-3m）化为顶点式：

y=-—（x+m）2+m.

•顶点M的坐标为（m,m）.代入y=mx+：

3；；）m得：

m2=m

•••m>0,•m=1.所以，当m=1时，M点在直线DE上.连接CD,C为AB中点，C点坐标为C（m,0）.

•/OD=T,OC=1,•CD=2,D点在圆上

•••/FDC=90•直线ED与OC相切.

22222222

又0E=3,DE=OD+OE=12,EC=16,CD=4,•CD+DE=EC

13

（3）当0vmv3时，aed=_AE.?

OD=

当m>3时,

G1冉

S^aed=_AE.?

OD=m（m-3）.

即S=

abc0

a

1

10、解：

（1）由题意，得c3，解得

b4

•抛物线的解析式为y

R2

2a

c

3

2

x4x3。

（2）①令x24x30,解得x-i1,x23•B（3,0）

当点P在x轴上方时，如图1,过点A作直线BC的平行线交抛物线于点P,易求直线BC的解析式为yx3，•设直线AP的解析式为yxn，一

iy

第24题图1

•••直线AP过点A（1,0），代入求得n1。

二直线AP的解析式为yx1

yx1

解方程组y2，得

yx24x3

1

y10'y21

Xi

x22•••点P（2,1）

当点P在X轴下方时，如图1

设直线APi交y轴于点

E（0,1），

把直线BC向下平移

2个单位,

交抛物线于点

P2、F3,

得直线P2P3的解析式为yx5,

y

解方程组

y

x5

x24x

Xi

yi

317

2

717

2

X2

y2

317

2

717

2

•••%

317717x〜3177

综上所述，点

P的坐标为:

P（2,，）,P2（

177

2

），

②•••B（3,0,

C（0,3）•OB=OC，•/OCB=/OBC=45

设直线

cp的解析式为y

kx

CP交x轴于点Q,设/OCA=a,则/ACB=45

o

a

o

如图2,延长

PCB=/BCAPCB=45

OQC=/OBC-/PCB=45°-（45°a）=a

OCA=/OQC

•Rt△AOCsRt△COQ

OAOC

OQ,

OC

•••直线

•直线

•OQ=9,•Q（9,0）

3OQ

CP过点Q（9,0）,•9k

CP的解析式为y1x

3