初一数学平方差公式专题提高训练.docx
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初一数学平方差公式专题提高训练
初一数学平方差公式专题提高训练
初一数学平方差公式专题提高训练
1．（2015春•莱芜校级期中）怎样简便就怎样计算：
（1）1232﹣124×122
（2）（2a+b）（4a2+b2）（2a﹣b）
2．（2015秋•宁津县校级月考）探索题：
（x﹣1）（x+1）=x2﹣1
（x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1
（x﹣1）（x3+x2+1）=x4﹣1
（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）=x5﹣1
（1）根据以上规律，求（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+1）
（2）判断22013+22012+…+22+2+1的值的个位数是几？
3．（2014春•东海县校级期末）乘法公式的探究及应用
（1）如图1，可以求出阴影部分的面积是 （写成两数平方差的形式）；
（2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，面积是 （写成多项式乘法的形式）；
（3）比较图1、图2阴影部分的面积，可以得到公式 ；
（4）运用你所得到的公式，计算：
（a+b﹣2c）（a﹣b+2c）．
4．（2014春•江山市校级期中）如图，将左图中的阴影部分裁剪下来，重新拼成一个如右图的长方形．
（1）根据两个图中阴影部分的面积相等，可以得到一个数学公式 ，这个公式的名称叫 ．
（2）根据你在
（1）中得到的公式计算下列算式：
（1﹣
）（1﹣
）（1﹣
）（1﹣
）…（1﹣
）（1﹣
）．
5．（2014春•宝安区校级月考）观察下列式子．
①32﹣12=（3+1）（3﹣1）=8；
②52﹣32=（5+3）（5﹣3）=16；
③72﹣52=（7+5）（7﹣5）=24；
④92﹣72=（9+7）（9﹣7）=32．
（1）求212﹣192= ．
（2）猜想：
任意两个连续奇数的平方差一定是 ，并给予证明．
6．（2014春•汕尾校级月考）看图解答
（1）通过观察比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式为 ．
（2）运用你所得到的公式，计算下题：
①10.3×9.7
②（2m+n﹣p）（2m﹣n+p）
7．（2014春•黄冈月考）对于算式2（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）（332+1）+1．
（1）不用计算器，计算它的结果；
（2）求出它的末位数字．
8．（2013秋•无为县期末）计算下列各题：
（1）填空：
（x﹣1）（x+1）= ．（x﹣1）（x2+x+1）= ．（x﹣1）（x3+x2+x+1）= ．…
（2）根据前面各式的规律，填空：
（x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+…+x2+x+1）= ．
（3）根据这一规律，计算1+2+22+23+…+298+299．
9．（2013秋•安岳县期末）乘法公式的探究及应用：
（1）如图1所示，阴影部分的面积是 （写成平方差的形式）
（2）若将图1中的阴影部分剪下来，拼成如图2所示的长方形，此长方形的面积是 （写成多项式相乘的形式）．
（3）比较两图的阴影部分的面积，可以得到乘法公式：
．
（4）应用所得的公式计算：
2（1+
）（1+
）（1+
）（1+
）+
．
10．（2012春•阜阳期末）计算：
（2x﹣y）（4x2+y2）（2x+y）
11．（2011春•泰州期中）通过学习同学们已经体会到灵活运用乘法公式给整式的乘法运算带来的方便、快捷．相信通过下面材料的学习、探究，会使你大开眼界，并获得成功的喜悦．
例：
用简便方法计算195×205．
解：
195×205
=（200﹣5）（200+5）①
=2002﹣52②
=39975
（1）例题求解过程中，第②步变形是利用 （填乘法公式的名称）．
（2）用简便方法计算：
9×11×101×10001．
12．（2010秋•涵江区期末）计算：
1002﹣992+982﹣972+…+22﹣12．
13．（2010春•南岸区期末）运用整式乘法公式计算：
（1）1001×999+1；
（2）20102﹣2011×2009．
14．（2010春•濮阳校级月考）应用乘法公式进行计算：
2006×2008﹣20072．
15．（2010春•成都校级期末）
16．（2009春•青羊区校级期中）已知，（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2，求
（1）（2﹣1）（2+1）= ；
（2）（2+1）（22+1）= ；
（3）求（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）的值；
（4）求（2+1）（22+1）（23+1）（24+1）…（230+1）+7的个位数字．
17．（2009春•甘州区校级期中）（x﹣2y）（2y+x）
18．（2000•内蒙古）计算：
19．已知a+b=8，且a2﹣b2=48，求a﹣3b的值．
20．计算：
（3x﹣5y2）（﹣3x﹣5y2）．
21．若x2﹣y2=5，（x+y）2=4，求x﹣y的值．
22．（a﹣b）（a+b）（a2+b2）
23．如图，在边长为a的正方形的一角是一个边长为b的正方形，请用这个图形验证公式：
a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．
24．利用平方差公式计算：
（1）（3x﹣5）（3x+5）；
（2）（﹣2a﹣b）（b﹣2a）；
（3）（﹣7m+8n）（﹣8n﹣7m）；
（4）（x﹣2）（x+2）（x2+4）．
25．计算：
（a﹣
）（a+
）（a2﹣
a+
）（a2+
a+
）
26．计算：
（1）（﹣ab﹣2）（ab+2）
（2）（x+2）（x﹣2）（x2+4）
27．小明在计算3（4+1）（42+1）时，把3写成4﹣1后，得3（4+1）（42+1）=（4﹣1）（4+1）（42+1）=（42﹣1）（42+1）=44﹣1，仿照上式方法计算：
（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（2256+1）﹣2512的值．
28．用平方差公式速算：
30
×29
．
29．简便计算：
20132﹣2012×2014﹣9992．
30．（2006秋•简阳市期末）观察下列式子：
32﹣12=8，52﹣32=16，72﹣52=24，92﹣72=32，…根据以上式子的特点，试用含有n的等式表示上述规律，并用一句简洁的话概括此规律．
初一数学平方差公式专题提高训练
参考答案与试题解析
一．解答题（共30小题）
1．（2015春•莱芜校级期中）怎样简便就怎样计算：
（1）1232﹣124×122
（2）（2a+b）（4a2+b2）（2a﹣b）
【分析】
（1）首先把124分成123+1，把122分成123﹣1，然后根据平方差公式计算即可．
（2）根据乘法交换律和平方差公式，求出算式（2a+b）（4a2+b2）（2a﹣b）的值是多少即可．
2．（2015秋•宁津县校级月考）探索题：
（x﹣1）（x+1）=x2﹣1
（x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1
（x﹣1）（x3+x2+1）=x4﹣1
（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）=x5﹣1
（1）根据以上规律，求（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+1）
（2）判断22013+22012+…+22+2+1的值的个位数是几？
【分析】
（1）根据题干所给出的例子可知（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+1）=x7﹣1；
（2）给等式乘以（2﹣1）从而可知22013+22012+…+22+2+1=22014﹣1，然后找出2n的尾数规律从而得到答案．
3．（2014春•东海县校级期末）乘法公式的探究及应用
（1）如图1，可以求出阴影部分的面积是 a2﹣b2 （写成两数平方差的形式）；
（2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，面积是 （a﹣b）（a+b） （写成多项式乘法的形式）；
（3）比较图1、图2阴影部分的面积，可以得到公式 （a+b）（a﹣b）=a2﹣b2 ；
（4）运用你所得到的公式，计算：
（a+b﹣2c）（a﹣b+2c）．
【分析】
（1）中的面积=大正方形的面积﹣小正方形的面积=a2﹣b2；
（2）中的长方形，宽为a﹣b，长为a+b，面积=长×宽=（a+b）（a﹣b）；
（3）中的答案可以由
（1）、
（2）得到，（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2．
（4）先变式，再根据平方差公式计算．
4．（2014春•江山市校级期中）如图，将左图中的阴影部分裁剪下来，重新拼成一个如右图的长方形．
（1）根据两个图中阴影部分的面积相等，可以得到一个数学公式 a2﹣b2=（a+b）（a﹣b） ，这个公式的名称叫 平方差公式 ．
（2）根据你在
（1）中得到的公式计算下列算式：
（1﹣
）（1﹣
）（1﹣
）（1﹣
）…（1﹣
）（1﹣
）．
【分析】
（1）利用面积公式：
大正方形的面积﹣小正方形的面积=阴影面积；利用矩形公式即可求解；利用面积相等列出等式即可；是平方差公式．
（2）利用平方差公式简便计算．
5．（2014春•宝安区校级月考）观察下列式子．
①32﹣12=（3+1）（3﹣1）=8；
②52﹣32=（5+3）（5﹣3）=16；
③72﹣52=（7+5）（7﹣5）=24；
④92﹣72=（9+7）（9﹣7）=32．
（1）求212﹣192= 80 ．
（2）猜想：
任意两个连续奇数的平方差一定是 这两个数和的2倍 ，并给予证明．
【分析】
（1）将212﹣192写成（21+19）（21﹣19）利用平方差公式计算即可；
（2）根据题目提供的规律进行证明后即可得到结论．
6．（2014春•汕尾校级月考）看图解答
（1）通过观察比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式为 （a+b）（a﹣b）=a2﹣b2 ．
（2）运用你所得到的公式，计算下题：
①10.3×9.7
②（2m+n﹣p）（2m﹣n+p）
【分析】
（1）左图的阴影部分面积=边长为a的正方形的面积﹣边长为b的正方形的面积，右两图的阴影部分面积=长为（a+b），宽为（a﹣b）的矩形的面积，根据两图中阴影部分面积相等列式即可；
（2）①先将103×97变形为（100+3）（100﹣3），再利用平方差公式计算；
②先将②（2m+n﹣p）（2m﹣n+p）化为[2m+（n﹣p）][2m﹣（n﹣p）]再利用平方差公式计算即可．
7．（2014春•黄冈月考）对于算式2（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）（332+1）+1．
（1）不用计算器，计算它的结果；
（2）求出它的末位数字．
【分析】
（1）将2转化为（3﹣1），与（3+1）配成平方差公式，其结果为（32﹣1），与（32+1）又配成平方差公式，依此类推，可得结果．
（2）根据31=3，32=9，33=27，3，4=81，35=243发现四次一循环，利用这一规律即可确定答案．
8．（2013秋•无为县期末）计算下列各题：
（1）填空：
（x﹣1）（x+1）= x2﹣1 ．（x﹣1）（x2+x+1）= x3﹣1 ．（x﹣1）（x3+x2+x+1）= x4﹣1 ．…
（2）根据前面各式的规律，填空：
（x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+…+x2+x+1）= xn+1﹣1 ．
（3）根据这一规律，计算1+2+22+23+…+298+299．
【分析】
（1）原式各项利用平方差公式及多项式乘以多项式法则计算即可得到结果；
（2）归纳总结得到一般性规律即可得到结果；
（3）根据规律计算即可．
9．（2013秋•安岳县期末）乘法公式的探究及应用：
（1）如图1所示，阴影部分的面积是 a2﹣b2 （写成平方差的形式）
（2）若将图1中的阴影部分剪下来，拼成如图2所示的长方形，此长方形的面积是 （a+b）（a﹣b） （写成多项式相乘的形式）．
（3）比较两图的阴影部分的面积，可以得到乘法公式：
（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2 ．
（4）应用所得的公式计算：
2（1+
）（1+
）（1+
）（1+
）+
．
【分析】
（1）根据面积的和差，可得答案；
（2）根据矩形的面积公式，可得答案；
（3）根据图形割补法，面积不变，可得答案；
（4）根据平方差公式计算即可．
10．（2012春•阜阳期末）计算：
（2x﹣y）（4x2+y2）（2x+y）
【分析】先交换位置，再根据平方差公式进行计算即可．
11．（2011春•泰州期中）通过学习同学们已经体会到灵活运用乘法公式给整式的乘法运算带来的方便、快捷．相信通过下面材料的学习、探究，会使你大开眼界，并获得成功的喜悦．
例：
用简便方法计算195×205．
解：
195×205
=（200﹣5）（200+5）①
=2002﹣52②
=39975
（1）例题求解过程中，第②步变形是利用 平方差公式 （填乘法公式的名称）．
（2）用简便方法计算：
9×11×101×10001．
【分析】
（1）因为这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，所以利用平方差公式；
（2）首先将原式变形为：
（10﹣1）（10+1）（100+1）（10000+1），再利用平方差公式依次计算即可求得答案．
12．（2010秋•涵江区期末）计算：
1002﹣992+982﹣972+…+22﹣12．
【分析】把所求的式子的第一项与最后一项结合，第二项与倒数第二项结合，依次结合了50组，把结合后的偶次项提取﹣1，然后分别运用平方差公式变形，提取101后得到25个2相加，从而计算出结果．
13．（2010春•南岸区期末）运用整式乘法公式计算：
（1）1001×999+1；
（2）20102﹣2011×2009．
【分析】
（1）把所求式子中1001变形为（1000+1）和999变形为（1000﹣1），得到两数之和与两数之差的积满足平方差公式的特点，从而利用平方差公式计算即可求出值；
（2）把所求式子中的2001变形为（2000+1），2009变形为（2000﹣1），得到两数之和与两数之差的积满足平方差公式的特点，从而利用平方差公式计算即可求出值．
14．（2010春•濮阳校级月考）应用乘法公式进行计算：
2006×2008﹣20072．
【分析】根据式子得特点转化成（2007﹣1）（2007+1）﹣20072，用平方差公式展开即可求出答案．
15．（2010春•成都校级期末）
【分析】利用平方差公式即可求得（
x﹣2）（
x+2）与（﹣3+x）（﹣x﹣3）的值，再求和即可．
16．（2009春•青羊区校级期中）已知，（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2，求
（1）（2﹣1）（2+1）= 3 ；
（2）（2+1）（22+1）= 15 ；
（3）求（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）的值；
（4）求（2+1）（22+1）（23+1）（24+1）…（230+1）+7的个位数字．
【分析】
（1）根据平方差公式求出即可；
（2）添加上2﹣1=1，根据平方差公式求出即可；
（3）添加上（2﹣1），重复根据平方差公式依次求出，即可得出答案；
（4）求出（2+1）（22+1）、（2+1）（22+1）（23+1）、（2+1）（22+1）（23+1）（24+1）、…、（2+1）（22+1）（23+1）（24+1）…（230+1）的结果，根据结果得出规律（结果的个位数字是5），即可求出答案．
17．（2009春•甘州区校级期中）（x﹣2y）（2y+x）
【分析】根据平方差公式（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2进行计算即可．
18．（2000•内蒙古）计算：
【分析】分析直接计算繁，仔细观察，发现分母中涉及到三个连续整数：
12345，12346，12347，然后利用平方差公式进行计算．
19．已知a+b=8，且a2﹣b2=48，求a﹣3b的值．
【分析】根据平方差公式把a2﹣b2=48化为（a+b）（a﹣b）=48，根据题意求出a、b的值，代入计算即可．
20．计算：
（3x﹣5y2）（﹣3x﹣5y2）．
【分析】本题是平方差公式的应用，﹣5y2是相同的项，互为相反项是3x与5y2，对照平方差公式计算．
21．若x2﹣y2=5，（x+y）2=4，求x﹣y的值．
【分析】把（x+y）2=4两边开平方得到x+y=±2，然后根据平方差公式把x2﹣y2=5变形为（x+y）（x﹣y）=5，再代入计算整理即可求解．
22．（a﹣b）（a+b）（a2+b2）
【分析】直接利用平方差公式计算即可．
23．如图，在边长为a的正方形的一角是一个边长为b的正方形，请用这个图形验证公式：
a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．
【分析】利用正方形的面积减去小正方形的面积，即为所剩部分的面积．
24．利用平方差公式计算：
（1）（3x﹣5）（3x+5）；
（2）（﹣2a﹣b）（b﹣2a）；
（3）（﹣7m+8n）（﹣8n﹣7m）；
（4）（x﹣2）（x+2）（x2+4）．
【分析】
（1）直接利用平方差公式进行计算即可；
（2）直接利用平方差公式进行计算即可；
（3）直接利用平方差公式进行计算即可；
（4）两次运用平方差公式进行计算即可；
25．计算：
（a﹣
）（a+
）（a2﹣
a+
）（a2+
a+
）
【分析】首先利用立方和与立方差公式进行计算，最后再利用平方差公式计算．
26．计算：
（1）（﹣ab﹣2）（ab+2）
（2）（x+2）（x﹣2）（x2+4）
【分析】
（1）先提取符号，然后利用完全平方公式计算即可；
（2）利用平方差公式先计算（x+2）（x﹣2），然后再次利用平方差公式计算即可．
27．小明在计算3（4+1）（42+1）时，把3写成4﹣1后，得3（4+1）（42+1）=（4﹣1）（4+1）（42+1）=（42﹣1）（42+1）=44﹣1，仿照上式方法计算：
（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（2256+1）﹣2512的值．
【分析】所求算式前面乘（2﹣1），然后依据平方差公式计算即可．
28．用平方差公式速算：
30
×29
．
【分析】把原式化为平方差的形式，然后根据平方差公式（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2计算即可．
29．简便计算：
20132﹣2012×2014﹣9992．
【分析】首先将原式变形为20132﹣（2013﹣1）（2013+1）﹣（1000﹣1）2后，展开合并即可得出结论．
30．（2006秋•简阳市期末）观察下列式子：
32﹣12=8，52﹣32=16，72﹣52=24，92﹣72=32，…根据以上式子的特点，试用含有n的等式表示上述规律，并用一句简洁的话概括此规律．
【分析】从式子的左边分析，2个连续奇数的平方，大奇数的平方减去小奇数的平方；从等式右边知道变化数n是自然数，8是不变数．
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