直线与平面平面与平面平行的判定附答案.docx

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直线与平面平面与平面平行的判定附答案

直线与平面、平面与平面平行的判定

[学习目标]　1.理解直线与平面平行、平面与平面平行判定定理的含义.2.会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理，并知道其地位和作用.3.能运用直线与平面平行的判定定理、平面与平面平行的判定定理证明一些空间线面关系的简单问题.

知识点一　直线与平面平行的判定定理

语言叙述

符号表示

图形表示

平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行

⇒a∥α

思考　若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线和这个平面平行吗

答　根据直线与平面平行的判定定理可知该结论错误.

知识点二　平面与平面平行的判定定理

语言叙述

符号表示

图形表示

一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行

⇒α∥β

思考　如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面也平行吗

答　不一定.这条直线与另一个平面平行或在另一个平面内.

题型一　直线与平面平行的判定定理的应用

例1　

如图，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.

求证：

（1）EH∥平面BCD；

（2）BD∥平面EFGH.

证明　

（1）∵EH为△ABD的中位线，

∴EH∥BD.

∵EH⊄平面BCD，BD⊂平面BCD，

∴EH∥平面BCD.

（2）∵BD∥EH，BD⊄平面EFGH，

EH⊂平面EFGH，

∴BD∥平面EFGH.

跟踪训练1　在四面体A－BCD中，M，N分别是△ABD和△BCD的重心，求证：

MN∥平面ADC.

证明　如图所示，连接BM，BN并延长，分别交AD，DC于P，Q两点，连接PQ.

因为M，N分别是△ABD和△BCD的重心，

所以BM∶MP＝BN∶NQ＝2∶1.

所以MN∥PQ.

又因为MN⊄平面ADC，PQ⊂平面ADC，

所以MN∥平面ADC.

题型二　面面平行判定定理的应用

例2　如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，点D，E分别是BC与B1C1的中点.求证：

平面A1EB∥平面ADC1.

证明　由棱柱性质知，

B1C1∥BC，B1C1＝BC，

又D，E分别为BC，B1C1的中点，

所以C1E綊DB，则四边形C1DBE为平行四边形，

因此EB∥C1D，

又C1D⊂平面ADC1，

EB⊄平面ADC1，

所以EB∥平面ADC1.

连接DE，同理，EB1綊BD，

所以四边形EDBB1为平行四边形，则ED綊B1B.

因为B1B∥A1A，B1B＝A1A（棱柱的性质），

所以ED綊A1A，则四边形EDAA1为平行四边形，

所以A1E∥AD，又A1E⊄平面ADC1，AD⊂平面ADC1，

所以A1E∥平面ADC1.

由A1E∥平面ADC1，EB∥平面ADC1，

A1E⊂平面A1EB，EB⊂平面A1EB，

且A1E∩EB＝E，所以平面A1EB∥平面ADC1.

跟踪训练2　已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，点G在BB1上，且AE＝FC1＝B1G＝1，H是B1C1的中点.

求证：

（1）E，B，F，D1四点共面；

（2）平面A1GH∥平面BED1F.

证明　

（1）∵AE＝B1G＝1，∴BG＝A1E＝2.

又∵BG∥A1E，∴四边形A1EBG是平行四边形，

∴A1G∥BE.

连接FG.∵C1F＝B1G，C1F∥B1G，

∴四边形C1FGB1是平行四边形，

∴FG＝C1B1＝D1A1，FG∥C1B1∥D1A1，

∴四边形A1GFD1是平行四边形，

∴A1G∥D1F，∴D1F∥EB.

故E，B，F，D1四点共面.

（2）∵H是B1C1的中点，∴B1H＝

.

又∵B1G＝1，∴

＝

.

又

＝

，且∠FCB＝∠GB1H＝90°，

∴△B1HG∽△CBF，

∴∠B1GH＝∠CFB＝∠FBG，∴HG∥FB.

又由

（1）知，A1G∥BE，且HG∩A1G＝G，FB∩BE＝B，

∴平面A1GH∥平面BED1F.

题型三　线面平行、面面平行判定定理的综合应用

例3　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点.问：

当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO请说明理由.

解　当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.理由如下：

连接PQ.∵Q为CC1的中点，P为DD1的中点，

∴PQ∥DC∥AB，PQ＝DC＝AB，

∴四边形ABQP是平行四边形，∴QB∥PA.

又∵O为DB的中点，∴D1B∥PO.

又∵PO∩PA＝P，D1B∩QB＝B，

∴平面D1BQ∥平面PAO.

跟踪训练3　如图，三棱柱ABC－A1B1C1的底面为正三角形，侧棱A1A⊥底面ABC，E，F分别是棱CC1，BB1上的点，EC＝是线段AC上的动点，当点M在何位置时，BM∥平面AEF请说明理由.

解　当M为AC中点时，BM∥平面AEF.理由如下：

方法一　如图1，取AE的中点O，连接OF，OM.

∵O，M分别是AE，AC的中点，

∴OM∥EC，OM＝

EC.

又∵BF∥CE，EC＝2FB，∴OM∥BF，OM＝BF，

∴四边形OMBF为平行四边形，∴BM∥OF.

又∵OF⊂面AEF，BM⊄面AEF，

∴BM∥平面AEF.

方法二　如图2，取EC的中点P，连接PM，PB.

∵PM是△ACE的中位线，

∴PM∥AE.

∵EC＝2FB＝2PE，CC1∥BB1，∴PE＝BF，PE∥BF，

∴四边形BPEF是平行四边形，∴PB∥EF.

又∵PM⊄平面AEF，PB⊄平面AEF，

∴PM∥平面AEF，PB∥平面AEF.

又∵PM∩PB＝P，∴平面PBM∥平面AEF.

又∵BM⊂面PBM，∴BM∥平面AEF.

面面平行的判定

例4　已知在正方体ABCD－A′B′C′D′中，M，N分别是A′D′，A′B′的中点，在该正方体中是否存在过顶点且与平面AMN平行的平面若存在，试作出该平面，并证明你的结论；若不存在，请说明理由.

分析　根据题意画出正方体，根据平面AMN的特点，试着在正方体中找出几条平行于该平面的直线，然后作出判断，并证明.

解　如图，与平面AMN平行的平面有以下三种情况：

下面以图①为例进行证明.

如图①，取B′C′的中点E，连接BD，BE，DE，ME，B′D′，

可知四边形ABEM是平行四边形，

所以BE∥AM.

又因为BE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，

所以AM∥平面BDE.

因为MN是△A′B′D′的中位线，

所以MN∥B′D′.

因为四边形BDD′B′是平行四边形，

所以BD∥B′D′.

所以MN∥BD.

又因为BD⊂平面BDE，MN⊄平面BDE，

所以MN∥平面BDE.

又因为AM⊂平面AMN，MN⊂平面AMN，且AM∩MN＝M，

所以由平面与平面平行的判定定理可得，平面AMN∥平面BDE.

1.过直线l外两点，作与l平行的平面，则这样的平面（　　）

A.不可能作出B.只能作出一个

C.能作出无数个D.上述三种情况都存在

2.经过平面α外两点，作与α平行的平面，则这样的平面可以作（　　）

个或2个个或1个

个个

3.若线段AB，BC，CD不共面，M，N，P分别为线段AB，BC，CD的中点，则直线BD与平面MNP的位置关系是（　　）

A.平行B.直线在平面内

C.相交D.以上均有可能

4.在正方体EFGH－E1F1G1H1中，下列四对截面彼此平行的一对是（　　）

A.平面E1FG1与平面EGH1B.平面FHG1与平面F1H1G

C.平面F1H1H与平面FHE1D.平面E1HG1与平面EH1G

5.梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，则直线CD与平面α的位置关系是________.

一、选择题

1.下列说法正确的是（　　）

①若一个平面内有两条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行；

②若一个平面内有无数条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行；

③若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行；

④若一个平面内的两条相交直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行.

A.①③B.②④C.②③④D.③④

2.平面α与平面β平行的条件可以是（　　）

A.α内有无穷多条直线与β平行

B.直线a∥α，a∥β，且直线a不在α与β内

C.直线a⊂α，直线b⊂β，且b∥α，a∥β

D.α内的任何直线都与β平行

3.六棱柱的表面中，互相平行的平面最多有（　　）

对对对对

4.如果直线a平行于平面α，那么下列命题正确的是（　　）

A.平面α内有且只有一条直线与a平行B.平面α内有无数条直线与a平行

C.平面α内不存在与a平行的直线D.平面α内的任意直线与直线a都平行

5.在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H，G分别为BC，CD的中点，则（　　）

∥平面EFG，且四边形EFGH是平行四边形

∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形

∥平面ABD，且四边形EFGH是平行四边形

∥平面ADC，且四边形EFGH是梯形

6.平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等且不为零，则α与β的位置关系为（　　）

A.平行B.相交C.平行或相交D.可能重合

7.已知直线l，m，平面α，β，下列命题正确的是（　　）

∥β，l⊂α⇒α∥β∥β，m∥β，l⊂α，m⊂α⇒α∥β

∥m，l⊂α，m⊂β⇒α∥β∥β，m∥β，l⊂α，m⊂α，l∩m＝M⇒α∥β

二、填空题

8.三棱锥SABC中，G为△ABC的重心，E在棱SA上，且AE＝2ES，则EG与平面SBC的关系为________.

9.如图是正方体的平面展开图.在这个正方体中，

①BM∥平面DE；②CN∥平面AF；③平面BDM∥平面AFN；④平面BDE∥平面NCF.

以上四个命题中，正确命题的序号是________.

10.右图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F，G，H分别为PA，PD，PC，PB的中点，在此几何体中，给出下面五个结论：

①平面EFGH∥平面ABCD；②PA∥平面BDG；

③EF∥平面PBC；④FH∥平面BDG；

⑤EF∥平面BDG；

其中正确结论的序号是________.

三、解答题

11.如图，在已知四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点M，N，Q分别在PA，BD，PD上，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD.求证：

平面MNQ∥平面PBC.

12.如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，M是棱AB的中点，点N在侧面AA1D1D上运动，点N满足什么条件时，MN∥平面BB1D1D

当堂检测答案

1.答案　D

解析　设直线外两点为A、B，若直线AB∥l，则过A、B可作无数个平面与l平行；若直线AB与l异面，则只能作一个平面与l平行；若直线AB与l相交，则过A、B没有平面与l平行.

2.答案　B

解析　①当经过两点的直线与平面α平行时，可作出一个平面β使β∥α.

②当经过两点的直线与平面α相交时，由于作出的平面又至少有一个公共点，故经过两点的平面都与平面α相交，不能作出与平面α平行的平面.故满足条件的平面有0个或1个.

3.答案　A

解析　连接NP，因为N、P分别是BC、CD的中点，M是AB的中点，AB、BC、CD不共面，所以直线BD不在平面MNP上.∴直线BD与平面MNP平行.

4.答案　A

解析　如图，∵EG∥E1G1，

EG⊄平面E1FG1，

E1G1⊂平面E1FG1，

∴EG∥平面E1FG1，

又G1F∥H1E，

同理可证H1E∥平面E1FG1，

又H1E∩EG＝E，

∴平面E1FG1∥平面EGH1.

5.答案　CD∥α

解析　因为AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，由线面平行的判定定理可得CD∥α.

课时精练答案

一、选择题

1.答案　D

解析　如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，在平面ABCD内，在AB上任取一点E，过点E作EF∥AD，交CD于点F，则由线面平行的判定定理，知EF，BC都平行于平面ADD1A1，用同样的方法可以在平面ABCD内作出无数条直线都与平面ADD1A1平行，但是平面ABCD与平面ADD1A1不平行，因此①②都错；③正确，事实上，因为一个平面内任意一条直线都平行于另一个平面，所以这两个平面必无公共点（要注意“任意一条直线”与“无数条直线”的区别）；④是平面与平面平行的判定定理，正确.

2.答案　D

解析　对于A项，当α与β相交时，α内也有无数条直线都与交线平行，故A错误；对于B项，当a平行于α与β的交线时，也能满足，但此时α与β相交，故B错误；对于C项，当a和b都与α与β的交线平行时，也能满足，但此时α与β相交，故C错误；对于D项，α内的任何直线都与β平行，故在一个平面内存在两条相交直线平行于另一平面，故D正确.

3.答案　C

解析　侧面中有3对，对面相互平行，上下两底面也相互平行.

4.答案　B

解析　如图，直线B1C1∥平面ABCD，B1C1∥BC，B1C1∥AD，B1C1∥EF（E，F为中点）等，平面ABCD内平行于BC的所有直线均与B1C1平行.但AB与B1C1不平行.

5.答案　B

解析　易证EF∥平面BCD.

由AE∶EB＝AF∶FD，知EF∥BD，且EF＝

BD.

又因为H，G分别为BC，CD的中点，

所以HG∥BD，且HG＝

BD.

综上可知，EF∥HG，EF≠HG，

所以四边形EFGH是梯形，且EF∥平面BCD.

6.答案　C

解析　若三点分布于平面β的同侧，则α与β平行，若三点分布于平面β的两侧，则α与β相交.

7.答案　D

解析　

如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB∥CD，

则AB∥平面DC1，AB⊂平面AC，

但是平面AC与平面DC1不平行，

所以A错误；取BB1的中点E，CC1的中点F，则可证EF∥平面AC，

B1C1∥平面⊂平面BC1，B1C1⊂平面BC1，但是平面AC与平面BC1不平行，所以B错误；可证AD∥B1C1，AD⊂平面AC，B1C1⊂平面BC1，又平面AC与平面BC1不平行，所以C错误；很明显D是面面平行的判定定理，所以D正确.

二、填空题

8.答案　平行

解析　如图，延长AG交BC于F，连接SF，则由G为△ABC的重心知AG∶GF＝2，又AE∶ES＝2，∴EG∥SF，又SF⊂平面SBC，EG⊄平面SBC，

∴EG∥平面SBC.

9.答案　①②③④

解析　以ABCD为下底面还原正方体，如图：

则易判定四个命题都是正确的.

10.答案　①②③④

解析　把图形还原为一个四棱锥，然后根据线面、面面平行的判定定理判断即可.

三、解答题

11.证明　因为PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD，

所以MQ∥AD，NQ∥BP.

因为BP⊂平面PBC，NQ⊄平面PBC，

所以NQ∥平面PBC.

又因为底面ABCD为平行四边形，

所以BC∥AD，所以MQ∥BC.

因为BC⊂平面PBC，MQ⊄平面PBC，

所以MQ∥平面PBC.

又因为MQ∩NQ＝Q，

所以根据平面与平面平行的判定定理，得平面MNQ∥平面PBC.

12.

解　如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，分别取棱A1B1，A1D1，AD的中点E，F，G，连接ME，EF，FG，GM.

因为M是AB的中点，

所以ME∥AA1∥FG，且ME＝AA1＝FG.

所以四边形MEFG是平行四边形.

因为ME∥BB1，BB1⊂平面BB1D1D，ME⊄平面BB1D1D，

所以ME∥平面BB1D1D.

在△A1B1D1中，因为EF∥B1D1，B1D1⊂平面BB1D1D，EF⊄平面BB1D1D，

所以EF∥平面BB1D1D.

又因为ME∩EF＝E，且ME⊂平面MEFG，EF⊂平面MEFG，

所以平面MEFG∥平面BB1D1D.

在FG上任取一点N，连接MN，

所以MN⊂平面MEFG.

所以MN与平面BB1D1D无公共点.

所以MN∥平面BB1D1D.

总之，当点N在平面AA1D1D内的直线FG上（任意位置）时，都有MN∥BB1D1D，

即当点N在矩形AA1D1D中过A1D1与AD的中点的直线上运动时，都有MN∥平面BB1D1D.