八年级数学上册第二章实数教案北师大版.docx

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八年级数学上册第二章实数教案北师大版

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第二章实数

§2.1.1数怎么又不够用了

（一）

知识与技能目标：

1.通过拼图活动，让学生感受无理数产生的实际背景和引入的必要性.

2.能判断给出的数是否为有理数；并能说出现由.

过程与方法目标：

1.让学生亲自动手做拼图活动，感受无理数存在的必要性和合理性，培养大家的动手能力和合作精神.

2.通过回顾有理数的有关知识，能正确地进行推理和判断，识别某些数是否为有理数，训练他们的思维判断能力.

情感态度与价值观目标：

1.激励学生积极参与教学活动，提高大家学习数学的热情.

2.引导学生充分进行交流，讨论与探索等教学活动，培养他们的合作与钻研精神.

3.了解有关无理数发现的知识，鼓励学生大胆质疑，培养他们为真理而奋斗的献身精神.

教学重点

1.让学生经历无理数发现的过程.感知生活中确实存在着不同于有理数的数.

2.会判断一个数是否为有理数.

教学难点

1.把两个边长为1的正方形拼成一个大正方形的动手操作过程.

2.判断一个数是否为有理数.

教学方法

师生共同讨论法.

教师引导，主要由学生分组讨论得出结果.

教具准备

有两个边长为1的正方形，剪刀.

投影片两张：

第一张：

做一做（记作§2.1.1A）；

第二张：

补充练习（记作§2.1.1B）.

教学过程

Ⅰ.创设问题情境,引入新课

［师］同学们,我们上了好多年的学,学过不计其数的数,概括起来我们都学过哪些数呢?

［生］在小学我们学过自然数、小数、分数.

［生］在初一我们还学过负数.

［师］对，我们在小学学了非负数，在初一发现数不够用了，引入了负数，即把从小学学过的正数、零扩充到有理数范围，有理数包括整数和分数，那么有理数范围是否就能满足我们实际生活的需要呢？

下面我们就来共同研究这个问题.

Ⅱ.讲授新课

1.问题的提出

［师］请大家四个人为一组，拿出自己准备好的两个边长为1的正方形和剪刀，认真讨论之后，动手剪一剪，拼一拼，设法得到一个大的正方形，好吗？

［生］好.（学生非常高兴地投入活动中）.

［师］经过大家的共同努力，每个小组都完成了任务，请同学们把自己拼的图展示一下.

同学们非常踊跃地呈现自己的作品给老师.

［师］现在我们一齐把大家的做法总结一下：

下面再请大家共同思考一个问题，假设拼成大正方形的边长为a，则a应满足什么条件呢？

［生甲］a是正方形的边长，所以a肯定是正数.

［生乙］因为两个小正方形面积之和等于大正方形面积，所以根据正方形面积公式可知a2=2.

［生丙］由a2=2可判断a应是1点几.

［师］大家说得都有道理，前面我们已经总结了有理数包括整数和分数，那么a是整数吗？

a是分数吗？

请大家分组讨论后回答.

［生甲］我们组的结论是：

因为12=1，22=4，32=9，…整数的平方越来越大，所以a应在1和2之间，故a不可能是整数.

［生乙］因为

，…两个相同因数的乘积都为分数，所以a不可能是分数.

［师］经过大家的讨论可知，在等式a2=2中，a既不是整数，也不是分数，所以a不是有理数，但在现实生活中确实存在像a这样的数，由此看来，数又不够用了.

2.做一做

投影片§2.1.1A

（1）在下图中，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？

（2）设该正方形的边长为b，则b应满足什么条件？

（3）b是有理数吗？

［师］请大家先回忆一下勾股定理的内容.

［生］在直角三角形中，若两条直角边长为a，b，斜边为c，则有a2+b2=c2.

［师］在这个题中，两条直角边分别为1和2，斜边为b，根据勾股定理得b2=12+22，即b2=5，则b是有理数吗？

请举手回答.

［生甲］因为22=4，32=9，4＜5＜9，所以b不可能是整数.

［生乙］没有两个相同的分数相乘得5，故b不可能是分数.

［生丙］因为没有一个整数或分数的平方为5，所以5不是有理数.

［师］大家分析得很准确，像上面讨论的数a，b都不是有理数，而是另一类数——无理数.关于无理数的发现是发现者付出了昂贵的代价的.早在公元前，古希腊数学家毕达哥拉斯认为万物皆“数”，即“宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比”，也就是一切现象都可用有理数去描述.后来，这个学派中的一个叫希伯索斯的成员发现边长为1的正方形的对角线的长不能用整数或整数之比来表示，这个发现动摇了毕达哥拉斯学派的信条，据说为此希伯索斯被投进了大海，他为真理而献出了宝贵的生命，但真理是不可战胜的，后来古希腊人终于正视了希伯索斯的发现.也就是我们前面谈过的a2=2中的a不是有理数.

我们现在所学的知识都是前人给我们总结出来的，我们一方面应积极地学习这些经验，另一方面我们也不能死搬教条，要大胆质疑，如不这样科学就会永远停留在某处而不前进，要向古希腊的希伯索斯学习，学习他为捍卫真理而勇于献身的精神.

Ⅲ.课堂练习

（一）课本P25随堂练习

如图，正三角形ABC的边长为2，高为h，ofsquareroot），其中a叫被开方数.

［师］我们共学了几种运算呢，这几种运算之间有怎样的联系呢？

请大家讨论后回答.

［生］我们共学了加、减、乘、除、乘方、开方六种运算.加与减互为逆运算，乘与除互为逆运算，乘方与开方互为逆运算.

［师］大家非常聪明且爱动脑子，回答问题正确率极高，很值得表扬，希望你们能继续发扬下去.

2.平方根的性质

［师］请大家思考以下问题.

（1）一个正数有几个平方根.

（2）0有几个平方根?

（3）负数呢？

［生］第一个问题在前面已作过讨论，一个正数9有两个平方根3和－3；

因为只有零的平方为零，所以0有一个平方根是零.

因为任何数的平方都不是负数，所以负数没有平方根，例如－3没有平方根.

［师］太精彩了.一个正数有两个平方根，且它们互为相反数；0有一个平方根是0，负数没有平方根.

3.讲解例题

［例］求下列各数的平方根.

（1）64；

（2）；（3）0.0004；（4）（－25）2；（5）11.

解：

（1）因为（±8）2=64，所以64的平方根是±8，即±=±8；

（2）因为（±）2=，所以的平方根是±，即±=±；

（3）因为（±0.02）2=0.0004，所以0.0004的平方根是±0.02，即±=±0.02；

（4）因为（±25）2=（－25）2，所以（－25）2的平方根是±25，即±=±25；

（5）11的平方根是±.

［师］请大家口述上题中各数的算术平方根.

［生］64的算术平方根为8；的算术平方根为；0.0004的算术平方根为0.02；（－25）2的算术平方根为25；11的算术平方根为.

4.想一想

（1）（）2等于多少？

（）2等于多少？

（2）（）2等于多少？

（3）对于正数a，（）2等于多少？

解：

（1）（）2=64；

（）2=；

（2）（）2=7.2；

（3）（）2=a（a＞0）

Ⅲ.课堂练习

（一）随堂练习

1.求下列各数的平方根

1.44，0，8，，441，196，10－4

解：

因为（±1.2）2=1.44，所以1.44的平方根是±1.2，即±=±1.2；

因为02=0，所以0的平方根是0.

即±=0；

因为（±）2=8.所以8的平方根是±；

因为，所以的平方根是±，即±；

因为（±21）2=441，所以441的平方根是±21，即±=±21；

因为（±14）2=196，所以196的平方根是±14，即±=±14；

因为10－4=，（±）=，所以的平方根是±，即±=±=±=±.

2.填空

（1）25的平方根是_________；

（2）=_________；

（3）（）2=_________.

解：

（1）±5；

（2）5；（3）5.

（二）补充练习

投影片：

（§2.2.2B）

1.判断下列各数是否有平方根？

并说明理由.

（1）（－3）2；

（2）0；（3）－0.01；（4）－52；（5）－a2；（6）a2－2a+2

2.求下列各数的平方根.

（1）121；

（2）0.01；（3）2；（4）（－13）2；（5）－（－4）3.

1.分析：

一个数有没有平方根，就看它是不是负数，是负数就没有平方根；不是负数就有平方根.

解：

（1）∵（－3）2=9＞0

∴（－3）2有平方根

（2）∵0的平方根是它本身

∴0有平方根

（3）∵－0.01＜0

∴－0.01没有平方根

（4）∵－52=－25＜0

∴－52没有平方根

（5）当a=0时，－a2=0，有平方根

当a≠0时，－a2＜0，没有平方根.

（6）∵a2－2a+2=（a－1）2+1，无论a取何有理数，（a－1）2+1＞0

∴a2－2a+2有平方根.

说明：

（1）负数没有平方根

（2）第（4）小题容易犯错误，－52=25＞0.

2.分析：

根据平方与开平方互为逆运算，可以通过平方运算来求一个数的平方根，其中2，（－13）2=169，－（－4）3=64，把带分数化为假分数，含有乘方运算先求出它的幂.

解：

（1）∵（±11）2=121

∴121的平方根是±11

即±=±11；

（2）∵（±0.1）2=0.01

∴0.01的平方根是±0.1

即±=±0.1；

（3）∵2，（±）2=

∴2的平方根是±

即±=±；

（4）∵（－13）2=169，（±13）2=169

∴（－13）2的平方根是±13

即±=±13；

（5）∵－（－4）3=64，（±8）2=64

∴－（－4）3的平方根是±8

即±=±8.

Ⅳ.课时小结

本节课学了如下内容.

1.平方根的概念.

2.平方根的性质.

3.平方根与算术平方根的区别与联系.

4.求某些非负数的算术平方根和平方根.

Ⅴ.课后作业

习题2.4.

Ⅵ.活动与探究

1.对于任意数a，一定等于a吗？

解：

不一定

当a=2时，=2

当a=时，

当a=0时，=0

当a=－2时，=2

当a－时，=.

综上所述，当a≥0时，=a

当a＜0时，=－a

2.中的被开方数a在什么情况下有意义，（）2等于什么？

解：

因为任意数的平方都是非负数，也就是非负数才有平方根，所以被开方数a必须是正数或零，即非负数时有意义.

当a=1时，（）2=12=1

当a=4时，（）2=22=4

当a=时，

当a=时，

当a=0时，（）2=0.

所以（）2=a（a≥0）

板书设计

§2.2.2平方根

（二）

一、平方根的定义；

平方根的性质；

平方根与算术；

平方根的区别与联系.

二、例题讲解

三、练习

四、小结

五、作业

§2.3立方根

知识与技能目标：

1.了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根.

2.能用立方运算求某些数的立方根，了解开立方与立方互为逆运算.

3.了解立方根的性质.

4.区分立方根与平方根的不同.

过程与方法目标：

1.在学了平方根的基础上，要求学生能用类比的方法学习立方根的有关知识，领会类比思想.

2.发展学生的求同求异思维，使他们能在复杂环境中明辨是非.

情感态度与价值观目标：

当今社会是科学飞速发展、信息千变万化的时代，每一个人都不可能把一生中要接触的知识全部学会，因此让他们会学知识比学会知识更重要，这就要从小培养良好的学习习惯，能自己解决的问题就自己解决，其中类比的学习方法就是一种重要的学习方法，本节课重点训练学生的类比思想的养成.

教学重点

立方根的概念.

教学难点

1.正确理解立方根的概念.

2.会求一个数的立方根.

3.区分立方根与平方根的不同之处.

教学方法

类比学习法.

教具准备

投影片两张：

第一张：

平方根与立方根的联系与区别（记作§2.3A）；

第二张：

补充练习（记作§2.3B）.

教学过程

Ⅰ.新课导入

上节课我们学习了平方根的定义，若x2=a，则x叫a的平方根，即x=±.

若正方体的棱长为a，体积为8，根据正方体体积的公式得a3=8，那a叫8的什么呢？

本节课请大家根据上节课的内容自己来类推出结论，若x3=a，则x叫a的什么呢？

Ⅱ.新课讲解

1.［师］请大家先回忆平方根的定义.

［生］若一个数x的平方等于a，即x2=a，则x叫a的平方根.

［师］在平方根定义的基础上，若x3=a，则x叫a的什么呢？

请大家自己猜想然后讨论得出结果.

［生］因为x2=a，x叫a的平方根，所以当x的立方等于a时，x叫a的立方根.

［师］当x4=a时，x叫a的什么根呢？

［生］当x的4次方等于a时，x叫a的4次方根.

［师］大家应为这位同学的精彩回答而鼓掌.下面大家能不能再根据平方根的写法来类推立方根的记法呢？

［生］能.若x的平方等于a，则x叫a的平方根，记作x=±，读作x等于正、负二次根号a，简称为x等于正，负根号a.若x的立方等于a，则x叫a的立方根，记作x=±，读作x等于正、负三次根号a，简称x等于正、负根号a.

［师］请大家对这位同学的回答展开讨论，小组总结后选代表发言.

［生甲］我认为这位同学回答得不对.如果x2=a，则x=±，x3=a时，x=±也成立的话，那如何区分平方根与立方根呢？

［生乙］因为乘方与开方是互为逆运算，求立方根可通过逆运算立方来求，如x3=8，因为23=8，所以x=2，只有一个根而不是±2，所以立方根的个数不正确.

［师］大家的分析非常有道理，请认真看书第13、14页可知，若一个数x的立方等于a，即x3=a，那么这个数x就叫做a的立方根（cuberoot；也叫三次方根）如2是8的立方根，记为x=，读作x等于三次根号a.

开立方的定义

［师］大家先回忆开平方的定义，再类推开立方的定义.

［生］求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，则求一个数a的立方根的运算，叫做开立方，其中a叫做被开方数.

（2）立方根的性质

［师］2的立方等于多少？

是否有其他的数，它的立方也是8？

［生］2的立方等于8，（－2）3=－8，所以没有其他的数的立方等于8.

［师］－3的立方等于多少？

是否有其他的数，它的立方也是－27？

［生］－3的立方等于－27，33=27，所以没有其他的数的立方等于－27.

［师］0的立方等于多少？

0有几个立方根？

［生］0的立方等于0，0有1个立方根是0.

［师］从刚才的讨论中，大家总结一下正数有几个立方根？

0有几个立方根？

负数有几个立方根？

［生］正数有一个立方根，0有一个立方根是0，负数有一个立方根.

［师］对.正数有一个正的立方根、负数有一个负的立方根，0的立方根有一个，是0.

（3）平方根与立方根的区别与联系.

［师］我们已经学习了平方根与立方根的定义，并会求某些数的平方根和立方根，下面请大家说说它们的联系与区别.

［生］从定义来看，若一个数x的平方等于a，即x2=a，则x叫a的平方根；若一个数x的立方等于a，即x3=a，则x叫a的立方根，都是一个数x的乘方等于a，但一个是平方，另一个是立方.

［生］一个正数的平方根有两个，一个负数没有平方根，零的平方根有一个是零；一个正数的立方根有一个，并且是正数，一个负数有一个负的立方根，零的立方根有一个是零.

［生］它们的表示方法和读法不同，一个正数a的平方根表示为±，立方根表示为.

［师］很好.大家现在已经具备了一定的分析判断能力，这对大家以后的学习和工作非常有帮助，继续发扬下去，你们都将前途无量，下面我再系统地总结一下.

投影片：

（§2.3A）

平方根与立方根的联系与区别.

联系：

（1）0的平方根、立方根都有一个是0.

（2）平方根、立方根都是开方的结果.

区别：

（1）定义不同：

“如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根”；“如果一个数的立方等于a，这个数就叫做a的立方根.”

（2）个数不同：

一个正数有两个平方根，一个正数有一个立方根；一个负数没有平方根，一个负数有一个立方根.

（3）表示法不同

正数a的平方根表示为±，a的立方根表示为.

（4）被开方数的取值范围不同

±中的被开方数a是非负数；中的被开方数可以是任何数.

2.例题讲解

［例1］求下列各数的立方根：

（1）－27；

（2）；（3）0.216；（4）－5.

解：

（1）因为（－3）3=－27，所以－27的立方根是－3，即=－3；

（2）因为（）3=，所以的立方根是，即=；

（3）因为0.63=0.216，所以0.216的立方根是0.6，即=0.6；

（4）－5的立方根是.

［师］请大家思考下列问题.

表示a的立方根，则（）3等于什么？

等于什么？

大家可以先举例后找规律.

［生］∵23=8，∴=2，（）3=8；

∵（－2）3=－8，

∴=－2；（）3=－8；

∵（）3=，

∴；

∵（－）3=－，

∴

.

∴（）3=a.

［师］若x3=a，则x=，∴x3=（）3=a.

∴（）3=a.

又∵a3是a的立方,所以a3的立方根就是a，所以=a.下面就这两个式子进行练习.

［例2］求下列各式的值：

（1）；

（2）；（3）－；（4）（）3

解：

（1）==－2；

（2）=；

（3）=；

（4）（）3=9.

Ⅲ.课堂练习

（一）随堂练习

1.求下列各式的值：

.

解：

；

2.一个正方体，它的体积是棱长为3厘米的正方体体积的8倍，这个正方体的棱长是多少？

解：

设正方体的棱长是x厘米，得

x3=8×33

∴x3=216

∴x=6（厘米）

答：

这个正方体的棱长是6厘米.

（二）补充练习

投影片：

（§2.3B）

1.求下列各数的立方根：

0，1，－，6，－，0.001

2.求下列各式的值：

3.下列说法对不对？

－4没有立方根；

1的立方根是±1；

的立方根是；

－5的立方根是－；

64的算术平方根是8.

1.解：

因为03=0，所以0的立方根为0.

即=0；

因为13=1，所以1的立方根为1.

即=1；

因为的立方根为.

即；

6的立方根为；

∵－的立方根为－，即；

∵0.13=0.001，所以0.001的立方根为0.1，即=0.1.

2.解：

；

.

3.答案：

错.因为负数也有立方根；

错.因为1的立方根是1；

错.的立方根是，平方根是±；

对.－5的立方根是，－；

对.

Ⅳ.议一议

1.某化工厂使用一种球形储气罐储藏气体.现在要造一个新的球形储气罐，如果它的体积是原来的8倍，那么它的半径是原储气罐半径的多少倍？

解：

设原来的球形储气罐的半径为r1，后来的储气罐的半径为r2，由球体积公式V=πr3得

8×πr13=πr23

∴8r13=r23

∴（2r1）3=r23

∴r2=2r1

即新储气罐的半径是旧储气罐半径的2倍.

2.一个正方体的体积变为原来的n倍，它的棱长变为原来的多少倍？

解：

设原正方体的棱长为a，后来的正方体的棱长为b，得

na3=b3∴

∴b=.

即后来的棱长变为原来的倍.

Ⅴ.课时小结

本节课学了如下内容：

1.立方根的定义.

2.立方根的性质.

3.开立方的定义.

4.平方根与立方根的区别与联系.

5.会求一个数的立方根.

Ⅵ.课后作业

习题2.5.

Ⅶ.活动与探究

1.求下列各式中的x.

（1）8x3+27=0；

（2）（x－1）3－0.343=0；

（3）81（x+1）4=16；

（4）32x5－1=0.

分析：

先把每一个式子都化成x3=的形式，然后再根据平方根或立方根的定义来求，

解：

（1）由8x3+27=0.∴8x3=－27

∴x3=∴x=

；

（2）由（x－1）3－0.343=0

∴（x－1）3=0.343

∴x－1==0.7

∴x=1.7；

（3）由81（x+1）4=16

∴（x+1）4=

∴x+1=±

∴x=±－1∴x=－或x=－；

（4）由32x5－1=0

∴x5=

∴x=.

2.求满足+1=x的x的值.

解：

=x－1

∴x－1=－1或x－1=0或x－1=1

∴x=0或x=1或x=2

3.计算

（1）－；

（2）.

解：

（1）

；

（2）

=－.

板书设计

§2.3立方根

一、

（1）立方根开立方的定义

（2）立方根的性质

（3）立方根与平方根的联系与区别

二、例题讲解（求立方根）

三、练习

四、议一议

五、小结

六、作业

§2.4公园有多宽

知识与技能目标：

1.能通过估算检验计算结果的合理性，能估计一个无理数的大致范围，并能通过估算比较两个数的大小.

2.掌握估算的方法，形成估算的意识，发展学生的数感.

过程与方法目标：

1.能估计一个无理数的大致范围，培养学生估算的意识.

2.让学生掌握估算的方法，训练他们的估算能力.

情感态度与价值观目标：

估算也是现实生活中一种常用的解决问题的方法，比如在工厂工人师傅要做一个正方体，使它的体积为900立方米，现有边长为5米，8米，10米的三种正方形材料，问用哪一种材料作为正方体的表高比较合适，而工作师傅在领材料之前并不晓得材料的规格，那么在领材料时必须经过估算大致确定用哪一种材料，这就是估算的用处.这样的例子随处可见，有时问题是突然出现.因此有必要对学生进行这方面的训练，使他们在以后的工作中能处世不惊、沉着应战，用学到的知识去顺利解决实际生活中的难题.

教学重点

1.让学生理解估算的意义，发展学生的数感.

2.掌握估算的方法，提高学生的估算能力.

教学难点

掌握估算的方法，并能通过估算比较两个数的大小.

教学方法

指导尝试法.

教具准备

投影片三张：

第一张：

公园有多宽（记作§2.4A）；

第二张：

估算的步骤（记作§2.4B）；

第三张：

补充练习（记作§2.4C）.

教学过程

Ⅰ.导入新课

［师］同学们，请大家说出咱们班男生和女生的平均身高.

［生］男生大约170厘米，女生大约159厘米.

［师］这位同学是怎样得出结果的呢？

［生］我猜的.

［师］猜字的意思就是根据自己的判断而估计得出的结果，它并不是准确值，但也不是无中生有，是有一定的理论根据的，本节课我们就来学习有关估算的方法.

Ⅱ.讲授新课

1.投影片：

（§2.4A）

某地开辟了一块长方形的荒地，新建一个以环保为主题的公园，已知这块荒地的长是宽的2倍，它的面积为400000米2.

（1）公园的宽大约是多少？

它有1000米吗？

（2）如果要求误差小于10米，它的宽大约是多少？

（3）该公园中心有一个圆形花圃，它的面积是800米2，你能估计它的半径吗？

（误差小于1米）

［师］要想知道公园的宽大约是多少，首先应根据已知条件求出已知量与未知量的关系式，那么它们之间有怎样的联系呢？

［生］因为已知长方形的长是宽的2倍，且它的面积为40000米2，根据面积公式就能找到它们的关系式.可设公园的宽为x米，则公园的长为2x米，由面积公式得：

2x2=400000

∴x2=200000

所以公园的宽x就是面积200000的算术平方根.

［师］非常精彩.在估算时我们首先要大致确定数的范围，因此有必要做一些准备工作.请大家先计算出20以内正整数的平方和10以内正整数的立方.并加以记忆，对我们的估算很有帮助.

［生］12=1；22=4；32=9；42=16；52=25；62=36；72=49；82=64；92=81；102=100；112=121；122=144；132=169；142=196；152=225；162=256；172=289；182=324；192=381；202=400.

13=1；23=8；33=27；43=64；53=125；63=216；73=343；83=512；93=729；103=1000.

［师］下面