全等三角形的判定1.docx

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全等三角形的判定1

19.2全等三角形的判定

（1）

一、填空题（每小题2分，共20分）

1．如果△ABC和△DEF全等，△DEF和△GHI全等，则△ABC和△GHI______全等，如果△ABC和△DEF不全等，△DEF和△GHI全等，则△ABC和△GHI______全等．（填“一定”或“不一定”或“一定不”）

2.若△ABE≌△DCF，点A与点D，点E与点F分别是对应顶点，则AB＝_____，∠A＝______，AE＝______.

3.如图，已知AB⊥BD于B，ED⊥BD于D，AB=CD，BC=DE，则∠ACE=____.

（第4题）（第5题）

4.如图，∠A＝∠D，再添加条件___或条件_____,就可以用____定理来判定△ABC≌△DCB.

5.如图，某人不小心把一块三角形的玻璃打碎成三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是带去碎片中的第______块。

（第6题）（第7题）（第9题）

6.已知如图，F在正方形ABCD的边BC边上，E在AB的延长线上，FB＝EB，AF交CE于G，则∠AGC的度数是______.

7.如图，BC是Rt△ABC的斜边，P是△ABC内一点，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，如果AP＝3，那么PP′的长等于______.

8.地基在同一水平面上，高度相同的两幢楼上分别住着甲、乙两位同学，有一天，甲对乙说：

“从我住的这幢楼的底部到你住的那幢楼的顶部的直线距离，等于从你住的那幢楼的底部到我住的这幢楼的顶部的直线距离．”你认为甲的话正确吗？

答：

______．

9.如图，已知在△ABC中，

平分

，

于

，若

，则

的周长为

．

10.如图，△ABC是不等边三角形，DE=BC，以D，E为两个顶点作位置不同的三角形，使所作的三角形与△ABC全等，这样的三角形最多可以画出_____个．

（第10题）（第12题）（第13题）

二、选择题（每小题3分，共30分）

11.下列说法不正确的是（）.

A.全等三角形周长相等B.全等三角形能够完全重合

C.形状相同的图形就是全等图形D.全等图形的形状和大小都相同

12.如图，已知△ABC≌△DEF，且AB＝4，BC＝5，AC＝6，则DE的长为（）.

Ａ.４　　Ｂ.５　　Ｃ.６　　　Ｄ.不能确定

13．如图，若△OAD≌△OBC，且∠0=65°，∠C=20°，则∠OAD等于（）.

Ａ.85°　Ｂ.95°Ｃ.65°　　Ｄ.105°

14.如图，已知∠1＝∠2，要使△ABC≌△ADE，还需条件（）.

A.AB＝AD，BC＝DE　B.BC＝DE，AC＝AE

C.∠B＝∠D，∠C＝∠ED.AC＝AE，AB＝AD

（第14题）（第15题）（第16题）

15.如图，△ABC≌△AEF，AB＝AE，∠B＝∠E，则对于结论①AC＝AF；②∠FAB＝∠EAB；③EF＝BC；④∠EAB＝∠FAC，其中正确结论的个数是（）.

A.1个B.2个C.3个D.4个

16.如图，已知△ABC中，AB＝AC，它的周长为24，又AD⊥BC于D，△ABD的周长为20，则AD的长为（）.

A.6B.8C.10D.12

17.如图，OA＝OB，点C在OA上，点D在OB上，OC＝OD，AD和BC相交于点E，则图中全等三角形共有（）.

A.1对B.2对C.3对D.4对

（第17题）（第18题）（第20题）

18.如图，将两根钢条AA’、BB’的中点O连在一起，使AA’、BB’可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工件，则A’B’的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OA’B’的理由是（）

A.边角边B.角边角C.边边边.D.角角边

19.如果两个三角形的两条边和其中一条边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三边所对的角的关系是（）.

A.相等B.互余C.互补或相等D.不相等

20.如图，在□ABCD中，E、F分别是边AD、BC的中点，AC分别交BE、DF于G、H，试判断下列结论：

①ΔABE≌ΔCDF；②AG=GH=HC；③EG=

④

其中正确的结论是（）

A．l个B．2个C．3个D．4个

三、解答题：

（每题6分，30分）

21.将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆放成如下右图的形式，使点B、F、C、D在同一条直线上.

（1）求证：

AB⊥ED；

（2）若PB=BC，请找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并给予证明

22.如图，已知AB=DC，AC=DB.求证：

∠A=∠D.

23.如图，A、D、F、B在同一直线上，AD=BF,AE=BC,且AE∥BC.

求证：

（1）△AEF≌△BCD；

（2）EF∥CD.

24.已知：

如图，Rt△ABC≌Rt△ADE，∠ABC＝∠ADE=900，试以图中标有字母的点为端点，连结两条线段，如果你所连结的两条线段满足相等、垂直或平行关系中的一种，那么请你把它写出来并证明．

25.如图，△ABC是等腰直角三角形，其中CA=CB，四边形CDEF是正方形，连接AF、BD.

（1）观察图形，猜想AF与BD之间有怎样的关系，并证明你的猜想；

（2）若将正方形CDEF绕点C按顺时针方向旋转，使正方形CDEF的一边落在△ABC的内部，请你画出一个变换后的图形，并对照已知图形标记字母，题

（1）中猜想的结论是否仍然成立？

若成立，直接写出结论，不必证明；若不成立，请说明理由.

四、探究题：

（每题10分，共20分）

26.知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等．那么在什么情况下，它们会全等?

（1）阅读与证明：

对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等．

对于这两个三角形均为钝角三角形，可证它们全等（证明略）．

对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下：

已知：

△ABC、△A1B1C1均为锐角三角形，AB=A1B1，BC=B1Cl，∠C=∠Cl．

求证：

△ABC≌△A1B1C1．

（请你将下列证明过程补充完整）

证明：

分别过点B，B1作BD⊥CA于D，

B1D1⊥C1A1于D1.

则∠BDC=∠B1D1C1=90º

∵BC=B1C1，∠C=∠C1，

∴△BCD≌△B1C1D1，

∴BD=B1D1．

（2）归纳与叙述：

由

（1）可得到一个正确结论，请你写出这个结论．

27.如图①，△ABC是正三角形，△BDC是顶角∠BDC＝120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN．

探究：

线段BM、MN、NC之间的关系，并加以证明．

①

（如图②）；　　②

（如图③）．

附加题：

若点M、N分别是射线AB、CA上的点，其它条件不变，再探线段BM、MN、NC之间的关系，在图④中画出图形，并说明理由．　　

①②

③④

参考答案

一、1.一定；一定不2.DC，∠D，DF3.90º4.∠ACB＝∠DBC，∠ABC＝∠DCB，角角边5.三6.90º7.

8.正确9.15cm10.四

二、11.C12.A13.B14.D15.C16.B17.D18.A19.C20.C

三、

21.证明：

（1）根据题意，得∠A+∠B=90º∠D=∠A∴∠D+∠B=90ºAB⊥ED.

（2）若PB=BC，则有Rt△ABC≌Rt△DBE.∵∠B=∠B，∠A=∠D，BP=BC，∴Rt△ABC≌Rt△DBE.说明：

图中与此条件有关的全等三角形还有如下几对：

Rt△APN≌Rt△DCN、Rt△DEF≌Rt△DPB、Rt△EPM≌Rt△BFM.

22.证明：

∵AB=DC，AC=DB，BC=CB，

∴△ABC≌△DCB.∠A=∠D.

23.

（1）因为AE∥BC,所以∠A=∠B又因AD=BF,所以AF=AD+DF=BF+FD=BD又因AE=BC,所以△AEF≌△BCD.

（2）因为△AEF≌△BCD,所以∠EFA=∠CDB.所以EF∥CD.

24.第一种：

如图3-1，连接CD，BE，得CD=BE.

∵△ABC≌△ADE，

∴AD=AB，AC=AE

又∠CAB=∠EAD，∴∠CAD=∠EAB。

∴△ABE≌△ADC（SAS）

∴CD=BE

第二种：

如图3-2，连接DB，CE，得DBCE，

∵△ABC≌△ADE，∴AD=AB，∠ABC=∠ADE

∴∠ADB=∠ABD，∴∠BDF=∠FBD.

同理：

∠FCE=∠FEC

∴∠FCE=∠DBF

∴DB∥CE.

第三种：

如图3-3，连接DB，AF，得AF⊥BD.

∵△ABC≌△ADE，∴AD=AB，∠ABC=∠ADE=90°

又AF=AF，∴△ADF≌△ABF（HL）

∴∠DAF=∠BAF

∴AF⊥BD.

第四种：

如图3-4，连接CE，AF，得AF⊥CE.

∵△ABC≌△ADE，

∴AD=AB，AC=AE，∠ABC=∠ADE=90°.

又AF=AF，∴△ADF≌ABF（HL）.

∴∠DAF=∠BAF，∴∠CAF=∠EAF.

∴AF⊥BD.

25.猜想：

AF=BD且AF⊥BD证明：

设AF与DC交点为G.

　　∵FC=DC，AC=BC，∠BCD=∠BCA+∠ACD，∠ACF=∠DCF+∠ACD，∠BCA=∠DCF=90°，

　　∴∠BCD=∠ACF.∴△ACF≌△BCD.　

∴AF=BD.∴∠AFC=∠BDC.

∵∠AFC+∠FGC=90°,∠FGC=DGA，

∴∠BDC+∠DGA=90°.　∴AF⊥BD.∴AF=BD且AF⊥BD.

（2）结论：

AF=BD且AF⊥BD.

　　　图形不惟一，只要符合要求即可.

　　　　　　①CD边在△ABC的内部时；　②CF边在△ABC的内部时.

四、

26.解：

（1）又∵AB=A1B1，∠ADB=∠A1D1B1=90°．

∴△ADB≌△A1D1B1，

∴∠A=∠A1，

又∵∠C=∠C1，BC=B1C1，

∴△ABC≌△A1B1C1．

（2）若△ABC、△A1B1C1均为锐角三角形或均为直角三角形或均为钝角三角形，

AB=A1B1，BC=B1C1，∠C=∠C1，则△ABC≌△A1B1C1．

27.BM＋CN＝MN

证明：

如图，延长AC至M1，使CM1＝BM，连结DM1

由已知条件知：

∠ABC＝∠ACB＝60°，∠DBC＝∠DCB＝30°

∴∠ABD＝∠ACD＝90°

∵BD＝CD

∴Rt△BDM≌Rt△CDM1

∴∠MDB＝∠M1DC　　DM＝DM1

∴∠MDM1＝（120°－∠MDB）＋∠M1DC＝120°

又∵∠MDN＝60

∴∠M1DN＝∠MDN＝60

∴△MDN≌△M1DN

∴MN＝NM1＝NC＋CM1＝NC＋MB

附加题：

CN－BM＝MN

证明：

如图，在CN上截取，使CM1＝BM，连结DM1

∵∠ABC＝∠ACB＝60°，∠DBC＝∠DCB＝30°

∴∠DBM＝∠DCM1＝90°

∵BD＝CD∴Rt△BDM≌Rt△CDM1

∴∠MDB＝∠M1DC　DM＝DM1

∵∠BDM＋∠BDN＝60°

∴∠CDM1＋∠BDN＝60°

∴∠NDM1＝∠BDC－（∠M1DC＋∠BDN）＝120°－60°＝60°

∴∠M1DN＝∠MDN

∵AD＝AD

∴△MDN≌△M1DN

∴MN＝NM1＝NC－CM1＝NC－MB