复变函数14套题目和答案.docx

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复变函数14套题目和答案

　　《复变函数论》试题库《复变函数》考试试题

（一）一、判断题（2分）

　　若f（z）在z的某个邻域内可导，则函数f（z）在z解析.（）有界整函数必在整个复平面为常数.（）若收敛，则与都收敛.（）若f（z）在区域D内解析，且，则（常数）.（）若函数f（z）在z处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数.（）若z是的m阶零点，则z是1/的m阶极点.（）若存在且有限，则z是函数f（z）的可去奇点.（）若函数f（z）在是区域D内的单叶函数，则.（）若f（z）在区域D内解析,则对D内任一简单闭曲线C.（）1.若函数f（z）在区域D内的某个圆内恒等于常数，则f（z）在区域D内恒等于常数.（）二.填空题（2分）__________.（为自然数）_________.函数的周期为___________.设，则的孤立奇点有__________.幂级数的收敛半径为__________.若函数f（z）在整个平面上处处解析，则称它是__________.若，则______________.________，其中n为自然数.的孤立奇点为________.1.若是的极点，则.三.计算题（4分）

　　设，求在内的罗朗展式.设，其中，试求求复数的实部与虚部.四.证明题.（2分）函数在区域内解析.证明如果在内为常数，那么它在内为常数.试证:

在割去线段的平面内能分出两个单值解析分支,并求出支割线上岸取正值的那支在的值.《复变函数》考试试题

（二）1、判断题.（2分）若函数在D内连续，则u（x,y）与v（x,y）都在D内连续.（）cosz与sinz在复平面内有界.（）若函数f（z）在z解析，则f（z）在z连续.（）有界整函数必为常数.（）如z是函数f（z）的本性奇点，则一定不存在.（）若函数f（z）在z可导，则f（z）在z解析.（）若f（z）在区域D内解析,则对D内任一简单闭曲线C.（）若数列收敛，则与都收敛.（）若f（z）在区域D内解析，则|f（z）|也在D内解析.（）1.存在一个在零点解析的函数f（z）使且.（）二.填空题.（2分）设，则设，则________._________.（为自然数）幂级数的收敛半径为__________.若z是f（z）的m阶零点且m>，则z是的_____零点.函数ez的周期为__________.方程在单位圆内的零点个数为________.设，则的孤立奇点有_________.函数的不解析点之集为________.1..三.计算题.（4分）求函数的幂级数展开式.在复平面上取上半虚轴作割线.试在所得的区域内取定函数在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点处的值.计算积分，积分路径为

（1）单位圆（）的右半圆.求.四.证明题.（2分）设函数f（z）在区域D内解析，试证f（z）在D内为常数的充要条件是在D内解析.试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题（三）一.判断题.（2分）.cosz与sinz的周期均为.（）若f（z）在z处满足柯西-黎曼条件,则f（z）在z解析.（）若函数f（z）在z处解析，则f（z）在z连续.（）若数列收敛，则与都收敛.（）若函数f（z）是区域D内解析且在D内的某个圆内恒为常数，则数f（z）在区域D内为常数.（）若函数f（z）在z解析，则f（z）在z的某个邻域内可导.（）如果函数f（z）在上解析,且,则.（）若函数f（z）在z处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数.（）若z是的m阶零点,则z是1/的m阶极点.（）1.若是的可去奇点，则.（）二.填空题.（2分）设，则f（z）的定义域为___________.函数ez的周期为_________.若，则__________.___________._________.（为自然数）幂级数的收敛半径为__________.设，则f（z）的孤立奇点有__________.设，则.若是的极点，则.1..三.计算题.（4分）将函数在圆环域内展为Laurent级数.试求幂级数的收敛半径.算下列积分，其中是.求在|z|<1内根的个数.四.证明题.（2分）函数在区域内解析.证明如果在内为常数，那么它在内为常数.设是一整函数，并且假定存在着一个正整数n，以及两个正数R及M，使得当时，证明是一个至多n次的多项式或一常数。

　　《复变函数》考试试题（四）一.判断题.（2分）若f（z）在z解析，则f（z）在z处满足柯西-黎曼条件.（）若函数f（z）在z可导，则f（z）在z解析.（）函数与在整个复平面内有界.（）若f（z）在区域D内解析，则对D内任一简单闭曲线C都有.（）若存在且有限，则z是函数的可去奇点.（）若函数f（z）在区域D内解析且，则f（z）在D内恒为常数.（）如果z是f（z）的本性奇点，则一定不存在.（）若，则为的n阶零点.（）若与在内解析，且在内一小弧段上相等，则.（）1.若在内解析，则.（）二.填空题.（2分）设，则.若，则______________.函数ez的周期为__________.函数的幂级数展开式为__________若函数f（z）在复平面上处处解析，则称它是___________.若函数f（z）在区域D内除去有限个极点之外处处解析，则称它是D内的_____________.设，则.的孤立奇点为________.若是的极点，则.1._____________.三.计算题.（4分）解方程.设，求.函数有哪些奇点？

各属何类型（若是极点，指明它的阶数）.四.证明题.（2分）一.证明若函数在上半平面解析，则函数在下半平面解析.证明方程在内仅有3个根.《复变函数》考试试题（五）二.判断题.（2分）若函数f（z）是单连通区域D内的解析函数，则它在D内有任意阶导数.（）若函数f（z）在区域D内的解析，且在D内某个圆内恒为常数，则在区域D内恒等于常数.（）若f（z）在区域D内解析，则|f（z）|也在D内解析.（）若幂级数的收敛半径大于零，则其和函数必在收敛圆内解析.（）若函数f（z）在z处满足Cauchy-Riemann条件，则f（z）在z解析.（）若存在且有限，则z是f（z）的可去奇点.（）若函数f（z）在z可导，则它在该点解析.（）设函数在复平面上解析，若它有界，则必为常数.（）若是的一级极点，则.（）1.若与在内解析，且在内一小弧段上相等，则.（）二.填空题.（2分）设，则.当时，为实数.设，则.的周期为___.设，则..若函数f（z）在区域D内除去有限个极点之外处处解析，则称它是D内的_____________。

　　函数的幂级数展开式为_________.的孤立奇点为________.1.设C是以为a心，r为半径的圆周，则.（为自然数）三.计算题.（4分）求复数的实部与虚部.计算积分

　　，在这里L表示连接原点到的直线段.求积分，其中

　　若函数在解析，则在连续.（）若函数在处满足Caychy-Riemann条件，则在解析.（）若函数在解析，则在处满足Caychy-Riemann条件.（）若函数在是区域内的单叶函数，则.（）若在单连通区域内解析，则对内任一简单闭曲线都有.（）若在区域内解析，则对内任一简单闭曲线都有.（）若，则函数在是内的单叶函数.（）若是的阶零点，则是的阶极点.（）如果函数在上解析，且,则.（）1..（）三、填空题（2分）若，则___________.设，则的定义域为____________________________.函数的周期为_______________________._______________________.幂级数的收敛半径为________________.若是的阶零点且，则是的____________零点.若函数在整个复平面处处解析，则称它是______________.函数的不解析点之集为__________.方程在单位圆内的零点个数为___________.1.公式称为_____________________.四、计算题（3分）1、.2、设，其中，试求.3、设，求.4、求函数在内的罗朗展式.5、求复数的实部与虚部.6、求的值.五、证明题（2分）2、方程在单位圆内的根的个数为3、若函数在区域内解析，等于常数，则在恒等于常数.4、若是的阶零点，则是的阶极点.《复变函数》考试试题（七）一、判断题（24分）若函数在解析，则在的某个领域内可导.（）若函数在处解析，则在满足Cauchy-Riemann条件.（）如果是的可去奇点，则一定存在且等于零.（）若函数是区域内的单叶函数，则.（）若函数是区域内的解析函数，则它在内有任意阶导数.（）若函数在区域内的解析，且在内某个圆内恒为常数，则在区域内恒等于常数.（）若是的阶零点，则是的阶极点.（）二、填空题（2分）若，则___________.设，则的定义域为____________________________.函数的周期为______________._______________.幂级数的收敛半径为________________.若是的阶零点且，则是的____________零点.若函数在整个复平面处处解析，则称它是______________.函数的不解析点之集为__________.方程在单位圆内的零点个数为___________.1._________________.三、计算题（3分）1、求.2、设，其中，试求.3、设，求.4、求函数在内的罗朗展式.5、求复数的实部与虚部.6、利用留数定理计算积分，.四、证明题（2分）1、方程在单位圆内的根的个数为2、若函数在区域内解析，等于常数，则在恒等于常数.3、若是的阶零点，则是的阶极点.五、计算题（1分）求一个单叶函数，去将平面上的上半单位圆盘保形映射为平面的单位圆盘《复变函数》考试试题（八）一、判断题（2分）1、若函数在解析，则在连续.（）2、若函数在满足Cauchy-Riemann条件，则在处解析.（）3、如果是的本性奇点，则一定不存在.（）4、若函数是区域内解析，并且，则是区域的单叶函数.（）5、若函数是区域内的解析函数，则它在内有任意阶导数.（）6、若函数是单连通区域内的每一点均可导，则它在内有任意阶导数.（）7、若函数在区域内解析且，则在内恒为常数.（）存在一个在零点解析的函数使且.（）1.如果函数在上解析，且，则.（）1是一个有界函数.（）二、填空题（2分）1、若，则___________.2、设，则的定义域为____________________________.3、函数的周期为______________.4、若，则_______________.5、幂级数的收敛半径为________________.6、函数的幂级数展开式为______________________________.7、若是单位圆周，是自然数，则______________.8、函数的不解析点之集为__________.9、方程在单位圆内的零点个数为___________.1、若，则的孤立奇点有_________________.三、计算题（3分）1、求2、设，其中，试求.3、设，求.4、求函数在内的罗朗展式.5、求复数的实部与虚部.四、证明题（2分）1、方程在单位圆内的根的个数为2、若函数在区域内连续，则二元函数与都在内连续.4、若是的阶零点，则是的阶极点.六、计算题（1分）求一个单叶函数，去将平面上的区域保形映射为平面的单位圆盘.《复变函数》考试试题（九）一、判断题（2分）1、若函数在可导，则在解析.（）2、若函数在满足Cauchy-Riemann条件，则在处解析.（）3、如果是的极点，则一定存在且等于无穷大.（）4、若函数在单连通区域内解析，则对内任一简单闭曲线都有.（）5、若函数在处解析，则它在该点的某个领域内可以展开为幂级数.（）6、若函数在区域内的解析，且在内某一条曲线上恒为常数，则在区域内恒为常数.（）7、若是的阶零点，则是的阶极点.（）8、如果函数在上解析，且，则.（）9、.（）1、如果函数在内解析，则（）二、填空题（2分）1、若，则___________.2、设，则的定义域为____________________________.3、函数的周期为______________.4、_______________.5、幂级数的收敛半径为________________.6、若是的阶零点且，则是的____________零点.7、若函数在整个复平面除去有限个极点外，处处解析，则称它是______________.8、函数的不解析点之集为__________.9、方程在单位圆内的零点个数为___________.1、_________________.三、计算题（3分）1、2、设，其中，试求.3、设，求.4、求函数在内的罗朗展式.5、求复数的实部与虚部.6、利用留数定理计算积分.四、证明题（2分）1、方程在单位圆内的根的个数为2、若函数在区域内解析，等于常数，则在恒等于常数.7、若是的阶零点，则是的阶极点.五、计算题（1分）求一个单叶函数，去将平面上的带开区域保形映射为平面的单位圆盘.《复变函数》考试试题（十）一、判断题（4分）

　　1、若函数在解析，则在的某个邻域内可导.（）2、如果是的本性奇点，则一定不存在.（）3、若函数在内连续，则与都在内连续.（）4、与在复平面内有界.（）5、若是的阶零点，则是的阶极点.（）6、若在处满足柯西-黎曼条件，则在解析.（）7、若存在且有限，则是函数的可去奇点.（）8、若在单连通区域内解析，则对内任一简单闭曲线都有.（）9、若函数是单连通区域内的解析函数，则它在内有任意阶导数.（）1、若函数在区域内解析，且在内某个圆内恒为常数，则在区域内恒等于常数.（）二、填空题（2分）

　　1、函数的周期为_________________.2、幂级数的和函数为_________________.3、设，则的定义域为_________________.4、的收敛半径为_________________.5、=_________________.三、计算题（4分）

　　1、2、求3、4、设求，使得为解析函数，且满足。

其中（为复平面内的区域）.5、求，在内根的个数《复变函数》考试试题（十一）一、判断题.（正确者在括号内打√，错误者在括号内打×，每题2分）1．当复数时，其模为零，辐角也为零.（）2．若是多项式的根，则也是的根.（）3．如果函数为整函数，且存在实数，使得，则为一常数.（）4．设函数与在区域内解析，且在内的一小段弧上相等，则对任意的，有.（）5．若是函数的可去奇点，则.（）二、填空题.（每题2分）1．_____________________.2．设，且，当时，________________.3．函数将平面上的曲线变成平面上的曲线______________.4．方程的不同的根为________________.5．___________________.6．级数的收敛半径为____________________.7．在（为正整数）内零点的个数为_____________________.8．函数的零点的阶数为_____________________.9．设为函数的一阶极点，且，则_____________________.1．设为函数的阶极点，则_____________________.三、计算题（5分）1．设。

求，使得为解析函数，且满足.其中（为复平面内的区域）.（15分）2．求下列函数的奇点，并确定其类型（对于极点要指出它们的阶）.（1分）

（1）；

　　（5分）

（2）.（5分）3．计算下列积分.（15分）

（1）（8分），

（2）（7分）.4．叙述儒歇定理并讨论方程在内根的个数.（1分）四、证明题（2分）1．设是上半复平面内的解析函数，证明是下半复平面内的解析函数.（1分）2．设函数在内解析，令。

证明在区间上是一个上升函数，且若存在及（），使，则常数.（1分）《复变函数》考试试题（十二）二、判断题。

（正确者在括号内打√，错误者在括号内打×，每题2分）1．设复数及，若或，则称与是相等的复数。

（）2．函数在复平面上处处可微。

　　（）3．且。

　　（）4．设函数是有界区域内的非常数的解析函数，且在闭域上连续，则存在，使得对任意的，有。

　　（）5．若函数是非常的整函数，则必是有界函数。

（）二、填空题。

（每题2分）1．_____________________。

　　2．设，且，当时，________________。

　　3．若已知，则其关于变量的表达式为__________。

　　4．以________________为支点。

　　5．若，则_______________。

　　6．________________。

　　7．级数的收敛半径为________________。

　　8．在（为正整数）内零点的个数为_______________。

　　9．若为函数的一个本质奇点，且在点的充分小的邻域内不为零，则是的________________奇点。

　　1．设为函数的阶极点，则_____________________。

　　三、计算题（5分）1．设区域是沿正实轴割开的平面，求函数在内满足条件的单值连续解析分支在处之值。

　　（1分）2．求下列函数的奇点，并确定其类型（对于极点要指出它们的阶），并求它们留数。

（15分）

（1）的各解析分支在各有怎样的孤立奇点，并求这些点的留数（1分）

（2）求。

　　（5分）3．计算下列积分。

（15分）

（1）（8分），

（2）（7分）。

　　4．叙述儒歇定理并讨论方程在内根的个数。

（1分）四、证明题（2分）1．讨论函数在复平面上的解析性。

　　（1分）2．证明

　　。

　　此处是围绕原点的一条简单曲线。

（1分）《复变函数》考试试题（十三）一、填空题．（每题２分）１．设，则_____________________．２．设函数，，，则的充要条件是_______________________．３．设函数在单连通区域内解析，则在内沿任意一条简单闭曲线的积分_________________________．４．设为的极点，则____________________．５．设，则是的________阶零点．６．设，则在的邻域内的泰勒展式为_________________．７．设，其中为正常数，则点的轨迹曲线是_________________．８．设，则的三角表示为_________________________．９．___________________________．１０．设，则在处的留数为________________________．二、计算题．１．计算下列各题．（９分）

（1）；

（2）;（3）2．求解方程．（７分）３．设，验证是调和函数，并求解析函数，使之．（８分）４．计算积分．（1分）

（1），其中是沿由原点到点的曲线．

（2），积分路径为自原点沿虚线轴到，再由沿水平方向向右到．５．试将函数分别在圆环域和内展开为洛朗级数．（８分）６．计算下列积分．（８分）

（1）；

（2）．７．计算积分．（８分）８．求下列幂级数的收敛半径．（６分）

（1）　；

（2）　．９．讨论的可导性和解析性．（６分）三、证明题．１．设函数在区域内解析，为常数，证明必为常数．（５分）２．试证明的轨迹是一直线，其中为复常数，为实常数．（５分《复变函数》考试试题（十四）一、填空题．（每题２分）１．设，则___________________．２．设函数，，，则的充要条件______________________．３．设函数在单连通区域内解析，则在内沿任意一条简单闭曲线的积分_________________________．４．设为的可去奇点，____________________．５．设，则是的________阶零点．６．设，则在的邻域内的泰勒展式为_________________．７．设，其中为正常数，则点的轨迹曲线是_________________．８．设，则的三角表示为_________________________．９．___________________________．１０．设，则在处的留数为________________________．二、计算题．１．计算下列各题．（９分）

（1）；

（2）;（3）2．求解方程．（７分）３．设，验证是调和函数，并求解析函数，使之．（８分）４．计算积分，其中路径为（１）自原点到点的直线段；

（2）自原点沿虚轴到，再由沿水平方向向右到．（1分）５．试将函数在的邻域内的泰勒展开式．（８分）６．计算下列积分．（８分）

（1）；

（2）．７．计算积分．（６分）８．求下列幂级数的收敛半径．（６分）

（1）　；

（2）　．９．设为复平面上的解析函数，试确定，，的值．（６分）三、证明题．１．设函数在区域内解析，在区域内也解析，证明必为常数．（５分）２．试证明的轨迹是一直线，其中为复常数，为实常数．（５分）试卷一至十四参考答案《复变函数》考试试题

（一）参考答案8、判断题1．×2．√　３．√　４．√　５．√　6．√　７．×８．×９．×1．×二．填空题；

　　1；

　　，；

　　；

　　1整函数；

　　；

　　；

　　；

　　1..三．计算题.解因为所以.解因为,.所以.解令,则它在平面解析,由柯西公式有在内,.所以.解令,则.故,.四.证明题.证明设在内.令.两边分别对求偏导数,得因为函数在内解析,所以.代入

（2）则上述方程组变为.消去得,.1）若,则为常数.2）若,由方程

（1）

（2）及方程有,.所以.（为常数）.所以为常数.证明的支点为.于是割去线段的平面内变点就不可能单绕或1转一周,故能分出两个单值解析分支.由于当从支割线上岸一点出发,连续变动到时,只有的幅角增加.所以的幅角共增加.由已知所取分支在支割线上岸取正值,于是可认为该分支在上岸之幅角为,因而此分支在的幅角为,故.《复变函数》考试试题

（二）参考答案一.判断题.1．√２．×３．√４．√５．×6．×７．×８．√９．×1．×.二.填空题1，，；

　　；

　　；

　　1；

　　.，.；

　　；

　　；

　　1..三.计算题解.解令.则.又因为在正实轴去正实值，所以.所以.单位圆的右半圆周为,.所以.解=.四.证明题.证明（必要性）令,则.（为实常数）.令.则.即满足,且连续,故在内解析.（充分性）令,则,因为与在内解析,所以,且.比较等式两边得.从而在内均为常数,故在内为常数.即要证“任一次方程有且只有个根”.证明令,取,当在上时,有..由儒