复变函数14套题目和答案.docx

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复变函数14套题目和答案

复变函数14套题目和答案

《复变函数论》试题库《复变函数》考试试题

（一）一、判断题（20分）：

1.若f（z）在z0的某个邻域内可导，则函数f（z）在z0解析.（）2.有界整函数必在整个复平面为常数.（）3.若收敛，则与都收敛.（）4.若f（z）在区域D内解析，且，则（常数）.（）5.若函数f（z）在z0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数.（）6.若z0是的m阶零点，则z0是1/的m阶极点.（）7.若存在且有限，则z0是函数f（z）的可去奇点.（）8.若函数f（z）在是区域D内的单叶函数，则.（）9.若f（z）在区域D内解析,则对D内任一简单闭曲线C.（）10.若函数f（z）在区域D内的某个圆内恒等于常数，则f（z）在区域D内恒等于常数.（）二.填空题（20分）1.__________.（为自然数）2._________.3.函数的周期为___________.4.设，则的孤立奇点有__________.5.幂级数的收敛半径为__________.6.若函数f（z）在整个平面上处处解析，则称它是__________.7.若，则______________.8.________，其中n为自然数.9.的孤立奇点为________.10.若是的极点，则.三.计算题（40分）：

1.设，求在内的罗朗展式.2.3.设，其中，试求4.求复数的实部与虚部.四.证明题.（20分）1.函数在区域内解析.证明：

如果在内为常数，那么它在内为常数.2.试证:

在割去线段的平面内能分出两个单值解析分支,并求出支割线上岸取正值的那支在的值.《复变函数》考试试题

（二）1、判断题.（20分）1.若函数在D内连续，则u（某,y）与v（某,y）都在D内连续.（）2.coz与inz在复平面内有界.（）3.若函数f（z）在z0解析，则f（z）在z0连续.（）4.有界整函数必为常数.（）5.如z0是函数f（z）的本性奇点，则一定不存在.（）6.若函数f（z）在z0可导，则f（z）在z0解析.（）7.若f（z）在区域D内解析,则对D内任一简单闭曲线C.（）8.若数列收敛，则与都收敛.（）9.若f（z）在区域D内解析，则|f（z）|也在D内解析.（）10.存在一个在零点解析的函数f（z）使且.（）二.填空题.（20分）1.设，则2.设，则________.3._________.（为自然数）4.幂级数的收敛半径为__________.5.若z0是f（z）的m阶零点且m>0，则z0是的_____零点.6.函数ez的周期为__________.7.方程在单位圆内的零点个数为________.8.设，则的孤立奇点有_________.9.函数的不解析点之集为________.10..三.计算题.（40分）1.求函数的幂级数展开式.2.在复平面上取上半虚轴作割线.试在所得的区域内取定函数在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点处的值.3.计算积分：

，积分路径为

（1）单位圆（）的右半圆.4.求.四.证明题.（20分）1.设函数f（z）在区域D内解析，试证：

f（z）在D内为常数的充要条件是在D内解析.2.试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题（三）一.判断题.（20分）.1.coz与inz的周期均为.（）2.若f（z）在z0处满足柯西-黎曼条件,则f（z）在z0解析.（）3.若函数f（z）在z0处解析，则f（z）在z0连续.（）4.若数列收敛，则与都收敛.（）5.若函数f（z）是区域D内解析且在D内的某个圆内恒为常数，则数f（z）在区域D内为常数.（）6.若函数f（z）在z0解析，则f（z）在z0的某个邻域内可导.（）7.如果函数f（z）在上解析,且,则.（）8.若函数f（z）在z0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数.（）9.若z0是的m阶零点,则z0是1/的m阶极点.（）10.若是的可去奇点，则.（）二.填空题.（20分）1.设，则f（z）的定义域为___________.2.函数ez的周期为_________.3.若，则__________.4.___________.5._________.（为自然数）6.幂级数的收敛半径为__________.7.设，则f（z）的孤立奇点有__________.8.设，则.9.若是的极点，则.10..三.计算题.（40分）1.将函数在圆环域内展为Laurent级数.2.试求幂级数的收敛半径.3.算下列积分：

，其中是.4.求在|z|<1内根的个数.四.证明题.（20分）1.函数在区域内解析.证明：

如果在内为常数，那么它在内为常数.2.设是一整函数，并且假定存在着一个正整数n，以及两个正数R及M，使得当时，证明是一个至多n次的多项式或一常数。

《复变函数》考试试题（四）一.判断题.（20分）1.若f（z）在z0解析，则f（z）在z0处满足柯西-黎曼条件.（）2.若函数f（z）在z0可导，则f（z）在z0解析.（）3.函数与在整个复平面内有界.（）4.若f（z）在区域D内解析，则对D内任一简单闭曲线C都有.（）5.若存在且有限，则z0是函数的可去奇点.（）6.若函数f（z）在区域D内解析且，则f（z）在D内恒为常数.（）7.如果z0是f（z）的本性奇点，则一定不存在.（）8.若，则为的n阶零点.（）9.若与在内解析，且在内一小弧段上相等，则.（）10.若在内解析，则.（）二.填空题.（20分）1.设，则.2.若，则______________.3.函数ez的周期为__________.4.函数的幂级数展开式为__________5.若函数f（z）在复平面上处处解析，则称它是___________.6.若函数f（z）在区域D内除去有限个极点之外处处解析，则称它是D内的_____________.7.设，则.8.的孤立奇点为________.9.若是的极点，则.10._____________.三.计算题.（40分）1.解方程.2.设，求3..4.函数有哪些奇点？

各属何类型（若是极点，指明它的阶数）.四.证明题.（20分）一.证明：

若函数在上半平面解析，则函数在下半平面解析.2.证明方程在内仅有3个根.《复变函数》考试试题（五）二.判断题.（20分）1.若函数f（z）是单连通区域D内的解析函数，则它在D内有任意阶导数.（）2.若函数f（z）在区域D内的解析，且在D内某个圆内恒为常数，则在区域D内恒等于常数.（）3.若f（z）在区域D内解析，则|f（z）|也在D内解析.（）4.若幂级数的收敛半径大于零，则其和函数必在收敛圆内解析.（）5.若函数f（z）在z0处满足Cauchy-Riemann条件，则f（z）在z0解析.（）6.若存在且有限，则z0是f（z）的可去奇点.（）7.若函数f（z）在z0可导，则它在该点解析.（）8.设函数在复平面上解析，若它有界，则必为常数.（）9.若是的一级极点，则.（）10.若与在内解析，且在内一小弧段上相等，则.（）二.填空题.（20分）1.设，则.2.当时，为实数.3.设，则.4.的周期为___.5.设，则.6..7.若函数f（z）在区域D内除去有限个极点之外处处解析，则称它是D内的_____________。

8.函数的幂级数展开式为_________.9.的孤立奇点为________.10.设C是以为a心，r为半径的圆周，则.（为自然数）三.计算题.（40分）1.求复数的实部与虚部.2.计算积分：

，在这里L表示连接原点到的直线段.3.求积分：

，其中0

1.若函数在解析，则在连续.（）2.若函数在处满足Caychy-Riemann条件，则在解析.（）3.若函数在解析，则在处满足Caychy-Riemann条件.（）4.若函数在是区域内的单叶函数，则.（）5.若在单连通区域内解析，则对内任一简单闭曲线都有.（）6.若在区域内解析，则对内任一简单闭曲线都有.（）7.若，则函数在是内的单叶函数.（）8.若是的阶零点，则是的阶极点.（）9.如果函数在上解析，且,则.（）10..（）三、填空题（20分）1.若，则___________.2.设，则的定义域为____________________________.3.函数的周期为_______________________.4._______________________.5.幂级数的收敛半径为________________.6.若是的阶零点且，则是的____________零点.7.若函数在整个复平面处处解析，则称它是______________.8.函数的不解析点之集为__________.9.方程在单位圆内的零点个数为___________.10.公式称为_____________________.四、计算题（30分）1、.2、设，其中，试求.3、设，求.4、求函数在内的罗朗展式.5、求复数的实部与虚部.6、求的值.五、证明题（20分）2、方程在单位圆内的根的个数为6.3、若函数在区域内解析，等于常数，则在恒等于常数.4、若是的阶零点，则是的阶极点.《复变函数》考试试题（七）一、判断题（24分）2.若函数在解析，则在的某个领域内可导.（）3.若函数在处解析，则在满足Cauchy-Riemann条件.（）4.如果是的可去奇点，则一定存在且等于零.（）5.若函数是区域内的单叶函数，则.（）6.若函数是区域内的解析函数，则它在内有任意阶导数.（）7.若函数在区域内的解析，且在内某个圆内恒为常数，则在区域内恒等于常数.（）8.若是的阶零点，则是的阶极点.（）二、填空题（20分）1.若，则___________.2.设，则的定义域为____________________________.3.函数的周期为______________.4._______________.5.幂级数的收敛半径为________________.6.若是的阶零点且，则是的____________零点.7.若函数在整个复平面处处解析，则称它是______________.8.函数的不解析点之集为__________.9.方程在单位圆内的零点个数为___________.10._________________.三、计算题（30分）1、求.2、设，其中，试求.3、设，求.4、求函数在内的罗朗展式.5、求复数的实部与虚部.6、利用留数定理计算积分：

，.四、证明题（20分）1、方程在单位圆内的根的个数为7.2、若函数在区域内解析，等于常数，则在恒等于常数.3、若是的阶零点，则是的阶极点.五、计算题（10分）求一个单叶函数，去将平面上的上半单位圆盘保形映射为平面的单位圆盘《复变函数》考试试题（八）一、判断题（20分）1、若函数在解析，则在连续.（）2、若函数在满足Cauchy-Riemann条件，则在处解析.（）3、如果是的本性奇点，则一定不存在.（）4、若函数是区域内解析，并且，则是区域的单叶函数.（）5、若函数是区域内的解析函数，则它在内有任意阶导数.（）6、若函数是单连通区域内的每一点均可导，则它在内有任意阶导数.（）7、若函数在区域内解析且，则在内恒为常数.（）9.存在一个在零点解析的函数使且.（）10.如果函数在上解析，且，则.（）11.是一个有界函数.（）二、填空题（20分）1、若，则___________.2、设，则的定义域为____________________________.3、函数的周期为______________.4、若，则_______________.5、幂级数的收敛半径为________________.6、函数的幂级数展开式为______________________________.7、若是单位圆周，是自然数，则______________.8、函数的不解析点之集为__________.9、方程在单位圆内的零点个数为___________.10、若，则的孤立奇点有_________________.三、计算题（30分）1、求2、设，其中，试求.3、设，求.4、求函数在内的罗朗展式.5、求复数的实部与虚部.四、证明题（20分）1、方程在单位圆内的根的个数为7.2、若函数在区域内连续，则二元函数与都在内连续.4、若是的阶零点，则是的阶极点.六、计算题（10分）求一个单叶函数，去将平面上的区域保形映射为平面的单位圆盘.《复变函数》考试试题（九）一、判断题（20分）1、若函数在可导，则在解析.（）2、若函数在满足Cauchy-Riemann条件，则在处解析.（）3、如果是的极点，则一定存在且等于无穷大.（）4、若函数在单连通区域内解析，则对内任一简单闭曲线都有.（）5、若函数在处解析，则它在该点的某个领域内可以展开为幂级数.（）6、若函数在区域内的解析，且在内某一条曲线上恒为常数，则在区域内恒为常数.（）7、若是的阶零点，则是的阶极点.（）8、如果函数在上解析，且，则.（）9、.（）10、如果函数在内解析，则（）二、填空题（20分）1、若，则___________.2、设，则的定义域为____________________________.3、函数的周期为______________.4、_______________.5、幂级数的收敛半径为________________.6、若是的阶零点且，则是的____________零点.7、若函数在整个复平面除去有限个极点外，处处解析，则称它是______________.8、函数的不解析点之集为__________.9、方程在单位圆内的零点个数为___________.10、_________________.三、计算题（30分）1、2、设，其中，试求.3、设，求.4、求函数在内的罗朗展式.5、求复数的实部与虚部.6、利用留数定理计算积分.四、证明题（20分）1、方程在单位圆内的根的个数为6.2、若函数在区域内解析，等于常数，则在恒等于常数.7、若是的阶零点，则是的阶极点.五、计算题（10分）求一个单叶函数，去将平面上的带开区域保形映射为平面的单位圆盘.《复变函数》考试试题（十）一、判断题（40分）：

1、若函数在解析，则在的某个邻域内可导.（）2、如果是的本性奇点，则一定不存在.（）3、若函数在内连续，则与都在内连续.（）4、与在复平面内有界.（）5、若是的阶零点，则是的阶极点.（）6、若在处满足柯西-黎曼条件，则在解析.（）7、若存在且有限，则是函数的可去奇点.（）8、若在单连通区域内解析，则对内任一简单闭曲线都有.（）9、若函数是单连通区域内的解析函数，则它在内有任意阶导数.（）10、若函数在区域内解析，且在内某个圆内恒为常数，则在区域内恒等于常数.（）二、填空题（20分）：

1、函数的周期为_________________.2、幂级数的和函数为_________________.3、设，则的定义域为_________________.4、的收敛半径为_________________.5、=_________________.三、计算题（40分）：

1、2、求3、4、设求，使得为解析函数，且满足。

其中（为复平面内的区域）.5、求，在内根的个数《复变函数》考试试题（十一）一、判断题.（正确者在括号内打√，错误者在括号内打某，每题2分）1．当复数时，其模为零，辐角也为零.（）2．若是多项式的根，则也是的根.（）3．如果函数为整函数，且存在实数，使得，则为一常数.（）4．设函数与在区域内解析，且在内的一小段弧上相等，则对任意的，有.（）5．若是函数的可去奇点，则.（）二、填空题.（每题2分）1．_____________________.2．设，且，当时，________________.3．函数将平面上的曲线变成平面上的曲线______________.4．方程的不同的根为________________.5．___________________.6．级数的收敛半径为____________________.7．在（为正整数）内零点的个数为_____________________.8．函数的零点的阶数为_____________________.9．设为函数的一阶极点，且，则_____________________.10．设为函数的阶极点，则_____________________.三、计算题（50分）1．设。

求，使得为解析函数，且满足.其中（为复平面内的区域）.（15分）2．求下列函数的奇点，并确定其类型（对于极点要指出它们的阶）.（10分）

（1）；

（5分）

（2）.（5分）3．计算下列积分.（15分）

（1）（8分），

（2）（7分）.4．叙述儒歇定理并讨论方程在内根的个数.（10分）四、证明题（20分）1．设是上半复平面内的解析函数，证明是下半复平面内的解析函数.（10分）2．设函数在内解析，令。

证明：

在区间上是一个上升函数，且若存在及（），使，则常数.（10分）《复变函数》考试试题（十二）二、判断题。

（正确者在括号内打√，错误者在括号内打某，每题2分）1．设复数及，若或，则称与是相等的复数。

（）2．函数在复平面上处处可微。

（）3．且。

（）4．设函数是有界区域内的非常数的解析函数，且在闭域上连续，则存在，使得对任意的，有。

（）5．若函数是非常的整函数，则必是有界函数。

（）二、填空题。

（每题2分）1．_____________________。

2．设，且，当时，________________。

3．若已知，则其关于变量的表达式为__________。

4．以________________为支点。

5．若，则_______________。

6．________________。

7．级数的收敛半径为________________。

8．在（为正整数）内零点的个数为_______________。

9．若为函数的一个本质奇点，且在点的充分小的邻域内不为零，则是的________________奇点。

10．设为函数的阶极点，则_____________________。

三、计算题（50分）1．设区域是沿正实轴割开的平面，求函数在内满足条件的单值连续解析分支在处之值。

（10分）2．求下列函数的奇点，并确定其类型（对于极点要指出它们的阶），并求它们留数。

（15分）

（1）的各解析分支在各有怎样的孤立奇点，并求这些点的留数（10分）

（2）求。

（5分）3．计算下列积分。

（15分）

（1）（8分），

（2）（7分）。

4．叙述儒歇定理并讨论方程在内根的个数。

（10分）四、证明题（20分）1．讨论函数在复平面上的解析性。

（10分）2．证明：

。

此处是围绕原点的一条简单曲线。

（10分）《复变函数》考试试题（十三）一、填空题．（每题２分）１．设，则_____________________．２．设函数，，，则的充要条件是_______________________．３．设函数在单连通区域内解析，则在内沿任意一条简单闭曲线的积分_________________________．４．设为的极点，则____________________．５．设，则是的________阶零点．６．设，则在的邻域内的泰勒展式为_________________．７．设，其中为正常数，则点的轨迹曲线是_________________．８．设，则的三角表示为_________________________．９．___________________________．１０．设，则在处的留数为________________________．二、计算题．１．计算下列各题．（９分）

（1）；

（2）;（3）2．求解方程．（７分）３．设，验证是调和函数，并求解析函数，使之．（８分）４．计算积分．（10分）

（1），其中是沿由原点到点的曲线．

（2），积分路径为自原点沿虚线轴到，再由沿水平方向向右到．５．试将函数分别在圆环域和内展开为洛朗级数．（８分）６．计算下列积分．（８分）

（1）；

（2）．７．计算积分．（８分）８．求下列幂级数的收敛半径．（６分）

（1）　；

（2）　．９．讨论的可导性和解析性．（６分）三、证明题．１．设函数在区域内解析，为常数，证明必为常数．（５分）２．试证明的轨迹是一直线，其中为复常数，为实常数．（５分《复变函数》考试试题（十四）一、填空题．（每题２分）１．设，则___________________．２．设函数，，，则的充要条件______________________．３．设函数在单连通区域内解析，则在内沿任意一条简单闭曲线的积分_________________________．４．设为的可去奇点，____________________．５．设，则是的________阶零点．６．设，则在的邻域内的泰勒展式为_________________．７．设，其中为正常数，则点的轨迹曲线是_________________．８．设，则的三角表示为_________________________．９．___________________________．１０．设，则在处的留数为________________________．二、计算题．１．计算下列各题．（９分）

（1）；

（2）;（3）2．求解方程．（７分）３．设，验证是调和函数，并求解析函数，使之．（８分）４．计算积分，其中路径为（１）自原点到点的直线段；

（2）自原点沿虚轴到，再由沿水平方向向右到．（10分）５．试将函数在的邻域内的泰勒展开式．（８分）６．计算下列积分．（８分）

（1）；

（2）．７．计算积分．（６分）８．求下列幂级数的收敛半径．（６分）

（1）　；

（2）　．９．设为复平面上的解析函数，试确定，，的值．（６分）三、证明题．１．设函数在区域内解析，在区域内也解析，证明必为常数．（５分）２．试证明的轨迹是一直线，其中为复常数，为实常数．（５分）试卷一至十四参考答案《复变函数》考试试题

（一）参考答案8、判断题1．某2．√　３．√　４．√　５．√　6．√　７．某８．某９．某10．某二．填空题1.；

2.1；

3.，；

4.；

5.16.整函数；

7.；

8.；

9.0；

10..三．计算题.1.解因为所以.2.解因为,.所以.3.解令,则它在平面解析,由柯西公式有在内,.所以.4.解令,则.故,.四.证明题.1.证明设在内.令.两边分别对求偏导数,得因为函数在内解析,所以.代入

（2）则上述方程组变为.消去得,.1）若,则为常数.2）若,由方程

（1）

（2）及方程有,.所以.（为常数）.所以为常数.2.证明的支点为.于是割去线段的平面内变点就不可能单绕0或1转一周,故能分出两个单值解析分支.由于当从支割线上岸一点出发,连续变动到时,只有的幅角增加.所以的幅角共增加.由已知所取分支在支割线上岸取正值,于是可认为该分支在上岸之幅角为0,因而此分支在的幅角为,故.《复变函数》考试试题

（二）参考答案一.判断题.1．√２．某３．√４．√５．某6．某７．某８．√９．某10．某.二.填空题1.1，，；

2.；

3.；

4.1；

5..6.，.7.0；

8.；

9.；

10.0.三.计算题1.解.2.解令.则.又因为在正实轴去正实值，所以.所以.3.单位圆的右半圆周为,.所以.4.解=0.四.证明题.1.证明（必要性）令,则.（为实常数）.令.则.即满足,且连续,故在内解析.（充分性）令,则,因为与在内解析,所以,且.比较等式两边得.从而在内均为常数,故在内为常数.2.即要证“任一次方程有且只有个根”.证明令,取,当在上时,有..由儒歇定理知在圆内,方程与有相同个数的根.而在内有一个重根.因此次方程在内有个根.《复变函数》考试试题（三）参考答案一.判断题1．某２．某３．√４．√５．√6．√７．√８．√９．√10．√.二.填空题.1.;2.;3.;4.1;5.;6.1;7.;8.;9.;10..三.计算题.1.解.2.解.所以收敛半径为.3.解令,则.故原式.4.解令,.则在上均解析