高考安徽数学理科试题及参考答案.docx

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高考安徽数学理科试题及参考答案

2009年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）

数学（理科）

   本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷1至2页。

第II卷3

至4页。

全卷满分150分，考试时间120分钟。

考生注意事项：

1.答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名，座位号与本人姓名、座位号是否一致。

务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。

2.答第I卷时、每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮檫干净后，在选涂其他答案标号。

3.答第II卷时，必须用直径0.5毫米黑色黑水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰。

作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后在用0.5毫米的黑色墨色签字笔清楚。

必须在标号所指示的答题区域作答，超出答题卡区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效。

4.考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交。

参考公式：

S表示底面积，h表示底面的高

如果事件A、B互斥，那么                      棱柱体积   

  P（A+B）=P（A）+P （B）                           棱锥体积   

第I卷（选择题  共50分）

一.选择题：

本大题10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）i是虚数单位，若 ，则乘积 的值是（B）

  （A）-15         （B）-3       （C）3       （D）15

（2）若集合 则A∩B是（D）

  （A）           （B）    

   （C）                      （D）  

（3）下列曲线中离心率为 的是（B）

（A）      （B）      （C）      （D） 

 （4）下列选项中，p是q的必要不充分条件的是（A）

（A）p:

 ＞b+d ,   q:

 ＞b且c＞d         

（B）p:

a＞1,b>1      q:

 的图像不过第二象限

（C）p:

 x=1,         q:

（D）p:

a＞1,         q:

  在 上为增函数

（5）已知 为等差数列， + + =105， =99，以 表示 的前 项和，则使得 达到最大值的 是（B）

（A）21      （B）20     （C）19    （D） 18

（6）设 ＜b,函数 的图像可能是（C）

（7）若不等式组 所表示的平面区域被直线 分为面积相等的两部分，则 的值是（A）  （A）        （B）        （C）       （D）  

（8）已知函数 ， 的图像与直线 的两个相邻交点的距离等于 ，则 的单调区间是（C）

（A）        （B） 

（C）          （D） 

（9）已知函数 在R上满足 ，则曲线 在点 处的切线方程是（A）

（A）        （B）     （C）      （D） 

（10）考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于（D）

（A）       （B）       （C）     （D） 

二．填空题：

本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置。

（11）若随机变量 ～ ，则 =________.

解答：

（12）以直角坐标系的原点为极点， 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位。

已知直线的极坐标方程为 ，它与曲线 （ 为参数）相交于两点A和B，则|AB|=_______.

解答：

（13） 程序框图（即算法流程图）如图所示，其输出结果是_______.

解答：

127

（14）给定两个长度为1的平面向量 和 ，它们的夹角为 .如图所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上变动.若 其中 ,则 的最大值是=________.

解答：

2

（15）对于四面体ABCD，下列命题正确的是_________

（写出所有正确命题的编号）。

○1相对棱AB与CD所在的直线是异面直线；

○2由顶点A作四面体的高，其垂足是 BCD的三条高线的交点；

○3若分别作 ABC和 ABD的边AB上的高，则这两条高所在直线异面；

○4分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点;

○5最长棱必有某个端点，由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱。

解答：

○1○4○5

三．解答题;本大题共6小题，共75分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

解答

（16）（本小题满分12分）在 ABC中，C-A= ,  sinB= 。

（I）求sinA的值； （II）设AC= ，求 ABC的面积。

（16）本小题主要考查三角恒等变换、正弦定理、解三角形等有关知识，考查运算求解能力。

本小题满分12分

解：

（I）由 知 。

又 所以 即 

故 

（II）由（I）得：

又由正弦定理，得：

所以 

（17）（本小题满分12分）

   某地有A、B、C、D四人先后感染了甲型H1N1流感，其中只有A到过疫区。

B肯定是受A感染的。

对于C，因为难以断定他是受A还是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的概率都是 。

同样也假定D受A、B和C感染的概率都是 。

在这种假定之下，B、C、D中直接受A感染的人数X就是一个随机变量。

写出X的分布列（不要求写出计算过程）,并求X的均值（即数学期望）.

（17）本小题主要考查古典概型及其概率计算，考查取有限个值的离散型随机变量及其分布列和均值的概念，通过设置密切贴近现实生活的情境，考查概率思想的应用意识和创新意识。

体现数学的科学价值。

本小题满分12分。

X    1    2    3

P     

解：

随机变量X的分布列是

X的均值 。

附：

X的分布列的一种求法

共有如下6种不同的可能情形，每种情形发生的概率都是 ：

①    ②    ③    ④    ⑤    ⑥

A—B—C—D    A—B—C

└D    A—B—C

└D    A—B—D

└C    A—C—D

└B     

在情形①和②之下，A直接感染了一个人；在情形③、④、⑤之下，A直接感染了两个人；在情形⑥之下，A直接感染了三个人。

（18）（本小题满分13分）

如图，四棱锥F-ABCD的底面ABCD是菱形，其对角线AC=2，

BD= ，AE、CF都与平面ABCD垂直，AE=1，CF=2。

（I）求二面角B-AF-D的大小；

（II）求四棱锥E-ABCD与四棱锥F-ABCD公共部分的体积。

（18） 本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系、相交平面所成二面角以及空间几何体的体积计算等知识，考查空间想象能力和推理论证能力、利用综合法或向量法解决立体几何问题的能力。

本小题满分13分。

解：

（I）（综合法）连接AC、BD交于菱形的中心O，过O作OG⊥AF，G为垂足。

连接BG、DG。

由BD⊥AC,BD⊥CF,得：

BD⊥平面ACF，故BD⊥AF.

于是AF⊥平面BGD,所以BG⊥AF,DG⊥AF,∠BGD为二面角B-AF-D的平面角。

由FC⊥AC,FC=AC=2,得∠FAC= ,OG= .

由OB⊥OG,OB=OD= ,得∠BGD=2∠BGO= .

（向量法）以A为坐标原点， 、 、 方向分别为 轴、 轴、 轴的正方向建立空间直角坐标系（如图）.于是 

设平面ABF的法向量 ，则由 得 。

令 得 ， 

同理，可求得平面ADF的法向量 。

由 知，平面ABF与平面ADF垂直，

二面角B-AF-D的大小等于 。

（II）连EB、EC、ED，设直线AF与直线CE相交于点H，则四棱锥E-ABCD与四棱锥F-ABCD的公共部分为四棱锥H-ABCD。

过H作HP⊥平面ABCD，P为垂足。

因为EA⊥平面ABCD，FC⊥平面ABCD，，所以平面ACFE⊥平面ABCD，从而 

由 得 。

又因为 

故四棱锥H-ABCD的体积 

（19）（本小题满分12分）

 已知函数 ，a＞0，讨论 的单调性.

（19）本小题主要考查函数的定义域、利用导数等知识研究函数的单调性，考查分类讨论的思想方法和运算求解的能力。

本小题满分12分。

解：

 的定义域是（0,+ ）, 

设 ,二次方程 的判别式 .

①    当 ，即 时，对一切 都有 ,此时 在 上是增函数。

②    当 ,即 时，仅对 有 ,对其余的 都有 ,此时 在 上也是增函数。

③    当 ，即 时，

方程 有两个不同的实根 , , .

+    0    _    0    +

单调递增 

极大    单调递减 

极小    单调递增

此时 在 上单调递增, 在 是上单调递减, 在 上单调递增.

（20）（本小题满分13分）

点 在椭圆 上， 直线 与直线 垂直，O为坐标原点，直线OP的倾斜角为 ，直线 的倾斜角为 .

（I）证明:

 点 是椭圆 与直线 的唯一交点；

（II）证明:

 构成等比数列。

（20）本小题主要考查直线和椭圆的标准方程和参数方程，直线和曲线的几何性质，等比数列等基础知识。

考查综合运用知识分析问题、解决问题的能力。

本小题满分13分。

解：

（I）（方法一）由 得 代入椭圆 ,

得 .

将 代入上式,得 从而 

因此,方程组 有唯一解 ,即直线 与椭圆有唯一交点P.

（方法二）显然P是椭圆与 的交点，若Q 是椭圆与 的交点，代入 的方程 ，得 

即 故P与Q重合。

（方法三）在第一象限内，由 可得 

椭圆在点P处的切线斜率 

切线方程为 即 。

因此， 就是椭圆在点P处的切线。

根据椭圆切线的性质，P是椭圆与直线 的唯一交点。

（II）  的斜率为  的斜率为 

由此得  构成等比数列。

（21）（本小题满分13分）

首项为正数的数列 满足 

（I）证明：

若 为奇数，则对一切 都是奇数；

（II）若对一切 都有 ，求 的取值范围。

（21）本小题主要考查数列、数学归纳法和不等式的有关知识，考查推理论证、抽象概括、运算求解和探究能力，考查学生是否具有审慎思维的习惯和一定的数学视野。

本小题满分13分。

解：

（I）已知 是奇数，假设 是奇数，其中 为正整数，

则由递推关系得 是奇数。

根据数学归纳法，对任何 ， 都是奇数。

（II）（方法一）由 知， 当且仅当 或 。

另一方面，若 则 ；若 ，则 

根据数学归纳法， 

综合所述，对一切 都有 的充要条件是 或 。

（方法二）由 得 于是 或 。

因为 所以所有的 均大于0，因此 与 同号。

根据数学归纳法， ， 与 同号。

因此，对一切 都有 的充要条件是 或 。