初中数学《相交线与平行线》单元教学设计以及思维导图.docx

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初中数学《相交线与平行线》单元教学设计以及思维导图

相交线与平行线

适用年级

七年级

所需时间

（说明：

课内共用12课时，每周5课时；课外共用2课时）

主题单元学习概述（说明：

简述主题单元在课程中的地位和作用、单元的组成情况，单元的学习重点和难点、解释专题的划分和专题之间的关系，单元的主要的学习方式和预期的学习成果，字数300-500）

     本单元的教学内容为相交线与平行线及其在现实生活中的应用，平面内两条直线的位置关系是“空间与图形”所要研究的基本问题，这些内容学生在前两个学段已经有所接触，本章在学生已有知识和经验的基础上，继续研究平面内两条直线的位置关系，是学生开始接触几何逻辑推导的初步。

主要研究平面内两条直线的位置关系，重点是垂直和平行关系，以及有关平移变换的内容，难点是运用逻辑思维解决几何问题，以及对集合语言的组织与运用。

      专题一：

首先研究相交的情形：

探究了两直线相交所成的角的位置和大小关系，给出了领补角和对顶角概念；垂直作为两条直线相交的特殊情形，是学习下一章“平面直角坐标系”的直接基础，本章对垂直的情形进行了专门的研究，探索得出了“同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”“垂线段最短”等结论，并给出点到直线的距离的概念。

       专题二：

平行线的判定公理、判定定理、平行线的性质：

理解判定定理的形成、判定定理的证法，学会运用平行线的性质，了解表达推理证明的方式，同位角、内错角、同旁内角的概念。

让学生知道公理与定理的区别，体验从实践中总结知识，从逻辑推导中扩展知识的过程。

      专题三：

认识图形的平移、应用及相关概念，学会利用平行线段以及对应点画出平移图形，知道平移的几个要点，知道一些平移的应用。

      通过合作小组交流、讨论以及动手操作，提高学生的作图能力、交流能力和数学表达能力，通过引入具体情境，发现生活中的数学问题，激发学生学习数学的兴趣。

主题单元规划思维导图（说明：

将主题单元规划的思维导图导出为jpeg文件后，粘贴在这里；如果提交到平台，则需要使用图片导入的功能，具体操作见《2013学员教师远程研修手册》。

）

主题单元学习目标（说明：

依据新课程标准要求描述学生在本主题单元学习中所要达到的主要目标）

知识与技能：

学会相交线、平行线的相关知识及平移的知识，并运用它们解释、解决问题

过程与方法：

1.经历相交线和平行线的应用过程,提高学生的数学应用意识;

2.丰富对现实空间及图形的认识,建立初步的空间观察,发展形象思维;

3.经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程,发展合情推理能力和初步的演绎推理能力,能用语言有条理地阐述自己的观点;

4.学会与他人合作,并能与他人交流思想的过程和结果;

5.初步形成评价与反思的意识.

情感态度与价值观：

1.空间想象能力：

从让学生观察图形人手，逐步培养识图、抽象、概括能力 

2.逻辑推理能力：

由初步掌握推理到逐步灵活运用各种推理形式的能力 

3.思维能力：

在文字语言、符号语言、图形语言进行相互转化，规范学生的演绎思维、归纳思维、类比思维。

4.在教学中渗透“观察——猜想——证明”的科学探索方法。

5.经历合作学习，培养学生合作交流的能力

对应课标（说明：

学科课程标准对本单元学习的要求）

（1）理解对顶角、余角、补角等概念，探索并掌握对顶角相等、同角（等角）的余角相等，同角（等角）的补角相等的性质。

（2）理解垂线、垂线段等概念，能用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线。

（3）理解点到直线的距离的意义，能度量点到直线的距离。

（4）掌握基本事实：

过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

（5）识别同位角、内错角、同旁内角。

（6）理解平行线概念；掌握基本事实：

两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行。

（7）掌握基本事实：

过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。

（8）掌握平行线的性质定理：

两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等。

了解平行线性质定理的证明。

（9）能用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线。

（10）探索并证明平行线的判定定理：

两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等（或同旁内角互补），那么两直线平行；平行线的性质定理：

两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等（或同旁内角互补）。

（11）了解平行于同一条直线的两条直线平行。

主题单元问题设计

1、同一平面内的直线有哪些位置关系

2、直线相交构成的角可以怎样划分位置关系

3、如何证明两直线垂直，怎样画出垂直的直线

4、如何得知两直线是否平行，怎样画出平行线

5、怎样研究平行线有哪些的性质

6、什么是基本事实、公理、定理、命题

7、什么叫逻辑思维，逻辑思维为何需要严密性

8、本单元介绍了哪些逻辑关系，你还能想到哪些几何逻辑关系

专题划分

 专题一：

相交线（4 课时）

专题二：

 平行线与平行线的性质（5课时）

专题三：

 平移（1课时）

.......

其中，专题一中，垂线段最短，认识三线八角、如何理解平行线的判定公理；专题二中，探讨逻辑证明题的严密性；专题三中，平移的应用；作为研究性学习                   

专题一

相交线

所需课时

（说明：

课内共用4课时，每周4课时；课外共用0课时）

专题学习目标（说明：

描述学生在本专题学习中所要达到的学习目标，注意与主题单元的学习目标呼应）

1.理解对顶角、邻补角、平行线的概念及性质，会运用性质进行推理和计算

2.会过一个已知点画已知直线的垂线。

3.会度量点到直线的距离。

4.渗透数形结合的思想，把计算、推理和图形结合起来。

5.掌握垂线的两个性质。

6．了解“三线八角”并能在具体图形中找出同位角、内错角与同旁内角；

专题问题设计

1、直线有哪些位置关系

2、什么是对顶角和邻补角

3、为何对顶角相等

4、垂直的性质是什么

5、证明步骤与格式应该注意什么       

 6、三线八角中，能否将角的位置关系进行分类                  

所需教学环境和教学资源（说明：

在此列出本专题所需要的教学环境和学习过程中所需的信息化资源、常规资源等和各种支持资源）

信息化资源：

多媒体课件、多媒体教室

常规资源教材：

关于几何图形所用到的各种教具

学习活动设计（说明：

为达到本专题的学习目标，从学生的角度设计学生应参与的学习活动。

如本专题由几个课时组成，则应分课时描述每个课时的学习活动设计。

请以活动1、活动2、活动3等的形式，提纲挈领地描述每个课时包含哪些学习活动以及每个活动的主要步骤。

注意，在这些学习活动中应通过对所设计的本专题的问题的探究完成学习任务）

【课时一】相交线

活动一.观察剪刀剪布的过程，引入两条相交直线所成的角。

学生观察、思考、回答问题

1.教师出示一块布和一把剪刀，表演剪布过程，提出问题：

剪布时，用力握紧把手，两个把手之间的的角发生了什么变化？

剪刀张开的口又怎么变化？

教师点评：

如果把剪刀的构造看作是两条相交的直线，以上就关系到两条直线相交所成的角的问题，

2．学生画相交线并用量角器分别量一量各角的度数，发现各类角的度数有什么关系？

（学生得出结论：

相邻关系的两个角互补，对顶的两个角相等）

活动二.探究新知：

认识对顶角和邻补角

1．对顶角和邻补角的概念

学生活动：

观察上图，同桌讨论．

　　【PPT】∠1与∠3是直线AB、CD相交得到的，它们有一个公共顶点O，没有公共边，像这样的两个角叫做对顶角．

　　学生活动：

让学生找一找上图中还有没有对顶角，如果有，是哪两个角？

　　紧扣对顶角定义强调以下两点：

（1）辨认对顶角的要领：

一看是不是两条直线相交所成的角，对顶角与相交线是唇齿相依，哪里有相交直线，哪里就有对顶角，反过来，哪里有对顶角，哪里就有相交线；二看是不是有公共顶点；三看是不是没有公共边．符合这三个条件时，才能确定这两个角是对顶角，只具备一个或两个条件都不行．

（2）对顶角是成对存在的，它们互为对顶角，如∠1是∠3的对顶角，同时，∠3是∠1的对顶角，也常说∠1和∠3是对顶角．

2．对顶角的性质

　　提出问题：

我们在图形中能准确地辨认对顶角，那么对顶角有什么性质呢？

　　学生活动：

学生以小组为单位展开讨论，选代表发言，井口答为什么．

　【PPT】∵∠1与∠2互补，∠3与∠2互补（邻补角定义），

　　∴∠l＝∠3（同角的补角相等）．

　　注意：

∠l与∠2互补不是给出的已知条件，而是分析图形得到的；所以括号内不填已知，而填邻补角定义．

　　或写成：

∵∠1＝180°－∠2，∠3＝180°－∠2（邻补角定义），

　　∴∠1＝∠3（等量代换）．

　　学生活动：

例题比较简单，教师不做任何提示，让学生在练习本上独立完成解题过程，请一个学生板演。

　　解：

∠3＝∠1＝40°（对顶角相等）．

　　∠2＝180°－40°＝140°（邻补角定义）．

　　∠4＝∠2＝140°（对顶角相等）．

活动三.范例学习：

活学活用

学生活动：

让学生把例题中∠1＝40°这个条件换成其他条件，而结论不变，自编几道题（和差倍分、直角、平角、周角、角平分线问题）．

　　变式1：

把∠l＝40°变为∠2－∠1＝40°

　　变式2：

把∠1＝40°变为∠2是∠l的3倍

　　变式3：

把∠1＝40°变为∠1：

∠2＝2：

9

活动四.课堂小结

学生活动：

表格中的结论均由学生自己口答填出．

角的名称

特征

性质

相同点

不同点

对顶角

①两条直线相交面成的角

②有一个公共顶点

③没有公共边

对顶角相等

都是两直线相交而成的角，都有一个公共顶点，它们都是成对出现。

对顶角没有公共边而邻补角有一条公共边；两条直线相交时，一个角的对顶角只有一个，而一个角的邻补角有两个。

邻补角

①两条直线相交面成的角

②有一个公共顶点

③有一条公共边

邻补角互补

活动五.布置作业：

课本P3练习

【课时二】垂线的性质一

活动一.创设问题情境

1.学生观察教室里的课桌面、黑板面相邻的两条边,方格纸的横线和竖线……,思考这些给大家什么印象?

在学生回答之后,教师指出:

“垂直”两个字对大家并不陌生,但是垂直的意义,垂线有什么性质,我们不一定都了解,这可是我们要学习的内容.

2.学生观察课本P3图5.1-4思考:

固定木条a,转动木条,当b的位置变化时,a、b所成的角a是如何变化的?

其中会有特殊情况出现吗?

当这种情况出现时,a、b所成的四个角有什么特殊关系?

教师在组织学生交流中,应学生明白:

当b的位置变化时,角a从锐角变为钝角,其中∠a是直角是特殊情况.其特殊之处还在于:

当∠a是直角时,它的邻补角,对顶角都是直角,即a、b所成的四个角都是直角,都相等.

活动二.总结垂直的定义

     当两条直线相交的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线是互相垂直的，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。

【师生分清“互相垂直”与“垂线”的区别与联系】：

“互相垂直”指两条直线的位置关系；“垂线”是指其中一条直线对另一条直线的命名。

如果说两条直线“互相垂直”时，其中一条必定是另一条的“垂线”，如果一条直线是另一条直线的“垂线”，则它们必定“互相垂直”。

活动三.探究垂线的性质.

垂线的画法及垂直的证明

 如图，直线AB、CD互相垂直，记作AB⊥CD，垂足为O。

     请同学举出日常生活中，两条直线互相垂直的实例。

注意：

    1、如遇到线段与线段、线段与射线、射线与射线、线段或射线与直线垂直，特指它们所在的直线互相垂直。

    2、掌握如下的推理过程：

（如上图）

∵AB⊥CD

∴∠AOC=∠COB=∠BOD=∠AOD=90°

 反之：

∵∠AOC=90°

∴AB⊥CD

探究：

1、用三角尺或量角器画已知直线l的垂线，这样的垂线能画出几条？

2、经过直线l上一点A画l的垂线，这样的垂线能画出几条？

3、经过直线l外一点B画l的垂线，这样的垂线能画出几条？

画法：

让三角板的一条直角边与已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使其另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则这条直线就是已知直线的垂线。

注意：

如过一点画射线或线段的垂线，是指画它们所在直线的垂线，垂足有时在延长线上。

活动四.总结垂线的性质：

经过一点（已知直线上或直线外），能画出已知直线的一条垂线，并且只能画出一条垂线，即：

性质1    过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

变式训练：

巩固垂线的概念和画法,如图根据下列语句画图:

（1）过点P画射线MN的垂线,Q为垂足;

（2）过点P画射线BN的垂线,交射线BN反向延长线于Q点;

（3）过点P画线段AB的垂线,交线AB延长线于Q点.

学生画完图后,教师归结:

画一条射线或线段的垂线,就是画它们所在直线的垂线.

课堂小结

本节学习了互相垂直、垂线等概念,还学习了过一点画已知直线的垂线的画法,并得出垂线一条性质,你能说出相关的内容吗?

布置作业：

课本P7练习,P9.3,4,5,9.

【课时三】垂线的性质二

活动一.创设问题情境

1.教师展示课本图5.1-8,提出问题:

要把河中的水引到农田P处,如何挖渠能使渠道最短?

学生看图、思考.

2.教师以问题串形式,启发学生思考.

（1）问题1,上学期我们曾经学过什么最短的知识,还记得吗?

学生说出:

两点间线段最短.

（2）问题2,如果把渠道看成是线段,它的一个端点自然是P,那么另一个端点的位置呢?

把江河看成直线L,那么原问题就是怎么的数学问题.

问题2使学生能用数学眼光思考:

在连接直线L外一点P与直线L上各点的线段中,哪一条最短?

3.教师演示教具,给学生直观的感受.

教具如图:

在硬纸板上固定木条L,L外一点P,转动的木条a一端固定在点P.

使木条L与a相交,左右摆动木条a,L与a的交点A随之变化,线段PA长度也随之变化.PA最短时,a与L的位置关系如何?

用三角尺检验.

4.学生画图操作,得出结论.

（1）画出直线L,L外一点P;

（2）过P点出PO⊥L,垂足为O;

（3）点A1,A2,A3……在L上,连接PA、PA2、PA3……;

（4）用叠合法或度量法比较PO、PA1、PA2、PA3……长短.

5.师生交流,得出垂线的另一条性质.

活动二.探究点到直线的距离

1、如图，连接直线l外一点P与直线l上各点O，

A,B,C,……,其中PO⊥l（我们称PO为点P到直线l的垂线段）。

比较线段PO、PA、PB、PC……的长短，这些线段中，哪一条最短？

性质2  连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。

简单说成：

 垂线段最短。

关于垂线段教师可让学生思考:

（1）垂线段与垂线的区别联系.

（2）垂线段与线段的区别与联系.

 2、练习课本P6练习

活动三.课堂小结：

通过这节课，我们主要学习了什么呢？

布置作业：

课本P9.6,P10.10,11,12,P11观察与猜想.

【课时四】三线八角

活动一.探究角的位置关系

同位角、内错角、同旁内角

如图，直线a、b与直线c相交，或者说，两条直线a、b被第三条直线c所截，得到八个角。

我们来研究那些没有公共顶点的两个角的关系。

∠1与∠2、∠4与∠8、∠5与∠6、∠3与∠7有什么位置关系？

在截线的同旁，被截直线的同方向（同上或同下）.

具有这种位置关系的两个角叫做同位角。

同位角形如字母“F”。

∠3与∠2、∠4与∠6的位置有什么共同的特点？

在截线的两旁，被截直线之间。

具有这种位置关系的两个角叫做内错角.

内错角形如字母“Z”。

∠3与∠6、∠4与∠2的位置有什么共同的特点？

在截线的同旁，被截直线之间。

具有这种位置关系的两个角叫做同旁内角.

同旁内角形如字母“U”。

活动二.总结分辨这些角的要点

问题：

这三类角有什么相同和不同的地方？

（1）都不相邻，即不存在共公顶点；

（2）有一边在同一条直线（截线）上，有公共边。

布置作业:

课本P7练习1、2题

评价要点

1、学生回答问题和评价的积极性、准确性。

2、是否掌握证明格式的规范性。

3、学生对垂线的两个性质的理解，能否认出三线八角。

4、学生在解决问题时几何语言表达的准确性和规范性。

专题二

平行线及其性质

所需课时

（说明：

课内共用5课时，每周5课时；课外共用1课时）

专题学习目标（说明：

描述学生在本专题学习中所要达到的学习目标，注意与主题单元的学习目标呼应）

1．理解平行线的意义，了解同一平面内两条直线的位置关系；

2．理解并掌握平行公理及其推论的内容；

3．会根据几何语句画图，会用直尺和三角板画平行线；

4．使学生理解平行线的性质和判定的区别．

5．使学生掌握平行线的三个性质，并能运用它们作简单的推理．

专题问题设计

1、如何判定两直线是否平行

2、平行线有哪些性质

3、平行线的判定与平行线的性质有何区别      

所需教学环境和教学资源（说明：

在此列出本专题所需要的教学环境和学习过程中所需的信息化资源、常规资源等和各种支持资源）

信息化资源：

多媒体课件、多媒体教室

常规资源教材：

关于几何图形所用到的各种教具

学习活动设计（说明：

为达到本专题的学习目标，从学生的角度设计学生应参与的学习活动。

如本专题由几个课时组成，则应分课时描述每个课时的学习活动设计。

请以活动1、活动2、活动3等的形式，提纲挈领地描述每个课时包含哪些学习活动以及每个活动的主要步骤。

注意，在这些学习活动中应通过对所设计的本专题的问题的探究完成学习任务）

【课时一】平行线

活动一：

复习三线八角

如图，直线a，b被直线c所截，形成的8个角中，其中同位角有4对，内错角有2对，同旁内角有2对．

活动二：

认识平行线

1、同一平面内两条直线的位置关系

1．平行线概念：

在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线．直线a与b平行，记作a∥b．

（画出图形）

2．同一平面内两条直线的位置关系有两种：

（1）相交；

（2）平行．

3．对平行线概念的理解：

两个关键：

一是“在同一个平面内”（举例说明）；二是“不相交”．

一个前提：

对两条直线而言．

4．平行线的画法

平行线的画法是几何画图的基本技能之一，在以后的学习中，会经常遇到画平行线的问题．方法为：

一“落”（三角板的一边落在已知直线上），二“靠”（用直尺紧靠三角板的另一边），三“移”（沿直尺移动三角板，直至落在已知直线上的三角板的一边经过已知点），四“画”（沿三角板过已知点的边画直线）

活动三.通过动手作图，认识平行公理

1．利用前面的教具，说明“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”．

2．平行公理：

经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．

提问垂线的性质，并进行比较．

比较平行公理和垂线的第一条性质.

共同点:

都是“有且只有一条直线”,这表明与已知直线平行或垂直的直线存在并且是唯一的.

不同点:

平行公理中所过的“一点”要在已知直线外,两垂线性质中对“一点”没有限制,可在直线上,也可在直线外.

3．平行公理推论：

如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．即：

如果b∥a，c∥a，那么b∥c．

4．简单应用.

练习:

如果多于两条直线,比如三条直线a、b、c与直线L都平行,那么这三条直线互相平行吗?

请说明理由.

本练习是让学生在反复运用平行公理推论中掌握平行公理推论以及说理规范.

四、作业：

课本P19.7,P20.11.

【课时二】平行线的判定

活动一：

如何画出平行线?

思考是什么决定了画出的两直线平行?

思考：

直线平行的条件

以前我们学过用直尺和三角尺画平行线，如图（课本P13图5.2-5）在三角板移动的过程中，什么没有变？

三角板经过点P的边与靠在直尺上的边所成的角没有变。

通过作图实践得到一条基本事实：

两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行.

简单地说:

同位角相等,两条直线平行.

符号语言：

∵∠1=∠2 ∴AB∥CD.

活动二：

如何利用基本事实推出平行的判定定理

如图，问题：

（1）如果∠2=∠3，能得出a∥b吗？

（2）如果∠2＋∠4＝180°，能得出a∥b吗？

小组合作交流：

如何通过数学语言证明结论

（1）∵∠2=∠3（已知）∠3=∠1（对顶角相等）

∴∠1=∠2（等量代换）

∴a∥b（同位角相等,两条直线平行）

判定定理:

两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行.

简单地说：

内错角相等,两直线平行.

符号语言：

∵∠2=∠3∴a∥b.

（2）∵∠4+∠2=180°,∠4+∠1=180°（已知）

∴∠2=∠1（同角的补角相等）

∴a∥b.（同位角相等,两条直线平行）

判定定理:

两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么两条直线平行.

简单地说：

同旁内角互补,两直线平行.

符号语言：

∵∠4+∠2=180°∴a∥b.

活动三.课堂小结：

怎样判断两条直线平行？

活动四.布置作业：

P161、2题；P174、5、6。

【课时三】证明过程的严密性

活动一.例1

例在同一平面内,如果两条直线都垂直于同一条直线,那么这两条直线平行吗?

为什么?

解：

这两条直线平行。

∵b⊥ac⊥a（已知）

∴∠1=∠2=90°（垂直的定义）

∴b∥c（同位角相等，两直线平行）

你还能用其它方法说明b∥c吗？

方法一：

如图

（1），利用“内错角相等,两直线平行”说明；方法二：

如图

（2），利用“同旁内角相等,两直线平行”说明.

（1）           

（2）

注意：

本例也是一个有用的结论。

该结论可以当作定理来用：

在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行。

用符号表示为:

 ∵b⊥ac⊥a ∴b∥c

活动二.例2

如图，点B在DC上，BE平分∠ABD,∠DBE=∠A,则BE∥AC,请说明理由。

分析：

由BE平分∠ABD我们可以知道什么？

联系∠DBE=∠A，我们又可以知道什么？

由此能得出BE∥AC吗？

为什么？

解：

∵BE平分∠ABD

∴∠ABE=∠DBE（角平分线的定义）

又∠DBE=∠A

∴∠ABE=∠A（等量代换）

∴BE∥AC（内错角相等，两直线平行）

注意：

用符号语言书写证明过程时，要步步有据。

活动三.例3

如图，FE∥DC，BC平分∠DCA,GE平分∠FEA，问EG与BC的关系,请说明理由。

解：

∵BC平分∠DCA,GE平分∠FEA，

∴∠GEC=0.5∠FEA ∠BCA=0.5∠DCA

又∵FE∥DC

∴∠DCA=∠FEA

∴∠GEC=∠BCA（等量代换）

∴BC∥GE（同位角相等，两直线平行）

思考：

活动一中可得出一个结论，活动三能否也得出一个类似的结论？

简述为：

∵FE∥DC

∵BC平分∠DCA,GE平分∠FEA，

∴BC∥GE

【该证明不够严密！

】

【引导学生体会：

逻辑思考与证明要有严密性，不能跨度太大，每一步证明都要有明显的逻辑关系，要步步有据】

活动四.布置作业：

：

课本P17第7题，P18第12题。

【课时四】逆向思维的培养

活动一.引导学生逆向思维

现在同学们已经掌握了利用同位角相等,或者内错角相等,