最新九年级数学二次函数应用题专题复习.docx

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最新九年级数学二次函数应用题专题复习

二次函数应用题专题复习（含答案）

例1、实验数据显示，一般成人喝半斤低度白酒后，1.5小时内其血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可近似地用二次函数y=﹣200x2+400x刻画；1.5小时后（包括1.5小时）y与x可近似地用反比例函数y=（k＞0）刻画（如图所示）．

（1）根据上述数学模型计算：

①喝酒后几时血液中的酒精含量达到最大值？

最大值为多少？

②当x=5时，y=45，求k的值．

（2）按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上20：

00在家喝完半斤低度白酒，第二天早上7：

00能否驾车去上班？

请说明理由．

例2、（2016•葫芦岛）某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系：

当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本．

（1）请直接写出y与x的函数关系式；

（2）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？

（3）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？

最大利润是多少？

例3、某商家计划从厂家采购空调和冰箱两种产品共20台，空调的采购单价y1（元/台）与采购数量x1（台）满足y1=﹣20x1+1500（0＜x1≤20，x1为整数）；冰箱的采购单价y2（元/台）与采购数量x2（台）满足y2=﹣10x2+1300（0＜x2≤20，x2为整数）．

（1）经商家与厂家协商，采购空调的数量不少于冰箱数量的

，且空调采购单价不低于1200元，问该商家共有几种进货方案？

（2）该商家分别以1760元/台和1700元/台的销售单价售出空调和冰箱，且全部售完．在

（1）的条件下，问采购空调多少台时总利润最大？

并求最大利润．

例4、九年级（3）班数学兴趣小组经过市场调查整理出某种商品在第x天（1≤x≤90，且x为整数）的售价与销售量的相关信息如下．已知商品的进价为30元/件，设该商品的售价为y（单位：

元/件），每天的销售量为p（单位：

件），每天的销售利润为w（单位：

元）．

时间x（天）

1

30

60

90

每天销售量p（件）

198

140

80

20

（1）求出w与x的函数关系式；

（2）问销售该商品第几天时，当天的销售利润最大？

并求出最大利润；

（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天的销售利润不低于5600元？

请直接写出结果．

例5、（2016•绥化）自主学习，请阅读下列解题过程．

解一元二次不等式：

x2﹣5x＞0．

解：

设x2﹣5x=0，解得：

x1=0，x2=5，则抛物线y=x2﹣5x与x轴的交点坐标为（0，0）和（5，0）．画出二次函数y=x2﹣5x的大致图象（如图所示），由图象可知：

当x＜0，或x＞5时函数图象位于x轴上方，此时y＞0，即x2﹣5x＞0，所以，一元二次不等式x2﹣5x＞0的解集为：

x＜0，或x＞5．

通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题：

（1）上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的　　和　．（只填序号）

①转化思想②分类讨论思想③数形结合思想

（2）一元二次不等式x2﹣5x＜0的解集为　　．

（3）用类似的方法解一元二次不等式：

x2﹣2x﹣3＞0．

例6、（2016•黄石）科技馆是少年儿童节假日游玩的乐园．

如图所示，图中点的横坐标x表示科技馆从8：

30开门后经过的时间（分钟），纵坐标y表示到达科技馆的总人数．图中曲线对应的函数解析式为y=

，10：

00之后来的游客较少可忽略不计．

（1）请写出图中曲线对应的函数解析式；

（2）为保证科技馆内游客的游玩质量，馆内人数不超过684人，后来的人在馆外休息区等待．从10：

30开始到12：

00馆内陆续有人离馆，平均每分钟离馆4人，直到馆内人数减少到624人时，馆外等待的游客可全部进入．请问馆外游客最多等待多少分钟？

对应练习：

1．一个小球被抛出后，如果距离地面的高度h（米）和运行时间t（秒）的函数解析式为h=﹣5t2+10t+1，那么小球到达最高点时距离地面的高度是（　　）

A．1米B．3米C．5米D．6米

2．某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车．已知在甲、乙两地的销售利润y（单位：

万元）与销售量x（单位：

辆）之间分别满足：

y1=﹣x2+10x，y2=2x，若该公司在甲，乙两地共销售15辆该品牌的汽车，则能获得的最大利润为（　　）

A．30万元B．40万元C．45万元D．46万元

3．向上发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y公尺，且时间与高度关系为y=ax2+bx．若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则在下列哪一个时间的高度是最高的（　　）

A．第9.5秒B．第10秒C．第10.5秒D．第11秒

4．如图是一副眼镜镜片下半部分轮廓对应的两条抛物线关于y轴对称．AB∥x轴，AB=4cm，最低点C在x轴上，高CH=1cm，BD=2cm．则右轮廓线DFE所在抛物线的函数解析式为（　　）

A．y=

（x+3）2B．y=

（x+3）2C．y=

（x﹣3）2D．y=

（x﹣3）2

5．烟花厂为国庆观礼特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是

，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（　　）

A．2sB．4sC．6sD．8s

6一小球被抛出后，距离地面的高度h（米）和飞行时间t（秒）满足下面函数关系式：

h=﹣5t2+20t﹣14，则小球距离地面的最大高度是（　　）

A．2米B．5米C．6米D．14米

7．烟花厂为成都春节特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是

，若这种礼炮在点火升空到最高点引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（　　）

A．3sB．4sC．5sD．6s

8．某车的刹车距离y（m）与开始刹车时的速度x（m/s）之间满足二次函数y=

（x＞0），若该车某次的刹车距离为5m，则开始刹车时的速度为（　　）

A．40m/sB．20m/sC．10m/sD．5m/s

9．如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2米，水面下降1米时，水面的宽度为　_________　米．

10．如图的一座拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是y=﹣

（x﹣6）2+4，则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是　_________　．

11．某种商品每件进价为20元，调查表明：

在某段时间内若以每件x元（20≤x≤30，且x为整数）出售，可卖出（30﹣x）件．若使利润最大，每件的售价应为　_________　元．

12．在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（0，1）、（4，2）、（2，6）．如果P（x，y）是△ABC围成的区域（含边界）上的点，那么当w=xy取得最大值时，点P的坐标是　_________　．

13．如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面的高度y（米）关于水平距离x（米）的函数解析式

，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为　_________　米．

14．某种工艺品利润为60元/件，现降价销售，该种工艺品销售总利润w（元）与降价x（元）的函数关系如图．这种工艺品的销售量为　_________　件（用含x的代数式表示）．

15．某机械公司经销一种零件，已知这种零件的成本为每件20元，调查发现当销售价为24元时，平均每天能售出32件，而当销售价每上涨2元，平均每天就少售出4件．

（1）若公司每天的现售价为x元时则每天销售量为多少？

（2）如果物价部门规定这种零件的销售价不得高于每件28元，该公司想要每天获得150元的销售利润，销售价应当为多少元？

16．某经销商销售一种产品，这种产品的成本价为10元/千克，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于18元/千克，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）之间的函数关系如图所示：

（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/千克）之间的函数关系式．当销售价为多少时，每天的销售利润最大？

最大利润是多少？

（3）该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少？

17．某研究所将某种材料加热到1000℃时停止加热，并立即将材料分为A、B两组，采用不同工艺做降温对比实验，设降温开始后经过xmin时，A、B两组材料的温度分别为yA℃、yB℃，yA、yB与x的函数关系式分别为yA=kx+b，yB=

（x﹣60）2+m（部分图象如图所示），当x=40时，两组材料的温度相同．

（1）分别求yA、yB关于x的函数关系式；

（2）当A组材料的温度降至120℃时，B组材料的温度是多少？

（3）在0＜x＜40的什么时刻，两组材料温差最大？

18．某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．

（1）求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；

（2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？

最大利润是多少？

（3）如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，且每天的总成本不超过7000元，那么销售单价应控制在什么范围内？

（每天的总成本=每件的成本×每天的销售量）

19．某种商品每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间满足关系：

y=ax2+bx﹣75．其图象如图所示．

（1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？

最大利润为多少元？

（2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？

参考答案与点评

例1、实验数据显示，一般成人喝半斤低度白酒后，1.5小时内其血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可近似地用二次函数y=﹣200x2+400x刻画；1.5小时后（包括1.5小时）y与x可近似地用反比例函数y=（k＞0）刻画（如图所示）．

（1）根据上述数学模型计算：

①喝酒后几时血液中的酒精含量达到最大值？

最大值为多少？

②当x=5时，y=45，求k的值．

（2）按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上20：

00在家喝完半斤低度白酒，第二天早上7：

00能否驾车去上班？

请说明理由．

考点：

二次函数的应用；反比例函数的应用

分析：

（1）①利用y=﹣200x2+400x=﹣200（x﹣1）2+200确定最大值；

②直接利用待定系数法求反比例函数解析式即可；

（2）求出x=11时，y的值，进而得出能否驾车去上班．

解答：

解：

（1）①y=﹣200x2+400x=﹣200（x﹣1）2+200，

∴喝酒后1时血液中的酒精含量达到最大值，最大值为200（毫克/百毫升）；

②∵当x=5时，y=45，y=（k＞0），

∴k=xy=45×5=225；

（2）不能驾车上班；

理由：

∵晚上20：

00到第二天早上7：

00，一共有11小时，

∴将x=11代入y=

，则y=

＞20，

∴第二天早上7：

00不能驾车去上班．

例2、（2016•葫芦岛）某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系：

当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本．

（1）请直接写出y与x的函数关系式；

（2）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？

（3）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？

最大利润是多少？

【分析】

（1）设y=kx+b，根据题意，利用待定系数法确定出y与x的函数关系式即可；

（2）根据题意结合销量×每本的利润=150，进而求出答案；

（3）根据题意结合销量×每本的利润=w，进而利用二次函数增减性求出答案．

【解答】解：

（1）设y=kx+b，

把（22，36）与（24，32）代入得：

，

解得：

，

则y=﹣2x+80；

（2）设当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是x元，

根据题意得：

（x﹣20）y=150，

则（x﹣20）（﹣2x+80）=150，

整理得：

x2﹣60x+875=0，

（x﹣25）（x﹣35）=0，

解得：

x1=25，x2=35（不合题意舍去），

答：

每本纪念册的销售单价是25元；

（3）由题意可得：

w=（x﹣20）（﹣2x+80）

=﹣2x2+120x﹣1600

=﹣2（x﹣30）2+200，

此时当x=30时，w最大，

又∵售价不低于20元且不高于28元，

∴x＜30时，y随x的增大而增大，即当x=28时，w最大=﹣2（28﹣30）2+200=192（元），

答：

该纪念册销售单价定为28元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是192元．

【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及一元二次方程的应用、待定系数法求一次函数解析式等知识，正确利用销量×每本的利润=w得出函数关系式是解题关键．

例3、某商家计划从厂家采购空调和冰箱两种产品共20台，空调的采购单价y1（元/台）与采购数量x1（台）满足y1=﹣20x1+1500（0＜x1≤20，x1为整数）；冰箱的采购单价y2（元/台）与采购数量x2（台）满足y2=﹣10x2+1300（0＜x2≤20，x2为整数）．

（1）经商家与厂家协商，采购空调的数量不少于冰箱数量的

，且空调采购单价不低于1200元，问该商家共有几种进货方案？

（2）该商家分别以1760元/台和1700元/台的销售单价售出空调和冰箱，且全部售完．在

（1）的条件下，问采购空调多少台时总利润最大？

并求最大利润．

考点：

二次函数的应用；一元一次不等式组的应用．菁优网

分析：

（1）设空调的采购数量为x台，则冰箱的采购数量为（20﹣x）台，然后根据数量和单价列出不等式组，求解得到x的取值范围，再根据空调台数是正整数确定进货方案；

（2）设总利润为W元，根据总利润等于空调和冰箱的利润之和整理得到W与x的函数关系式并整理成顶点式形式，然后根据二次函数的增减性求出最大值即可．

解答：

解：

（1）设空调的采购数量为x台，则冰箱的采购数量为（20﹣x）台，

由题意得，

，

解不等式①得，x≥11，

解不等式②得，x≤15，

所以，不等式组的解集是11≤x≤15，

∵x为正整数，

∴x可取的值为11、12、13、14、15，

所以，该商家共有5种进货方案；

（2）设总利润为W元，

y2=﹣10x2+1300=﹣10（20﹣x）+1300=10x+1100，

则W=（1760﹣y1）x1+（1700﹣y2）x2，

=1760x﹣（﹣20x+1500）x+（1700﹣10x﹣1100）（20﹣x），

=1760x+20x2﹣1500x+10x2﹣800x+12000，

=30x2﹣540x+12000，

=30（x﹣9）2+9570，

当x＞9时，W随x的增大而增大，

∵11≤x≤15，

∴当x=15时，W最大值=30（15﹣9）2+9570=10650（元），

答：

采购空调15台时，获得总利润最大，最大利润值为10650元．

点评：

本题考查了二次函数的应用，一元一次不等式组的应用，

（1）关键在于确定出两个不等关系，

（2）难点在于用空调的台数表示出冰箱的台数并列出利润的表达式．

例4、九年级（3）班数学兴趣小组经过市场调查整理出某种商品在第x天（1≤x≤90，且x为整数）的售价与销售量的相关信息如下．已知商品的进价为30元/件，设该商品的售价为y（单位：

元/件），每天的销售量为p（单位：

件），每天的销售利润为w（单位：

元）．

时间x（天）

1

30

60

90

每天销售量p（件）

198

140

80

20

（1）求出w与x的函数关系式；

（2）问销售该商品第几天时，当天的销售利润最大？

并求出最大利润；

（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天的销售利润不低于5600元？

请直接写出结果．

【分析】

（1）当1≤x≤50时，设商品的售价y与时间x的函数关系式为y=kx+b，由点的坐标利用待定系数法即可求出此时y关于x的函数关系式，根据图形可得出当50＜x≤90时，y=90．再结合给定表格，设每天的销售量p与时间x的函数关系式为p=mx+n，套入数据利用待定系数法即可求出p关于x的函数关系式，根据销售利润=单件利润×销售数量即可得出w关于x的函数关系式；

（2）根据w关于x的函数关系式，分段考虑其最值问题．当1≤x≤50时，结合二次函数的性质即可求出在此范围内w的最大值；当50＜x≤90时，根据一次函数的性质即可求出在此范围内w的最大值，两个最大值作比较即可得出结论；

（3）令w≥5600，可得出关于x的一元二次不等式和一元一次不等式，解不等式即可得出x的取值范围，由此即可得出结论．

【解答】解：

（1）当1≤x≤50时，设商品的售价y与时间x的函数关系式为y=kx+b（k、b为常数且k≠0），

∵y=kx+b经过点（0，40）、（50，90），

∴

，解得：

，

∴售价y与时间x的函数关系式为y=x+40；

当50＜x≤90时，y=90．

∴售价y与时间x的函数关系式为y=

．

由数据可知每天的销售量p与时间x成一次函数关系，

设每天的销售量p与时间x的函数关系式为p=mx+n（m、n为常数，且m≠0），

∵p=mx+n过点（60，80）、（30，140），

∴

，解得：

，

∴p=﹣2x+200（0≤x≤90，且x为整数），

当1≤x≤50时，w=（y﹣30）•p=（x+40﹣30）（﹣2x+200）=﹣2x2+180x+2000；

当50＜x≤90时，w=（90﹣30）（﹣2x+200）=﹣120x+12000．

综上所示，每天的销售利润w与时间x的函数关系式是w=

．

（2）当1≤x≤50时，w=﹣2x2+180x+2000=﹣2（x﹣45）2+6050，

∵a=﹣2＜0且1≤x≤50，

∴当x=45时，w取最大值，最大值为6050元．

当50＜x≤90时，w=﹣120x+12000，

∵k=﹣120＜0，w随x增大而减小，

∴当x=50时，w取最大值，最大值为6000元．

∵6050＞6000，

∴当x=45时，w最大，最大值为6050元．

即销售第45天时，当天获得的销售利润最大，最大利润是6050元．

（3）当1≤x≤50时，令w=﹣2x2+180x+2000≥5600，即﹣2x2+180x﹣3600≥0，

解得：

30≤x≤50，

50﹣30+1=21（天）；

当50＜x≤90时，令w=﹣120x+12000≥5600，即﹣120x+6400≥0，

解得：

50＜x≤53

，

∵x为整数，

∴50＜x≤53，

53﹣50=3（天）．

综上可知：

21+3=24（天），

故该商品在销售过程中，共有24天每天的销售利润不低于5600元．

【点评】本题考查了二次函数的应用、一元一次不等式的应用、一元二次不等式的应用以及利用待定系数法求函数解析式，解题的关键：

（1）根据点的坐标利用待定系数法求出函数关系式；

（2）利用二次函数与一次函数的性质解决最值问题；（3）得出关于x的一元一次和一元二次不等式．本题属于中档题，难度不大，但较繁琐，解决该题型题目时，根据给定数量关系，找出函数关系式是关键．

例5、（2016•绥化）自主学习，请阅读下列解题过程．

解一元二次不等式：

x2﹣5x＞0．

解：

设x2﹣5x=0，解得：

x1=0，x2=5，则抛物线y=x2﹣5x与x轴的交点坐标为（0，0）和（5，0）．画出二次函数y=x2﹣5x的大致图象（如图所示），由图象可知：

当x＜0，或x＞5时函数图象位于x轴上方，此时y＞0，即x2﹣5x＞0，所以，一元二次不等式x2﹣5x＞0的解集为：

x＜0，或x＞5．

通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题：

（1）上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的　①　和　③　．（只填序号）

①转化思想②分类讨论思想③数形结合思想

（2）一元二次不等式x2﹣5x＜0的解集为　0＜x＜5　．

（3）用类似的方法解一元二次不等式：

x2﹣2x﹣3＞0．

【分析】

（1）根据题意容易得出结论；

（2）由图象可知：

当0＜x＜5时函数图象位于x轴下方，此时y＜0，即x2﹣5x＜0，即可得出结果；

（3）设x2﹣2x﹣3=0，解方程得出抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴的交点坐标，画出二次函数y=x2﹣，2x﹣3的大致图象，由图象可知：

当x＜﹣1，或x＞5时函数图象位于x轴上方，此时y＞0，即x2﹣5=2x﹣3＞0，即可得出结果．

【解答】解：

（1）上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的①和③；

故答案为：

①，③；

（2）由图象可知：

当0＜x＜5时函数图象位于x轴下方，

此时y＜0，即x2﹣5x＜0，

∴一元二次不等式x2﹣5x＜0的解集为：

0＜x＜5；

故答案为：

0＜x＜5．

（3）设x2﹣2x﹣3=0，

解得：

x1=3，x2=﹣1，

∴抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴的交点坐标为（3，0）和（﹣1，0）．

画出二次函数y=x2﹣2x﹣3的大致图象（如图所示），

由图象可知：

当x＜﹣1，或x＞3时函数图象位于x轴上方，

此时y＞0，即x2﹣2x﹣3＞0，

∴一元二次不等式x2﹣2x﹣3＞0的解集为：

x＜﹣1，或x＞3．

【点评】本题考查了二次函数与不等式组的关系、二次函数的图象、抛物线与x轴的交点坐标、一元二次方程的解法等知识；熟练掌握二次函数与不等式组的关系是解决问题的关键．

例6、（2016•黄石）科技馆是少年儿童节假日游玩的乐园．

如图所示，图中点的横坐标x表示科技馆从8：

30开门后经过的时间（分钟），纵坐标y表示到达科技馆的总人数．图中曲线对应的函数解析式为y=

，10：

00之后来的游客较少可忽略不计．

（1）请写出图中曲线对应的函数解析式；

（2）为保证科技馆内游客的游玩质量，馆内人数不超过684人，后来的人在馆外休息区等待．从10：

30开始到12：

00馆内陆续有人离馆，平均每分钟离馆4人，直到馆内人数减少到624人时，馆外等待的游客可全部进入．请问馆外游客最多等待多少分钟？

【分析】

（1）构建待定系数法即可解决问题．

（2）先求出馆内人数等于684人时的时间，再求出直到馆内人数减少到624人时的时间，即可解决问题．

【解答】解

（1）由图象可知，300=a×302，解得a=

，

n=7