第一章 集合与常用逻辑用语12.docx

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第一章集合与常用逻辑用语12

1．四种命题及相互关系

2．四种命题的真假关系

（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

（2）两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．

3．充分条件与必要条件

（1）如果p⇒q，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；

（2）如果p⇒q，但q

p，则p是q的充分不必要条件；

（3）如果p⇒q，且q⇒p，则p是q的充要条件；

（4）如果q⇒p，且p

q，则p是q的必要不充分条件；

（5）如果p

q，且q

p，则p是q的既不充分又不必要条件．

【知识拓展】

1．两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性．

2．两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．

3．若A＝{x|p（x）}，B＝{x|q（x）}，则

（1）若A⊆B，则p是q的充分条件；

（2）若A⊇B，则p是q的必要条件；

（3）若A＝B，则p是q的充要条件；

（4）若AB，则p是q的充分不必要条件；

（5）若AB，则p是q的必要不充分条件；

（6）若A

B且A⊉B，则p是q的既不充分又不必要条件．

【思考辨析】

判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）

（1）“x2＋2x－3<0”是命题．（　×　）

（2）命题“α＝

，则tanα＝1”的否命题是“若α＝

，则tanα≠1”．（　×　）

（3）若一个命题是真命题，则其逆否命题是真命题．（　√　）

（4）当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．（　√　）

（5）当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立．（　√　）

（6）若p是q的充分不必要条件，则綈p是綈q的必要不充分条件．（　√　）

1．命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是（　　）

A．“若x

C．“若x>y，则x2>y2”D．“若x≥y，则x2≥y2”

答案　B

解析　根据原命题和其逆否命题的条件和结论的关系，得命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是“若x≤y，则x2≤y2”．

2．已知命题p：

若x＝－1，则向量a＝（1，x）与b＝（x＋2，x）共线，则在命题p的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为（　　）

A．0B．2C．3D．4

答案　B

解析　向量a，b共线⇔x－x（x＋2）＝0⇔x＝0或x＝－1，

∴命题p为真，其逆命题为假，

故在命题p的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为2.

3．（2015·重庆）“x＞1”是“

”的（　　）

A．充要条件B．充分而不必要条件

C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件

答案　B

解析　x＞1⇒x＋2＞3⇒

，

⇒x＋2＞1⇒x＞－1，故“x＞1”是“

”成立的充分不必要条件．因此选B.

4．已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的（　　）

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

答案　A

解析　a＝3时A＝{1,3}，显然A⊆B.

但A⊆B时，a＝2或3.所以A正确．

5．（教材改编）下列命题：

①x＝2是x2－4x＋4＝0的必要不充分条件；

②圆心到直线的距离等于半径是这条直线为圆的切线的充分必要条件；

③sinα＝sinβ是α＝β的充要条件；

④ab≠0是a≠0的充分不必要条件．

其中为真命题的是________（填序号）．

答案　②④

题型一　命题及其关系

例1　

（1）命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数“的逆否命题是（　　）

A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数

B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数

C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数

D．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数

（2）原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（　　）

A．真，假，真B．假，假，真

C．真，真，假D．假，假，假

答案　

（1）C　

（2）B

解析　

（1）由于“x，y都是偶数”的否定表达是“x，y不都是偶数”，“x＋y是偶数”的否定表达是“x＋y不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x＋y不是偶数，则x，y不都是偶数”．

（2）先证原命题为真：

当z1，z2互为共轭复数时，设z1＝a＋bi（a，b∈R），则z2＝a－bi，则|z1|＝|z2|＝

，

∴原命题为真，故其逆否命题为真；再证其逆命题为假：

取z1＝1，z2＝i，满足|z1|＝|z2|，但是z1，z2不互为共轭复数，∴其逆命题为假，故其否命题也为假，故选B.

思维升华　

（1）写一个命题的其他三种命题时，需注意：

①对于不是“若p，则q“形式的命题，需先改写；

②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．

（2）判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例．

（3）根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．

（1）命题“若α＝

，则cosα＝

”的逆命题是（　　）

A．若α＝

，则cosα≠

B．若α≠

，则cosα≠

C．若cosα＝

，则α＝

D．若cosα≠

，则α≠

（2）命题“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是（　　）

A．若a2＋b2≠0，则a≠0且b≠0

B．若a2＋b2≠0，则a≠0或b≠0

C．若a＝0且b＝0，则a2＋b2≠0

D．若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0

答案　

（1）C　

（2）D

解析　

（1）命题“若α＝

，则cosα＝

”的逆命题是“若cosα＝

，则α＝

”．

（2）“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是“若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0”，故选D.

题型二　充分必要条件的判定

例2　

（1）（2015·四川）设a，b都是不等于1的正数，则“3a＞3b＞3”是“loga3＜logb3”的（　　）

A．充要条件B．充分不必要条件

C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件

（2）已知A，B，C为△ABC三个内角，则“cosA＋sinA＝cosB＋sinB”是“∠C＝90°”的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

答案　

（1）B　

（2）B

解析　

（1）根据指数函数的单调性得出a，b的大小关系，然后进行判断．

∵3a>3b>3，∴a>b>1，此时loga33b>3，例如当a＝

，b＝

时，loga3b>1.故“3a>3b>3”是“loga3

（2）由cosA＋sinA＝cosB＋sinB两边平方，得sin2A＝sin2B，故A＝B或A＋B＝

，故“cosA＋sinA＝cosB＋sinB”是“∠C＝90°”的必要不充分条件．故选B.

思维升华　充要条件的三种判断方法

（1）定义法：

根据p⇒q，q⇒p进行判断；

（2）集合法：

根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断；

（3）等价转化法：

根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的某种条件，即可转化为判断“x＝1且y＝1”是“xy＝1”的某种条件．

（1）（2015·陕西）“sinα＝cosα”是“cos2α＝0”的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

（2）若命题p：

φ＝

＋kπ，k∈Z，命题q：

f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω≠0）是偶函数，则p是q的（　　）

A．充要条件B．充分不必要条件

C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件

答案　

（1）A　

（2）A

解析　

（1）∵sinα＝cosα⇒cos2α＝cos2α－sin2α＝0；cos2α＝0⇔cosα＝±sinα⇒/sinα＝cosα，故选A.

（2）当φ＝

＋kπ，k∈Z时，f（x）＝±cosωx是偶函数，所以p是q的充分条件；若函数f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω≠0）是偶函数，则sinφ＝±1，即φ＝

＋kπ，k∈Z，所以p是q的必要条件，故p是q的充要条件，故选A.

题型三　充分必要条件的应用

例3　已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围．

解　由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，

∴P＝{x|－2≤x≤10}，

由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P.

则

∴当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是[0,3]．

引申探究

1．本例条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．

解　若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，

∴

∴

即不存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．

2．本例条件不变，若x∈綈P是x∈綈S的必要不充分条件，求实数m的取值范围．

解　由例题知P＝{x|－2≤x≤10}，

∵綈P是綈S的必要不充分条件，

∴P⇒S且S⇒/P.

∴[－2,10][1－m,1＋m]．

∴

或

∴m≥9，即m的取值范围是[9，＋∞）．

思维升华　充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：

（1）把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（或不等式组）求解．

（2）要注意区间端点值的检验．

（1）ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是（　　）

A．0

C．a≤1D．0

（2）已知p：

m－1

（x－2）（x－6）<0，且q是p的必要不充分条件，则m的取值范围是（　　）

A．3

C．m>5或m<3D．m≥5或m≤3

答案　

（1）C　

（2）B

解析　

（1）方法一　当a＝0时，原方程为一元一次方程2x＋1＝0，有一个负实根．

当a≠0时，原方程为一元二次方程，有实根的充要条件是Δ＝4－4a≥0，即a≤1.

设此时方程的两根分别为x1，x2，

则x1＋x2＝－

，x1x2＝

，

当只有一个负实根时，

⇒a<0；

当有两个负实根时，

综上所述，a≤1.

方法二　（排除法）当a＝0时，原方程有一个负实根，可以排除A，D；当a＝1时，原方程有两个相等的负实根，可以排除B.

（2）p：

m－1

2

∵q是p的必要不充分条件，{x|m－1

∴

且等号不能同时取到，∴3≤m≤5；

∴m的取值范围为[3,5]．故选B.

1．等价转化思想在充要条件中的应用

典例　

（1）已知p：

（a－1）2≤1，q：

任意x∈R，ax2－ax＋1≥0，则p是q成立的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

（2）已知条件p：

x2＋2x－3>0；条件q：

x>a，且綈q的一个充分不必要条件是綈p，则a的取值范围是（　　）

A．[1，＋∞）B．（－∞，1]

C．[－1，＋∞）D．（－∞，－3]

解析　

（1）由（a－1）2≤1解得0≤a≤2，

∴p：

0≤a≤2.

当a＝0时，ax2－ax＋1≥0对任意x∈R恒成立；

当a≠0时，由

得0

∴q：

0≤a≤4.

∴p是q成立的充分不必要条件．

（2）由x2＋2x－3>0，得x<－3或x>1，由綈q的一个充分不必要条件是綈p，可知綈p是綈q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件．

∴{x|x>a}{x|x<－3或x>1}，∴a≥1.

答案　

（1）A　

（2）A

温馨提醒　

（1）本题用到的等价转化

①将綈p，綈q之间的关系转化成p，q之间的关系．

②将条件之间的关系转化成集合之间的关系．

（2）对一些复杂、生疏的问题，利用等价转化思想转化成简单、熟悉的问题，在解题中经常用到．

[方法与技巧]

1．写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写；在判断原命题、逆命题、否命题以及逆否命题的真假时，要借助原命题与其逆否命题同真或同假，逆命题与否命题同真或同假来判定．

2．充要条件的几种判断方法

（1）定义法：

直接判断若p则q、若q则p的真假．

（2）等价法：

即利用A⇒B与綈B⇒綈A；B⇒A与綈A⇒綈B；A⇔B与綈B⇔綈A的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法．

（3）利用集合间的包含关系判断：

设A＝{x|p（x）}，B＝{x|q（x）}：

若A⊆B，则p是q的充分条件或q是p的必要条件；若AB，则p是q的充分不必要条件，若A＝B，则p是q的充要条件．

[失误与防范]

1．当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提．

2．判断命题的真假及写四种命题时，一定要明确命题的结构，可以先把命题改写成“若p，则q”的形式．

3．判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，正确理解“p的一个充分而不必要条件是q”等语言．

A组　专项基础训练

（时间：

30分钟）

1．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是（　　）

A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”

B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”

C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”

D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”

答案　B

解析　依题意，得原命题的逆命题：

若一个数的平方是正数，则它是负数．

2．（2015·天津）设x∈R，则“1＜x＜2”是“|x－2|＜1”的（　　）

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

答案　A

解析　由|x－2|＜1得1＜x＜3，所以1＜x＜2⇒1＜x＜3；但1＜x＜3⇒/1＜x＜2，故选A.

3．（2015·浙江）设a，b是实数，则“a＋b＞0”是“ab＞0”的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

答案　D

解析　当a＝3，b＝－1时，a＋b＞0，但ab＜0，故充分性不成立；当a＝－1，b＝－2时，ab＞0，而a＋b＜0.故必要性不成立．故选D.

4．下列结论错误的是（　　）

A．命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题为“若x≠4，则x2－3x－4≠0”

B．“x＝4”是“x2－3x－4＝0”的充分条件

C．命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆命题为真命题

D．命题“若m2＋n2＝0，则m＝0且n＝0”的否命题是“若m2＋n2≠0，则m≠0或n≠0”

答案　C

解析　C项命题的逆命题为“若方程x2＋x－m＝0有实根，则m>0”．若方程有实根，则Δ＝1＋4m≥0，

即m≥－

，不能推出m>0.所以不是真命题，故选C.

5．已知A，B是非空集合，条件甲：

A∪B＝B，条件乙：

AB，那么（　　）

A．甲是乙的充分不必要条件

B．甲是乙的必要不充分条件

C．甲是乙的充要条件

D．甲是乙的既不充分也不必要条件

答案　B

解析　若AB，则A∪B＝B，反之A∪B＝B，则A⊆B，故甲是乙的必要不充分条件．故选B.

6．设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

答案　A

解析　因为菱形的对角线互相垂直，所以“四边形ABCD为菱形”⇒“AC⊥BD”，所以“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分条件；又因为对角线垂直的四边形不一定是菱形，所以“AC⊥BD”

“四边形ABCD为菱形”，所以“四边形ABCD为菱形”不是“AC⊥BD”的必要条件．

综上，“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件．

7．“a≠5且b≠－5”是“a＋b≠0”的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

答案　D

解析　“a≠5且b≠－5”推不出“a＋b≠0”，例如a＝2，b＝－2时，a＋b＝0；“a＋b≠0”推不出“a≠5且b≠－5”，例如a＝5，b＝－6.故“a≠5且b≠－5”是“a＋b≠0”的既不充分也不必要条件．故选D.

8．“3

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

答案　A

解析　“函数f（x）＝ax＋3在（－1,2）上存在零点”⇔f（－1）·f

（2）<0⇔a<－

或a>3.故选A.

9．“若a≤b，则ac2≤bc2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是________．

答案　2

解析　其中原命题和逆否命题为真命题，逆命题和否命题为假命题．

10．若xm＋1是x2－2x－3>0的必要不充分条件，则实数m的取值范围是________．

答案　[0,2]

解析　由已知易得{x|x2－2x－3>0}{x|xm＋1}，又{x|x2－2x－3>0}＝{x|x<－1或x>3}，

∴

或

∴0≤m≤2.

11．给定两个命题p、q，若綈p是q的必要而不充分条件，则p是綈q的________条件．

答案　充分不必要

解析　若綈p是q的必要不充分条件，则q⇒綈p但綈p⇒/q，其逆否命题为p⇒綈q但綈q⇒/p，所以p是綈q的充分不必要条件．

12．下列命题：

①若ac2>bc2，则a>b；

②若sinα＝sinβ，则α＝β；

③“实数a＝0”是“直线x－2ay＝1和直线2x－2ay＝1平行”的充要条件；

④若f（x）＝log2x，则f（|x|）是偶函数．

其中正确命题的序号是________．

答案　①③④

解析　对于①，ac2>bc2，c2>0，∴a>b正确；

对于②，sin30°＝sin150°⇒/30°＝150°，

所以②错误；

对于③，l1∥l2⇔A1B2＝A2B1，即－2a＝－4a⇒a＝0且A1C2≠A2C1，所以③正确；

④显然正确．

B组　专项能力提升

（时间：

15分钟）

13．已知a，b为实数，且ab≠0，则下列命题错误的是（　　）

A．若a>0，b>0，则

≥

B．若

≥

，则a>0，b>0

C．若a≠b，则

>

D．若

>

，则a≠b

答案　C

解析　选项A，由基本不等式可得：

若a>0，b>0，则

≥

，故A正确；

选项B，由

有意义可得a，b不可能异号，结合

≥

可得a≥0，b≥0，由ab≠0可得a≠0，b≠0，故可得a>0，b>0，故B正确；

选项C，需满足a，b同为正数才成立，若a＝－1，b＝2，显然满足a≠b，但

无意义，故C错误；

选项D，把

>

的两边分别平方，整理可得（a－b）2>0，显然a≠b，故D正确．故选C.

14．（2015·湖北）设a1，a2，…，an∈R，n≥3.若p：

a1，a2，…，an成等比数列；q：

（a

＋a

＋…＋a

）（a

＋a

＋…＋a

）＝（a1a2＋a2a3＋…＋an－1an）2，则（　　）

A．p是q的必要条件，但不是q的充分条件

B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件

C．p是q的充分必要条件

D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件

答案　B

解析　若p成立，设a1，a2，…，an的公比为q，则（a

＋a

＋…＋a

）（a

＋a

＋…＋a

）＝a

（1＋q2＋…＋q2n－4）·a

（1＋q2＋…＋q2n－4）＝a

a

（1＋q2＋…＋q2n－4）2，（a1a2＋a2a3＋…＋an－1an）2＝（a1a2）2（1＋q2＋…＋q2n－4）2，故q成立，故p是q的充分条件．取a1＝a2＝…＝an＝0，则q成立，而p不成立，故p不是q的必要条件，故选B.

15．（2015·浙江）设A，B是有限集，定义：

d（A，B）＝card（A∪B）－card（A∩B），其中card（A）表示有限集A中元素的个数，

命题①：

对任意有限集A，B，“A≠B”是“d（A，B）＞0”的充分必要条件；

命题②：

对任意有限集A，B，C，d（A，C）≤d（A，B）＋d（B，C），（　　）

A．命题①和命题②都成立

B．命题①和命题②都不成立

C．命题①成立，命题②不成立

D．命题①不成立，命题②成立

答案　A

解析　命题①成立，若A≠B，则card（A∪B）>card（A∩B），所以d（A，B）＝card（A∪B）－card（A∩B）>0.反之可以把上述过程逆推，故“A≠B”是“d（A，B）>0”的充分必要条件；

命题②成立，由Venn图，

知card（A∪B）＝card（A）＋card（B）－card（A∩B），

d（A，C）＝card（A）＋card（C）－2card（A∩C），

d（B，C）＝card（B）＋card（C）－2card（B∩C），

∴d（A，B）＋d（B，C）－d（A，C）

＝card（A）＋card（B）－2card（A∩B）＋card（B）＋card（C）－2card（B∩C）－[card（A）＋card（C）－2card（A∩C）]

＝2card（B）－2card（A∩B）－2card（B∩C）＋2card（A∩C）

＝2card（B）＋2card（A∩C）－2[card（A∩B）＋card（B∩C）]

≥2card（B）＋2card（A∩C）－2[card（（A∪C）∩B）＋card（A∩B∩C）]

＝[2card（B）－2（card（A∪C）∩B）]＋[2card（A∩C）－2card（A∩B∩C）]≥0，

∴d（A，C）≤d（A，B）＋d（B，C）得证．

16．如果对于任意实数x，[x]表示不超过x的最大整数，那么“[x]＝[y]”是“|x－y|<1成立”的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

答案　A

解析　若[x]＝[y]，则|x－y|<1；反之，若|x－y|<1，如取x＝1.1，y＝0.9，则[x]≠[y]，即“[x]＝[y]”是“|x－y|<1成立”的充分不必要条件．故选A.

17．已知集合A＝

，B＝{x|－1

答案　（2，＋∞）

解析　A＝

＝{x|－1

∵x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，

∴AB，∴m＋1>3，即m>2.

18．下列四个结论中：

①“λ＝0”是“λa＝0”的充分不必要条件；②在△ABC中，“AB2＋AC2＝BC2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件；③若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b全不为零”的充要条件；④若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为零”的充要条件．

正确的