第一章集合与常用逻辑用语复习讲解.docx
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第一章集合与常用逻辑用语复习讲解
第一篇 教材复习讲义篇
第1节 集 合
◆考纲·了然于胸◆
1．了解集合的含义、元素与集合的属于关系．
2．能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题．
3．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．
4．在具体情境中，了解全集与空集的含义．
5．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．
6．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．
[要点梳理]
1．集合的概念与表示
（1）集合中元素的三个特征：
确定性、互异性、无序性．
（2）元素与集合的关系有属于和不属于两种，表示符号为∈或∉.
（3）集合的表示方法有列举法、描述法和维恩（Venn）图．
（4）常见集合的符号表示
数集
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
复数集
符号
N
N＋或N*
Z
Q
R
C
2．集合间的基本关系
表示
关系
文字语言
符号语言
相等
集合A与集合B中的所有元素都相同
A⊆B，B⊆A⇔A＝B
子集
集合A中任意一个元素都是集合B的元素
A⊆B或B⊇A
真子集
集合A中任意一元素均为集合B的元素，且集合B中至少有一个元素不是集合A中的元素
AB或BA
空集
空集是任意一个集合的子集，是任何非空集合的真子集
∅⊆A，∅B（B≠∅）
3．集合的基本运算
集合的并集
集合的交集
集合的补集
图形
符号
A∪B＝{x|x∈A或x∈B}
A∩B＝{x|x∈A且x∈B}
∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}
质疑探究：
对于集合A、B，若A∪B⊆A∩B，那么A与B之间有什么关系？
提示：
因为A∪B⊆A∩B，从而有A∩B＝A∪B，所以必有A＝B.
4．集合的运算性质
并集的性质：
A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A.
交集的性质：
A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B.
补集的性质：
A∪（∁UA）＝U；A∩（∁UA）＝∅；∁U（∁UA）＝A.
[小题查验]
1．设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，则∁UM等于（ ）
A．UB．{1,3,5}C．{3,5,6}D．{2,4,6}
2．（2016·宁德质检）已知集合A＝{0,1}，B＝{－1,0，a＋2}，若A⊆B，则a的值为（ ）
A．－2B．－1C．0D．1
3．（2015·新课标卷Ⅰ）已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6,8,10,12,14}，则集合A∩B中元素的个数为（ ）
A．5B．4C．3D．2
4．给出下列命题：
①空集是任何集合的子集，两元素集合是三元素集合的子集．②a在集合A中，可用符号表示为a⊆A.
③N⊆N*⊆Z④（A∩B）⊆（A∪B），（∁UA）∪A＝U.其中真命题的是________．（写出所有真命题的序号）
5．（2016·中原名校联盟一模）设A＝{1,4,2x}，若B＝{1，x2}，若B⊆A，则x＝________.
考点一 集合的基本概念（基础型考点——自主练透）
[方法链接]
1．研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性，对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性．
2．对于集合相等首先要分析已知元素与另一个集合中哪一个元素相等，分几种情况列出方程（组）进行求解，要注意检验是否满足互异性．
[题组集训]
1．（2016·洛阳统考）已知集合A＝{1,2,4}，则集合B＝{（x，y）|x∈A，y∈A}中元素的个数为（ ）
A．3B．6C．8D．9
2．设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝
，则b－a＝______________.
3．已知集合M＝{1，m＋2，m2＋4}，且5∈M，则m的值为____________．
考点二 集合间的基本关系（重点型考点——师生共研）
【例】
（1）（2016·临沂模拟）已知集合A＝{x|ax＝1}，B＝{x|x2－1＝0}，若A⊆B，则a的取值构成的集合是（ ）
A．{－1} B．{1}C．{－1,1}D．{－1,0,1}
（2）已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1＜x＜2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围是________．
互动探究 本例
（1）中若A＝{x|ax＞1（a≠0）}，B＝{x|x2－1＞0}，其它条件不变，则a的取值范围是________．
【名师说“法”】
（1）由集合的关系求参数的关键点：
由两集合的关系求参数，其关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图帮助分析，而且常要对参数进行讨论，注意区间端点的取舍．
（2）解决集合相等问题的一般思路：
若两个集合相等，首先分析某一集合的已知元素在另一个集合中与哪一个元素相等，有几种情况，然后列方程（组）求解．
提醒：
解决两个集合的包含关系时，要注意空集的情况．
跟踪训练
（1）若集合A＝{0,1,2，x}，B＝{1，x2}，A∪B＝A，则满足条件的实数x有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
（2）已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝（－∞，a），若A⊆B，则实数a的取值范围是（c，＋∞），其中c＝________.
考点三 集合的基本运算（高频型考点——全面发掘）
[考情聚焦]
角度一 求交集
1．（2015·高考新课标卷Ⅱ）已知集合A＝{－2，－1,0,1,2}，B＝{x|（x－1）（x＋2）＜0}，则A∩B＝（ ）
A．{－1,0}B．{0,1}C．{－1,0,1}D．{0,1,2}
角度二 求并集
2．（2016·南昌模拟）集合M＝{x|x2＋px＋2＝0}，N＝{x|x2＋x－q＝0}，M∩N＝{2}，则M∪N＝（ ）
A．{1,2，－3}B．{1,2,3}C．{1，－2,3}D．{－1,2,3}
角度三 集合的交、并、补的综合运算
3．（2016·湖州模拟）已知全集为R，集合A＝{x|ex≥1}，B＝{x|x2－4x＋3≤0}，则A∩（∁RB）＝（ ）
A．{x|x≤0}B．{x|1≤x≤3}C．{x|0≤x＜1或x＞3}D．{x|0＜x≤1或x≥3}
角度四 利用集合的基本运算求参数的取值（范围）
4．（2016·宁波模拟）已知集合A＝{x|x≤a}，B＝{x|1≤x≤2}，且A∪∁RB＝R，则实数a的取值范围是________．
[通关锦囊]
集合基本运算的常见题型与破解策略：
重点题型
破解策略
求并集、交集或补集
一般是先解方程或不等式化简集合，再由并集、交集或补集的定义求解
交、并、补的混合运算
先算括号里面的，再按运算的顺序求解
利用集合的基本运算求参数的取值（范围）
数形结合思想的运用，利用好数轴、Venn图等.
[题组集训]
1．（2016·广东七校联考）已知集合A＝{x|0＜log4x＜1}，B＝{x|x≤2}，则A∩B＝（ ）
A．（0,1）B．（0,2]C．（1,2）D．（1,2]
2．（2016·济南模拟）已知集合P＝{log2x4,3}，Q＝{x，y}，若P∩Q＝{2}，则P∪Q等于（ ）
A．{2,3}B．{1,2,3}C．{1，－1,2,3}D．{2,3，x，y}
3．（2016·宜宾模拟）已知集合M＝{y|y＝x2－2}，集合N＝{x|y＝x2－2}，则有（ ）
A．M＝NB．M∩（∁RN）＝∅C．N∩（∁RM）＝∅D．N⊆M
创新探究1 以集合为载体的创新型问题
以集合为载体的创新型问题，是高考命题创新型试题的一个热点，常见的命题形式有新概念、新法则、新运算以及创新交汇等，此类问题中集合只是基本的依托，考查的是考生创造性解决问题的能力．
典例 （2016·揭阳校级三模）对于集合A，如果定义了一种运算“⊕”，使得集合A中的元素间满足下列4个条件：
（Ⅰ）∀a，b∈A，都有a⊕b∈A（Ⅱ）∃e∈A，使得对∀a∈A，都有e⊕a＝a⊕e＝a；
（Ⅲ）∀a∈A，∃a′∈A，使得a⊕a′＝a′⊕a＝e；（Ⅳ）∀a，b，c∈A，都有（a⊕b）⊕c＝a⊕（b⊕c），
则称集合A对于运算“⊕”构成“对称集”．下面给出三个集合及相应的运算“⊕”；
①A＝{整数}，运算“⊕”为普通加法；②A＝{复数}，运算“⊕”为普通减法；
③A＝{正实数}，运算“⊕”为普通乘法．其中可以构成“对称集”的有（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
即时突破 （2016·潍坊模拟）设M是一个非空集合，#是它的一种运算，如果满足以下条件：
（Ⅰ）对M中任意元素a，b，c都有（a#b）#c＝a#（b#c）；（Ⅱ）对M中任意两个元素a，b，满足a#b∈M.则称M对运算#封闭．下列集合对加法运算和乘法运算都封闭的为___________________．
①{－2，－1,1,2}，②{1，－1,0}，③Z，④Q.
[课堂小结]
【方法与技巧】
1．集合中的元素的三个特征，特别是无序性和互异性在解题时经常用到．解题后要进行检验，要重视符号语言与文字语言之间的相互转化．
2．对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考察等号．
3．对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn图．这是数形结合思想的又一体现．
【失误与防范】
1．集合问题解题中要认清集合中元素的属性（是数集、点集还是其他类型集合），要对集合进行化简．
2．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解．
3．解题时注意区分两大关系：
一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系．
4．Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心．
5．要注意A⊆B、A∩B＝A、A∪B＝B、∁UA⊇∁UB、A∩（∁UB）＝∅这五个关系式的等价性．
课时活页作业
（一）
[基础训练组]
1．（2016·赤峰模拟）已知集合A＝{－2,0,2}，B＝{x|x2－x－2＝0}，则A∩B＝（ ）
A．∅B．{2}C．{0}D．{－2}
2．（2015·高考天津卷）已知全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合A＝{2,3,5}，集合B＝{1,3,4,6}，则集合A∩∁UB＝（ ）
A．{3}B．{2,5}C．{1,4,6}D．{2,3,5}
3．设集合A＝{x||x|≤2，x∈R}，B＝{y|y＝－x2，－1≤x≤2}，则∁R（A∩B）等于（ ）
A．RB．（－∞，－2）∪（0，＋∞）C．（－∞，－1）∪（2，＋∞）D．∅
4．（2016·西安一模）设集合A＝{（x，y）|x＋y＝1}，B＝{（x，y）|x－y＝3}，则满足M⊆（A∩B）的集合M的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
5．（2016·济南模拟）已知集合A＝{x||x－1|＜2}，B＝{x|y＝lg（x2＋x）}，设U＝R，则A∩（∁UB）等于（ ）
A．[3，＋∞） B．（－1,0]C．（3，＋∞）D．[－1,0]
6．已知集合A＝{（0,1），（1,1），（－1,2）}，B＝{（x，y）|x＋y－1＝0，x，y∈Z}，则A∩B＝________.
7．已知集合A＝{x|x2－2x＋a＞0}，且1∉A，则实数a的取值范围是________．
8．（2016·南充调研）已知集合A＝{x|4≤2x≤16}，B＝[a，b]，若A⊆B，则实数a－b的取值范围是________．
9．已知集合A＝{－4,2a－1，a2}，B＝{a－5,1－a,9}，分别求适合下列条件的a的值．
（1）9∈（A∩B）；
（2）{9}＝A∩B.
10．已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|x2－2mx＋m2－4≤0，x∈R，m∈R}．
（1）若A∩B＝[0,3]，求实数m的值；
（2）若A⊆∁RB，求实数m的取值范围．
[能力提升组]
11．已知全集U＝Z，集合A＝{x|x2＝x}，B＝{－1,0,1,2}，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A．{－1,2}B．{－1,0}C．{0,1}D．{1,2}
12．设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P*Q＝{z|z＝a÷b，a∈P，b∈Q}，若P＝{－1,0,1}，Q＝{－2,2}，则集合P*Q中元素的个数是（ ）A．2B．3C．4D．5
13．（2016·广东二模）已知非空集合M和N，规定M－N＝{x|x∈M且x∉N}，那么M－（M－N）等于（ ）
A．M∪NB．M∩NC．MD．N
14．已知集合A＝{x∈R||x＋2|＜3}，集合B＝{x∈R|（x－m）（x－2）＜0}，且A∩B＝（－1，n），则m＝______，n＝________.
15．（2016·福州月考）已知集合A＝{x|1＜x＜3}，集合B＝{x|2m＜x＜1－m}．
（1）当m＝－1时，求A∪B；
（2）若A⊆B，求实数m的取值范围；（3）若A∩B＝∅，求实数m的取值范围．
第2节 命题与命题的四种形式、充分条件与必要条件
◆考纲·了然于胸◆
1．理解命题的概念．
2．了解“若p，则q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．
3．理解充分条件、必要条件与充要条件的含义．
[要点梳理]
1．命题的概念：
能够判断真假的语句叫做命题，其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．
2．命题的四种形式及真假关系
互为逆否的两个命题等价（同真或同假）；互逆或互否的两个命题不等价．
质疑探究：
一个命题的否命题与这个命题的否定是同一个命题吗？
提示：
不是，一个命题的否命题是既否定该命题的条件，又否定该命题的结论而这个命题的否定仅是否定它的结论．
3．充分条件、必要条件与充要条件
若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件
p⇒q且q
p
p是q的必要不充分条件
p
q且q⇒p
p是q的充要条件
p⇔q
p是q的既不充分又不必要条件
p
q且q
p
[小题查验]
1．命题“若x2＞y2，则x＞y”的逆否命题是（ ）
A．“若x＜y，则x2＜y2” B．“若x＞y，则x2＞y2”C．“若x≤y，则x2≤y2”D．“若x≥y，则x2≥y2”
2．（2015·高考浙江卷）设a，b是实数，则“a＋b＞0”是“ab＞0”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
3．给出命题：
“若实数x，y满足x2＋y2＝0，则x＝y＝0”，在它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是（ ）A．0个 B．1个C．2个 D．3个
4．“x＞2”是“
＜
”的________条件．
5．下列命题：
①若ac2＞bc2，则a＞b；②若sinα＝sinβ，则α＝β；
③“实数a＝0”是“直线x－2ay＝1和直线2x－2ay＝1平行”的充要条件；
④若f（x）＝log2x，则f（|x|）是偶函数．其中正确命题的序号是________．
考点一 命题的四种形式及其关系（基础型考点——自主练透）
[方法链接]
1．由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即得逆命题，将条件与结论同时否定即得否命题，将条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．
2．命题真假的判断方法
（1）联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断．
（2）利用原命题和其逆否命题的等价关系进行判断．
[题组集训]
1．命题“若a＜0，则一元二次方程x2＋x＋a＝0有实根”与其逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数是（ ）
A．0B．2C．4D．不确定
2．以下关于命题的说法正确的有________（填写所有正确的命题的序号）．
①“若log2a＞0，则函数f（x）＝log2x（a＞0，a≠1）在其定义域内是减函数”是真命题；
②命题“若a＝0，则ab＝0”的否命题是“若a≠0，则ab≠0”；
③命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆命题为真命题；
④命题“若a∈M，则b∉M”与命题“若b∈M，则a∉M”等价．
考点二 充分条件、必要条件与充要条件的判断（高频型考点——全面发掘）
[考情聚焦]
充分条件、必要条件以其独特的表达形式成为高考命题的亮点．常以选择题、填空题的形式出现，作为一个重要载体，考查的数学知识面很广，几乎涉及数学知识的各个方面，如函数、不等式、三角、平面向量、解析几何、立体几何等.
角度一 与不等式相关的充分必要条件的判断
1．（2015·高考天津卷）若x∈R，则“|x－2|＜1”是“x2＋x－2＞0”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
角度二 与平面向量相关的充分必要条件的判断
2．（2016·福建质检）已知向量a＝（m2,4），b＝（1,1），则“m＝－2”是“a∥b”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
角度三 与三角相关的充分必要条件的判断
3．（2016·石家庄一模）若命题p：
φ＝
＋kπ，k∈Z，命题q：
f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω≠0）是偶函数，则p是q的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
角度四 与立体几何相关的充分必要条件的判断
4．已知a，b，c是实数，则b2≠ac是a，b，c不成等比数列的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
角度五 与立体几何相关的充分必要条件的判断
5．（2014·浙江高考）设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
[通关锦囊]
充分、必要条件判定的常见题型与求解策略：
常见题型
求解策略
与不等式相关的充分必要条件的判断
可把不等式之间的关系转化为集合与集合之间的关系，根据集合与充要条件之间的关系进行判断
与平面向量相关的充分必要条件的判断
该类题型常涉及向量的概念、运算及向量共线、共面的条件，可把问题转化为有关向量之间的推理
与三角相关的充分必要条件的判断
熟练掌握三角的相关概念、运算公式、三角函数的图象和性质以及正、余弦定理是解决该类问题的关键
与数列相关的充分必要条件的判断
熟练掌握等差数列与等比数列的定义、性质及数列的单调性、周期性、an与Sn的关系
与立体几何相关的充分必要条件的判断
可把问题转化为线线、线面、面面之间位置关系的判断及性质问题，由此进行恰当判断
与解析几何相关的充分必要条件的判断
首先理解点与曲线的位置关系，两直线的位置关系，直线与曲线的位置关系，然后弄清题意进行判断
提醒：
解答充分条件、必要条件的判断题，必须从正、逆两个方面进行判断．
[题组集训]
1．（2016·济南模拟）设M＝{1,2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“N⊆M”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．给出下列命题：
①“数列{an}为等比数列”是“数列{anan＋1}为等比数列”的充分不必要条件；
②“a＝2”是“函数f（x）＝|x－a|在区间[2，＋∞）上为增函数”的充要条件；
③“m＝3”是“直线（m＋3）x＋my－2＝0与直线mx－6y＋5＝0互相垂直”的充要条件；
④设a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C所对的边，若a＝1，b＝
，则“A＝30°”是“B＝60°”的必要不充分条件．
其中真命题的序号是________．
考点三 利用充要条件求参数的取值（范围）（重点型考点——师生共研）
【例】
（1）（2016·临沂模拟）已知p：
－2≤x≤10，q：
（x－a）（x－a－1）＞0，若p是q成立的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．
（2）已知条件p：
≤－1，条件q：
x2＋x＜a2－a，且非q的一个充分不必要条件是非p，则a的取值范围是（ ）
A.
B.
C．[－1,2]D.
∪[2，＋∞）
互动探究 本例
（1）中，若p：
－2＜x＜10，q：
（x－a）（x－a－1）≥0，其他条件不变，则a的取值范围是________．
【名师说“法”】
（1）解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解．
（2）注意利用转化的方法理解充分必要条件：
若非p是非q的充分不必要（必要不充分、充要）条件，则p是q的必要不充分（充分不必要、充要）条件．
跟踪训练
已知p：
－4＜x－a＜4，q：
（x－2）（x－3）＜0，且q是p的充分条件，则实数a的取值范围为（ ）
A．－1＜a＜6B．－1≤a≤6C．a＜－1或a＞6D．a≤－1或a≥6
思想方法1 等价转化思想在充要条件关系中的应用
典例 已知p：
≤2，q：
x2－2x＋1－m2≤0（m＞0），且非p是非q的必要而不充分条件，则实数m的取值范围为________．
即时突破 已知不等式|x－m|＜1成立的充分不必要条件是
＜x＜
，则m的取值范围是________．
[课堂小结]
【方法与技巧】
1．当一个命题有大前提而要写出命题的其他三种形式时，必须保留大前提，也就是大前提不动；对于由多个并列条件组成的命题，在写其它三种命题时，应把其中一个（或几个）作为大前提．
2．数学中的定义、公理、公式、定理都是命题，但命题与定理是有区别的；命题有真假之分，而定理都是真的．
3．命题的充要关系的判断方法
（1）定义法：
即判断原命题与其逆命题的真假性．
（2）等价法：
p是q的什么条件等价于非q是非p的什么条件．
（3）利用集合间的包含关系判断：
建立命题p，q相应的集合：
A＝{x|p（x）成立}，q：
B＝{x|q（x）成立}，转化为判定A与B间的关系．
【失误与防范】
（1）判断命题的真假及写命题的四种形式时，一定要明确命题的结构，可以先把命题改写成“若p则q”的形式．
（2）判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，正确理解“p的一个充分而不必要条件是q”等语言．
课时活页作业
（二）
[基础训练组]
1．（2015·高考山东卷）若m∈R，命题若“m＞0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是（ ）
A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m＞0B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0
C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m＞0D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0
2．（2016·温州调研）已知a，b∈R，则“a＝b”是“
＝
”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．（2014·新课标高考全国
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