第一章 集合与常用逻辑用语文档格式.docx

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（1）A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.

（2）A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A.

（3）A∩（∁UA）＝∅，A∪（∁UA）＝U，∁U（∁UA）＝A.

[微点提醒]

1.若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个.

2.子集的传递性：

A⊆B，B⊆C⇒A⊆C.

3.A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB.

4.∁U（A∩B）＝（∁UA）∪（∁UB），∁U（A∪B）＝（∁UA）∩（∁UB）.

基础自测

1.判断下列结论正误（在括号内打“√”或“×

”）

（1）{x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{（x，y）|y＝x2＋1}.（　　）

（2）若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0，1.（　　）

（3）对于任意两个集合A，B，关系（A∩B）⊆（A∪B）恒成立.（　　）

（4）含有n个元素的集合有2n个真子集.（　　）

解析　

（1）错误.{x|y＝x2＋1}＝R，{y|y＝x2＋1}＝[1，＋∞），{（x，y）|y＝x2＋1}是抛物线y＝x2＋1上的点集.

（2）错误.当x＝1时，不满足集合中元素的互异性.

（4）错误.含有n个元素的集合有2n－1个真子集.

答案　

（1）×

（2）×

　（3）√　（4）×

2.（必修1P5练习1改编）若集合P＝{x∈N|x≤

}，a＝2

，则（　　）

A.a∈PB.{a}∈P

C.{a}⊆PD.a∉P

解析　因为a＝2

不是自然数，而集合P是不大于

的自然数构成的集合，所以a∉P，只有D正确.

答案　D

3.（必修1P9A1（4）改编）已知集合M＝{0，1，2，3，4}，N＝{1，3，5}，则集合M∪N的子集的个数为________.

解析　由已知得M∪N＝{0，1，2，3，4，5}，所以M∪N的子集有26＝64（个）.

答案　64

4.（2018·

全国Ⅰ卷）已知集合A＝{x|x2－x－2>

0}，则∁RA＝（　　）

A.{x|－1<

x<

2}

B.{x|－1≤x≤2}

C.{x|x<

－1}∪{x|x>

D.{x|x≤－1}∪{x|x≥2}

解析　法一　A＝{x|x2－x－2>

0}＝{x|（x－2）（x＋1）>

0}＝{x|x<

－1或x>

2}，所以∁RA＝{x|－1≤x≤2}.

法二　因为A＝{x|x2－x－2>

0}，所以∁RA＝{x|x2－x－2≤0}＝{x|－1≤x≤2}.

答案　B

5.（2019·

南昌模拟）已知集合P＝{x|x2≤1}，M＝{a}.若P∪M＝P，则实数a的取值范围为（　　）

A.[－1，1]B.[1，＋∞）

C.（－∞，－1]D.（－∞，－1]∪[1，＋∞）

解析　∵P＝{x|－1≤x≤1}，且P∪M＝P，

∴M⊆P，∴a∈P，因此－1≤a≤1.

答案　A

6.（2017·

全国Ⅲ卷改编）已知集合A＝{（x，y）|x2＋y2＝1}，B＝{（x，y）|x，y∈R，且y＝x}，则A∩B中元素的个数为________.

解析　集合A表示圆心在原点的单位圆上所有点的集合，集合B表示直线y＝x上所有点的集合，易知直线y＝x和圆x2＋y2＝1相交，且有2个交点，故A∩B中有2个元素.

答案　2

考点一　集合的基本概念

【例1】

（1）（2019·

湖北四地七校联考）若集合M＝{x||x|≤1}，N＝{y|y＝x2，|x|≤1}，则（　　）

A.M＝NB.M⊆N

C.M∩N＝∅D.N⊆M

（2）若x∈A，则

∈A，就称A是伙伴关系集合，集合M＝

的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是（　　）

A.1B.3C.7D.31

解析　

（1）易知M＝{x|－1≤x≤1}，N＝{y|y＝x2，|x|≤1}＝{y|0≤y≤1}，∴N⊆M.

（2）具有伙伴关系的元素组是－1，

，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：

{－1}，

，

.

答案　

（1）D　

（2）B

规律方法　1.研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；

然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义.

2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.

【训练1】

（1）（2018·

全国Ⅱ卷）已知集合A＝{（x，y）|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为（　　）

A.9B.8C.5D.4

（2）设集合A＝{x|（x－a）2<

1}，且2∈A，3∉A，则实数a的取值范围为________.

解析　

（1）由题意知A＝{（－1，0），（0，0），（1，0），（0，－1），（0，1），（－1，

－1），（－1，1），（1，－1），（1，1）}，故集合A中共有9个元素.

（2）由题意得

解得

所以1<

a≤2.

答案　

（1）A　

（2）（1，2]

考点二　集合间的基本关系

【例2】

（1）已知集合A＝{x|y＝

，x∈R}，B＝{x|x＝m2，m∈A}，则（　　）

A.ABB.BA

C.A⊆BD.B＝A

（2）（2019·

郑州调研）已知集合A＝{x|x2－5x－14≤0}，集合B＝{x|m＋1<

2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围为________.

解析　

（1）易知A＝{x|－1≤x≤1}，

所以B＝{x|x＝m2，m∈A}＝{x|0≤x≤1}.

因此BA.

（2）A＝{x|x2－5x－14≤0}＝{x|－2≤x≤7}.

当B＝∅时，有m＋1≥2m－1，则m≤2.

当B≠∅时，若B⊆A，如图.

则

解得2<

m≤4.

综上，m的取值范围为（－∞，4].

答案　

（1）B　

（2）（－∞，4]

规律方法　1.若B⊆A，应分B＝∅和B≠∅两种情况讨论.

2.已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系.解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图，化抽象为直观进行求解.

【训练2】

（1）（2018·

西安模拟）设集合M＝{x|x2－x>

0}，N＝

A.MNB.NM

C.M＝ND.M∪N＝R

（2）若将本例

（2）的集合A改为A＝{x|x2－5x－14>

0}.其它条件不变，则m的取值范围是________.

解析　

（1）集合M＝{x|x2－x>

0}＝{x|x>

1或x<

＝{x|x>

0}，所以M＝N.

（2）A＝{x|x2－5x－14>

－2或x>

7}.

当B≠∅时，若B⊆A，

或

解之得m≥6.

综上可知，实数m的取值范围是（－∞，2]∪[6，＋∞）.

答案　

（1）C　

（2）（－∞，2]∪[6，＋∞）

考点三　集合的运算　

多维探究

角度1　集合的基本运算

【例3－1】

（1）（2017·

全国Ⅰ卷）已知集合A＝{x|x<

2}，B＝{x|3－2x>

0}，则（　　）

A.A∩B＝

B.A∩B＝∅

C.A∪B＝

D.A∪B＝R

（2）（2018·

天津卷）设全集为R，集合A＝{x|0<

2}，B＝{x|x≥1}，则A∩（∁RB）＝（　　）

A.{x|0<

x≤1}B.{x|0<

1}

C.{x|1≤x<

2}D.{x|0<

解析　

（1）因为B＝{x|3－2x>

0}＝

，A＝{x|x<

2}，所以A∩B＝

，A∪B＝{x|x<

2}.

（2）因为B＝{x|x≥1}，所以∁RB＝{x|x<

1}，因为A＝{x|0<

2}，所以A∩（∁RB）＝{x|0<

1}.

答案　

（1）A　

（2）B

角度2　抽象集合的运算

【例3－2】设U为全集，A，B是其两个子集，则“存在集合C，使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B＝∅”的（　　）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

解析　由图可知，若“存在集合C，使得A⊆C，B⊆∁UC”，则一定有“A∩B＝∅”；

反过来，若“A∩B＝∅”，则一定能找到集合C，使A⊆C且B⊆∁UC.

答案　C

规律方法　1.进行集合运算时，首先看集合能否化简，能化简的先化简，再研究其关系并进行运算.

2.注意数形结合思想的应用.

（1）离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn图求解；

（2）连续型数集的运算，常借助数轴求解，运用数轴时要特别注意端点是实心还是空心.

【训练3】

（1）（2019·

延安模拟）若全集U＝{－2，－1，0，1，2}，A＝{－2，2}，B＝{x|x2－1＝0}，则图中阴影部分所表示的集合为（　　）

A.{－1，0，1}B.{－1，0}

C.{－1，1}D.{0}

新乡模拟）已知集合A＝{x|x2－x≤0}，B＝{x|a－1≤x<

a}，若A∩B只有一个元素，则a＝（　　）

A.0B.1C.2D.1或2

解析　

（1）B＝{x|x2－1＝0}＝{－1，1}，阴影部分所表示的集合为

∁U（A∪B）.A∪B＝{－2，－1，1，2}，全集U＝{－2，－1，0，1，2}，所以∁U（A∪B）＝{0}.

（2）易知A＝[0，1]，因为A∩B只有一个元素，所以a－1＝1，解得a＝2.

答案　

（1）D　

（2）C

[思维升华]

1.在解题时经常用到集合元素的互异性，一方面利用集合元素的互异性能顺利找到解题的切入点；

另一方面，在解答完毕之时，注意检验集合的元素是否满足互异性以确保答案正确.

2.对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；

对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考察等号能否取到.

3.对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn图.这是数形结合思想的又一体现.

[易错防范]

1.集合问题解题中要认清集合中元素的属性（是数集、点集还是其他类型集合），要对集合进行化简.

2.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解.

3.解题时注意区分两大关系：

一是元素与集合的从属关系；

二是集合与集合的包含关系.

4.Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心.

基础巩固题组

（建议用时：

30分钟）

一、选择题

1.（2018·

全国Ⅲ卷）已知集合A＝{x|x－1≥0}，B＝{0，1，2}，则A∩B＝（　　）

A.{0}B.{1}C.{1，2}D.{0，1，2}

解析　由题意知，A＝{x|x≥1}，则A∩B＝{1，2}.

2.设集合A＝{1，2，3}，B＝{4，5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为（　　）

A.3B.4C.5D.6

解析　因为A＝{1，2，3}，B＝{4，5}，

又M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，

∴M＝{5，6，7，8}，即M中有4个元素.

3.（2019·

佛山质检）已知全集U＝{0，1，2，3，4}，若A＝{0，2，3}，B＝{2，3，4}，则（∁UA）∩（∁UB）＝（　　）

A.∅B.{1}C.{0，2}D.{1，4}

解析　因为全集U＝{0，1，2，3，4}，A＝{0，2，3}，B＝{2，3，4}，所以∁UA＝{1，4}，∁UB＝{0，1}，因此（∁UA）∩（∁UB）＝{1}.

石家庄质检）设集合A＝{x|－1<

x≤2}，B＝{x|x<

0}，则下列结论正确的是（　　）

A.（∁RA）∩B＝{x|x<

－1}

B.A∩B＝{x|－1<

0}

C.A∪（∁RB）＝{x|x≥0}

D.A∪B＝{x|x<

解析　易求∁RA＝{x|x≤－1或x>

2}，∁RB＝{x|x≥0}，

∴（∁RA）∩B＝{x|x≤－1}，A项不正确.

A∩B＝{x|－1<

0}，B项正确，检验C、D错误.

5.已知集合A＝{x∈N|x2－2x－8≤0}，B＝{x|2x≥8}，则集合A∩B的子集的个数为（　　）

A.1B.2C.3D.4

解析　因为A＝{x∈N|x2－2x－8≤0}＝{0，1，2，3，4}，B＝{x|x≥3}，所以A∩B＝{3，4}，所以集合A∩B的子集个数为4.

6.（2019·

豫北名校联考）已知集合M＝{x|y＝

}，N＝{x|y＝log2（2－x）}，则

∁R（M∩N）＝（　　）

A.[1，2）B.（－∞，1）∪[2，＋∞）

C.[0，1]D.（－∞，0）∪[2，＋∞）

解析　由题意可得M＝{x|x≥1}，N＝{x|x<

2}，∴M∩N＝{x|1≤x<

2}，∴∁R（M∩N）＝{x|x<

1或x≥2}.

7.设集合A＝{（x，y）|x＋y＝1}，B＝{（x，y）|x－y＝3}，则满足M⊆（A∩B）的集合M的个数是（　　）

A.0B.1C.2D.3

解析　由

得

∴A∩B＝{（2，－1）}.

由M⊆（A∩B），知M＝∅或M＝{（2，－1）}.

8.（一题多解）（2018·

中原名校联考）已知集合A＝{x|y＝lg（x－x2）}，B＝{x|x2－cx<

0，c>

0}，若A⊆B，则实数c的取值范围为（　　）

A.（0，1]B.[1，＋∞）

C.（0，1）D.（1，＋∞）

解析　法一　由题意知，A＝{x|y＝lg（x－x2）}＝{x|x－x2>

0}＝{x|0<

1}，B＝{x|x2－cx<

c}.由A⊆B，画出数轴，如图所示，得c≥1.

法二　A＝{x|y＝lg（x－x2）＝{x|x－x2>

1}，结合选项，取c＝1，得B＝{x|0<

1}，则A⊆B成立，可排除C、D；

取c＝2，得B＝{x|0<

2}，则A⊆B成立，排除A.

二、填空题

9.（2016·

全国Ⅲ卷改编）设集合S＝{x|（x－2）（x－3）≥0}，T＝{x|x>

0}，则（∁RS）∩T＝________.

解析　易知S＝{x|x≤2或x≥3}，

∴∁RS＝{x|2<

3}，

因此（∁RS）∩T＝{x|2<

3}.

答案　{x|2<

3}

10.已知集合A＝{1，2}，B＝{a，a2＋3}，若A∩B＝{1}，则实数a的值为________.

解析　由A∩B＝{1}知，1∈B，又a2＋3≥3，则a＝1.

答案　1

11.（2019·

合肥质检）已知集合A＝{1，3，4，7}，B＝{x|x＝2k＋1，k∈A}，则集合A∪B中元素的个数为________.

解析　∵A＝{1，3，4，7}，B＝{x|x＝2k＋1，k∈A}，

∴B＝{3，7，9，15}，

∴A∪B＝{1，3，4，7，9，15}，

∴集合A∪B中元素的个数为6.

答案　6

12.集合A＝{x|x<

0}，B＝{x|y＝lg[x（x＋1）]}，若A－B＝{x|x∈A，且x∉B}，则A－B＝________.

解析　由题意知，B＝{x|y＝lg[x（x＋1）]}＝{x|x（x＋1）>

0}，则A－B＝{x|－1≤x＜0}.

答案　{x|－1≤x＜0}

能力提升题组

10分钟）

13.（2018·

河南百校联盟联考）若集合A＝{x|y＝lg（3x－x2）}，B＝

，则A∩（∁RB）等于（　　）

A.（0，2]B.（2，3）C.（3，5）D.（－2，－1）

解析　由3x－x2>

0，得0<

3，则A＝（0，3），

∴B＝

＝（2，5），

则∁RB＝（－∞，2]∪[5，＋∞），故A∩（∁RB）＝（0，2].

14.已知集合A＝{x|y＝

}，B＝{x|a≤x≤a＋1}，若A∪B＝A，则实数a的取值范围为（　　）

A.（－∞，－3]∪[2，＋∞）　B.[－1，2]

C.[－2，1]　D.[2，＋∞）

解析　集合A＝{x|y＝

}＝{x|－2≤x≤2}，因A∪B＝A，则B⊆A，又B≠∅，所以有

所以－2≤a≤1.

15.（2019·

皖南八校联考改编）已知集合A＝{（x，y）|x2＝4y}，B＝{（x，y）|y＝x}，则A∩B的真子集个数是________.

即A∩B＝{（0，0），（4，4）}，∴A∩B的真子集个数为22－1＝3.

答案　3

16.集合U＝R，A＝{x|x2－x－2<

0}，B＝{x|y＝ln（1－x）}，则图中阴影部分所表示的集合是________.

解析　易知A＝（－1，2），B＝（－∞，1），∴∁UB＝[1，＋∞），A∩（∁UB）＝[1，2）.因此阴影部分表示的集合为A∩（∁UB）＝{x|1≤x<

答案　[1，2）

第2节　命题及其关系、充分条件与必要条件

最新考纲　1.理解命题的概念，了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系；

2.理解充分条件、必要条件与充要条件的含义.

1.命题

可以判断真题、用文字或符号表述的语句叫作命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.

2.四种命题及其相互关系

（1）四种命题间的相互关系

（2）四种命题的真假关系

①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性.

②两个命题为互逆命题或互否命题时，它们的真假性没有关系.

3.充分条件、必要条件与充要条件的概念

若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件

p是q的充分不必要条件

p⇒q且q

p

p是q的必要不充分条件

q且q⇒p

p是q的充要条件

p⇔q

p是q的既不充分也不必要条件

q且q

1.否命题与命题的否定：

否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论.

2.区别A是B的充分不必要条件（A⇒B且B

A），与A的充分不必要条件是B（B⇒A且A

B）两者的不同.

3.A是B的充分不必要条件⇔綈B是綈A的充分不必要条件.

（1）“x2＋2x－3<

0”是命题.（　　）

（2）命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”.（　　）

（3）当q是p的必要条件时，p是q的充分条件.（　　）

（4）“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”.（　　）

解析　

（1）错误.该语句不能判断真假，故该说法是错误的.

（2）错误.否命题既否定条件，又否定结论.

　（3）√　（4）√

2.（选修1－1P5练习引申）命题“若α＝

，则tanα＝1”的逆否命题是（　　）

A.若α≠

，则tanα≠1B.若α＝

，则tanα≠1

C.若tanα≠1，则α≠

D.若tanα≠1，则α＝

解析　命题“若p，则q”的逆否命题是“若綈q，则綈p”，所以该命题的逆否命题是“若tanα≠1，则α≠

”.

3.（选修1－1P21B2改编）“若a，b都是偶数，则ab必是偶数”的逆否命题为________.

解析　“a，b都是偶数”的否定为“a，b不都是偶数”，“ab是偶数”的否定为“ab不是偶数”，故其逆否命题为“若ab不是偶数，则a，b不都是偶数”.

答案　若ab不是偶数，则a，b不都是偶数

天津卷）设x∈R，则“

<

”是“x3<

1”的（　　）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

，得0<

1，所以0<

x3<

1；

由x3<

1，得x<

1，不能推出0<

1.所以“

1”的充分而不必要条件.

5.（2017·

北京卷）能够说明“设a，b，c是任意实数.若a>

b>

c，则a＋b>

c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为________.

解析　a>

c，取a＝－2，b＝－4，c＝－5，

则a＋b＝－6<

c.

答案　－2，－4，－5（答案不唯一）

安徽江南十校联考）“a＝0”是“函数f（x）＝sinx－

＋a为奇函数”的________条件.

解析　显然a＝0时，f（x）＝sinx－

为奇函数；

当f（x）为奇函数时，

f（－x）＋f（x）＝sin（－x）－

＋a＋sinx－

＋a＝0.

因此2a＝0，故a＝0.

所以“a＝0”是“函数f（x）为奇函数”的充要条件.

答案　充要

考点一　命题及其关系

郑州模拟）下列说法正确的是（　　）

A.“若a>

1，则a2>

1”的否命题是“若a>

1，则a2≤1”

B.“若am2<

bm2，则a<

b”的逆命题为真命题

C.存在x0∈（0，＋∞），使3x0>

4x0成立

D.“若sinα≠

，则α≠

”是真命题

北京卷）能说明“若f（x）>

f（0）对任意的x∈（0，2]都成立，则f（x）在[0，2]上是增函数”为假命题的一个函数是________.

解析　

（1）对于选项A，“若a>

1”的否命题是“若a≤1，则a2≤1”，A错；

对于B项，若“am2<

b”的逆命题为“若a<

b，则am2<

bm2”，因为当m＝0时am2＝bm2，所以其逆命题为假命题，B错；

对于C项，由指数函数的图像知，任意x∈（0，＋∞），都有4x>

3x，C错；

对于D项，原命题的逆否命题为“若α＝

，则sinα＝

”是真命题，故原命题是真命题.

（2）根据函数单调性的概念，只要找到一个定义域为[0，2]的不单调函数，满足在定义域内有唯一的最小值点，且f（x）min＝f（0）.

答案　

（1）D　

（2）f（x）＝sinx，x∈[0，2]（答案不唯一，再如f（x）＝

）

规律