角平分线二教学设计.docx

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角平分线二教学设计

第一章三角形的证明

４．角平分线

（二）

一、学生知

识状况分析

学生的知识技能基础：

通过上节的学习，学生对于角平分线性质定理和逆定理均有一个很深的了解和理解，在此基础上本节主要是通过例题来巩固定理和逆定理的应用，提高学生证明推理能力。

二、教学任务分析

本节课的教学目标是：

1．知识目标：

（1）证明与角的平分线的性质定理和判定定理相关的结论．

（2）角平分线的性质定理和判定定理的灵活运用．

2．能力目标：

（1）进一步发展学生的推理证明意识和能力

．

（2）培养学生将文字语言转化为符号语言、图形语言的能力．

（3）提高综合运用数

学知识和方法解决问题的能力．

3．情感与价值观要求

①能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲．

②在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．

4．教学重点、难点

重点

①三角形三个内角的平分线的性质．

②综合运用角平分线的

判定和性质定理，解决几何中的问题．

难点

角平分线的性质定理和判定定理的综合应用．

三、教学过程分析

本节课设计了五个教学环节：

第一环节：

设置情境问题，搭建探究平台；第二环节：

展示思维过程，构建探究平台；第三环节：

例题讲解；第四环节：

课时小结;第五环节：

课后作业。

第一环节：

设置情境问题，搭建探究平台

问题l习题1．8的第1题作三角形的三个内角的角平分线，你发现

了什么?

能证明自己发现的结论一定正确吗？

于是，首先证明“三角形的三个内角的角平分线交于一点”．

当然学生可能会提到折纸证明、软件演示等方式证明，但最终，教师要引导学生进行逻辑上的证明。

第二环节：

展示思维过程，构建探究平台

已知：

如图，设△ABC的角平分线．BM、CN相交于点P，

证明：

P点在∠BAC的角平分线上．

证明：

过P点作PD⊥AB，PF⊥AC，PE⊥BC，其中D、E、F是垂足．

∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，

∴PD=PE（角平分线上的点到这个

角的两边的距离相等）．

同理：

PE=PF．

∴PD

=PF．

∴点P在∠BAC的平分线上（在一个角的内部，且到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上）．

∴△ABC的三条角平分线相交于点P．

在证明过程中，我们除证明了三角形的三条角平分线相交于一点外，还有什么“附带”的成果呢?

（PD=PE=PF，即这个交点到三角形三边的距离相等．）

于是我们得出了有关三角形的三条角平分线的结论，即定理三角形的三条

角

平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等．

下面我通过列表来比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理

三边垂直平分线

三条角平分线

三角形

锐角三角形

交于三角形内一点

交于三角形内一点

钝角三角形

交于三角形外一点

直角三角形

交于斜边的中点

交点性质

到三角形三个顶点的距离相等

到三角形三边的距离相等

问题2

如图：

直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有几处？

你如何发现的?

要求学生思考、交流。

实况如下：

[生]有一处．在三条公路的交点A、B、C组成的△ABC三条角平分线的交点处．因为三角形三条角平分线交于一点，且这一点到三边的距离相等．而现在要建的货物中转站要求它到三条公路的距离相等．这一点刚好符合．

[生]我找到四处．（同学们很吃惊）除了刚才同学找到的三角形

ABC内部的一点外，我认为在三角形外部还有三点．作∠ACB、∠ABC外角的平分线交于点P1（如下图所示），我们利用角平分线的性质定理和判定定理，可知点P1在∠CAB的角平分线上，且到l1、l2、l3的距离相等．同理还有∠BAC、∠BC

A的外角的角平分线的交点P3；因此满足条件共4个，分别是P、P1、P2、P3

教师讲评。

第三环节：

例题讲解

[例1]如图，在△ABC中．AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．

（1）已知CD=4cm，求AC的长；

（2）求证：

AB=AC+CD．

分析：

本例需要运用前面所学的多个定理，而且将计算和证明融合在一起，目的是使学生进一步理解、掌握这些知识和方法，并能综合运用它们解决问题．第

（1）问中，求AC的长，需求出BC的长，而BC=CD+DB，CD=4cIn，而BD在等腰直角三角形DBE中，根据角平分线的性质，DE=CD=4cm，再根据勾股定理便可求出DB的长．第

（2）问中，求证AB=AC+CD．这是我们第一次遇到这种形式的证明，利用转化的思想AB=AE+BE，所以需证AC=AE，CD=BE．

（1）解：

∵AD是△ABC的角平分线，

∠C=90°，DE⊥AB．

∴DE=CD=4cm（角平分线上的点到这个角两边的距离相等）．

∵∠AC=∠BC∴∠B=∠BAC（等边对等角）．

∵∠C=90°，

∴∠B=

×90°=45°．

∴∠BDE=90°—45°＝45°．

∴BE=DE（等角对等边）．

在等

腰直角三角形BDE中

BD=2DE2.=42cm（勾股定理），

∴AC=BC=CD+BD=（4+42）cm．

（2）证明：

由

（1）的求解过程可知，

Rt△ACD≌Rt

△AE

D（HL定理）

∴AC=AE．

∵BE=DE=CD，

∴AB=AE+BE=AC+CD．

[例2]已知：

如图，P是么AOB平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C、D．

求证：

（1）OC=OD；

（2）OP是CD的垂直平分线．

证明：

（1）P是∠AOB角平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，

∴PC=PD（角平分线上的点到角两边的距离相等）．

在Rt△OPC和Rt△OPD中，

OP=OP，PC=PD，

∴Rt△OPC≌Rt△OPD（HL定理）．

∴OC=OD（全等三角形对应边相等）．

（2）又OP是∠AOB的角平分线，

∴OP是CD的垂直平分线（等腰三角形“三线合一”定理）．

思考：

图中还有哪些相等的线段和角呢?

第四环节：

课时小结

本节课我们利用角平分线的性质和判定定理证明了三角形三条角平分线交于一点，且这一点到三角形各边的距离相等．并综合运用我们前面学过的性质定理等解决了几何中的计算和证明问题．

第五环节：

课后作业

习题1．10第1、2题

四、教学反思

本节对学生能力的要求很高，如例1中问题作为教师要善于利用这个典型例题，加以发挥，使例题的功能得以体现，达到以点带线，以线带面的功效。

如果课堂时间允许还可以将该题加以改变，用多种方法证明和求解。

教学设计

一、教学目标

（一）知识与技能目标

1.掌握作角的平分线和作直线垂线的方法

2.学握角平分线的性质

（二）情感态度目标

1.在探讨做角平分线的方法及角平分线性质的过程中，培养学生探究问题的兴趣，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验。

2.培养学生团结合作精神。

教学重点：

掌握角平分线的尺规作图，理解角的平分线的性质并能初步运用。

教学难点：

1.对角平分线性质定理中点到角两边的距离的正确理解；

2.对于性质定理的运用。

教学工具：

多媒体课件。

直尺，圆规等

二、教学过程设计

（一）复习引入

1.角平分线的定义。

2.点到直线的距离。

学生思考，回答问题。

（设计意图：

复习已学知识，为下面研究创造条件。

）

（二）设计活动，引出内容

【活动一】

问题1：

利用之前学过的知识，如何确定一个角的角平分线。

问题2：

不利用工具，将一张用纸片做的角分成两个相等的角，你有什么办法？

（对折）

学生活动：

学生用量角器去量，让一个学生上讲台用折纸的方法得到角平分线展示给大家。

（设计意图：

掌握作角的平分线的简易方法）

假如我们要将纸片换成木板、钢板等没法折的角，又该怎么办呢？

那么我们除了使用量角器外，我再给大家介绍另一种仪器——角平分仪（展示课件）

如图，是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BD=DC，将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是这个角的平分线，你能说明它的道理吗？

（总结学生思路——利用三角形全等）

（设计意图：

训练书写数学语言）

引导学生观察这个角分仪，根据这个角分仪的制作原理，通过小组讨论总结，归纳出作一个已知角角平分线的方法。

（分小组完成这项活动，教师可参与到学生活动中，及时发现问题，给予启发和指导，使讲评更具有针对性）

通过小组讨论的结果，让同学在黑板上演示作图过程及复述画法，再利用多媒体演示，加深印象，并强调尺规的规范性。

讨论结果展示：

作已知角平分线的方法：

已知：

∠AOB．

求作：

∠AOB的平分线．

作法：

（1）以O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA、OB于M、N.

（2）分别以M、N为圆心，大于

MN的长为半径作弧．两弧在∠AOB内部交于点C.

（3）作射线OC，射线OC即为所求.

设置问题：

1.在上面作法的第二步中，“大于

MN的长”这个条件改成“小于或等于

MN的长”不行吗？

2.第二步中所作的两弧交点一定在∠AOB的内部吗？

（设计这两个问题的目的在于加深对角的平分线的作法的理解，培养数学严密性的良好学习习惯。

）

学生讨论结果总结：

1.不行，若改成“小于或等于

MN的长”，那么所作的两弧可能没有交点，所以就找不到角的平分线。

2.若分别以M、N为圆心，大于

MN的长为半径画两弧，两弧的交点可能在∠AOB的内部，也可能在∠AOB的外部，而我们要找的是∠AOB内部的交点，否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是∠AOB的平分线了。

应用：

平分平角∠AOB（学生口述）

由平分平角的步骤，得出结论：

作平角的平分线即可平分平角，由此也得到过直线上一点作这条直线的垂线的方法。

【活动二】

拿出用纸片做的角∠AOB，在这个角的角平分线上任意取一点P，过点P分别向角的两边做垂线，量一量点P到将两边的垂线段的长有什么关系？

再在这个角平分线上任取3个点，也分别向角的两边做垂线，看看这些点到角的两边的垂线段的长有什么关系？

学生动手操作，通过观察，用尺子测量，得出结论：

角平分线上的点到角两边的距离相等。

这是从直观上得出的结论，从理论上要证明这个结论。

（设计意图：

解决实际问题，拓展学生思维，引导角平分线的性质定理总结，规律化规范语言，深化记忆定理）

证一证：

引导学生证明角平分线的性质，分清题设、结论，将文字变成符号并加以证明。

学生板眼，挑出问题，纠正问题，得出完整过程。

由此，得到角平分线的性质：

角平分线上的点到角两边的距离相等。

用符号语言表示为：

∵OP平分∠AOB

PD⊥OA，PE⊥OB

∴PD=PE

定理的作用：

证明线段相等。

练习：

判断正误，并说明理由：

（1）如图1，P在射线OC上，PE⊥OA，PF⊥OB，则PE=PF。

（2）如图2，P是∠AOB的平分线OC上的一点，E、F分别在OA、OB上，则PE=PF。

（3）如图3，在∠AOB的平分线OC上任取一点P，若P到OA的距离为3cm，则P到OB的距离边为3cm。

（三）知识回顾

1.角平分线的画法

2.角平分线的性质：

角平分线的点到角两边的距离相等

（四）板书设计