中考数学总复习方程与不等式.docx
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中考数学总复习方程与不等式
专题复习——方程与不等式
一、一元一次方程及一元二次方程
（一）一元二次方程解的判断
1、不解方程，由根的判别式的正负性可直接定根的情况；
2、根据方程根的情况，确定方程中字母系数的取值范围；
3、应用判别式证明方程根的情况（有实根、无实根、有两个不相等实根、有两个相等实根）
例1一元二次方程
的根的情况是（）
A有两个相等的实数根
B有两个不相等的实数根
C只有一个实数根
D没有实数根
练习：
1、已知x=1是一元二次方程
的一个根，则
的值为
A.a=cB.a=bC.b=cD.a=b=c
（二）利用一元一次方程解决实际问题
例2、某书店把一本新书按标价的9折出售，仍可获利20%，若该书进价为21元，则标价为
练习：
1、王先生到银行存了一笔三年期的定期存款，年利率是4.25%，若到期后取得本息和33825元，设王先生存入的本金为x元，则所列方程为
2、“五一”节期间，某电器按成本价提高30%后标价，再打8折销售，售价为2080元。
设该电器成本为x元，根据题意，所列方程为
3、某市对某一条道路的一侧全部载上槐树，要求路的两端各载一颗，并且每两棵树的间隔相等。
如果每隔5米栽一颗，则树苗缺21棵；如果每隔6米栽一颗，则树苗正好用完。
设原有树苗x棵，方程为
4、如图，某市A、B两地之间有一条公路，一条是市区公路AB，另一条是外环公路AD-DC-CB，这两条公路围城等腰梯形ABCD,其中DC//AB,AB:
AD:
DC=10:
5:
2。
（1）求外环公路总长和市区公路长的比；
（2）某人驾车从A地出发，沿市区公路去B地，平均速度是40Km/h。
返回时沿外环公路行驶，平均速度是80km/h，结果比去时少用了
h。
求市区公路的长。
4、水果店进了某种水果1000千克，进价为7元/千克，售价为11元/千克，售出一半后，为尽快售完，准备打折出售，如果要使总利润为3450元，那么余下的水果应按原售价几折出售？
5、一条环形公路长42千米，甲、乙两人在公路上骑自行车，速度分别是21km/h、14km/h，
（1）如果两人同时同地反方向出发，那么经过几小时，两人首次相遇？
（2）如果两人同时同地同方向出发，那么经过几小时，两人首次相遇？
（3）如果从同一地点同向前进，乙出发1小时候甲再出发，那么甲经过几小时追上乙？
（三）利用一元二次方程解决实际问题
例3据媒体报道，我国公民2009年公民出境旅游总人数约5000万人次，2011年公民出境旅游总人数约为7200万人次。
若2010年、2011年公民出境旅游总人数逐年递增，请解答下列问题：
（1）求这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率
（2）如果2012年仍保持相同的年平均增长率，请你预测2012年我国公民出境旅游总人数约为多少万人次？
练习：
1、如图，在一块长为22米，宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路，剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米，设道路宽为x,则根据题意可列方程为
2某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张作为纪念，全班共送了2070张相片，如果全班有x个学生，可列方程
3、某药品经过两次降价后，每盒的价格由原来的60元降至48.6元，那么每次降价的百分率是
4、含有同种果蔬但浓度不同的A、B两种饮料，A种饮料重40kg，B种饮料重60kg。
现从这两种饮料中各倒出一部分，且倒出部分的重量相同，再将每种饮料所倒出的部分与另一种饮料余下的部分混合。
如果混合后的两种饮料所含的果蔬浓度相同，那么从每种饮料中倒出的相同重量是千克
5、山西特产专卖店销售核桃，其进价为40元/千克。
按60元/千克出售，平均每天可售出100千克。
后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售量可增加20千克。
若该专卖店销售这种核桃想要平均每天获利2240元，请回答：
（1）每千克核桃应降价多少元？
（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
6、某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的进价与销售量有如下关系：
若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元；每多售出1部，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部。
月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10部以内（含10部），每部返利0.5万元；销售量在10部以上，每部返利1万元。
（1）若该公司当月售出3部汽车，则每部汽车的进价为
万元；
（2）如果汽车的售价为28万元/部，该公司计划当月盈利12万元，那么需要售出多少部汽车？
（盈利=销售利润+返利）
7、红日馒头加工厂在面粉是每袋50元时，把馒头的价格定为每元4个。
现面粉的价格经过两次提价提到了每袋60.5元，为了平衡利润，馒头厂把馒头的价格提升为每元3个，假设馒头的大小不变，面粉每次提价的百分数相同。
（1）面粉每次提价的百分数是多少？
（2）在不考虑其他因素的情况下，你认为红日馒头厂的利润是面粉每袋50元、馒头每元4个时高，还是面粉每袋60.5元、馒头每元3个时高？
二、二元一次方程（组）
（一）二元一次方程组的应用
例1、若关于x,y的二元一次方程组
的解也是二元一次方程2x+3y=6的解，则k=
练习：
1、已知
是关于x,y的二元一次方程
的解，则（a+1）（a-1）+7=
2、关于x，y的方程组
的解是
，则
=
3、已知关于x,y的方程组
，其中
，给出下列结论：
①
是方程组的解；
②当a=-2时，x,y的值互为相反数；
③当a=1时，方程组的解也是方程x+y=4-a的解；
④若
，则
A.①②B.②③C.②③④D.①③④
4、小明在解关于x,y的二元一次方程组
时得到了正确结果
，后来发现“
”“
”处被墨水污损了，请你帮他找出“
”“
”处的值是（）
A.
=1，
=1B.
=2，
=1C.
=1，
=2D.
=21，
=2
5、已知
且
，则k（）
A.
B.
C.
D.
6、已知
，且
，则K的范围是
7、两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加水后，一根露出水面的长度是它的1/3,另一根露出水面的长度是它的1/5，两根铁棒长度之和为55cm,此时木桶中水的深度是。
（二）应用二元一次方程组解决实际问题
例2、为了援助失学儿童，初三学生李明从2012年1月份开始，每月一次将相等数额的零用钱存入已有部分存款的储蓄盒内，准备每6个月一次将储蓄盒内存款一并汇出（汇款手续费不计）。
已知2月份存款后清点储蓄盒内有存款80元，5月份存款后清点储蓄盒内有存款125元。
（1）在李明2012年1月份存款前，储蓄盒内已有存款多少元？
（2）为了实现到2015年6月份存款总数超过1000元的目标，李明计划从2013年1月份开始，每月存款都比2012年每月存款多t元（t为整数），求t得最小值。
1、为了参加2011年威海国际铁人三项（游泳、自行车、长跑）系列赛业余组的比赛，李明针对自行车和长跑项目进行专项训练。
某次训练中，李明骑自行车平均速度为每分钟600米，跑步的平均速度为每分钟200米，自行车路段和长跑路段共5千米，用时15分钟。
求自行车路段和长跑路段的长度。
2、玲玲家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作，需6周完成，共需装修费为5.2万元，若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，共需装修费4.8万元。
玲玲的爸妈商量后决定只选一个公司单独完成。
（1）如果从节约时间的角度考虑应选哪家公司？
（2）如果从节约开支的角度考虑呢？
说明理由。
3、某绿色无公害蔬菜基地有甲、乙两种植户，他们种植了A，B两类蔬菜，两种植户种植的两类蔬菜面积（单位：
亩）与总收入（单位：
元）如下表：
蔬菜面积
种植户
种植A类蔬菜面积
种植B类蔬菜面积
总收入
甲
3
1
12500
乙
2
3
16500
（说明：
不同种植户种植的同类蔬菜每亩平均收入相等）
（1）求A、B两类蔬菜每亩平均收入各是多少元？
（2）某种植户准备20亩地用来种植A、B两类蔬菜，
为了使总收入不低于63000元，且种植A类蔬菜的面积多于种植B类蔬菜的面积（两类蔬菜的种植面积均为整数）。
求该种植户所有租地方案。
4、生活用水阶梯式计费价格表信息
自来水销售价格
污水处理价格
每户每月用水量
单位：
元/吨
单价：
元/吨
17吨及以下
a
0.80
超过17吨但不超过30吨
b
0.80
超过30吨的部分
6.00
0.80
说明：
①每户产生的污水量等于该户自来水用水量；
②水费=自来水费用+污水处理费
已知小王家2012年4月份用水20吨，交水费66元；5月份用水25吨，交水费91元。
（1）求a,b的值
（2）随着夏天的到来，用水量将增加。
为了节省开支，小王计划把6月份的水费控制在不超过家庭收入的2%。
若小王家的月收入为9200元，则小王家6月份最多能用水多少吨？
5、某商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件进价15元，售价20元；乙种商品每件进价35元，售价45元。
（1）若该商场同时购进甲、乙两种商品共100件恰好用去2700元，求购进甲、乙两种商品各多少件？
（2）若该商场用不超过5050元同时购进甲、乙两种商品共200件，且购进家中商品的数量不超过乙种商品，请你帮助该商场设计相应的进货方案，并求出哪种进货方案获里最多？
最多获利是什么？
（3）五一黄金周期间，商场对甲、乙两种商品进行优惠促销活动：
打折前一次性购物总金额
优惠措施
不超过300元
不优惠
超过300元且不超过400元
售价打九折
超过400元
售价打八折
按上述优惠条件，若小王第一天只购买甲种商品一次性付款200元，第二天只购买乙种商品打折后一次性付款324元，那么这两天他在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件？
（通过计算求出所有符合要求的结果）
三、分式方程
（一）分式方程的应用
例1、若关于x的分式方程
无解，则a的值是
练习：
1、关于x的两个方程
与
有一个解相同，则a=
2、若关于x的分式方程
的解为负数，则a的取值范围是
3、在数轴上，点A、B对应的数分别为2、
，且A、B两点关于原点对称，则x的值为
4、对于非零的两个实数a,b,规定
若
，则x的值为
5、观察分析下列方程：
①
；②
；③
。
请利用它们所蕴含的规律，求关于x的方程
（n为正整数）的根，你的答案是
6、已知关于x的方程
的解是正数，则m的取值范围是
（二）应用分式方程解决实际问题
例2、某服装厂设计了一款新式夏装，想尽快制作8800件投入市场，服装厂有A、B两个制衣车间，A车间每天加工的数量是B车间的1.2倍，A、B车间共同完成一半后，A车间出现故障停产，剩下全部由B车间单独完成，结果前后共用20天完成，求A、B两车间每天分别能加工多少件？
练习：
1、小明乘出租车去体育场，有两条路线可供选择：
路线一的全程是25千米，但交通比较拥堵；路线二的全程是30千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高80%，因此能比走路线一少用10分钟到达。
若设走路线一时的平均车速为x千米/时，则根据题意，可列方程为
2、自2013年6月1日起，国家实施了中央财政补贴条例支持高效节能电器的推广使用，某款定速空调在条例实施后，每购买一台，客户可获财政补贴200元，若同样用1万元所购买的的此款空调台数，条例实施后比条例实施前多10%，则条例实施前此款空调的售价为元。
3、暑假期间，某中学运动场塑胶场地的维修工程准备对外招标，现有A、B两个工程队竞标，竞标资料上显示：
若单独完成此项工程，A队比B队少用10天，A队单独施工8天和B队单独施工12天的工作量相等。
求：
（1）单独完成此项工程，A,B两个工程队各需要多少天？
（2）已知两队合作12天，共需工程费用24000元；单独完成此项工程，A队每天的工程费用比B队多500元；工程指挥部决定从这两个队中选一个队单独完成此项工程，若从节省资金的角度考虑，应该选择哪个工程队？
4、某市国际动漫节开幕前。
某动漫公司预测某种动物玩具能够畅销，就用32000元购进了一批这种玩具，上市后很快脱销，动漫公司又用68000元购进了第二批这种玩具，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价多了10元。
（1）该动漫公司两次共购进这种玩具多少套？
（2）如果这两批玩具每套的售价相同，且全部售完后总利润率不低于20%，那么每套售价至少是多少元？
5、为了支援四川人民抗震救灾，某休闲用品有限公司主动承担了为灾区生产2万顶帐篷的任务，计划10天完成。
（1）按此计划，该公司平均每天应生产帐篷顶；
（2）生产2天后，公司又从其他部门抽掉了50名工人参加生产帐篷，同时，通过技术革新等手段使每位工人的工作效率比原计划提高了25%，结果提前2天完成了任务，求该公司原计划安排了多少名工人生产帐篷？
四、一元一次不等式（组）
（一）一元一次不等式（组）的应用
例1、不等式
的最大整数解是
练习：
1、不等式组
的所有整数解之和是
2、若不等式组
的解集为23、若不等式组
的解集是x>3,则m的取值范围是
4、已知点P（a-1,a+2）在平面直角坐标系的第二象限内，则a的取值范围为
5、对于实数x，我们规定[x]表示不大于x的最大整数，例如[1.2]=1,[3]=3,[-2.5]=-3,若
，则x=
6、若关于x,y的二元一次方程组
的解满足x+y<2,则实数a的取值范围是
7、若已知关于x的不等式组
，只有四个整数解，则实数a的取值范围是
（二）应用一元一次不等式（组）解决实际问题
例2、某中学为丰富学生的校园生活，准备一次性购买若干个足球和篮球，若购买3个足球和2个篮球共需310元，购买2个足球和5个篮球共需500元。
（1）购买一个足球、一个篮球各需多少元？
（2）根据学校情况，需一次性购买足球和篮球共96个，要求购买的总费用不超过5720元，这所中学最多可以购买多少个篮球？
练习：
1、某商场用36000元购进甲、乙两种商品，销售完后共获利6000元。
其中甲种商品每件进价120元，售价138元；乙种商品每件进价100元，售价120元。
（1）该商场购进甲、乙两种商品各多少件？
（2）商场第二次以原进价购进甲、乙两种商品，购进乙种商品的件数不变，而购进甲种商品的件数是第一次的2倍，甲种商品按原价出售，而乙种商品打折销售。
若两种商品销售完毕，要使第二次经营活动获利不少于8160元，乙种商品最低售价为每件多少元？
2、某工程，甲乙工程队单独做40天完成，若乙工程队单独做30天后，甲乙两工程队再合作20天完成。
（1）求乙工程队单独做需要多少天完成？
（2）将工程分为两部分，甲做其中一部分用了x天，乙做另一部分用了y天，其中x,y均为正整数，且x<15,y<70,求x,y
3、某工厂用如图甲所示的长方形和正方形纸板，做成如图乙所示的竖式与横式两种长方体形状的无盖纸盒。
（1）现有正方形纸板162张，长方形纸板340张。
若要做两种纸盒共100个，设做竖式纸盒x个。
①根据题意，完成以下表格：
竖式纸盒
横式纸盒
x
正方形纸板（张）
2（100-x）
长方形纸板（张）
4x
②按两种纸盒生产个数来分，有几种生产方案？
（2）若有正方形纸板162张，长方形纸板a张，做成上述两种纸盒，纸板恰好用完。
已知290
4、某电脑公司各种品牌、型号的电脑价格如下表，某中学要从甲、乙两种品牌中各购买一种型号的电脑。
品牌
甲
乙
型号
A
B
C
D
E
单价（台/元）
6000
4000
2500
5000
2000
（1）利用树状图写出所有选购方案，如果各种选购方案被选中的可能性相同，那么A型号电脑被选中的概率是多少？
（2）该中学预计购买甲、乙两种品牌电脑共36台，其中甲品牌电脑只能选A型号，学校规定购买费用不能高于10万元，又不低于9.2万元，问A型号电脑可以购买多少台？
5、某服装厂准备加工400套运动装，甲先加工完成160套后，剩下的由乙来做，乙的工作效率比甲高20%，结果共用了18天完成任务。
（1）问甲每天加工服装多少套？
（2）若甲、乙合作，但不能同时进行，为保证在20天加工完多于440套不多于460套运动装，有几种安装方式？
6、某公司经营甲种型号空调，受市场经济影响，空调价格不断下降。
今年4月份的空调售价比去年同期每台降1000元。
如果卖出相同数量的空调，去年的销售额为10万元，今年销售额只有8万元。
（1）今年4月份甲种空调每台售价多少元？
（2）为了增加收入，该公司决定再经销乙种型号空调，已知甲种空调每台进价为3500元，乙种空调每台进价为3000元，公司预计用不多于5万元且不少于4.8万元的资金购进这两种空调共15台，有几种进货方案？
（3）如果乙种空调每台售价为3800元，为打开乙种空调的销路，公司决定每售出一台一种空调，返还顾客现金a元。
要使
（2）中所有方案获利相同，a值应是多少？
此时哪种方案对公司更有利？
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