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一道函数试题的析题的解决策略【1】

把“数学活动”、“数学实验”、“数学探究”、“数学建模”作为研究性学习的重要形式,是课标课程改革的靓点.它旨在丰富学生的数学学习方式,倡导自主探究、独立思考、动手实践、合作学习、阅读自学等,并将其纳入课程计划.为此,《普通高中数学课程标准（实验）》明确规定:

高中数学课程应提供基本内容的实际背景,反映数学的应用价值,开展“数学建模”的学习活动.

用数学语言对实际现象进行描述和解释的过程就是构建数学模型（简称数学建模）.我们可以用下面的流程图加以说明:

这里,abc--是学生的难点,cd-学生相对熟悉,de-是发现错误、调整偏差的过程,而ea-则是不可忽略的,数学建模解决实际问题往往不是一蹴而就,有时需要修改重构模型,有时要从构建的多个模型中进行遴选优化.数学建模的各个环节都有着不同的思维训练的价值.因此在教学设计

时应充分发挥其功能.

1精选例题,创设情境

研读教材,精选课本例题,创设情境,开展数学建模.宋朝理学家朱熹曾说过:

“观书,先须熟读,使其言皆若出于吾之口;继而精思,使其若出于吾之心;然后有所得耳.”这就是说教师要通过研读教材,理解课标课程的数学教学理念,把数学知识技能、数学思考方法、数学实际应用、数学文化价值的教学有机地融为一体.

例1树顶a离地面a米,树上另有一点b离地面b米,在地面的c处看此树上的a,b两点,离此树多远时视角最大?

这是高中课标课程实验教科书上的一道习题（此处解答略）.该问题反映了实际生活中常见的最大视角问题,也可以作为数学建模教学的基本背景.

问题1足球比赛场地宽m米,球门宽n米,在比赛中攻方球员带球沿边线推进,如图1所示.试问该球员在距守方底线多远处起脚射门,能使命中角度最大?

图1足球攻方射门的数学模型

问题2国际曲棍球比赛标准场地的长为91.4m,宽为55m.球门宽ab3.66m,如图2所示.射门必须在射门弧（由弧?

pq、线段qr和弧?

rl围成）内进行.其中,?

pq是以一侧门柱a为圆心,以14.63m为半径的1/4圆,同样,?

rl是以另一侧门柱b为圆心,以14.63m为半径的1/4圆.请问,曲棍球场上

哪些点属于射门最佳点,即命中率较高的点?

哪些点命中率相同?

图3虚拟出的两种物质的溶解度与温度关系的函数图象

从化学的角度,我们还可以用勒夏特列原理对上述解答给出解释.该原理指出:

如果改变影响平衡的条之一（如温度、压强以及参加反应的化学物质的浓度）,平衡将向着能够减弱这种改变的方向移动.当物质m,n的水溶液处于饱和状态时,可以视为在一定温度下的一种平衡.当温

度升高（或降低）时,平衡将向能够减弱这种改变的方向移动,即饱和溶液的饱和程度降低（或升高）.因此,物质m的溶解度降低（小于10克）,物质n的溶解度升高（大于10克）,问题的答案不言而喻是b.

化学中的勒夏特列原理与物理学中的楞次定律何其相似.楞次定律指出,闭合电路中感应电流的方向,总是使得它激发的磁场来阻碍引起感应电流的磁通量的变化（简言之,来时拒,去时留）.“众里寻他千XX,蓦然回首,那人却在灯火阑珊处”.上述的原理和定律的数学模型就是图象的平移.

大家熟悉三角函数平移的法则:

“左加右减,上加下减”.这个法则指出:

当改变（）yfx=中x,y的值时,图象向着能够减弱这种改变的方向移动.具体地说,对于（）yfx=,在x上加上或者减去几个单位,它的图象就沿着x轴向左（减小的方向）或向右（增大的方向）平移几个单位;同理,在y上加上或

者减去几个单位,它的图象就沿着y轴向下（减少的方向）或向上（增大的方向）平移几个单位,反之亦然.

课标课程十分重视学科间纵横联系,教材编写者的良苦用心,旨在提醒教师要探究数学与其他学科之间千丝万缕的联系,各学科都在用不同的方式言说着同一个大千世界,数学建模是它们之间沟通的桥梁之一.当我们面对现实生活中“只缘身在此山中”的困惑时,数学建模给我们带来

“柳暗花明又一村”的顿悟,大有“吹尽黄沙始见金”的发现和“千树万树梨花开”的惊喜.

3重在理解,灵活运用

用数学建模解决实际问题对学生的阅读理解能力有较高的要求.在精细阅读的基础上,要通过观察、分析、筛选、区分获得的信息,洞察实际问题的结构,准确、恰当地将文字语言向数学语言转化.这种转化过程就是把实际问题描述得具体、直白、但不简约.有些会引出歧义的文字,翻

译成指意简明、书写简练、含义深刻的符号语言,或者是表象直观、易于思辨的图形语言.这个过程就是灵活运用数学知识技能、数学思想方法建立可并求解的数学模型的过程.

例3通过采购经理指数（简称pmi）可以及时监测和预测经济与商业活动中出现的问题和趋势,使政府对宏观经济有更好的把握.一般而言,pmi在50以上,反映经济总体扩张;接近60时,有经济过热的风险;低于50,反映经济衰退;接[lunwen.1kejian.第一论文网]近40时,有经济萧条的忧虑.

从国家统计局的经济统计分析资料,截取我国2000年1月份到10月份的pmi数据如下表:

试根据以上数据预测当年我们11月份的pmi.

分析本题以实际问题为载体,给出新信息情境,意在培养学生的阅读理解能力和知识迁移能力.

首先,要引导学生将表格中直观数据的变化规律刻画出来,其基本的数学模型就是函数.其次,结合教材相关内容,回顾建立函数模型解决实际问题的六个基本步骤,用手工描点或借助excel在电脑上画出散点图.再次,引导学生观察和讨论散点图,寻找拟合程度最佳

的函数.在备选的对数函数、幂函数、分段函数中,根据散点变化规律和数据增长比较平缓的特点,以对数函数模型为首选.第四,在应用待定系数法确定对数函数表达式时,会随着选取的散点不同而不同.经过甄别,在计算机的帮助下,取3.8ln46.6yx=+来刻画pmi与月份x的函数关系.

根据函数模型,可以预测11月份的pmi.在分析经过几个月是否会出现经济过热的现象时,还要借助二分法求解方程近似解的方法.

可以看出,在建立实际问题的数学模型的过程中,首先要突破的关键是将描述现实问题的文字语言翻译成数学语言.也不难发现,在问题解决过程中,教材的知识点进一步显性化、结构化、系统化,有利于学生新知识网络的意义建构.

例4“今日说法”栏目报道,某公司利用传销手段诈骗投资人,谎称:

“每位投资者投资1股460元,买一商品（价值10元）,半年后可得到540元的回报.每一期到期限后若继续投资,投资股数是上一期的2倍.”

某退休工人开始投资1股,以后不断地追加投资.但在投资到32股时,被告知该公司破产.

试问:

（1）假如该退休工人在前一期停止投资,他的投资回报率是多少?

（2）传销最终要失败的,试估算该退休工人损失的金额.

分析这是一个揭露传销危害性的问题,“今日说法”的编辑以通俗直白简约的语言描述了传销诈骗的事实.在构建数学模型时,要深度剖析,通过表格将数据显性化.投资1股460元,半年后可得540元.回报率=（回报金额投资额）/投资额.因此投资1股的回报率是（540-450）/450-100%=20%.

由于每一期投资的股数是上一期投资股数的2倍,因此我们可以算出从第二期开始以后各期追加的投资额和回报率.如下表:

分析表中数据,在不断注资投入时,期末回报率显然可以刺激获利心态,但回报率的增幅却在逐渐减小.如果退休工人在投资16股时果断中止投资且公司能如约兑现,尚可得高回报率47.7%.但是高回报率必有高风险性和高欺骗性,在传销人员游说和投资心理驱动下,到第6期时,

退休工人累计投资达到11610元,公司倒闭人去楼空,11610元血本无归损失惨重,教训深刻,发人警醒.

从构建数学模型解决实际问题的过程看,期间经历的阅读理解、推理演算、抽象思维等数学活动,实质上是现实问题的文字语言与数学语言各种形态间的转换互译的过程,用合理、准确、简洁的数学语言描述现实问题的内容是数学建模的关键,也为解决问题的数学思维铺平道路.

因此,在数学建模教学中,传统优势要弘扬,教学理念要更新,思想认识要到位,日常教学要渗透,有效训练要落实.

数学模型是数学思维的支撑点,也是数学知识的附着点,也是数学应用的突破点.数学模型的建构过程是遵循先直观后逻辑的顺序进行的,要用逻辑检验、驾驭数学直觉.数学教学中,对教材中数学模型的理解与建构要有足够的重视,它不仅承载着数学信息,

也是数学应用的基本途径.因此,我们要结合学生认知水平循序渐进地开展数学模型的理解、建构与应用的教学活动.学生有比较丰富的基础模型作为支撑,才能在合情推理、逻辑推理中构建解决实际问题的数学模型.作为课改的实践者,我们要纠正认识上的偏颇,

精心设计数学建模活动,丰富学生的学习方式,使之成为有意义的接受式学习的补充,成为改变学生学习方式的重要途径.

谈数学教学中的德育的融合策略【2】

在新课改的形势下,德育在教学中显得越来越重要数学教学也不例外。

新课程的培养目标是要使学生在学习过程中具有热爱祖国、热爱集体、热爱社会主义的精神,增强学生的社会主义民主法制意识,能够自觉地维护社会的公平、正义,能够自觉地遵守国家法律和社会公德,自觉地履行义务,逐步形成正确的世界观、

人生观、价值观,从而使他们成为有理想、有道德、有文化、有纪律、有责任感的一代新人。

这充分说明了德育教育在整个教育教学过程中的重要地位。

作为基础学科的数学,肯定也必须重视德育教育。

那么,在数学教育教学中怎样去渗透德育教育呢?

我认为有以下一些方法:

一、在教学教程中要充分发挥教师自身的人格魅力

德育教育的过程既是说理、训练的过程,也是情感陶冶和潜移默化的过程。

处于青春期的学生具有很强的模仿力,教师在教学过程中的一言一行对他们都具有非常重要的影响作用。

教师的板书设计、语言表达以及仪表等,都可以在无形中给学生以美的感染,从而陶冶学生的情操。

比如:

为了上好一堂数学课,教师做了大量的准备,采取了灵活多样的教学手段。

这样,学生不仅学得很轻松、愉快,而且在心里还会产生一种对教师的敬佩之情,并从老师身上感受到一种责任感,即对工作、对他人的责任

这些对学生以后的学习和工作都有巨大的影响。

二、充分利用教材,挖掘德育素材

在数学教材中,大部分思想教育内容并不占有明显的地位,这就需要教师认真钻研教材,充分发掘教材中潜在的德育素材,把德育教育贯穿于对知识的分析中。

例如:

函数自变量的取值范围实际上就是指自变量取值的合法性,在教学这部分内容时,我们可以这样讲:

其实我们在社会生活中也一样,自由并不是绝对的,而是有一定条的。

换句话说,我们每个人都必须要遵纪守法、遵守社会程序和规则,也就是我们每个人的言行举止都必须是合法的,否则将会受到法律的制裁、社会道德和舆论的遣责。

三、在教学过程中进行德育渗透

教师在教学过程中,可以采取灵活多样的教学方法,潜移默化地对学生进行德育教育,如研究性学习、合作性学习等。

在数学中,有很多规律和定理,如果光先靠教师口头传授是达不到理想的效果的。

这时候就可以引导学生进行讨论,共同思考、总结。

我们可以采取小组合作学习的方法这种学习方法使学生体会到:

大家在一起学习,既要为别人的学习负责,又要对自己的学习负责。

这样不仅可以不断地培养学生的各种能力,而且还可以培养他们团结合作的意识。

有了团结合作的意识,学生就会意识到个人目标与小组目标之间是相互依赖的关系,意识到只有大家同心协力、合作互助,才能更快、更好地取得成功,体会到自己在收获着自己付出的同时,也同时在收获着别人的付出,进而意识到合作的重要性和在合作中要互相尊重。

我们知道:

现代社会是竞争的社会,为了适应社会的需要,必须培养学生的竞争意识;21世纪是充分合作的世纪,要帮助学生“学会合作”。

现在的学生大多是独生子女,自我中心的倾向较为明显,缺乏合作的意识和集体主义观念。

因此,有必要强化对学生竞争意识、合作意识和集体主义的教育,让他们认识到:

大家在学习、工作和生活中,除了竞争,更重要的是要团结合作;竞争可以提高每个人的实力,而合作是事业成功的土壤

任何事业的成功,都需要良好的合作。

现代经济的发展、社会的和谐、科技的辉煌等,都是合作共享的结果（也就是说,合作可以大大提高我们事业成功的可能性）。

四、利用数学活动和其他形式进行德育教育

德育渗透不能只局限在课堂上,应与课处学习有机的结合起来。

我们可以开展一些数学活动课和以数学为主题的活动,另外要根据学生的兴趣爱好开展活动,如:

知识技能竞赛;讲一讲数学家们的小故事等,相信这样一定会起到多重效果的。

总之,在数学教育中进行德育渗透时要注意把握好“度”,一定不能喧宾夺主。

要注意渗透的自然性,把握渗透的可行性,注重渗透的反复性。