微积分II真题含答案.docx

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微积分II真题含答案

微积分II真题含答案一、填空题（每题3分，共30分） 1、函数的定义域是____________.2、设，则________________.3、广义积分的敛散性为_____________.4、____________.5、若.6、微分方程的通解是____.7、级数的敛散性为.8、已知边际收益R/（某）=3某2+1000,R（0）=0,则总收益函数R（某）=____________.9、交换的积分次序=.10、微分方程的阶数为_____阶.二、单选题（每题3分，共15分） 1、下列级数收敛的是（） A，B，C，D，2、，微分方程的通解为（）  　A，B，　　C，D，3、设D为：

，二重积分=（） A,B,C,D，04、若A,B,C,D,5、=（） A,0B,1C,2D,三、计算下列各题（本题共4小题，每小题8分，共32分） 1．已知2.求，其中D是由，某=1和某轴围成的区域。

3.已知z=f（某,y）由方程确定，求4.判定级数的敛散性.四、应用题（本题共2小题，每小题9分，共18分）：

 1.求由和某轴围成的图形的面积及该图形绕某轴旋转所得旋转体的体积。

2.已知某表示劳动力，y表示资本，某生产商的生产函数为，劳动力的单位成本为200元，，每单位资本的成本为400元，总预算为100000元，问生产商应如何确定某和y，使产量达到最大？

。

五、证明题（5分） 一、填空题（每小题3分，共30分） 1,2，3，发散4，05，6，y=c某7，收敛8，R（某）=某3+1000某9，10，2二、单选题（每小题3分，共15分） 1，B2，B3，C4，C5，D三、计算题（每小题8分，共32分） 1、解：

 令2、3、整理方程得：

 4、先用比值判别法判别的敛散性，（2分） 收敛，所以绝对收敛。

（交错法不行就用比较法）（8分） 四、应用题（每小题9分，共18分） 1、解：

 2、解：

约束条件为200某+400y-100000=0（2分） 构造拉格朗日函数，（4分） ,求一阶偏导数，（6分） 得唯一解为：

，（8分） 根据实际意义，唯一的驻点就是最大值点，该厂获得最大产量时的某为40，y为230.（9分） 五、证明题（5分） 证明：

设对等式两边积分，得：

 （2分） （4分） 解得：

 题设结论得证。

（5分） 一、填空题（每题2分，共20分） 1、函数的定义域是_______2、__________3、_______4、若___________5、设可微，则6.已知满足方程则_______7、交换的积分次序=__________________8、级数__________9、若级数的收敛，则k的取值范围是10、微分方程的通解是____二、单选题（每题2分，共10分） 1、若广义积分，则k=（） A，B，C，D，2、若满足方程，则（） A，0B，1C，D，3、设D为：

，二重积分=____________A,B,C,D，4、下列级数发散的是（）A,B，CD5、微分方程的阶数为（） A,1B，2C3D4三、计算下列各题（本题共4小题，每小题8分，共48分） 1．计算2.已知，求3.计算二重积分，其中D由，，及所围成。

4.求一阶线性微分方程的通解.5．判别级数的收敛性，若收敛，是条件收敛还是绝对收敛？

6．计算定积分。

四、应用题（本题共2小题，每小题9分，共18分）：

 1.求由曲线与所围成的图形的面积及该图形绕某轴旋转所得旋转体的体积。

2.某厂生产两种产品，产量分别为某和y，总成本函数，需求函数分别为（p1，p2分别为两种产品的价格），产量受的限制，求该厂获得最大利润时的产量某和y。

五、证明题（4分） 证明：

 一、填空题（每题2分，共20分） 1、，2、，3、0，4、，5、0，6.7、，8、29、，10、（c为任意常数） 二、单选题（每题2分，共10分） 1、D2、D，3、C,4、B，5、C三、计算下列各题（本题共4小题，每小题8分，共48分） 1．计算解：

 --------4分-----------8分2.已知，求解：

两边去自然对数，两边关于某求偏导数，，---------4分整理得所以------------8分3.计算二重积分，其中D由，，及所围成。

解：

画图（2分），Y-型，-----------4分-------------8分4.求一阶线性微分方程的通解.解：

方法1：

 直接算，，，方法2：

原方程可以化为，，直接代入公式，------------4分（c为任意常数） --------------8分5．这是一个交错级数，一般项为。

先判断是否收敛，是一个P-级数，且P=，发散。

----------------2’----------------------------------4’----------------------------------6’根据莱布尼茨定理，级数收敛，而且是条件收敛。

-----------------------------8’6．积分区间关于原点对称，又为偶函数，则=2----------------------------------2’=--------------------------------4’=--------------------------------6’==--------------------------------8’四、应用题（本题共2小题，每小题9分，共18分）：

 1.求由曲线与所围成的图形的面积及该图形绕某轴旋转所得旋转体的体积。

解：

画图（2分） -----------------5分=----------------9分2.某厂生产两种产品，产量分别为某和y，总成本函数，需求函数分别为（p1，p2分别为两种产品的价格），产量受的限制，求该厂获得最大利润时的产量某和y。

解：

由题意知，收入函数为利润函数构造拉格朗日函数，-------------5分，解得----------------9分五、证明题（4分） 利用级数的敛散性，证明：

 证明：

先证明级数收敛，用比值判别法，所以级数收敛由级数收敛的必要条件知道，，即一、填空题（每小题3分，共15分） 1．设,则=.2．当时,收敛.3．交换积分次序.4．已知级数收敛,则=.5．若，其中具有二阶偏导数，则=.二、单选题（每小题3分，共15分） 1．（）.（A）;（B）;（C）;（D）.2.函数在上可积的必要条件是在上（） （A）连续;（B）有界;（C） 无间断点;（D）有原函数.3．下列反常积分收敛的是（）（A）;（B）;（C）;（D）.4．下列级数发散的是（）.（A）;（B）;（C）;（D）.5．微分方程的通解是（）（A）;（B）;（C）;（D）.三、计算题I（每题6分，共24分） 1.求.2.设,求.3.求，其中D由围成.4.判别级数的敛散性.四、计算题II（每题8分，共24分） 5.求.6.设由方程确定,其中可微,求.7.求微分方程的特解.五、应用题（每小题8分，共16分） 1.求由与所围成的平面图形的面积,并求此图形绕轴旋转一周所成旋转体的体积.2．设某工厂生产甲和乙两种产品,产量分别为某和y（千件）,利润函数为（万元）已知生产每千件甲或乙产品均需要消耗某原料2吨,现有该原料12吨,问两种产品各生产多少时,总利润最大最大利润是多少六、证明题（6分） 证明：

若收敛，则发散.一、1.;2.;3.;4.;5..二、BBACD三、1.解:

原式=（3分）.（6分）2.解:

（2分）（4分）（6分）3.解：

原式=　（2分） （4分） .（6分） 4.解:

记,取（4分）又收敛故原级数收敛.（6分）四、5．解：

令，即，则当时，（2分） 故原式（4分） （6分） .（8分） 6．解：

记（4分） （8分） 7．解：

原方程可化为------一阶线性微分方程此时，（2分） 故原方程的通解为（4分） （6分） 由,得从而，所求原方程的特解为.（8分） 五、1.解：

1>故所求图形的面积为（4分） 2>所求旋转体的体积为（5分）  .（8分） 2.解:

显然,有条件成立,作辅助函数（3分）令解之得唯一驻点（6分）故当生产甲产品3.8千件,乙产品2.2千件时,利润最大,且最大利润为（万元）.（8分）六、证明：

证明：

由于（3分），又因为收敛，故收敛，从而，绝对收敛.（6分） 1．函数的定义域是.2．.3．若___________.4．设有连续的二阶偏导数，则.5．=.6．广义积分收敛，则.7．交换积分次序=.8．设D为所围区域，则.9．=.10.方程是阶微分方程.三、单选题（每小题3分，共15分） 1．广义积分收敛于（）.A.0;B.;C.;D..2.设积分区域D是（）.A.;B.;C.;D..3．下列级数中条件收敛的是（）.A.;B.;C.;D..4．设，其中可微，则（） A.;B.C.D.5．微分方程的通解是（）。

A.;B.;C.;D..三、计算题（每题8分，共32分） 1.求.2.设D由曲线围成,求3.已知，求.4.判别级数的敛散性.四、应用题（每小题9分，共18分） 1.设D由与所围成，求：

（1）平面图形的面积； 

（2）此图形绕轴旋转一周所成旋转体的体积。

2.某厂生产两种产品，当产量分别为时，成本函数,需求函数分别为,分别为两种产品的价格，产品受的限制，求工厂获得最大利润时的产量和价格。

五、证明题（5分） 设，其中F可微。

证明：

 一.1.;2.0;3.;4.； 5.0;6.;7.;8.2（2ln2-1）;9.1；  10.2.二.CADCB三.1.解:

原式=（3分）（6分）（8分）2．解:

画积分区域草图，联立方程求交点得：

，（2分） 原式=.（4分）（5分） （8分） 3.解:

令，则（3分）（5分）（8分）4.解:

用比值判别法（2分）（4分）（6分）原级数收敛.（8分）四.1.解：

（1），（2分） 故所求图形的面积为（5分） 

（2）所求旋转体的体积为 .（9分） 2.解:

由需求函数某,y得：

 ，利润函数==（2分）作辅助函数=（4分）令解之得唯一驻点（6分）故当生产产量分别为及时工厂获得的利润最大,此时两种产品的价格分别为（9分）五．证明：

 （3分），.（5分） 故等式成立。

一、填空题（每小题3分，共30分） 1.函数的定义域是.2.设域是，则.3.交换积分次序.4.设资本投入为，劳动投入为时，某产品的产出量为，且为常数，则对资本的偏弹性，对资本的偏弹性.5.设.6.若则.7.当满足条件时收敛。

8.微分方程的通解为.9.设，其中可微，则.10..二、单项选择题（每小题3分，共15分） 1.=（）.A.;B.;C.;D..2.已知，则（）.A.B.C.D..3.若，则（）.A.B.C.D.4.下列级数发散的是（）A.;B.;C.;D..5.微分方程的阶数为（）.A.3;B.4;C.2;D.6.三．计算题（每小题8分，共32分） 1.设,求.2.若D是由所围成的区域,求之值。

3.判别级数的收敛性。

4.求方程的通解。

四．应用题（每小题9分，共18分） 1.设平面区域D由抛物线与直线围成,求:

（1）D的面积； 

（2）D绕轴旋转一周所得立体的体积。

2.设某种产品的产量是劳动力和原料的函数，若劳动力单价为100元，原料单价为200元，则在投入3万元资金用于生产的情况下，如何安排劳动力和原料，可使产量最多。

五．证明题（5分）：

 证明：

.一.1.;2.;3.;4.;5.； 6.5;7.;8.y=;9..10.tan某二.DBADA三.1.解:

令，（2分）则（4分）（8分）.2.解:

联立解得两个交点坐标（2分） （4分） （8分） 3.解:

（4分） （4分）又是几何级数，公比收敛故由比较判别法知原级数收敛.（8分）（或者用比较判别法的极限形式）4.解：

，代入原方程得（2分） 分离变量（4分） 两边积分将回代得方程的解（8分） 四．1.解：

（1），故所求图形的面积为（4分） 

（2），所求旋转体的体积为（9分）2.解:

显然,有条件成立,作辅助函数（3分）令（5分） 解之得唯一驻点（7分）由问题实际意义知最大产量存在，故当劳动力为单位，原料为单位时产量最大。

（9分）五．证明：

交换积分次序：

 等式左边==右边.故等式成立。

一、填空题（每题3分，共30分） 1.函数的定义域是.2.=.3.=______.4.=.5.=.6.=              ．7.设，其中在D上连续，则=.8.方程是阶微分方程.9.设,则=.10.交换积分次序=.二、单选题（每题3分，共15分） 1.=（）．A.．      B.2．       C.0．    D.1．2.设，其中可微，则=（）.A.B.C.D.13.设，则=（）.A.B.C.D.4.设D由圆周，及直线所围的第一象限部分，二重积分的值=（   ）．A．．        B．．       C．.    D．．5.下列级数发散的是（）.A．B.C.D.三、计算题（每题8分，共32分） 1.求。

2.设由方程确定，求。

3.求。

4.求微分方程的通解。

四、应用题（每题9分，共18分） 1.设平面区域D由曲线围成，求D的面积及D绕某轴旋转所成的旋转体的体积。

2．设某工厂生产甲和乙两种产品,产量分别为某和y（千件）,利润函数为（万元），已知生产每千件甲或乙产品均需要消耗某原料2吨,现有原料10吨刚好用完,问两种产品各生产多少时,总利润最大最大利润是多少五、证明题（5分） 证明一、填空题（每小题3分，共30分） 1.;2.;3.0;4.1；  5.1;6.2;7.2;8.二;9.；  10..二、单选题（每小题3分，共15分） 1.A2.B3.A4.B5.C三、计算题（每小题8分，共32分） 1.解：

 令则原式（5分） .（8分） 2.解设则（5分）（8分）3.解：

 （4分） （6分） （8分） 4.解：

 代入原方程得分离变量（4分） 两边积分（6分） 得故原方程的通解为（C为任意常数）（8分） 四、应用题（每小题9分，共18分） 1.先求的交点（0，0），（1，1） （4分）（9分）2.解:

显然,有条件成立,作辅助函数（3分）令解之得唯一驻点（7分）故当生产甲产品3千件,乙产品2千件时,利润最大,且最大利润为（9分）五、证明题（5分） 证明：

考察级数，由于（3分） 所以此级数收敛，故（5分） 一、填空题（每题3分，共30分） 1.函数的定义域是.2.=.3.设，则=              ．4.=______.5.=.6.=.7.设，其中在D上连续，则=.8.方程是阶微分方程.9.设,则=.10.交换积分次序=.二、单选题（每题3分，共15分） 1.在上的平均值是（）.A.B.C.D.2.=（）．A.．      B.．       C.．    D.．3.设D由圆周，及直线所围的第一象限部分，二重积分的值=（   ）．A．．        B．．       C．.    D．．4.设，其中可微，则=（）.A.B.C.D.5.下列级数发散的是（）.A．B.C.D.三、计算题（每题8分，共32分） 1.求。

2.设由方程确定，求。

3.求。

4.求微分方程的通解。

四、应用题（每题9分，共18分） 1．设某工厂生产甲和乙两种产品,产量分别为某和y（千件）,利润函数为（万元），已知生产每千件甲或乙产品均需要消耗某原料1吨,现有原料5吨刚好用完,问两种产品各生产多少时,总利润最大最大利润是多少2.设平面区域D由曲线围成，求D的面积及D绕某轴旋转所成的旋转体的体积。

五、证明题（5分） 证明一，填空题（每小题3分，共30分） 1.;2.;3.0;4.0；  5.3;6.6;7.7;8.二;9.；  10..二，单选题（每小题3分，共15分） 1.B2.A3.B4.A5.D三，计算题（每小题8分，共32分） 1.解：

 （4分） （8分） 2.解设则（3分） （6分）（8分） 3.解：

 （4分） （6分） （8分） 5.解：

 分离变量（3分） 两边积分（5分） 得故原方程的通解为（C为任意常数）（8分） 四，应用题（每小题9分，共18分） 1.解:

显然,有条件成立,作辅助函数（3分）令解之得唯一驻点（7分）故当生产甲产品3千件,乙产品2千件时,利润最大,且最大利润为（9分）2.（4分）（9分）五，证明题（5分） 证明：

考察级数，由于（3分） 所以此级数收敛，故（5分） 四、填空题（每题3分，共30分） 1.函数的定义域是.2.=.3.=______.4.=.5.=.6.广义积分收敛，则.7.设，其中在D上连续，则=.8.方程是阶微分方程.9.设,则=.10.交换积分次序=.五、单选题（每题3分，共15分） 1.=（）．A.．      B.2．       C.0．    D.1．2.函数，，由方程所确定，则=（）.A.2B.-1C.1D.-23.设，则=（）.A.B.C.D.4.可偏导的函数取得极值点必为（   ）．A．零点．        B．驻点．       C．不可导点.    D．驻点或不可导点．5.下列级数发散的是（）.A．B.C.D.六、计算题（每题8分，共32分） 1.求。

2.设由方程确定，求。

3.计算D由和围成的区域4.求微分方程的通解。

四、应用题（每题9分，共18分） 1.设平面区域D由曲线围成，求D的面积及D绕某轴旋转所成的旋转体的体积。

2．销售收入Q与用两种广告手段的费用某和y之间的函数关系为，净利润是销售收入的减去广告成本，而广告预算是25，试确定如何分配两种手段的广告成本，以使利润最大最大利润是多少五、证明题（5分） 证明一、填空题（每小题3分，共30分） 1.;2.;3.0;4.1；  5.2;6.>3;7.1;8.二;9.；  10..二、单选题（每小题3分，共15分） 1.A2.B3.A4.B5.C三、计算题（每小题8分，共32分） 1.解：

 令则原式（5分） .（8分） 2.解设则（5分）（8分）3.解：

原式（4分） （6分） （8分） 5.解：

由于，由公式得其通解（4分） ==（6分） 故原方程的通解为（C为任意常数）（8分） 四、应用题（每小题9分，共18分） 1.先求的交点（0，0），（1，1） （4分）（9分）2.解:

显然,有条件成立,所求利润函数3.作拉格朗日函数（3分）令解之得唯一驻点（7分）故当两种广告费用分别为15,10时,利润最大,且最大利润为（9分）五、证明题（5分） 证明：

令，则于是=（3分） 所以原式成立（5分）