随机事件的概率.docx
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随机事件的概率
概率
3.1
随机事件的概率
约3课时
3.2
古典概型
约2课时
3.3
几何概型
约2课时
本章复习
约1课时
3.1随机事件的概率
3.1.1随机事件的概率
整体设计
课时安排1课时
教学过程
导入新课
日常生活中,有些问题是很难给予准确无误的回答的.例如,你明天什么时间起床？
7：
20在某公共汽车站候车的人有多少？
你购买本期福利彩票是否能中奖？
等等.尽管没有确切的答案,但大体上围绕一个数值在变化,这个数值就是概率.教师板书课题：
随机事件的概率.
提出问题
（1）什么是必然事件？
请举例说明.
（2）什么是不可能事件？
请举例说明.
（3）什么是确定事件？
请举例说明.
（4）什么是随机事件？
请举例说明.
（5）什么是事件A的频数与频率？
什么是事件A的概率？
（6）频率与概率的区别与联系有哪些?
活动：
学生积极思考,教师引导学生考虑问题的思路,结合实际的情形分析研究.
（1）导体通电时,发热；抛一块石头,下落；“如果a＞b,那么a-b＞0”;这三个事件是一定要发生的.但注意到有一定的条件.
（2）在常温下,焊锡熔化；在标准大气压下且温度低于0℃时,冰融化；“没有水,种子能发芽”；这三个事件是一定不发生的.但注意到有一定的条件.
（3）抛一块石头,下落；“如果a＞b,那么a-b＞0”;在标准大气压下且温度低于0℃时,冰融化；“没有水,种子能发芽”；
这四个事件在一定的条件下是一定要发生的或一定不发生的.是确定的,不是模棱两可的.
（4）掷一枚硬币,出现正面；某人射击一次,中靶；从分别标有号数1,2,3,4,5的5张标签中任取一张,得到4号签；“某电话机在1分钟内收到2次呼叫”；
这四个事件在一定的条件下是或者发生或不一定发生的,是模棱两可的.
（5）做抛掷一枚硬币的试验,观察它落地时哪一个面朝上.通过学生亲自动手试验,突破学生理解的难点：
“随机事件发生的随机性和随机性中的规律性”.通过试验,观察随机事件发生的频率,可以发现随着实验次数的增加,频率稳定在某个常数附近,然后再给出概率的定义.具体如下：
第一步每个人各取一枚硬币,做10次掷硬币试验,记录正面向上的次数和比例,填在下表中：
姓名
试验次数
正面朝上总次数
正面朝上的比例
思考试验结果与其他同学比较,你的结果和他们一致吗？
为什么？
第二步由组长把本小组同学的试验结果统计一下,填入下表.
组次
试验总次数
正面朝上总次数
正面朝上的比例
思考
与其他小组试验结果比较,正面朝上的比例一致吗？
为什么？
通过学生的实验,比较他们实验结果,让他们发现每个人实验的结果、组与组之间实验的结果不完全相同,从而说明实验结果的随机性,但组与组之间的差别会比学生与学生之间的差别小,小组的结果一般会比学生的结果更接近0.5.
第三步用横轴为实验结果,仅取两个值：
1（正面）和0（反面）,纵轴为实验结果出现的频率,画出你个人和所在小组的条形图,并进行比较,发现什么？
第四步把全班实验结果收集起来,也用条形图表示.
思考
这个条形图有什么特点？
引导学生在每组实验结果的基础上统计全班的实验结果,一般情况下,班级的结果应比多数小组的结果更接近0.5,从而让学生体会随着实验次数的增加,频率会稳定在0.5附近.并把实验结果用条形图表示,这样既直观易懂,又可以与第二章统计的内容相呼应,达到温故而知新的目的.
第五步请同学们找出掷硬币时“正面朝上”这个事件发生的规律性.
思考
如果同学们重复一次上面的实验,全班汇总结果与这一次汇总结果一致吗？
为什么？
随着实验次数的增加,正面朝上的频率稳定在0.5附近.由特殊事件转到一般事件,得出下面一般化的结论：
随机事件A在每次试验中是否发生是不能预知的,但是在大量重复实验后,随着次数的增加,事件A发生的频率会逐渐稳定在区间［0,1］中的某个常数上.从而得出频率、概率的定义,以及它们的关系.一般情况下重复一次上面的实验,进一步总结事件的频数与频率,概括出概率的概念.（6）通过（5）的概括和总结写出频率与概率的区别与联系.
讨论结果：
（1）必然事件:
在条件S下,一定会发生的事件,叫相对于条件S的必然事件（certainevent）,简称必然事件.
（2）不可能事件：
在条件S下,一定不会发生的事件,叫相对于条件S的不可能事件（impossibleevent）,简称不可能事件.
（3）确定事件：
必然事件和不可能事件统称为相对于条件S的确定事件.
（4）随机事件：
在条件S下可能发生也可能不发生的事件,叫相对于条件S的随机事件（randomevent）,简称随机事件；确定事件和随机事件统称为事件,用A,B,C,…表示.
（5）频数与频率：
在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A是否出现,称n次试验中事件A出现的次数na为事件A出现的频数（frequency）；称事件A出现的比例fn（A）=
为事件A出现的频率（relativefrequency）;对于给定的随机事件A,如果随着试验次数的增加,事件A发生的频率fn（A）稳定在某个常数上,把这个常数记作P（A）,称为事件A的概率（probability）.
（6）频率与概率的区别与联系：
随机事件的频率,指此事件发生的次数na与试验总次数n的比值
它具有一定的稳定性,总在某个常数附近摆动,且随着试验次数的不断增多,这种摆动幅度越来越小.我们把这个常数叫做随机事件的概率,概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小.频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率.
频率是概率的近似值,随着试验次数的增加,频率会越来越接近概率.在实际问题中,通常事件的概率未知,常用频率作为它的估计值.
频率本身是随机的,在试验前不能确定.做同样次数的重复实验得到事件的频率会不同.
概率是一个确定的数,是客观存在的,与每次试验无关.比如,一个硬币是质地均匀的,则掷硬币出现正面朝上的概率就是0.5,与做多少次实验无关.
应用示例
思路1
例1判断下列事件哪些是必然事件,哪些是不可能事件,哪些是随机事件.
（1）“抛一石块,下落”.
（2）“在标准大气压下且温度低于0℃时,冰融化”；
（3）“某人射击一次,中靶”；
（4）“如果a＞b,那么a-b＞0”;
（5）“掷一枚硬币,出现正面”；
（6）“导体通电后,发热”；
（7）“从分别标有号数1,2,3,4,5的5张标签中任取一张,得到4号签”；
（8）“某电话机在1分钟内收到2次呼叫”；
（9）“没有水分,种子能发芽”；
（10）“在常温下,焊锡熔化”.
答案：
事件
（1）（4）（6）是必然事件；事件
（2）（9）（10）是不可能事件；事件（3）（5）（7）（8）是随机事件.
点评：
紧扣各类事件的定义,结合实际来判断.
例2某射手在同一条件下进行射击,结果如下表所示：
射击次数n
10
20
50
100
200
500
击中靶心次数m
8
19
44
92
178
455
击中靶心的频率
（1）填写表中击中靶心的频率；
（2）这个射手射击一次,击中靶心的概率约是多少？
分析：
学生回顾所学概念,教师引导学生思考问题的思路,指出事件A出现的频数na与试验次数n的比值即为事件A的频率,当事件A发生的频率fn（A）稳定在某个常数上时,这个常数即为事件A的概率.
解：
（1）表中依次填入的数据为：
0.80,0.95,0.88,0.92,0.89,0.91.
（2）由于频率稳定在常数0.89,所以这个射手击一次,击中靶心的概率约是0.89.
点评：
概率实际上是频率的科学抽象,求某事件的概率可以通过求该事件的频率而得之.
变式训练
一个地区从某年起几年之内的新生儿数及其中男婴数如下：
时间范围
1年内
2年内
3年内
4年内
新生婴儿数
5544
9607
13520
17190
男婴数
2883
4970
6994
8892
男婴出生的频率
（1）填写表中男婴出生的频率（结果保留到小数点后第3位）；
（2）这一地区男婴出生的概率约是多少？
答案：
（1）0.5200.5170.5170.517
（2）由表中的已知数据及公式fn（A）=
即可求出相应的频率,而各个频率均稳定在常数0.518上,所以这一地区男婴出生的概率约是0.518.
思路2
例1做掷一枚骰子的试验,观察试验结果.
（1）试验可能出现的结果有几种？
分别把它们写出；
（2）做60次试验,每种结果出现的频数、频率各是多少？
分析：
学生先思考或讨论,教师提示学生注意结果的可能情况,因为每一枚骰子有六个面,每个面上的点数分别是1,2,3,4,5,6,所以应出现六种结果,试验结果可列表求之.
解：
（1）试验可能出现的结果有六种,分别是出现1点、2点、3点、4点、5点、6点.
（2）根据实验结果列表后求出频数、频率,表略.
例2某人进行打靶练习,共射击10次,其中有2次中10环,有3次中9环,有4次中8环,有1次未中靶,试计算此人中靶的概率,假设此人射击1次,试问中靶的概率约为多大？
中10环的概率约为多大？
分析：
学生先思考或讨论,教师提示学生注意结果的可能情况,中靶的频数为9,试验次数为10,所以中靶的频率为
=0.9,所以中靶的概率约为0.9.
解：
此人中靶的概率约为0.9；此人射击1次,中靶的概率为0.9；中10环的概率约为0.2.
知能训练
1.指出下列事件是必然事件、不可能事件、还是随机事件.
（1）某地1月1日刮西北风；
（2）当x是实数时,x2≥0；
（3）手电简的电池没电,灯泡发亮；
（4）一个电影院某天的上座率超过50%.
答案：
（1）随机事件；
（2）必然事件；（3）不可能事件；（4）随机事件.
2.大量重复做掷两枚硬币的实验,汇总实验结果,你会发现什么规律？
解答：
随机事件在每次试验中是否发生是不能预知的,但是在大量重复实验后,随着次数的增加,事件发生的频率会逐渐稳定在区间［0,1］中的某个常数上,从而获取随机事件的概率.
点评：
让学生再一次体会了试验、观察、探究、归纳和总结的思想方法.
拓展提升
1.将一枚硬币向上抛掷10次,其中正面向上恰有5次是（）
A.必然事件B.随机事件C.不可能事件D.无法确定
答案：
B
提示：
正面向上恰有5次的事件可能发生,也可能不发生,即该事件为随机事件.
2.下列说法正确的是（）
A.任一事件的概率总在（0,1）内B.不可能事件的概率不一定为0
C.必然事件的概率一定为1D.以上均不对
答案：
C
提示：
任一事件的概率总在［0,1］内,不可能事件的概率为0,必然事件的概率为1.
3.1.3概率的基本性质
课时安排1课时
导入新课
体育考试的成绩分为四个等级：
优、良、中、不及格,某班50名学生参加了体育考试,结果如下：
优
85分及以上
9人
良
75—84分
15人
中
60—74分
21人
不及格
60分以下
5人
在同一次考试中,某一位同学能否既得优又得良？
从这个班任意抽取一位同学,那么这位同学的体育成绩为“优良”（优或良）的概率是多少？
为解决这个问题,我们学习概率的基本性质,教师板书课题.
提出问题
在掷骰子试验中,可以定义许多事件如：
C1={出现1点},C2={出现2点},C3={出现3点},C4={出现4点},C5={出现5点},C6={出现6点},D1={出现的点数不大于1},D2={出现的点数大于3},D3={出现的点数小于5},E={出现的点数小于7},F={出现的点数大于6},G={出现的点数为偶数},H={出现的点数为奇数},……
类比集合与集合的关系、运算说明这些事件的关系和运算,并定义一些新的事件.
（1）如果事件C1发生,则一定发生的事件有哪些？
反之,成立吗？
（2）如果事件C2发生或C4发生或C6发生,就意味着哪个事件发生？
（3）如果事件D2与事件H同时发生,就意味着哪个事件发生？
（4）事件D3与事件F能同时发生吗？
（5）事件G与事件H能同时发生吗？
它们两个事件有什么关系？
讨论结果：
（1）如果事件C1发生,则一定发生的事件有D1,E,D3,H,反之,如果事件D1,E,D3,H分别成立,能推出事件C1发生的只有D1.
（2）如果事件C2发生或C4发生或C6发生,就意味着事件G发生.
（3）如果事件D2与事件H同时发生,就意味着C5事件发生.
（4）事件D3与事件F不能同时发生.
（5）事件G与事件H不能同时发生,但必有一个发生.
由此我们得到事件A,B的关系和运算如下:
①如果事件A发生,则事件B一定发生,这时我们说事件B包含事件A（或事件A包含于事件B）,记为B
A（或A
B）,不可能事件记为
任何事件都包含不可能事件.
②如果事件A发生,则事件B一定发生,反之也成立,（若B
A同时A
B）,我们说这两个事件相等,即A=B.如C1=D1.
③如果某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生,则称此事件为事件A与B的并事件（或和事件）,记为A∪B或A+B.
④如果某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生,则称此事件为事件A与B的交事件（或积事件）,记为A∩B或AB.
⑤如果A∩B为不可能事件（A∩B=
）,那么称事件A与事件B互斥,即事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发生.
⑥如果A∩B为不可能事件,A∪B为必然事件,那么称事件A与事件B互为对立事件,即事件A与事件B在一次试验中有且仅有一个发生.
继续依次提出以下问题:
（1）概率的取值范围是多少?
（2）必然事件的概率是多少?
（3）不可能事件的概率是多少?
（4）互斥事件的概率应怎样计算?
（5）对立事件的概率应怎样计算?
讨论结果：
（1）概率的取值范围是0—1之间,即0≤P（A）≤1.
（2）必然事件的概率是1.如在掷骰子试验中,E={出现的点数小于7},因此P（E）=1.
（3）不可能事件的概率是0,如在掷骰子试验中,F={出现的点数大于6},因此P（F）=0.
（4）当事件A与事件B互斥时,A∪B发生的频数等于事件A发生的频数与事件B发生的频数之和,互斥事件的概率等于互斥事件分别发生的概率之和,即P（A∪B）=P（A）+P（B）,这就是概率的加法公式.也称互斥事件的概率的加法公式.
（5）事件A与事件B互为对立事件,A∩B为不可能事件,A∪B为必然事件,P（A∪B）=1.所以1=P（A）+P（B）,P（B）=1-P（A）,P（A）=1-P（B）.如在掷骰子试验中,事件G={出现的点数为偶数}与H={出现的点数为奇数}互为对立事件,因此P（G）=1-P（H）.
应用示例
例1一个射手进行一次射击,试判断下列事件哪些是互斥事件?
哪些是对立事件?
事件A：
命中环数大于7环；事件B：
命中环数为10环；
事件C：
命中环数小于6环；事件D：
命中环数为6、7、8、9、10环.
活动：
教师指导学生,要判断所给事件是对立还是互斥,首先将两个概念的联系与区别弄清楚,互斥事件是指不可能同时发生的两事件,而对立事件是建立在互斥事件的基础上,两个事件中一个不发生,另一个必发生.
解：
A与C互斥（不可能同时发生）,B与C互斥,C与D互斥,C与D是对立事件（至少一个发生）.
点评：
判断互斥事件和对立事件,要紧扣定义,搞清互斥事件和对立事件的关系,互斥事件是对立事件的前提.
变式训练
从一堆产品（其中正品与次品都多于2件）中任取2件,观察正品件数与次品件数,判断下列每件事件是不是互斥事件,如果是,再判断它们是不是对立事件.
（1）恰好有1件次品恰好有2件次品；
（2）至少有1件次品和全是次品；
（3）至少有1件正品和至少有1件次品；
（4）至少有1件次品和全是正品.
解：
依据互斥事件的定义,即事件A与事件B在一定试验中不会同时发生知：
（1）恰好有1件次品和恰好有2件次品不可能同时发生,因此它们是互斥事件,又因为它们并不是必然事件,所以它们不是对立事件.同理可以判断：
（2）中的2个事件不是互斥事件,也不是对立事件.（3）中的2个事件既不是互斥事件也不是对立事件.（4）中的2个事件既互斥又对立.
例2如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张,那么取到红心（事件A）的概率是
取到方块（事件B）的概率是
问：
（1）取到红色牌（事件C）的概率是多少？
（2）取到黑色牌（事件D）的概率是多少？
活动：
学生先思考或交流,教师及时指导提示,事件C是事件A与事件B的并,且A与B互斥,因此可用互斥事件的概率和公式求解,事件C与事件D是对立事件,因此P（D）=1-P（C）.
解：
（1）因为C=A∪B,且A与B不会同时发生,所以事件A与事件B互斥,根据概率的加法公式得P（C）=P（A）+P（B）=
.
（2）事件C与事件D互斥,且C∪D为必然事件,因此事件C与事件D是对立事件,P（D）=1-P（C）=
.
点评：
利用概率的加法公式,一定要注意使用条件,千万不可大意.
变式训练
某射手在一次射击训练中,射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21、0.23、0.25、0.28,计算该射手在一次射击中：
（1）射中10环或9环的概率；
（2）少于7环的概率.
解：
（1）该射手射中10环与射中9环的概率是射中10环的概率与射中9环的概率的和,即为0.21+0.23=0.44.
（2）射中不少于7环的概率恰为射中10环、9环、8环、7环的概率的和,即为0.21+0.23+0.25+0.28=0.97,而射中少于7环的事件与射中不少于7环的事件为对立事件,所以射中少于7环的概率为1-0.97=0.03.
例1抛掷一骰子,观察掷出的点数,设事件A为“出现奇数点”,B为“出现偶数点”,已知P（A）=
P（B）=
求出“出现奇数点或偶数点”的概率？
活动：
学生思考或讨论,教师引导,抛掷骰子,事件“出现奇数点”和“出现偶数点”是彼此互斥的,并且是相互独立事件,可以运用概率的加法公式求解.
解：
记“出现奇数点或偶数点”为事件C,则C=A∪B,因为A、B是互斥事件,所以P（C）=P（A）+P（B）=
+
=1.
出现奇数点或偶数点的概率为1.
变式训练
抛掷一粒骰子,观察掷出的点数,设事件A为出现奇数,事件B为出现2点,已知P（A）=
P（B）=
求出现奇数点或2点的概率之和.
解：
“出现奇数点”的概率是事件A,“出现2点”的概率是事件B,“出现奇数点或2点”的概率之和为P（C）=P（A）+P（B）=
+
=
.
例2袋中有12个小球,分别为红球、黑球、黄球、绿球,从中任取一球,得到红球的概率为
得到黑球或黄球的概率是
得到黄球或绿球的概率也是
试求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率各是多少？
活动：
学生阅读题目,交流讨论,教师点拨,利用方程的思想及互斥事件、对立事件的概率公式求解.
解：
从袋中任取一球,记事件“摸到红球”“摸到黑球”“摸到黄球”“摸到绿球”为A、B、C、D,则有P（B∪C）=P（B）+P（C）=
；P（C∪D）=P（C）+P（D）=
；P（B∪C∪D）=1-P（A）=1
=
解得P（B）=
P（C）=
P（D）=
.
即得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别是
、
、
.
变式训练
已知盒子中有散落的棋子15粒,其中6粒是黑子,9粒是白子,已知从中取出2粒都是黑子的概率是
从中取出2粒都是白子的概率是
现从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是多少？
解：
从盒子中任意取出2粒恰好是同一色的概率恰为取2粒白子的概率与2粒黑子的概率的和,即为
+
.
知能训练
1.下列说法中正确的是（）
A.事件A、B中至少有一个发生的概率一定比A、B中恰有一个发生的概率大
B.事件A、B同时发生的概率一定比事件A、B恰有一个发生的概率小
C.互斥事件一定是对立事件,对立事件不一定是互斥事件
D.互斥事件不一定是对立事件,对立事件一定是互斥事件答案：
D
2.课本练习1—5.
拓展提升
1.从男女学生共有36名的班级中,任意选出2名委员,任何人都有同样的当选机会.如果选得同性委员的概率等于
求男女生相差几名?
解：
设男生有x名,则女生有36-x名.选得2名委员都是男性的概率为
.
选得2名委员都是女性的概率为
.
以上两种选法是互斥的,又选得同性委员的概率等于
得
+
=
.解得x=15或x=21.
即男生有15名,女生有36-15=21名,或男生有21名,女生有36-21=15名.
总之,男女生相差6名.
课堂小结
1.概率的基本性质是学习概率的基础.不可能事件一定不出现,因此其概率为0,必然事件一定发生,因此其概率为1.当事件A与事件B互斥时,A∪B发生的概率等于A发生的概率与B发生的概率的和,从而有公式P（A∪B）=P（A）+P（B）；对立事件是指事件A与事件B有且仅有一个发生.
2.在利用概率的性质时,一定要注意互斥事件与对立事件的区别与联系,互斥事件是指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生,其具体包括三种不同的情形：
（1）事件A发生且事件B不发生；
（2）事件A不发生且事件B发生；（3）事件A与事件B同时不发生,而对立事件是指事件A与事件B有且仅有一个发生,其包括两种情形:
①事件A发生B不发生；②事件B发生事件A不发生,对立事件是互斥事件的特殊情形.
作业
习题3.1A组5,B组1、2.
3.2古典概型
3.2.1古典概型
课时安排1课时
导入新课
思路1
（1）掷一枚质地均匀的硬币,结果只有2个,即“正面朝上”或“反面朝上”,它们都是随机事件.
（2）一个盒子中有10个完全相同的球,分别标以号码1,2,3,…,10,从中任取一球,只有10种不同的结果,即标号为1,2,3，…,10.
思考讨论根据上述情况,你能发现它们有什么共同特点？
为此我们学习古典概型,教师板书课题.
提出问题
试验一：
抛掷一枚质地均匀的硬币,分别记录“正面朝上”和“反面朝上”的次数,要求每个数学小组至少完成20次（最好是整十数）,最后由学科代表汇总；
试验二：
抛掷一枚质地均匀的骰子,分别记录“1点”“2点”“3点”“4点”“5点”和“6点”的次数,要求每个数学小组至少完成60次（最好是整十数）,最后由学科代表汇总.
（1）用模拟试验的方法来求某一随机事件的概率好不好？
为什么？
（2）根据以前的学习,上述两个模拟试验的每个结果之间都有什么特点？
（3）什么是基本事件？
基本事件具有什么特点？
（4）什么是古典概型？
它具有什么特点？
（5）对于古典概型,应怎样计算事件的概率？
讨论结果：
（1）用模拟试验的方法来求某一随机事件的概率不好,因为需要进行大量的试验,同时我们只是把随机事件出现的频率近似地认为随机事件的概率,存在一定的误差.
（2）上述试验一的两个结果是“正面朝上”和“反面朝上”,它们都是随机事件,出现的概率是相等的,都是0.5.上述试验二的6个结果是“1点”“2点”“3点”“4点”“5点”和“6点”,它们也都是随机事件,出现的概率是相等的,都是
.
（3）根据以前的学习,上述试验一的两个结果“正面朝上”和“反面朝上”,它们都是随机事件；上述试验二的6个结果“1点”“2点”“3点”“4点”“5点”和“6点”,它们都是随机事件,像这类随机事件我们
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