学年北师大版七年级数学下册第五章 生活中的轴对称 单元同步练习题.docx
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学年北师大版七年级数学下册第五章生活中的轴对称单元同步练习题
2020-2021学年北师大版七年级数学下册第五章生活中的轴对称单元同步练习题
A组（基础题）
一、填空题
1．
（1）如图，在2×4的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与△ABC成轴对称的格点三角形一共有______个．
（2）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E，且AB＝8cm，则△DEB的周长为______cm.
2．
（1）如图，在△ABC中，点D，E在BC上，且BD＝DE＝AD＝AE＝EC，则∠BAC的度数是______．
（2）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为______cm.
3．如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO＝______．
4．如图，点M是∠AOB平分线上一点，∠AOB＝60°，ME⊥OA于点E，OE＝
.如果P是OB上一动点，则线段MP的取值范围是______．
二、选择题
5．下列图形中，是轴对称图形的是（）
A B C D
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ACD的度数是（）
A．50°B．40°C．30°D．20°
7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于
MN长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D.若CD＝6，AB＝16，则△ABD的面积为（）
A．16B．32C．48D．60
8．如图，已知D，E是BC边上的点，且BD＝CE，下列条件不能判定△ABE≌△ACD的是（C）
A．AB＝ACB．AD＝AEC．BE＝CDD．∠BDA＝∠CEA
三、解答题
9．
（1）如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD＝CD，BD平分∠ABC，求证：
∠A＋∠C＝180°.
（2）如图，在Rt△ABC中，已知∠ACB＝90°，AC＝BC，D是斜边的中点，经过点C引一条直线l（不与AC，BC重合并且不经过点D），经过点A作AE⊥l，经过点B作BF⊥l，连接DE，DF，猜想△DEF的形状并证明．
10．
（1）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，过点A的直线EF∥BC，且AE＝AF，连接DE，DF，求证：
DE＝DF.
证明：
如图，连接AD，∵AB＝AC，D是BC的中点，
（2）在△ABC中，∠ACB＝90，AC＝BC，点D为线段AC上的一点（不和点A，C重合）点E在线段BD的延长线上，点F在线段BD上，连接CE，CF，AE，且∠ECF＝90°，CE＝CF，过点F作FG⊥BD，分别交线段BC、线段AC的延长线于点P，G.
①如图1，求证：
AC＝CG；
②如图2，延长线段GF交线段AB于点H，连接DH，当AH＝BH时，求证：
∠BHG＝∠AHD.
图1 图2
B组（中档题）
一、填空题
11．如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，△ABC的面积是28cm2，AB＝16cm，AC＝12cm，则DE的长为_____cm.
12．如图，将△ABC沿DE，EF翻折，顶点A，B均落在点O处，且EA与EB重合于线段EO.若∠CDO＋∠CFO＝88°，则∠C＝______．
13.如图，在△ABC中，点D为AC的中点，∠ABC的平分线与AC的垂直平分线交于点E，连接DE，过点E分别作AB，BC所在直线的垂线，垂足分别为M，N.若AM＝2cm，AB＝3.2cm，则BC的长为______cm.
二、解答题
14．如图，O为△ABC内部一点，OB＝3
，P，R为点O分别以直线AB、直线BC为对称轴的对称点．
（1）请指出当∠ABC为多少度时，会使得PR的长度等于7？
并说明PR的长度在此时会等于7的理由．
（2）在
（1）的情况下，当∠ABC不是你指出的角度时，PR的长度是小于7还是大于7？
说明你判断的理由．
C组（综合题）
15．已知：
在四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝BC,∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，将∠MBN绕点B旋转．
（1）当∠MBN旋转到图1的位置，此时∠MBN的两边分别交AD，DC于点E，F，且AE＝CF.求证：
①BE＝BF；
②AE＋CF＝EF.
（2）当∠MBN旋转到图2的位置，此时∠MBN的两边分别交AD，DC于点E，F，且AE≠CF，小颖猜想
（1）中的AE＋CF＝EF仍然成立，并尝试作出了延长DC至点K，使CK＝AE，连接BK，请你证明小颖的猜想；
（3）当∠MBN旋转到图3的位置，此时∠MBN的两边分别交AD，DC于点E，F，请你猜想线段AE，CF，EF之间的数量关系，并证明你的猜想．
参考答案
2020-2021学年北师大版七年级数学下册第五章生活中的轴对称单元同步练习题
A组（基础题）
一、填空题
1．
（1）如图，在2×4的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与△ABC成轴对称的格点三角形一共有3个．
（2）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E，且AB＝8cm，则△DEB的周长为8cm.
2．
（1）如图，在△ABC中，点D，E在BC上，且BD＝DE＝AD＝AE＝EC，则∠BAC的度数是120°．
（2）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为2cm.
3．如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO＝2∶3∶4．
4．如图，点M是∠AOB平分线上一点，∠AOB＝60°，ME⊥OA于点E，OE＝
.如果P是OB上一动点，则线段MP的取值范围是MP≥1．
二、选择题
5．下列图形中，是轴对称图形的是（C）
A B C D
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ACD的度数是（D）
A．50°B．40°C．30°D．20°
7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于
MN长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D.若CD＝6，AB＝16，则△ABD的面积为（C）
A．16B．32C．48D．60
8．如图，已知D，E是BC边上的点，且BD＝CE，下列条件不能判定△ABE≌△ACD的是（C）
A．AB＝ACB．AD＝AEC．BE＝CDD．∠BDA＝∠CEA
三、解答题
9．
（1）如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD＝CD，BD平分∠ABC，求证：
∠A＋∠C＝180°.
证明：
过点D作DE⊥BC于点E，过点D作DF⊥AB交BA的延长线于点F.
∵BD平分∠ABC，
∴DE＝DF，∠DEC＝∠F＝90°.
在Rt△CDE和Rt△ADF中，
∴Rt△CDE≌Rt△ADF（HL）．
∴∠C＝∠FAD.
∴∠BAD＋∠C＝∠BAD＋∠FAD＝180°.
（2）如图，在Rt△ABC中，已知∠ACB＝90°，AC＝BC，D是斜边的中点，经过点C引一条直线l（不与AC，BC重合并且不经过点D），经过点A作AE⊥l，经过点B作BF⊥l，连接DE，DF，猜想△DEF的形状并证明．
解：
△DEF为等腰直角三角形．
证明：
连接CD.
∵AE⊥CE，BF⊥CE，
∴∠AEC＝∠BFC＝90°.
∵∠ACE＋∠BCF＝90°，∠BCF＋∠CBF＝90°，
∴∠ACE＝∠CBF.
在△ACE和△CBF中，
∴△ACE≌△CBF（AAS）．
∴AE＝CF，∠CAE＝∠BCF.
∵∠CAB＝∠DCB＝45°，
∴∠DAE＝∠DCF.
又∵AD＝CD，
∴△AED≌△CFD（SAS）．
∴ED＝FD，∠ADE＝∠CDF.
∴∠EDF＝∠ADE＋∠ADF＝∠CDF＋∠ADF＝90°.
∴△DEF为等腰直角三角形．
10．
（1）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，过点A的直线EF∥BC，且AE＝AF，连接DE，DF，求证：
DE＝DF.
证明：
如图，连接AD，∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC.
∵EF∥BC，
∴AD⊥EF.
又∵AE＝AF，
∴AD是EF的垂直平分线．
∴DE＝DF.
（2）在△ABC中，∠ACB＝90，AC＝BC，点D为线段AC上的一点（不和点A，C重合）点E在线段BD的延长线上，点F在线段BD上，连接CE，CF，AE，且∠ECF＝90°，CE＝CF，过点F作FG⊥BD，分别交线段BC、线段AC的延长线于点P，G.
①如图1，求证：
AC＝CG；
②如图2，延长线段GF交线段AB于点H，连接DH，当AH＝BH时，求证：
∠BHG＝∠AHD.
图1 图2
证明：
①∵∠BCG＝180°－∠ACB＝90°＝∠ECF，
∴∠BCG＋∠BCF＝∠ECF＋∠BCF，
即∠FCG＝∠ECB.
∵FG⊥BD，∴∠DFG＝90°，∴∠DBC＋∠BDG＝90°.
又∵∠DGF＋∠BDG＝90°，∴∠DBC＝∠DGF.
在△BCE和△GCF中，
∴△BCE≌△GCF（AAS）．∴CB＝CG.
又∵AC＝CB，∴AC＝CG.
②在△BDC和△GPC中，
∴△BDC≌△GPC（ASA）．∴CD＝CP.
∵AC＝BC，∴AD＝BP.
∵AC＝BC，∴∠BAC＝∠ABC.
在△AHD和△BHP中，
∴△AHD≌△BHP（SAS）．
∴∠BHG＝∠AHD.
B组（中档题）
一、填空题
11．如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，△ABC的面积是28cm2，AB＝16cm，AC＝12cm，则DE的长为2cm.
12．如图，将△ABC沿DE，EF翻折，顶点A，B均落在点O处，且EA与EB重合于线段EO.若∠CDO＋∠CFO＝88°，则∠C＝46°．
13.如图，在△ABC中，点D为AC的中点，∠ABC的平分线与AC的垂直平分线交于点E，连接DE，过点E分别作AB，BC所在直线的垂线，垂足分别为M，N.若AM＝2cm，AB＝3.2cm，则BC的长为7.2cm.
二、解答题
14．如图，O为△ABC内部一点，OB＝3
，P，R为点O分别以直线AB、直线BC为对称轴的对称点．
（1）请指出当∠ABC为多少度时，会使得PR的长度等于7？
并说明PR的长度在此时会等于7的理由．
（2）在
（1）的情况下，当∠ABC不是你指出的角度时，PR的长度是小于7还是大于7？
说明你判断的理由．
解：
（1）∠ABC＝90°时，PR＝7.
理由如下：
连接PB，RB，
∵点P，R为点O分别以直线AB、直线BC为对称轴的对称点，
∴PB＝OB＝3
，RB＝OB＝3
，∠ABP＝∠ABD，∠CBR＝∠CBO.
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABP＋∠CBR＋∠ABO＋∠CBO＝2∠ABC＝180°.
∴P，B，R三点共线．∴PR＝PB＋BR＝7.
（2）PR的长度小于7.
理由如下：
当∠ABC≠90°时，
则点P，B，R三点不在同一直线上，
连接PR，
∴PB＋BR＞PR.
∵PB＋BR＝2OB＝2×3
＝7，∴PR＜7.
C组（综合题）
15．已知：
在四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝BC,∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，将∠MBN绕点B旋转．
（1）当∠MBN旋转到图1的位置，此时∠MBN的两边分别交AD，DC于点E，F，且AE＝CF.求证：
①BE＝BF；
②AE＋CF＝EF.
（2）当∠MBN旋转到图2的位置，此时∠MBN的两边分别交AD，DC于点E，F，且AE≠CF，小颖猜想
（1）中的AE＋CF＝EF仍然成立，并尝试作出了延长DC至点K，使CK＝AE，连接BK，请你证明小颖的猜想；
（3）当∠MBN旋转到图3的位置，此时∠MBN的两边分别交AD，DC于点E，F，请你猜想线段AE，CF，EF之间的数量关系，并证明你的猜想．
解：
（1）证明：
①在△ABE和△CBF中，
∴△ABE≌△CBF（SAS）．∴BE＝BF.
②由①知△ABE≌△CBF，
∴∠ABE＝∠CBF＝
（∠ABC－∠MBN）＝
（120°－60°）＝30°.
∴AE＝
BE，CF＝
BF.
∵BE＝BF，∠MBN＝60°，
∴△BEF是等边三角形．
∴BE＝BF＝EF.
∴AE＋CF＝
BE＋
BF＝EF.
（2）证明：
延长DC至点K，使得CK＝AE，连接BK.
在△ABE和△CBK中，
∴△ABE≌△CBK（SAS）．
∴BE＝BK，∠ABE＝∠KBC.
∵∠ABE＋∠CBE＝120°，
∴∠KBC＋∠CBE＝120°，即∠KBE＝120°.
∵∠EBF＝60°，∴∠KBF＝∠EBF＝60°.
在△EBF和△KBF中，
∴△EBF≌△KBF（SAS）．∴EF＝KF.
∵KF＝CK＋CF，∴AE＋CF＝EF.
（3）猜想：
AE－CF＝EF.
证明：
在DC的延长线上取点K，使CK＝AE，连接BK.
在△ABE和△CBK中，
∴△ABE≌△CBK（SAS）．
∴BE＝BK，∠ABE＝∠KBC.
∵∠ABE＋∠CBE＝120°，
∴∠KBC＋∠CBE＝120°，即∠KBE＝120°.
∵∠EBF＝60°，∴∠KBF＝∠EBF＝60°.
在△EBF和△KBF中，
∴△EBF≌△KBF（SAS）．∴EF＝KF.
∵KF＝CK－CF，∴AE－CF＝EF.
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