专题测试多边形与平行四边形含答案共38讲汇总.docx

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专题测试多边形与平行四边形含答案共38讲汇总

一、选择题

1．（2012•肇庆）一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形是（　　）

A．四边形B．五边形C．六边形D．八边形

1．考点：

多边形内角与外角．

分析：

首先设此多边形是n边形，由多边形的外角和为360°，即可得方程180（n-2）=360，解此方程即可求得答案．

解：

设此多边形是n边形，

∵多边形的外角和为360°，

∴180（n-2）=360，

解得：

n=4．

∴这个多边形是四边形．

故选A．

点评：

此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．此题难度不大，注意多边形的外角和为360°，n边形的内角和等于180°（n-2）．

2．（2012•玉林）正六边形的每个内角都是（　　）

A．60°B．80°C．100°D．120°

2．考点：

多边形内角与外角．专题：

常规题型．

分析：

先利用多边形的内角和公式（n-2）•180°求出正六边形的内角和，然后除以6即可；

或：

先利用多边形的外角和除以正多边形的边数，求出每一个外角的度数，再根据相邻的内角与外角是邻补角列式计算．

解：

（6-2）•180°=720°，

所以，正六边形的每个内角都是720°÷6=120°，

或：

360°÷6=60°，

180°-60°=120°．

故选D．

点评：

本题考查了多边形的内角与外角，利用正多边形的外角度数、边数、外角和三者之间的关系求解是此类题目常用的方法，而且求解比较简便．

3．（2012•深圳）如图所示，一个60°角的三角形纸片，剪去这个60°角后，得到一个四边形，则∠1+∠2的度数为（　　）

A．120°B．180°C．240°D．300°

3．考点：

多边形内角与外角；三角形内角和定理．

分析：

三角形纸片中，剪去其中一个60°的角后变成四边形，则根据多边形的内角和等于360度即可求得∠1+∠2的度数．

解：

根据三角形的内角和定理得：

四边形除去∠1，∠2后的两角的度数为180°-60°=120°，

则根据四边形的内角和定理得：

∠1+∠2=360°-120°=240°．

故选C．

点评：

主要考查了三角形及四边形的内角和是360度的实际运用与三角形内角和180度之间的关系．

4．（2012•南宁）如图，在平行四边形ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，对角线AC，BD相交于点O，则OA的取值范围是（　　）

A．2cm＜OA＜5cmB．2cm＜OA＜8cmC．1cm＜OA＜4cmD．3cm＜OA＜8cm

4．考点：

平行四边形的性质；三角形三边关系．分析：

由在平行四边形ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，根据平行四边形对角线互相平分与三角形三边关系，即可求得OA=OC=

AC，2cm＜AC＜8cm，继而求得OA的取值范围．

解：

∵平行四边形ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，

∴OA=OC=

AC，2cm＜AC＜8cm，

∴1cm＜OA＜4cm．

故选C．

点评：

此题考查了平行四边形的性质与三角形三边关系．此题比较简单，注意数形结合思想的应用，注意掌握平行四边形对角线互相平分定理的应用．

5．（2012•杭州）已知平行四边形ABCD中，∠B=4∠A，则∠C=（　　）

A．18°B．36°C．72°D．144°

5．考点：

平行四边形的性质；平行线的性质．专题：

计算题．

分析：

关键平行四边形性质求出∠C=∠A，BC∥AD，推出∠A+∠B=180°，求出∠A的度数，即可求出∠C．

解：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠C=∠A，BC∥AD，

∴∠A+∠B=180°，

∵∠B=4∠A，

∴∠A=36°，

∴∠C=∠A=36°，

故选B．

点评：

本题考查了平行四边形性质和平行线的性质的应用，主要考查学生运用平行四边形性质进行推理的能力，题目比较好，难度也不大．

6．（2012•巴中）不能判定一个四边形是平行四边形的条件是（　　）

A．两组对边分别平行B．一组对边平行另一组对边相等

C．一组对边平行且相等D．两组对边分别相等

6．考点：

平行四边形的判定．

分析：

根据平行四边形的判定：

①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可选出答案．

解：

根据平行四边形的判定，A、D、C均符合是平行四边形的条件，B则不能判定是平行四边形．

故选B．

点评：

此题主要考查学生对平行四边形的判定的掌握情况．对于判定定理：

“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．”应用时要注意必须是“一组”，而“一组对边平行且另一组对边相等”的四边形不一定是平行四边形．

7．（2012•广元）若以A（-0.5，0）、B（2，0）、C（0，1）三点为顶点要画平行四边行，则第四个顶点不可能在（　　）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

7．考点：

平行四边形的判定；坐标与图形性质．专题：

数形结合．

分析：

令点A为（-0.5，4），点B（2，0），点C（0，1），①以BC为对角线作平行四边形，②以AC为对角线作平行四边形，③以AB为对角线作平行四边形，从而得出点D的三个可能的位置，由此可判断出答案．

解：

根据题意画出图形，如图所示：

分三种情况考虑：

①以CB为对角线作平行四边形ABD1C，此时第四个顶点D1落在第一象限；

②以AC为对角线作平行四边形ABCD2，此时第四个顶点D2落在第二象限；

③以AB为对角线作平行四边形ACBD3，此时第四个顶点D3落在第四象限，

则第四个顶点不可能落在第三象限．

故选C

点评：

本题考查了平行四边形的性质及坐标的性质，利用了数形结合的数学思想，学生做题时注意应以每条边为对角线分别作平行四边形，不要遗漏．

8．（2012•益阳）如图，点A是直线l外一点，在l上取两点B、C，分别以A、C为圆心，BC、AB长为半径画弧，两弧交于点D，分别连接AB、AD、CD，则四边形ABCD一定是（　　）

A．平行四边形B．矩形C．菱形D．梯形

8．考点：

平行四边形的判定；作图—复杂作图．

分析：

利用平行四边形的判定方法可以判定四边形ABCD是平行四边形．

解：

∵别以A、C为圆心，BC、AB长为半径画弧，两弧交于点D，

∴AD=BCAB=CD

∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．

故选A．

点评：

本题考查了平行四边形的判定，解题的关键是熟记平行四边形的判定方法．

9．（2012•德阳）如图，点D是△ABC的边AB的延长线上一点，点F是边BC上的一个动点（不与点B重合）．以BD、BF为邻边作平行四边形BDEF，又

（点P、E在直线AB的同侧），如果BD=

AB，那么△PBC的面积与△ABC面积之比为（　　）

A．

B．

C．

D．

9．考点：

平行四边形的判定与性质．

分析：

首先过点P作PH∥BC交AB于H，连接CH，PF，易得四边形APEB，BFPH是平行四边形，又由四边形BDEF是平行四边形，设BD=a，则AB=4a，可求得BH=PF=3a，又由S△HBC=S△PBC，S△HBC：

S△ABC=BH：

AB，即可求得△PBC的面积与△ABC面积之比．解答：

解：

过点P作PH∥BC交AB于H，连接CH，PF，

∵

，

∴四边形APEB是平行四边形，

∴PE∥AB，PE=AB，

∵四边形BDEF是平行四边形，

∴EF∥BD，EF=BD，

即EF∥AB，

∴P，E，F共线，

设BD=a，

∵BD=

AB，

∴PE=AB=4a，

则PF=PE-EF=3a，

∵PH∥BC，

∴S△HBC=S△PBC，

∵PF∥AB，

∴四边形BFPH是平行四边形，

∴BH=PF=3a，

∵S△HBC：

S△ABC=BH：

AB=3a：

4a=3：

4，

∴S△PBC：

S△ABC=3：

4．

故选D．

点评：

此题考查了平行四边形的判定与性质与三角形面积比的求解方法．此题难度较大，注意准确作出辅助线，注意等高三角形面积的比等于其对应底的比．

1．（2012•孝感）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，E、F分别是AB，AD的中点，DE、BF相交于点G，连接BD，CG．有下列结论：

①∠BGD=120°；②BG+DG=CG；③△BDF≌△CGB；④S△ABD=

AB2其中正确的结论有（　　）

A．

1个

B．

2个

C．

3个

D．

4个

考点：

菱形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质。

810360

专题：

综合题。

分析：

先判断出△ABD、BDC是等边三角形，然后根据等边三角形的三心（重心、内心、垂心）合一的性质，结合菱形对角线平分一组对角，三角形的判定定理可分别进行各项的判断．

解答：

解：

①由菱形的性质可得△ABD、BDC是等边三角形，∠DGB=∠GBE+∠GEB=30°+90°=120°，故①正确；

②∵∠DCG=∠BCG=30°，DE⊥AB，∴可得DG=

CG（30°角所对直角边等于斜边一半）、BG=

CG，故可得出BG+DG=CG，即②也正确；

③首先可得对应边BG≠FD，因为BG=DG，DG＞FD，故可得△BDF不全等△CGB，即③错误；

④S△ABD=

AB•DE=

AB•（

BE）=

AB•

AB=

AB2，即④正确．

综上可得①②④正确，共3个．

故选C．

点评：

此题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质及等边三角形的判定与性质，综合的知识点较多，注意各知识点的融会贯通，难度一般．

二、填空题

10．（2012•义乌市）正n边形的一个外角的度数为60°，则n的值为．

10．考点：

多边形内角与外角．专题：

探究型．

分析：

先根据正n边形的一个外角的度数为60°求出其内角的度数，再根据多边形的内角和公式解答即可．

解：

∵正n边形的一个外角的度数为60°，

∴其内角的度数为：

180°-60°=120°，

∴（n-2）•180°÷n=120°，解得n=6．

故答案为：

6．

点评：

本题考查的是多边形的内角与外角，熟知多边形的内角和公式是解答此题的关键．

11．（2012•厦门）五边形的内角和的度数是．

11．540°

考点：

多边形内角与外角．

分析：

根据n边形的内角和公式：

180°（n-2），将n=5代入即可求得答案．

解：

五边形的内角和的度数为：

180°×（5-2）=180°×3=540°．

故答案为：

540°．

点评：

此题考查了多边形的内角和公式．此题比较简单，准确记住公式是解此题的关键．

12．（2012•德阳）已知一个多边形的内角和是外角和的

，则这个多边形的边数是．

12．5

考点：

多边形内角与外角．分析：

根据内角和等于外角和之间的关系列出有关边数n的方程求解即可．解答：

解：

设该多边形的边数为n

则（n-2）×180=

×360

解得：

n=5

故答案为5．

点评：

本题考查了多边形的内角与外角，解题的关键是牢记多边形的内角和与外角和．

13．（2012•成都）如图，将平行四边形ABCD的一边BC延长至E，若∠A=110°，则∠1=．

13．70°

考点：

平行四边形的性质．

分析：

根据平行四边形的对角相等求出∠BCD的度数，再根据平角等于180°列式计算即可得解．

解：

∵平行四边形ABCD的∠A=110°，

∴∠BCD=∠A=110°，

∴∠1=180°-∠BCD=180°-110°=70°．

故答案为：

70°．

点评：

本题考查了平行四边形的对角相等的性质，是基础题，比较简单，熟记性质是解题的关键．

14．（2012•黑龙江）如图，已知点E、F是平行四边形ABCD对角线上的两点，请添加一个条件使△ABE≌△CDF（只填一个即可）．

14．AE=CF

考点：

平行四边形的性质；全等三角形的判定．专题：

开放型．

分析：

根据平行四边形性质推出AB=CD，AB∥CD，得出∠BAE=∠DCF，根据SAS证两三角形全等即可．

解：

添加的条件是AE=CF，

理由是：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD，AB∥CD，

∴∠BAE=∠DCF，

∵在△ABE和△CDF中

AB=CD，∠BAE=∠DCF，AE=CF，

∴△ABE≌△CDF，

故答案为：

AE=CF．

点评：

本题考查了平行四边形的性质和全等三角形的判定的应用，通过做此题培养了学生的分析问题和解决问题的能力，也培养了学生的发散思维能力，题目比较好，是一道开放性的题目，答案不唯一．

2．（2012•咸宁）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，BE平分∠ABC且交CD于E，E为CD的中点，EF∥BC交AB于F，EG∥AB交BC于G，当AD=2，BC=12时，四边形BGEF的周长为　28　．

考点：

梯形中位线定理；菱形的判定与性质。

810360

专题：

探究型。

分析：

先根据EF∥BC交AB于F，EG∥AB交BC于G得出四边形BGEF是平行四边形，再由BE平分∠ABC且交CD于E可得出∠FBE=∠EBC，由EF∥BC可知，∠EBC=∠FEB，故∠FBE=FEB，由此可判断出四边形BGEF是菱形，再根据E为CD的中点，AD=2，BC=12求出EF的长，进而可得出结论．

解答：

解：

∵EF∥BC交AB于F，EG∥AB交BC于G，

∴四边形BGEF是平行四边形，

∵BE平分∠ABC且交CD于E，

∴∠FBE=∠EBC，

∵EF∥BC，

∴∠EBC=∠FEB，

∴∠FBE=FEB，

∴四边形BGEF是菱形，

∵E为CD的中点，AD=2，BC=12，

∴EF=

（AD+BC）=

×（2+12）=7，

∴四边形BGEF的周长=4×7=28．

故答案为：

28．

点评：

本题考查的是梯形中位线定理及菱形的判定与性质，根据题意判断出四边形BGEF是菱形是解答此题的关键．

3．（2012•天津）如图，已知正方形ABCD的边长为1，以顶点A、B为圆心，1为半径的两弧交于点E，以顶点C、D为圆心，1为半径的两弧交于点F，则EF的长为　

　．

考点：

正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理。

810360

分析：

连接AE，BE，DF，CF，可证明三角形AEB是等边三角形，利用等边三角形的性质和勾股定理即可求出边AB上的高线，同理可求出CD边上的高线，进而求出EF的长．

解答：

解：

连接AE，BE，DF，CF．

∵以顶点A、B为圆心，1为半径的两弧交于点E，AB=1，

∴AB=AE=BE，

∴△AEB是等边三角形，

∴边AB上的高线为：

，

同理：

CD边上的高线为：

，

延长EF交AB于N，并反向延长EF交DC于M，则E、F、M，N共线，

∵AE=BE，

∴点E在AB的垂直平分线上，

同理：

点F在DC的垂直平分线上，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB∥DC，

∴MN⊥AB，MN⊥DC，

设F到AB到距离为x，E到DC的距离为x′，EF=y，

由题意可知：

x=x′，

则x+y+x=1，

∵x+y=

，

∴x=1﹣

，

∴EF=1﹣2x=

﹣1．

故答案为

﹣1．

点评：

本题考查了正方形的性质和等边三角形的判定和性质以及勾股定理的运用，解题的关键是添加辅助线构造等边三角形，利用等边三角形的性质解答即可．

4．（2012•沈阳）如图，菱形ABCD的边长为8cm，∠A=60°，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，则四边形BEDF的面积为　16

　cm2．

考点：

菱形的性质；等边三角形的判定与性质。

810360

分析：

连接BD，可得△ABD是等边三角形，根据菱形的对称性与等边三角形的对称性可得四边形BEDF的面积等于△ABD的面积，然后求出DE的长度，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解．

解答：

解：

如图，连接BD，∵∠A=60°，AB=AD（菱形的边长），

∴△ABD是等边三角形，

∴DE=

AD=

×8=4

cm，

根据菱形的对称性与等边三角形的对称性可得，四边形BEDF的面积等于△ABD的面积，

×8×4

=16

cm2．

故答案为：

16

．

点评：

本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，作出辅助线构造出等边三角形是解题的关键．

5．（2012•深圳）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形对角线交于点O，连接OC，已知AC=5，OC=6

，则另一直角边BC的长为　7　．

考点：

正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形。

810360

专题：

计算题。

分析：

过O作OF垂直于BC，再过A作AM垂直于OF，由四边形ABDE为正方形，得到OA=OB，∠AOB为直角，可得出两个角互余，再由AM垂直于MO，得到△AOM为直角三角形，其两个锐角互余，利用同角的余角相等可得出一对角相等，再由一对直角相等，OA=OB，利用AAS可得出△AOM与△BOF全等，由全等三角形的对应边相等可得出AM=OF，OM=FB，由三个角为直角的四边形为矩形得到ACFM为矩形，根据矩形的对边相等可得出AC=MF，AM=CF，等量代换可得出CF=OF，即△COF为等腰直角三角形，由斜边OC的长，利用勾股定理求出OF与CF的长，根据OF﹣MF求出OM的长，即为FB的长，由CF+FB即可求出BC的长．

解答：

解法一：

如图1所示，过O作OF⊥BC，过A作AM⊥OF，

∵四边形ABDE为正方形，

∴∠AOB=90°，OA=OB，

∴∠AOM+∠BOF=90°，

又∠AMO=90°，∴∠AOM+∠OAM=90°，

∴∠BOF=∠OAM，

在△AOM和△BOF中，

，

∴△AOM≌△BOF（AAS），

∴AM=OF，OM=FB，

又∠ACB=∠AMF=∠CFM=90°，

∴四边形ACFM为矩形，

∴AM=CF，AC=MF=5，

∴OF=CF，

∴△OCF为等腰直角三角形，

∵OC=6

，

∴根据勾股定理得：

CF2+OF2=OC2，

解得：

CF=OF=6，

∴FB=OM=OF﹣FM=6﹣5=1，

则BC=CF+BF=6+1=7．

故答案为：

7．

解法二：

如图2所示，

过点O作OM⊥CA，交CA的延长线于点M；过点O作ON⊥BC于点N．

易证△OMA≌△ONB，∴OM=ON，MA=NB．

∴O点在∠ACB的平分线上，∴△OCM为等腰直角三角形．

∵OC=6

，∴CM=6．

∴MA=CM﹣AC=6﹣5=1，

∴BC=CN+NB=6+1=7．

故答案为：

7．

点评：

此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，以及等腰直角三角形的判定与性质，利用了转化及等量代换的思想，根据题意作出相应的辅助线是解本题的关键．

三、解答题

15．（2012•湖州）已知：

如图，在▱ABCD中，点F在AB的延长线上，且BF=AB，连接FD，交BC于点E．

（1）说明△DCE≌△FBE的理由；

（2）若EC=3，求AD的长．

15．考点：

平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．

分析：

（1）由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对边平行且相等，即可得AB=DC，AB∥DC，继而可求得∠CDE=∠F，又由BF=AB，即可利用AAS，判定△DCE≌△FBE；

（2）由

（1），可得BE=EC，即可求得BC的长，又由平行四边形的对边相等，即可求得AD的长．

解答：

（1）证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=DC，AB∥DC，1分

∴∠CDE=∠F，1分

又∵BF=AB，1分

∴DC=FB，

在△DCE和△FBE中，

∵

，

∴△DCE≌△FBE（AAS）

（2）解：

∵△DCE≌△FBE，

∴EB=EC，

∵EC=3，

∴BC=2EB=6，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD=BC，

∴AD=6．

点评：

此题考查了平行线的性质与全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意数形结合思想的应用．

16．（2012•黄石）如图所示，已知在平行四边形ABCD中，BE=DF．求证：

∠DAE=∠BCF．

16．考点：

平行四边形的性质；平行线的性质；全等三角形的判定与性质．专题：

证明题．

分析：

根据平行四边形性质求出AD∥BC，且AD=BC，推出∠ADE=∠CBF，求出DE=BF，证△ADE≌△CBF，推出∠DAE=∠BCF即可．

证明：

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AD∥BC，且AD=BC，

∴∠ADE=∠CBF又∵BE=DF，

∴BF=DE，

∵在△ADE和△CBF中

，

∴△ADE≌△CBF，

∴∠DAE=∠BCF．

点评：

本题考查了平行四边形性质，平行线性质，全等三角形的性质和判定的应用，关键是求出证出△ADE和△CBF全等的三个条件，主要考查学生的推理能力．

17．（2012•泰州）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AE⊥AD交BD于点E，CF⊥BC交BD于点F，且AE=CF．求证：

四边形ABCD是平行四边形．

17．考点：

平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质．专题：

证明题．

分析：

由垂直得到∠EAD=∠FCB=90°，根据AAS可证明Rt△AED≌Rt△CFB，得到AD=BC，根据平行四边形的判定判断即可．

证明：

∵AE⊥AD，CF⊥BC，

∴∠EAD=∠FCB=90°，

∵AD∥BC，

∴∠ADE=∠CBF，

在Rt△AED和Rt△CFB中，

∵

，

∴Rt△AED≌Rt△CFB，

∴AD=BC，

∵AD∥BC，

∴四边形ABCD是平行四边形．

点评：

本题考查了平行四边形的判定，平行线的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的应用，关键是推出AD=BC，主要考查学生运用性质进行推理的能力．

19．（2012•厦门）已知平行四边形ABCD，对角线AC和BD相交于点O，点P在边AD上，过点P作PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分别为E、F，PE=PF．

（1）如图，若PE=

，EO=1，求∠EPF的度数；

（2）若点P是AD的中点，点F是DO的中点，BF=BC+3

-4，求BC的长．

19．考点：

平行四边形的性质；角平分线的性质；三角形中位线定理；正方形的判定与性质．专题：

几何综合题．

分析：

（1）连接PO，利用解直角三角形求出∠EPO=30°，再利用“HL”证明△PEO和△PFO全等，根据全等三角形对应角相等可得∠FPO=∠EPO，从而得解；

（2）根据三角形中位线定理可得PF∥AO，且PF=

AO，然后根据两直线平行，同位角相等可得∠AOD=∠PFD=90°，再根据同位角相等，两直线平行可得PE∥OD，所以PE也是△AOD的中位线，然后证明四边形ABCD是正方形，根据正方形的对角线与边长的关系列式计算即可得解．

解：

（1）如图，连接PO，∵PE⊥AC，PE=3，EO=1，

∴tan∠EPO=

，

∴∠EPO=30°，

∵PE⊥AC，PF⊥BD，

∴∠PEO=∠PFO=90°，

在Rt△PEO和Rt△PFO中，

，

∴Rt△PEO≌Rt△PFO（HL），

∴∠FPO=∠EPO=30°，

∴∠EPF=∠FPO+∠EPO=30°+30°=60°；