高三复习三角函数定义教师学生版含参考答案与解析.docx

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高三复习三角函数定义教师学生版含参考答案与解析

4.1任意角和弧度制及任意角的三角函数

1．角的概念

（1）分类

（2）终边相同的角：

所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合_______

2．弧度的定义和公式

（1）定义：

长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.

（2）公式：

①弧度与角度的换算：

360°＝___弧度；180°＝___弧度；

②弧长公式：

l＝_____；③扇形面积公式：

S扇形＝____和____

3．任意角的三角函数

（1）定义：

已知角α终边上任意一点P（x，y），它到坐标原点的距离是r＝（r>0），则sinα＝_____，cosα＝_____，tanα＝_____（______）．

（2）几何表示：

三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是（1,0）．

如图中角α的正弦线为______，余弦线为_______和正切线为__________．

1．利用180°＝πrad进行互化时，易出现度量单位的混用．

2．三角函数的定义中，当P（x，y）是单位圆上的点时有sinα＝y，cosα＝x，tanα＝，但若不是单位圆时，如圆的半径为r，则sinα＝，cosα＝，tanα＝.

试一试：

1．已知角α的终边经过点（－4,3），则cosα＝________.

2．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是________．

3．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P（4，y）是角θ终边上一点，

且sinθ＝－，则y＝____________.

4．函数y＝的定义域为________．

考点一、角的集合表示及象限角的判断

例1.

（1）终边在直线y＝x上的角的集合为________．

（2）如果α是第三象限角，那么角2α的终边落在________．

（3）设α是第二象限角且＝－cos，则角是第________象限角．

考点二三角函数的定义

例2、

（1）已知角α的终边过点P（－8m，－6sin30°），且cosα＝－，则m的值为________．

（2）若sinαtanα<0，且<0，则角α是第________象限角．

考点三扇形的弧长及面积公式

例3、已知一扇形的圆心角为α（α>0），所在圆的半径为R.

（1）若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；

（2）若扇形的周长是一定值C（C>0），当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？

类题通关

（1）已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角．

（2）圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是________.

（3）已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？

课堂练习

1．如图所示，在直角坐标系xOy中，射线OP交单位圆O于点P，若∠AOP＝θ，则点P的坐标是________．

2．已知扇形的周长是6cm，面积是2cm2，则扇形的圆心角的弧度数是________．

3、已知角α的终边经过点（3a－9，a＋2），且cosα≤0，sinα>0，则a的取值范围_______．

4．已知角α的终边经过点P（x，－6），且tanα＝－，则x的值为________．

5．已知sinα＝，且α∈，则tanα＝______.

4.1　任意角、弧度制及任意角的三角函数作业

1．角α的终边过点P（－1,2），则sinα＝________.

2．若一扇形的圆心角为72°，半径为20cm，则扇形的面积为________cm2.

3．已知角x的终边上一点的坐标为（sin，cos），则角x的最小正值为________．

4、．α＝2kπ－（k∈Z），若角θ与角α的终边相同，则y＝＋＋的值为______．

5．在直角坐标系中，O是原点，A点坐标为（，－1），将OA绕O逆时针旋转450°到B点，则B点的坐标为________．

6．设α为第二象限角，其终边上一点为P（m，），且cosα＝m，则sinα的值为________．

7．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为，则cosα＝________.

8．函数y＝＋的定义域是__________．

9．已知角θ的终边经过点P（－，m）（m≠0）且sinθ＝m，试判断角θ所在的象限，并求cosθ和tanθ的值．

10．已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.

（1）若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧长l.

（2）若扇形的周长为20cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？

（3）若α＝，R＝2cm，求扇形的弧所在的弓形的面积．

4.1任意角和弧度制及任意角的三角函数

1．角的概念

（1）分类

（2）终边相同的角：

所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．

2．弧度的定义和公式

（1）定义：

长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.

（2）公式：

①弧度与角度的换算：

360°＝2π弧度；180°＝π弧度；②弧长公式：

l＝|α|r；③扇形面积公式：

S扇形＝lr和|α|r2.

3．任意角的三角函数

（1）定义：

设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），则sinα＝y，cosα＝x，tanα＝（x≠0）．

（2）几何表示：

三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是（1,0）．

如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线，余弦线和正切线．

1．易混概念：

第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角．

2．利用180°＝πrad进行互化时，易出现度量单位的混用．

3．三角函数的定义中，当P（x，y）是单位圆上的点时有sinα＝y，cosα＝x，tanα＝，但若不是单位圆时，如圆的半径为r，则sinα＝，cosα＝，tanα＝.

[试一试]

1、已知角α的终边经过点（－4,3），则cosα＝________.

[解析]　由角α的终边经过点（－4,3）得x＝－4，y＝3，

所以r＝＝5，所以cosα＝＝＝－.

[答案]　－

2．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是________．

答案　

解析　设圆的半径为r，则sin1＝，∴r＝，

∴2弧度的圆心角所对弧长为2r＝.

3．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P（4，y）是角θ终边上一点，且sinθ＝－，则y＝____________.

答案　－8

解析　因为sinθ＝＝－，

所以y<0，且y2＝64，所以y＝－8.

4．函数y＝的定义域为________．

答案　（k∈Z）

解析　∵2cosx－1≥0，

∴cosx≥.

由三角函数线画出x满足条件的终边范围（如图阴影所示）．

∴x∈（k∈Z）．

1．三角函数值在各象限的符号规律概括为：

一全正、二正弦、三正切、四余弦；

2．对于利用三角函数定义解题的题目，如果含有参数，一定要考虑运用分类讨论，而在求解简单的三角不等式时，可利用单位圆及三角函数线，体现了数形结合的思想．

[练一练]

若sinα<0且tanα>0，则α是第______象限角．

解析：

由sinα<0，知α在第三、第四象限或α终边在y轴的负半轴上，由tanα>0，知α在第一或第三象限，因此α在第三象限．

答案：

三

考点一

角的集合表示及象限角的判定

例1.给出下列四个命题：

1、终边在直线y＝x上的角的集合为________．

2、如果α是第三象限角，那么角2α的终边落在________．

3、设α是第二象限角且＝－cos，则角是第________象限角．

答案　

（1）{α|α＝kπ＋，k∈Z}　

（2）第一、二象限或y轴的非负半轴上

解析　

（1）∵在（0，π）内终边在直线y＝x上的角是，

∴终边在直线y＝x上的角的集合为{α|α＝＋kπ，k∈Z}．

（2）∵2kπ＋π<α<2kπ＋π，k∈Z，

∴4kπ＋2π<2α<4kπ＋3π，k∈Z.

∴角2α的终边落在第一、二象限或y轴的非负半轴上．

（2）由角α是第二象限角可知2kπ＋<α<2kπ＋π，k∈Z，

所以kπ＋<

当k＝2n（n∈Z）时，2nπ＋<<2nπ＋，为第一象限角．

当k＝2n＋1（n∈Z）时，2nπ＋<<2nπ＋，为第三象限角．

又＝－cos，知cos≤0.

综上所述．可知是第三象限角．

[类题通法]

1．利用终边相同角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角．

2．已知角α的终边位置，确定形如kα，π±α等形式的角终边的方法：

先表示角α的范围，再写出kα，π±α等形式的角范围，然后就k的可能取值讨论所求角的终边位置．

考点二

三角函数的定义

例2、

（1）已知角α的终边过点P（－8m，－6sin30°），且cosα＝－，则m的值为________．

（2）若sinαtanα<0，且<0，则角α是第________象限角．

解析　

（1）∵r＝，

∴cosα＝＝－，

∴m>0，∴＝，即m＝.

（2）由sinαtanα<0可知sinα，tanα异号，从而角α为第二或第三象限角．

由<0可知cosα，tanα异号，从而角α为第三或第四象限角，故角α为第三象限角．

[类题通法]

用定义法求三角函数值的两种情况

（1）已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解；

（2）已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关问题．

[针对训练]

已知角α的终边在直线y＝－3x上，求10sinα＋的值．

解：

设α终边上任一点为P（k，－3k），

则r＝＝|k|.

当k>0时，r＝k，

∴sinα＝＝－，＝＝，

∴10sinα＋＝－3＋3＝0；

当k<0时，r＝－k，

∴sinα＝＝，

＝＝－，

∴10sinα＋＝3－3＝0.

综上，10sinα＋＝0.

考点三

扇形的弧长及面积公式

例3　已知一扇形的圆心角为α（α>0），所在圆的半径为R.

（1）若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；

（2）若扇形的周长是一定值C（C>0），当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？

思维点拨　

（1）弓形面积可用扇形面积与三角形面积相减得到；

（2）建立关于α的函数．

解　

（1）设弧长为l，弓形面积为S弓，则

α＝60°＝，R＝10，l＝×10＝（cm），

S弓＝S扇－S△＝××10－×102×sin

＝π－＝50（cm2）．

（2）扇形周长C＝2R＋l＝2R＋αR，∴R＝，

∴S扇＝α·R2＝α·2

＝α·＝·≤.

当且仅当α2＝4，即α＝2时，扇形面积有最大值.

变式1、

（1）已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角．

（2）圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是________.

（3）已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？

[解]　

（1）设圆心角是θ，半径是r，

则⇒（舍），

故

（2）解析：

设圆半径为r，则圆内接正方形的对角线长为2r，

∴正方形边长为r，

∴圆心角的弧度数是＝.

答案：

扇形圆心角为.

（3）设圆心角是θ，半径是r，

则2r＋rθ＝40.

S＝θ·r2＝r（40－2r）＝r（20－r）

＝－（r－10）2＋100≤100，

当且仅当r＝10时，Smax＝100，θ＝2.

所以当r＝10，θ＝2时，扇形面积最大．

[类题通法]

弧度制应用的关注点

（1）弧度制下l＝|α|·r，S＝lr，此时α为弧度．在角度制下，弧长l＝，扇形面积S＝，此时n为角度，它们之间有着必然的联系．

（2）在解决弧长、面积及弓形面积时要注意合理应用圆心角所在的三角形．

提高选用

创新探究之3

三角函数的定义与向量的创新交汇问题

如图311，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在（0,1），此时圆上一点P的位置在（0,0），圆在x轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于（2,1）时，的坐标为________．

图311

[解析]　如图，设A（2,1），连AP，分别过P，A作PC，AB垂直x轴于C，B点，过A作AD⊥PC于D点．由题意知劣弧的长为2.

∵圆半径为1，

∴∠BAP＝2，故∠DAP＝2－.

∴DP＝AP·sin＝－cos2，

∴PC＝1－cos2，

DA＝APcos＝sin2，

∴OC＝2－sin2.

故＝（2－sin2,1－cos2）．

[答案]　（2－sin2,1－cos2）

【智慧心语】　

创新点拨：

（1）本题考查向量、三角函数定义、弧长公式的交汇，其实质是三角函数的概念，命题角度新颖，突出知识的迁移与应用．

（2）通过静止问题解决动态问题，考查考生处理“变”与“不变”的转化意识，突出灵活应用与创新能力的考查．

应对措施：

（1）把待求问题和已知条件联系起来，分析它们之间的联系，寻找解决问题的方案．

（2）分析单位圆的运动过程，从点P的运动轨迹，寻找解决问题的条件．

【类题通关】　在平面直角坐标系中，点O（0,0），P（6,8），将向量绕点O按逆时针方向旋转后得向量，则点Q的坐标是________．

[解析]　|OP|＝10，设∠xOP＝θ，

∴cosθ＝＝，sinθ＝.

设＝（x，y），

则x＝10cos＝10sinθ＝8，

y＝10sin＝－10cosθ＝－6.

[答案]　（8，－6）

[课堂练通考点]

1．如图所示，在直角坐标系xOy中，射线OP交单位圆O于点P，若∠AOP＝θ，则点P的坐标是________．

解析：

由三角函数的定义知P（cosθ，sinθ）．

答案：

（cosθ，sinθ）

2．已知扇形的周长是6cm，面积是2cm2，则扇形的圆心角的弧度数是________．

解析：

设扇形的半径和弧长分别为r，l，

则易得

解得或

故扇形的圆心角的弧度数是4或1.

答案：

1或4

3．已知角α的终边经过点（3a－9，a＋2），且cosα≤0，sinα>0，则实数a的取值范围是________．

解析：

∵cosα≤0，sinα>0，

∴角α的终边落在第二象限或y轴的正半轴上．

∴∴－2

答案：

（－2,3]

4．在与2010°终边相同的角中，绝对值最小的角的弧度数为________．

解析：

2010°＝π＝12π－，

∴与2010°终边相同的角中绝对值最小的角的弧度数为.

答案：

5．（2014·南京期末）已知角α的终边经过点P（x，－6），且tanα＝－，则x的值为________．

解析：

由三角函数的定义知tanα＝，于是＝－，解得x＝10.

答案：

10

6．（2014·扬州质检）已知sinα＝，且α∈，则tanα＝______.

解析：

因为sinα＝，且α∈，所以

cosα＝－＝－从而tanα＝－.

答案：

－

4.1　任意角、弧度制及任意角的三角函数作业

1．角α的终边过点P（－1,2），则sinα＝________.

答案　

解析　由三角函数的定义，

得sinα＝＝.

2．若一扇形的圆心角为72°，半径为20cm，则扇形的面积为________cm2.

答案　80π

解析　∵72°＝，

∴S扇形＝αr2＝××202＝80π（cm2）．

3．已知角x的终边上一点的坐标为（sin，cos），则角x的最小正值为________．

答案　

解析　因为sinx＝cos＝－，cosx＝sin＝，

所以x＝－＋2kπ（k∈Z），故当k＝1时，x＝，

即角x的最小正值为.

4、．已知角α＝2kπ－（k∈Z），若角θ与角α的终边相同，则y＝＋＋的值为________．

答案　－1

解析　由α＝2kπ－（k∈Z）及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限，

又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，

所以sinθ<0，cosθ>0，tanθ<0.

所以y＝－1＋1－1＝－1.

5．在直角坐标系中，O是原点，A点坐标为（，－1），将OA绕O逆时针旋转450°到B点，则B点的坐标为________．

答案　（1，）

解析　设B（x，y），由题意知OA＝OB＝2，∠BOx＝60°，且点B在第一象限，

∴x＝2cos60°＝1，

∴y＝2sin60°＝，

∴B点的坐标为（1，）．

6．设α为第二象限角，其终边上一点为P（m，），且cosα＝m，则sinα的值为________．

答案　

解析　设P（m，）到原点O的距离为r，

则＝cosα＝m，

∴r＝2，sinα＝＝＝.

7．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为，则cosα＝________.

答案　－

解析　由题意及图，易知A点的横坐标为－，

所以cosα＝－.

8．函数y＝＋的定义域是________________________________________．

答案　（k∈Z）

解析　由题意知即

∴x的取值范围为＋2kπ≤x≤π＋2kπ，k∈Z.

9．已知角θ的终边经过点P（－，m）（m≠0）且sinθ＝m，试判断角θ所在的象限，并求cosθ和tanθ的值．

解　由题意，得r＝，

所以sinθ＝＝m.

因为m≠0，所以m＝±，故角θ是第二或第三象限角．

当m＝时，r＝2，点P的坐标为（－，），角θ是第二象限角，

所以cosθ＝＝＝－，

tanθ＝＝＝－；

当m＝－时，r＝2，点P的坐标为（－，－），角θ是第三象限角，

所以cosθ＝＝＝－，

tanθ＝＝＝.

10．已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.

（1）若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧长l.

（2）若扇形的周长为20cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？

（3）若α＝，R＝2cm，求扇形的弧所在的弓形的面积．

解　

（1）α＝60°＝，l＝10×＝（cm）．

（2）由已知得，l＋2R＝20，

所以S＝lR＝（20－2R）R＝10R－R2

＝－（R－5）2＋25，

所以当R＝5时，S取得最大值25，

此时l＝10，α＝2.

（3）设弓形面积为S弓．

由题知l＝cm，

S弓＝S扇形－S三角形

＝××22－×22×sin

＝（－）（cm2）．