校本课程《小学高年级数学思维拓展训练》.docx
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校本课程《小学高年级数学思维拓展训练》
本课程是针对五、六年级的学优生开设的。
通过八个不同的专题训练，使学生学会解决关键问题，指出思考问题的方法、阐述思考途径，让学生逐步掌握学习的方法，既增长知识，又增长智慧，提高学生的思维能力。
课时一：
分析综合法
“分析法”与“综合法”是我们小学生常用的解题思考方法之一。
所谓“分析法”就是从要求的问题出发，根据题意和已知的数量关系，想一想，还需要知道什么条件才能推出所求的问题。
如果在这一条件中，有的还有未知的，就把它当做新的所求的问题，再来寻找能够求出它的那些条件。
这样，逐步寻求需要的条件，直到具备所需的一切条件。
我们把这种从未知出发，转化问题，步步逆推，执果索因的思考方法，称为“分析法”，也叫“逆推法”。
所谓“综合法”，就是从题目的某一个（或几个）已知条件出发，想想它能推出一些什么结果，再把推出的结果与另外一些已知条件一起又可以推出什么结果，这样一步一步地向着所要求的问题前进，最后得出要求的结果。
这种从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，即从已知条件出发，转化条件，步步顺推，由因导果的思考方法，称为“综合法”，也称“顺推法”。
在解题的过程中，往往既用“分析法”，又用“综合法”，至于在什么情况下用“分析法”，什么情况下用“综合法”，要根据具体情况，恰如其分地选用。
解决一些较复杂的问题时，我们可以先从问题出发，利用分析法探索所要找的条件，当这种分析推理遇到困难时，再从已知条件出发，用综合法推理，看看能否推出这个条件。
我们把这种将“综合法”和“分析法”结合起来分析问题的方法称作“中间会师”。
【例题】甲、乙两块棉田，平均亩产棉花92.5千克，甲棉田是5亩，平均亩产棉花101.5千克，乙棉田平均亩产棉花85千克，乙棉田有什么亩？
思考途径：
想到用“分析法”来思考，从问题想起。
要求乙棉田有多少亩，需要知道乙棉田的产量比按平均亩产计算的产量少的千克数，还要知道乙棉田的亩产量比平均亩产少的千克数，而要求乙棉田的亩产量少的千克数，需要知道两块棉田的平均亩产量（题中直接提供是92.5千克），还需知道乙棉田的亩产量（题中直接提供为85千克）。
要求乙棉田的产量比按平均亩产量计算的产量少的千克数，即甲棉田的产量比按平均亩产计算的产量多的千克量，需要知道甲棉田的质量比按平均计算产量多的千克数。
根据分析得出下面的解答：
[（101.5-92.5）×5]÷（92.5-85）
=[9×5]÷7.5
=45÷7.5
=6（亩）
所以，乙棉田有6亩。
【习题1】雪容读一本科技书，第一天读了全书的
，第二天读了全书的37.5%，第三天从第69页开始读，第三天要读多少页，才能把这本书读完？
思考途径：
想到用“分析法”的思路来探究。
从问题想起，要求的问题是：
“第三天要读多少页才能把书读完？
”现在已经知道前两天一共读了68页（因为第三天是从69页开始读的），只要先求出这本书一共有多少页，就能求出要求的问题。
根据“已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法”的思路去想问题。
已经前两天读了68页，因此，只要知道前两天所读页数占全书页数的几分之几（或百分之几），就可以求出第三天读的页数。
用
+37.5%得
，这是第一天和第二天所读页数占全书页数的对应分率，用68÷
得96，就是这本书的总页数。
用96-68的28页，是第三天要读的页数。
因此得出下面解答：
1.分步列式解答：
（1）前两天读的数的页数占全书的几分之几？
+37.5%=
+
=
（2）全书共多少页？
68÷
=68×
=96（页）
（3）第三天读了多少页？
96-68=28（页）
2.列综合算式解答：
68÷（
+37.5%）-68
=68÷
-68
=96-68
=28（页）
所以，第三天读了28页。
【习题2】快、中、慢三辆车从同一地点同时出发，沿同一条公路追赶前面的同一个骑车人。
这三辆车分别用6分钟、10分钟、12分钟追上骑车人。
现在知道快车每小时行走24千米，中午每小时行走20千米，那么，慢车每小时行走多少千米？
思考途径：
（分析）已知慢车用12分钟追上骑车人，要求慢车每小时行多少千米，只需要知道慢车每小时行走多少千米，只需要知道慢车在这段时间里所走的路程；（分析）要求慢车从发车到追上骑车人所走的路程，需要知道中车追上骑车人所走的路程，和骑车人最后2分钟所走的路程；（综合）已知中车每小时行20千米，用10分钟追上骑车人，可以求出中车追上骑车人时所走的路程（20×
=
千米）。
（分析）要求骑车人最后2分钟所走的路程，需要知道骑车人的车速；（分析）一直骑车人从被快车追上到被中车追上相隔4分钟（10-6=4），要求骑车人的车速只需要知道在这段时间内他所行的路程；（综合）已知快车每小时行24千米，可求出快车6分钟所行的路程；（综合）算出了中中车10分钟行的路程和快车6分钟行的路程（24×
千米），可以求出骑车人相继被快车和中车追上相隔的2分钟内所行的路程。
于是得出下面解答：
（1）快车6分钟行了多少米？
24×
（千米）
（2）中车10分钟走了多少千米？
20×
=
（千米）
（3）骑车人在4分钟内（10-6=4）走了多少千米？
（千米）
（4）骑车人每小时行多少千米？
（千米）
（5）从被中车追上相隔的2分钟（
）在这段时间内，他走了多少千米？
（千米）
（6）慢车追上骑车人时，共走了多少千米？
（千米）
（7）慢车的速度是每小时多少千米？
（千米）
综合算式：
=
=
=
=
（千米）
所以，。
慢车每小时行19千米。
课时二：
列举法
当题目所给的条件或所求的问题比较多时，我们可以考虑按一定的步骤顺序或分成有限的类别，把每一个对象逐一地排列起来，然后再进行分析，这种解题的方法叫做“列举法”。
列举法往往采取列表的形式，把题目中所涉及的数量关系一一列举出来，做到一目了然，然后再进行观察、比较、分析，这样，能很快的把题目解答出来。
有时把题目中的已知条件进行整理，分类排列，对应地表示相应的情况，也可根据题目要求，把可能答案一一列举出来，再进一步根据题目的条件逐步排除非解，或缩小范围，进而筛选出题目的答案。
【例题】营业员有2分和5分两种硬币，他要找给客户5角钱，有几种找零的方法？
写出找零的方法。
思考途径：
分析数量关系，如果用凑数的方法，想好一种方法就写一个，很容易出现遗漏或重复现象。
想到遵循一定的顺序，先排5分的，再排2分的，就比较科学。
因此，为了不出现遗漏或重复，用“列举法”求解。
可以很快的得出几种不同的找法。
如下表所示：
方法
5分币（个）
2分币（个）
1
10
0
2
8
5
3
6
10
4
4
15
5
2
20
6
0
25
从上表中，可以清楚地看出有6中不同的找零方法。
【习题1】一个数是5个2、3个3、2个5、1个7的连乘积，这个数当然约数是两位数，在这些两位数约数中，最大的是几？
思考途径：
从条件中想到要求的这两个数等于99，或小于99.由于99（99=11×3×3）的质因数有11，所以不是已知数的约数；98（98=7×7×2），所以它不是所求的两位数的约数；97是质数，不是已知数的约数。
96（96=
）是这个数的最大两位数的约数。
【习题2】一直蟋蟀有6只脚，蜘蛛有8只脚，一个盒子里的蟋蟀与蜘蛛共有46只脚。
那么，这个盒子里的蟋蟀与蜘蛛个有多少只？
思考途径：
从条件想起：
用“列举法”来思考：
由于蟋蟀与蜘蛛共有46只脚，所以蜘蛛的只数不能超过5只，因为有6只蜘蛛就应该有48只脚（8×6=48）。
如果有1只蟋蟀，应有8只脚（8×1=8）,46-8=38，“38÷6”不能整除（不符合题意）。
如果有2只蜘蛛，应有16只脚（8×2=16），46-16=30，“30÷6=5”，应有5只蟋蟀（符合题意）
如果有3只蟋蟀，应有24只蟋蟀，（8×3=24）,46-24=22，“22÷6”不能整除（不符合题意）
如果有4只蟋蟀，应有32只蟋蟀，（8×4=32）,46-32=14，“14÷6”不能整除（不符合题意）
如果有5只蟋蟀，应有40只蟋蟀，（8×5=40）,46-40=6，“6÷6=1”，有1只蟋蟀（符合题意）
从列举的几种解答方案中，可以得出下面的两种答案：
（1）5只蜘蛛和1只蟋蟀。
（2）2只蜘蛛和5只蟋蟀。
课时三：
归纳递推法
归纳推理或称归纳法，是从特殊到一般的推理方法，归纳法一般分为不完全归纳法和完全归纳法两类。
不完全归纳法。
从事物的一个或几个特殊情况作出一般结论的推理的方法叫不完全归纳法。
比如，从
等几个特殊算式，得出乘法交换律，从
等几个特殊分数相等的情况，得出分数的基本性质，都是利用了不完全归纳法。
用不完全归纳法得出的结论，有时是正确的，有时是错误的。
比如63能被3整除，243能被3整除，363能被3整除这三个特殊情况，得出“个位上是3的数都是能被3整除”的结论，就是错误的，所以用不完全归纳法得出的结论，还必须用其他方法进行证明，不能肯定是正确的。
尽管用不完全归纳法得出的结论不一定正确，但是它能为人们探索真理、发现规律提出设想和提供线索，因此，这种方法在科学研究中仍有重要价值。
完全归纳法，针对列举对象的一切特殊情况，进行一一考察后，得出关于全部对象的一般结论的推理方法叫完全归纳法。
由于完全归纳法考虑了全部对象的一切情况，所以，它的结论一定是正确的。
但这种方法只适用于所考察对象比较少的情况，如果所考察的对象很多时，用这种方法就比较繁复，甚至不能应用。
某些与自然数有关问题的解答，常要依据自然数有小到大的顺序，列出的问题的几个特殊情况进行试探，并逐一观察、分析、比较，找出它们之间的关系，特别是其中的递推关系，由此归纳出一般性的规律，然后再根据发现的规律求出问题答案。
这种解法我们称为“归纳递推法”。
【例题】若干个同样的盒子排成一排，小明把五十多个棋子分装在盒中，其中只有一个盒子没有装棋子。
然后他外出了。
小光从每个棋子的盒子里各拿一个棋子放在空盒内，再把盒子重新排一下。
小明回来仔细检查一番，他认为没有人动过这些棋子和盒子。
问共有多少个盒子？
思考途径:
根据题意可进行如下推理：
小光从每个盒子各拿一个棋子放在空盒子里，而小明却认为没有人动过这些盒子和棋子。
由此可见现在又出现一个空盒子，这个空盒子里是原来装一个棋子的盒子。
显然，经小光的操作后，原来是装2个棋子的盒子，现在变成装一个棋子的盒子，原来装有3个棋子的盒子，现在变成装2个棋子的盒子，同理，原来装4个棋子的盒子，现在变成3个棋子的盒子......以此类推，小明原来在各个盒子里装的棋子从少到多，依次的情况是：
0,1,2,3，4,5......
根据这个规律，我们试着算它们的和。
试算是如下：
题中指明棋子总数有“五十几个”，所以第
（2）种情况符合题意，即11个盒子，应是本题的解。
课时四：
类比法
“类比法”又叫“类比推理”，是根据两个对象有一部分属性相类似，从而推出这两个对象的其他属性也相类似的思维过程。
它是一种从特殊到特殊的推理方法。
比如，由两位数加两位数的法则推出多位数加法的法则，就是应用了类比推理。
类比推理不是证明，由类比推理得出结论，只能作为猜想或假设，它的真实性还要用其它方法论证。
但是类比推理和不完全归纳一样，可以为探索真理提供线索，也是进行科学研究的一种重要方法。
例如，人们从锯齿草得到启发，进行类比，发明了锯子。
【例题】一个两位数，十位数与个位数的和是9，把十位数字与个位数字交换位置后所得的数与原来数的比是5:
6，求原数？
思考途径：
根据题目的结构特征，类比联想已求过的熟悉的题型：
“已知两个数的和与两数的比，求这两个数”。
这道题没有提供两个数的和的条件，但已知原两位数的十位数与个位数的和是“9”，由此，可知
与
的和为99，根据两个数的和与两个数的比，可以求出这两个数，得出下式：
所以，原数是54.
【习题1】
的分子、分母同时加上一个什么数以后，分数可以约简为
？
思考途径：
这道题的条件是分子“1”与分母“13”分别同时加上一个什么数后，所得新分数的分母是分子的3倍，我们从分析分子、分母的关系看出，不论加上什么数，所得新分数的分子与分母的差保持不变，及它们的差总是12（13-1=12），从这个数量关系中类比想到“年龄问题”也是具有这样特征，我们可以试用解“年龄问题”的方法来解答这道题。
年龄问题的解题关键要住某两个人年龄差在变动的过程中始终不变这一事实来分析推理，使问题得到解决。
运用这样的方法，可知本题中新分母比新分子所多的2倍等于它们的差12，由此，可以推出新分子是6
，因而新分母是18
，由此求得同时加上的数是5。
12÷（3-1）
=12÷2
=6[新分子]
6×3=18[新分母]
6－1=5[分子增加的数]
18－13=5[分母增加的数]
所以分子、分母同时加上5.
课时五：
假设法
假设法是解题时的一种特殊的思考方法，它是不同于一般的特殊的解题思考途径。
有的应用题中数量关系比较复杂，有的推理题中事物间的联系纵横交错，若按照一般的解题思路，不易找到解题的方法。
这时，我们可以把原题作一些转化，使用“假设”改变题目的某些条件使复杂关系简单化，或减少未知量的个数，或通过假设将某些未知量设为已知，一增加推理的已知因素。
进行假设时，可以“条件假设”、“问题假设”、“情景假设”等。
在此基础上，对因假设而造成的差异进行分析推断，以获取问题解决。
通过假设简化条件，促使数量关系明朗化、单一化，然后再与其它条件配合，进行推理，产生于题目条件不同的矛盾或差异现象，然后找出造成差异的原因，消除因假设而引起的差异，使问题得到解决。
这样一种转化思考途径的解题方法叫“假设法”。
比如：
“今有雉、兔同笼，上有35头，下有94足。
文雉、兔各几何？
”，《孙子算经》，解题时，先任意地假设鸡是5只，根据已知条件，鸡兔共35只，可得兔子为30只，那么，共有的腿为：
2×5+4×30=130（条），而实际只有94条腿，多出130-94=36（条）腿，即假设的兔子数比实际兔子数更多，从多出的腿数（36条）可以推出多出的兔子数是18只[36÷（4-2）=18（只）]，这样，可得兔子是12只[30-18=12（只）]，鸡有23只[35-12=23（只）]。
假设35只全是鸡，解答起来更容易些。
实践使我们认识到运用“假设的思想”，是我们解题时的一种好的思考途径，它可以化复杂为单一，化繁难为简易，化迷蒙为明朗。
【例题】如图，正方形面积为30平方厘米，求圆的面积？
思考途径：
想到用通常的方法应该是求正
方形的边长和圆的半径，然后求出圆的面积
（正方形的面积已知），这样算要用到开平方的
识。
小学生没有学过这方面的知识。
如果我们设正方形的边长为1，那么用小学数学知识就可以先算出圆的面积占正方形面积的百分之几。
假设正方形的边长为1，则正方形的面积为1×1=1，圆的面积是
，圆的面积是正方形的
，已知正方形面积为30平方厘米，因此，圆的面积为30×78.5%=23.55（平方厘米），于是得出下面解答：
设正方形边长为1
正方形面积=1×1=1
圆的面积=
圆的面积是正方形面积的百分之几？
圆的面积：
30×78.5%=23.55（平方厘米）
所以，圆的面积为23.55平方厘米。
【习题1】振华玻璃公司门市部委托运输公司运送500只玻璃瓶。
双方议定：
每只运费0.24元，如果打破一只，不但不给用运费，还要赔偿1.26元。
结果，运输公司共得搬运费115.5元。
问搬运途中打破了几只玻璃瓶？
思考途径：
想到用“假设法”的思考思路来解答。
假设500只
玻璃瓶在运输中一个也没打破，应得运费120元（0.24×500=120），而实际上只得115.5元，少得4.5元。
每打破一只不给运费还得赔1.26元，这样每打破一只少得1.5元（0.24+1.26=1.5）。
已经知道少得4.5元，这4.5包含多少个1.5，就打破几只玻璃瓶。
显然打破3只（4.5÷1.5=3），于是得出下面解答：
1.分步列式解答：
（1）共应得运费：
0.24×500=120（元）
（2）打破一只玻璃瓶少得的钱：
0.24+1.26=1.5（元）
（3）共少得运费：
120-115.5=4.5（元）
（4）共打破玻璃瓶几只：
4.5÷1.5=3（只）
2.列综合算式解答：
（0.24×500－115.5）÷（0.24+1.26）
=4.5÷1.5
=3（只）
所以可知共打破了3只玻璃瓶。
课时六：
转化法
有的应用题按一般的思考比较繁难，难以找到解题思路。
我们若根据知识的内在联系，恰当的转化题中的数量关系，把原来的问题转化为另一种容易解决的问题，则往往能化难为易。
解应用题时，遇到的标准不统一时，可用转化法，统一标准量。
“转化法”是我们解题时常用的一种思考方法。
【例题】小华和小荣一共买了10枝钢笔如果小华给小荣1枝，那么小华的钢笔枝数的
就等于小荣钢笔枝数的
。
小华和小荣各买了几枝钢笔？
思考途径：
看出这道题的
和
，其标准量是不一样的，因此，从一般解题思路考虑数量关系是难以解答的。
想到转化题中的数量关系，根据“小华的钢笔枝数的
就等于小荣钢笔枝数的
”这一条件，原题可以转化为“小华现有钢笔枝数×
=小荣现有钢笔枝数×
”，根据比例的基本性质“两个外项的积等于两个内项的积”这一等式可转化为：
“小华现有钢笔枝数：
小荣现有钢笔枝数=3:
2”。
已知两人共买钢笔10枝，又知道两人现在钢笔枝数的比是3:
2，用按“比例分配”的方法解题：
小华现有钢笔枝数是：
（枝）
小荣现有钢笔枝数是：
（枝）
所以小华原有的钢笔为7枝（6+1=7），小荣原有的钢笔3枝（4-1=3）
【习题1】有三种水果：
苹果、梨和桔子，共重320千克，其中桔子是苹果的
，又是梨的
倍，三种水果各是多少千克？
思考途径：
看出题中的三种量苹果、梨和桔子。
桔子是苹果的
，苹果是单位“1”。
根据
是梨的
倍，用
÷
得
。
已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法，即
得150千克，150千克是1倍数，是苹果的千克数。
桔子是苹果的
，用150×
得125千克，梨的重量是45千克（320-150-125=45）。
于是得出下面的解答：
（1）梨的重量是苹果干的几分之几？
÷
=
（2）苹果是多少千克？
=
=150（千克）
（3）桔子是多少千克？
（千克）
（4）梨是多少千克？
320-150-125=45（千克）
列综合算式解答：
320-150-125=45（千克）[梨的千克数]
所以，苹果150千克，桔子125千克，梨是45千克。
课时七：
逻辑问题
专题精析：
著名侦探福尔摩斯在华生医生家里作客，闲谈之间，忽然听得一声汽车喇叭声，福尔摩斯头也不回地说：
“警长又找我来断案了。
”华生惊讶地叫起来：
“对极了，果然是警长来了。
”
警长进来后，恭恭敬敬地把案卷放在福尔摩斯面前，上面记载着：
“某月某日深夜十二时许，某商店失窃大宗贵重物品，罪犯驾车离去，现在缉捕甲、乙、丙三名罪犯嫌疑人。
”在警长附的纸条上写着三条事实：
1.除甲、乙、丙三人外，已确认本案与其他人无关；
2.丙假设没有甲作帮凶，就不能作案盗窃；
3.乙不会驾车。
请证实甲是否犯盗窃罪？
福尔摩斯看完后，哈哈大笑。
把警长和华生医生都笑得莫名奇妙。
然后，福尔摩斯三言两语就把警长的疑问完全解决了，你知道，福尔摩斯怎么解决的吗？
这种问题我们称之为逻辑推理问题，它不同于其它数学问题。
主要是运用有关的逻辑知道，从已知的一些条件出发，通过推理分析，获得结论。
逻辑推理题不涉及数据，也没有几何图形，只涉及一些相关联的条件。
他依据逻辑规律，从一定的前提出发，通过一系列的推理来获取某种结论。
解决这类问题方法有：
直接法、假设法、排除法、图解法和列表法等。
逻辑推理问题的解决，需要我们深入理解条件和结论，分析关键所在，找到突破口，进行合理的推理，最后作出正确的判断。
推理的过程中往往需要交替运用“排除法”和“反正法”。
要善于借助表格，把已知条件和推出的中间结论及时填入表格中。
推理的过程中，必须要有充足的理由和证据，并常常伴随着着论证、推理，论证的才能不是天生的，而是在不断的实践活动中逐渐锻炼、培养出来的。
【例题】A、B、C、D、E五人参加乒乓球比赛，每两人都要赛一盘，并且只赛一盘。
规定胜者的2分，负者的0分。
现在知道比赛结果是：
A和B并列第一名，C第三名，D和E并列第四名。
问：
C的得分是多少？
思考途径：
我们从A和B并列第一名，D与E并列第四名出发考察得分情况。
解：
因为每盘得分只能是2分或0分，所以每人的得分必为偶数，即0分、2分、4分、6分、8分。
由于A与B并列第一名，他们两人间的比赛的负者最多的6分，因此A与B只能得6分。
同理，并列第四的D与E不可能都得0分，因而最少都得2分。
这样C只能是4分。
答：
C得4分。
【习题1】甲、乙、丙、丁坐在同一排的1-4号座位上，小红看着他们说：
“甲的两边不是乙，丙的两边不是丁，甲的座位比丙大。
”问：
坐在1号位的是谁？
分析：
由“甲的两边不是乙，丙的两边不是丁”，可以推断2号、3号座位上的人。
解：
由于“甲的两边不是乙，丙的两边不是丁”，可以判断甲与丙坐在位于中间的2号、3号座位上。
根据“甲的座位比丙大”，确定丙坐在2号座位上，甲坐在3号座位上，因此丙旁边的1号座位上只能坐乙。
答：
坐在1号座位上是乙。
说明：
可以结合部分条件把四人的排列情况列出，去掉不符合条件的情况，剩下的即为正确答案。
【习题2】在一次乒乓球比赛前，甲、乙、丙、丁四名选手预测各自的名次。
甲说：
“我绝对不会得最后。
”
乙说：
“我不能得第一，也不会最后。
”
丙说：
“我肯定得第一。
”
丁说：
“那我是最后一名咯。
”
比赛揭晓后，四人没有并列名次，而且唯有一名选手预测错误，问：
是谁预测错了？
分析：
不妨假设甲、乙、丙、丁分别预测错误，看可以推出的结果。
解：
假设甲预测错误，那么丁也预测错误，不符合题意。
假设乙预测错误，那么乙得第一或最后，则丙、丁两人中必有一个错误，也不符合题意。
假设丁预测错误，因为其他三人皆预测不会的最后，所以也不成立。
因此丙预测错误。
说明：
先假设一个条件正确，以此为前提，进行推理分析，如果推出的结论导致矛盾，则假设不成立，再重新提出一个假设，直到符合全部条件的结论。
这种方法也是常用的。
第八讲：
奇偶分析
专题精析：
能被2整除的数叫偶数，不能被2整除的数叫奇数。
一个自然数不是奇数就是偶数，一个自然数是奇数还是偶数是这个自然数自身的属性，称为奇偶性。
同时我们可以证明一些规则：
奇数×奇数=偶数，偶数×偶数=偶数，奇数×偶数=偶数......灵活运用数的奇偶性可以解决许多有趣的数学问题。
【例题】33个小朋友做游戏，每一次均有8个小朋友向后转，问能不能经过这样若干次向后转，使所有的小朋友全部转过身去？
思考途径：
对每一个小朋友，只要“后转”奇数次，就能转过身去。
如果后转偶数次，则只能回到原方位上去，要使33个小朋友全部转过身去，一定要经过33次奇数次的后转方能达到的目的。
奇数×33的积仍然是奇数，而题中明确告诉我们，每次有8个小朋友向后转，所以无论怎样后转，最后转次数总和是偶数。
既然如此，不可能经过若干次后转，使全部小朋友转过身去。
说明：
解答本题的关键是正确理解每个小朋友转过身所需要的次数是奇数还是偶数，并
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