小学数学公倍数和公因数Microsoft Word 文档.docx

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小学数学公倍数和公因数MicrosoftWord文档

公倍数和公因数

一、判断与选择

1、两个数的最小公倍数是180，最大公因数是30，其中一个数是90，另一个数是（）。

2、三个连续的自然数，它们的最小公倍数是60，这三个数可能是（）或者（）。

3、8和12的最小公倍数和最大公因数的积是（）。

4、两个素数的最小公倍数是143，这两个数是（）和（）。

5、两个素数的积一定是合数（）。

6、所有偶数（0除外）的最大公因数是2。

（）。

7、a与b的最大公因数是1，最小公倍数是（）

A、abB、aA、b

8、5m=n，m和n的最小公倍数是（　）

A、m　　　B、nC、5

9、连续两个自然数的最小公倍数是30这两个数分别是多少？

10、一个三位数38□，当它是2的倍数时，□中最大填多少？

当它有因数3时，□中可填那些数。

11、一个数最大的因数是19，这个数的最小倍数是（）？

12、M=2×3×5，N＝3×5×7，M和N的最小公倍数是（）

13两个数最大公因数是6，这两个公因数有多少个（）。

二、基本类型及解题方法

凑整（最小公倍数）

【例1】长方形长20厘米，宽12厘米，用这样的砖铺一块正方形地，不需要切割，正方形地的边长最少是多少厘米？

共需这样的砖多少块？

解：

根据题意需求出这个长方形长边和短边的最小公倍数。

20与12的最小公倍数是60

也就是说至少要铺成边长为60厘米的正方形，才不需要切割（如图所示）。

边长有了（60厘米）块数则有：

60÷20=3（块）

60÷12=5（块）3×5=15（块）

答：

正方形的边长最少是60厘米，共需这样的砖15块。

分割（求最大公因数）

【例2】有一张长方形纸，长50cm，宽40cm，如果要将这张长方形纸剪成若干同样大小的正方形而没有剩余，剪出的小正方形的边长最大是几厘米?

共剪出多少个？

解：

根据题意求出这个长方形的长边和短边的最小公因数。

50与40的最小公因数是：

10。

也就是说剪下的小正方形的边长必须是10厘米，那样才能将纸全部剪成小正方形而没有剩余（如图所示）。

那么每条边上可剪几个边长为10的小正方形呢

50÷10=5（个）

40÷10=4（个）5×4=20（个）

也可用短除法直接25040

想想看，为什么？

52520

54

答：

小正方形的边长为10厘米，可剪20个这样的小正方形。

以上两个例题是此类题目的基础，也是解决这类问题的关键，因为所有此类题目都是由这两种类型衍生而来，真正弄通它们，并辅以自己已学的知识，举一反三，此类难题都会迎刃而解。

练习

一、凑整（最小公倍数）

1、简单的凑整问题

1）水果店有苹果三十几千克，营业员把它们分成3千克一包、4千克一包、9千克一包，都可以正好分完。

这些苹果共有多少千克？

2）用几张长4厘米，宽3厘米的长方形纸片拼成一个正方形，这个正方形的面积最少是多少平方厘米？

3）同学们去划船，如果3人一条船或4人一条船都正好做满。

至少有多少同学去划船？

4）长方形砖长6分米，宽4分米。

用这样的砖铺一个正方形地不需要切割。

这个正方形地的边长最小是多少分米？

5）五

（一）班学生分6人一组、7人一组做广播操都正好分完，五

（一）班最少有多少人？

同学们去军训，按12个人一组或10个人一组排队，都正好，这次军训至少去了多少人？

6）五

（二）班女同学做早操，如果12人站一行，或者8人站一行，都恰好是整行。

这个班女同学在20人以上30人以下。

该班女同学有多少人？

7）有一批砖，长30厘米，宽24厘米，至少用多少这样的砖才能铺成一个实心的正方形？

8）一盒糖果，5个5个地数，或者7个7个地数都正好数完。

请问这盒糖果最少有多少个？

9）18朵黄花，24朵红花，分别插在花瓶中，要使每个花瓶中黄花的朵数都相等，红花的朵数也都相等且没有剩余，每个花瓶中最少插几朵花？

其它如环形跑道问题、长方形、正方形等问题与此类似。

2、特殊的凑整问题

A、植树

1）园林工人在长48米的小路两旁每隔6米栽一颗树（首尾都栽），现在要改成每隔4米栽一颗树，那么不用移栽的树有多少颗？

分析：

与在6和4有共同倍数的点上的树不用移栽，故先求出6和4的最小公倍数，再按照间隔问题的解题方法解题即可。

解：

[4、6]1248÷12=44+1=5（棵）因首尾都栽

答：

不用移栽的树有5棵。

2）学校道路的一侧栽了一行小树，从第一棵到最后一棵的距离是50米。

原来每2米栽一棵树，现想调为每5米栽一棵树。

如果两端不移动，中间有几棵树不用移动？

3）学校运动会即将召开，沿着周长为60米的操场插彩旗，原来从一端起每隔3米插面彩旗。

由于彩旗比效少，现改成每隔4米插一面。

有些位置已经插好的就不需要重新插上，不需要重新插的彩旗有多少面？

B、时间

【例】一个汽车起始站有12路和15路两路公交车。

12路车每8分钟发一次车，15路车每10分钟发一次车。

它们在7：

10同时发车，它们下次同时发车的时间是几时几分？

分析：

两路车发车的时间虽各不相同，什么时候才能同时发车呢，

必须求出他们的公倍数，这有在这一点时他们才同时发车。

解：

[8、10]40

7：

10+40=7：

50

答：

它们下次同时发车的时间是7时50分。

1）小亮和小华利用暑假一起去参观世博园的中国馆，小亮每6天去一次，小华每8天去一次。

7月31日两人同时参观了世博园的中国馆。

几月几日，他们又再次相遇。

2）小丽、小红、小卫都是学校的值班老师。

小丽每3天值一次班，小红每4天值一次班，小卫每8天值一次班。

四月第一天他们正好同时值班。

下一次他们同时值班是在几月的那一天？

3）暑假里，王老师每6天到校一次，崔老师每8天到校一次。

如果7月21日两人同时到校。

下一次两人同时到校是那一天？

4）暑假期间，小杰和小雅都去参加游泳训练。

小杰每隔6天去一次，小雅每隔9天去一次。

7月31日两人同时参加了游泳训练后，几月几日他们又再次相遇？

5）一个汽车起始站有12路和15路两路公交车。

12路车每8分钟发一次车，15路车每10分钟发一次车。

它们在7：

10同时发车，它们下次同时发车的时间是几时几分？

6）某公共汽车站有三条线路，1路车每6分钟发一辆王车，2路车每8分钟发一辆车，3路车每10分钟发一辆车，早晨6：

20三条线路同时发车，第二次同时发车是什么时间？

7）1路车和2路车早上6时从起始站发车，1路车每隔8分钟发一辆车，2路车每隔10分钟发一辆车。

这两路车第地次发什么时候同时发车？

8）甲、乙、丙三个同学绕环形跑道跑步，甲跑完一圈要1分钟，乙跑完一圈要1分30秒，丙跑完一圈要1分15秒。

现在三人同时同地出发，几分钟后，三人又在出发地点相会？

这时他们跑了多少圈？

C、植树与时间的综合问题

例、在一张长36厘米的纸条上，先从左端起，每隔3米画一个红点，再从右端起，每隔4米画一个红点，纸条的两端都不画，最后纸条上有多少红点？

分析：

第一先分别求出两种画法的点数，即：

36÷3=12、36÷4=9；

第二步，由于两端都不画，两种方法可画出的点实际为：

12-1=11，9-1=8；

第三步，在分别用两种方法画时，有的点会出现重叠，它们会在什么时候重叠呢？

只能在它们公共的倍数的点上，那么至少在什么公共点上重叠呢？

当然只能在它们的最小公倍数的那个点上，因此只要求出它们的最小公倍数就可以知道它们重叠的点了：

[4、3]12；

第四步，它们的最小公倍数为12，全长36厘米有36÷12=3个间隔，由于纸条的两端都不画，因此只有两个重叠点即：

3-1=2（个）；

第五步，最后纸上的实际红点数为：

11+8-2=17（个）

解：

36÷3=1236÷4=912-1=119-1=8

[3、4]1236÷12=33-1=2

11+8-2=17（个）

答：

最后纸上的实际红点数为17个。

1）大雪后的一天，亭亭和爸爸从同一点出发沿同一方向分别步测一个圆形花圃的周长。

亭亭每步长54厘米，爸爸每步长72厘米，由于两个人的脚印有重合，所以雪地上只留下60个脚印。

问这个花圃的周长是多少米？

3、有余数的凑整问题

A、余数相等

1）鲜花店购进一批鲜花，每10朵扎成一束或每14朵扎成一束，都正好少2朵，这个鲜花店至少购进了多少朵鲜花？

分析：

问至少购进了多少鲜花，也就是说购进的鲜花既是10和14的公倍数同时各少两朵。

所以这是一条求最小公倍数的习题。

[10、14]6060-2=58（朵）

答：

这个鲜花店至少购进了58朵鲜花。

2）同学们去春游，每8人一组或10人一组都余3人，这次春游至少有多少人？

3）一个自然数分别除以4、5都余1，这个自然数最小是多少？

Ｂ、余数不等

1）学校买来若干只篮球。

如果把这些篮球平均分给5个班，余4只；如果平均分给7个班，余6只。

学校至少买来多少只篮球？

分析：

首先必须明确，分别平均分给5个班和七个班至少要买多少篮球的含义，即买得的篮球数既要是5的倍数，同时也要是7的倍数，同时还是最少的。

我们先列出它们的一些倍数

5的倍数5、10、15、20、25、30、35……

7的倍数7、14、21、28、35……

通过对这两组数字的对比，我们发现只有34完全符合题目所提出的所有条件。

解：

28+6=3430=4=34

我们还可以从最小公倍数入手，找出符合以上所有条件的点。

如果用两种分配方式进行分配正好分配完并且是最少的，那分配的数额一定是它们的最小公倍数，但是现在在分配时出现发误差，那么误差肯定发生在最后的一次分配中，这次分配数额也最接近最小公倍数，只有最接近最小公倍数这个数才能是题目上要求的“至少”的数额，因此我们可先求出最小公倍数，缩小范围。

如本例，既然这个数既是5的倍数余4又是7的倍数余6。

通过分析我们发现5的倍数余4最接近最小公倍数的是34即5*6=30余4，再看看34是不是7的倍数余6，有4*7=28恰好比34小6，因此34符合了以上所有的条件。

第一种方法只适用于数字较小的题目，如果数字过大我们很难一一列举，此方法只作辅助理解，而第二种方法则为我们所必须要掌握的。

解：

[5、7]355*6=3030+4=34

4*7=2828+6=34

2）篮子中装了几斤鸡蛋（10以上）。

如果4个4个地数，多2个；5个5个地数，多1个。

这筐鸡蛋至少有多少个？

3）五年级二班开展了“献一本书看百本书”的活动，李坤同学拿来了自己的全部课外书，如果分成3组还多1本；分成6组，也多一本；分成7组，则多出2本。

你知道他一人至少捐了多少本书吗？

4）有一堆物品，三个三个地数，剩下两个，五个五个地数剩下三个，七个七个地数剩下二个，求这堆物品的个数（只要求出最小值）。

（二）分割（最大公因数）

1、简单的分割问题

1）有一张长方形纸，长50厘米，宽40厘米。

如果将这张长方形纸剪成若干同样大小的正方形而没有剩余，剪出的小正方形的边长最大是几厘米？

2）一个长方形的面积是30平方厘米，它的长和宽都是整厘米数。

这样的长方形有几种？

分别写出来。

3）一个长方形纸片长26厘米，宽20厘米，在纸的四边留1厘米的空白，然后把中间长方形分成若干个相同的正方形。

正方形的边长最长的是多少厘米？

4）有两根铁丝，第一根长15厘米，第二根长18厘米，要截成同样长的小段，而且没有剩余，每小段最长是多少厘米？

一共能截成几段？

5）把长度为20厘米、12厘米的两根彩带剪成长度一样的短彩带且没有剩余，每根短彩带最长是多少厘米？

6）把长度是70米、50米的两根钢筋，截成同样大小的小段且没有剩余，每一小段最长截多少米？

7）把一张长12分米、宽8分米的长方形纸裁成同样大小、面积尽可能大的正方形，纸没有剩余，至少可以栽多少个？

8）某班的人数在30—40之间，小组活动时，把全班人数分为6人一组，或9人一组，都恰好没有剩余，这个班有多少人？

9）将一张长30厘米，宽18厘米的长方形纸，剪成同样大小，边长为整厘米的正方形，有几种不同的剪法？

正方形的边长最长是多少厘米？

10）将两根长度分别是24厘米的36厘米的绳子，剪成同样长的小段，正好剪完没有剩余。

每段最长是多少厘米？

11）把45厘米长的蓝带子，77厘米长的红带子，剪成同样的小段，结果都剩下了5厘米。

剪成的小段最长是多少厘米？

12）长方形砖长20厘米，宽12厘米，用这样的砖铺一块正方形地，不需切割，正方形地的边长最少是多少厘米？

共需这样的砖多少块？

13）把两根分别长24分米和30分米的木料锯成若干相等的小段而没有剩余，每段最长是多少分米？

14）把一张长24厘米的长方形纸裁成同样大小、面积尽可能大的正方形，纸没有剩余，至少可以裁多少个？

15）两根铁丝分别长34厘米、51厘米，要把它们截成同样的小段，而且不能有剩余，每小段最长是多少厘米？

一共能截成几段？

16）一块长方形塑料板，长24厘米，宽18厘米，要把它正好分成若干个小正方形，小正方形的边长最大可以是多少厘米？

17）现有语文课本42本、数学课本112本、外语课本70本，平均分成若干堆，每堆中这三种课本的数量分别相等。

最多可以分成多少堆？

18）用96朵红花和72朵白花扎成花束，如果每束花里的红花的朵数相等，白花的朵数也相等，每束花里至少有几朵花？

2、有余数的分割问题

A、余数相等

此类题目的特点是：

先减去多余部分然后求出最大公因数，较易掌握，不再举例。

1）甲乙两根彩带，甲长31厘米，甲乙长43厘米，把它们裁成同样长的小段，结果两根都余1厘米。

每一小段最长是几厘米？

2）18和30分别同除以一个自然数都余2，这个自然数最大是多少？

B、余数不等

1）把44块水果糖和36块巧克力分别分给同一组的同学，结果水果糖剩4块，巧克力剩1块。

你知道这个组有几个同学吗？

2）甲乙两根钢筋，甲长25米，乙长20米，把他们截成同样长的小段，结果甲余1米，乙余2米，每一小最长几米？

3）把20块水果糖和15块奶糖分别平均分给一个组的同学，结果水果糖剩余2块，奶糖剩余3块。

这个组最多少有几个同学？

需要注意的几个问题：

1、区别倍数与因数问题与盈亏问题。

2、分清是求最小公倍数还是求最大公因数。

一般来讲有求“至少”等一类的问题的题目为最小公倍数问题，有求“最多，最大”等一类问题的题目为求最大公因数。

当然这仅仅是对初学者而言，重要的是通过一定量的练习和归纳总结，掌握其内在规律。

3、在做有余数的特别是余数不等的习题时，一定要细心分析对比。

三、分解质因数

互质：

两个因数的公约数为1这两个数就叫互质。

质因数：

如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个因数的质因数。

如2、3都是36的质因数，4、9都是36的因数，但不是36的质因数。

分解质因数：

把一个合数用质因数乘积的形式表示出来，叫做分解质因数。

（分解质因数可用短除法）利用这些可以解决一些数学上的问题。

例：

妹妹告诉小华：

“我这次所得的名次和我的岁数及我的分数乘起来是2910，你看我的成绩和名次是多少？

”

解：

由题中所给条件可知，2910是三个数的乘积，那么就要把2910分解质因数。

用短除法或直接分解的方法将2910分解质因数得：

2910=2×3×5×97（在质因数的连乘中一般要按从大到小的顺序排列）=2×（3×5）×97=2×15×97

小华的妹妹是个中学生不可能是2岁、3岁、5岁也不可能是6岁、10岁，因此可以肯定小华的妹妹是15岁，名次是第二名，成绩是97分。

练习

1、有四个小朋友，他们的年龄一个比一个大一岁，4个人的年龄乘积是360，他们中年龄最大的是多少岁？

2、将下列八个数平均分为两组，并使这两组的乘积相等。

12、18、33、35、36、65、77、104．

3、三个自然数的乘积为120，其中两个数的和等于另一个数，求这三个数。

4、有四个小朋友，他们的年龄一个比一个大一岁。

4个人的年龄的乘积是360。

他们中年龄最大的是多少岁？

四、较难的最小公倍数与最大公因数题

【例】加工一种零件有三道工序，第一道工序每个工人每小时完成48个零件，第二道工序每个工人每小时可完成32个，第三道工序每个工人每小时可完成28个。

在每道工序至少要安排多少工人，才能搭配适合，使每道工序不产生积压或停工待料。

分析：

要搭配合适，就是要使每小时内各道工序加工出的零件数相同。

即在每道工序至少要安排多少人，就是所求的人数必须能整除48、32和28，并且最小。

那么我们就要求出48、32、和28的最小公倍数，然后根据这个数，再分别除以每道工序的工效、求出应安排的人数。

解：

[48、32、28]＝672

第一道工序安排：

67248＝14（人）

第二道工序安排：

67232＝21（人）

第三道工序安排：

67228＝24（人）

答：

第一、二、三道工序分别安排14人、21人和24人。

动物园里的饲养员给三群猴子分花生。

如里只分给第一群猴子，则每只猴子可分得12粒；如果只分给第二群猴子。

则每只猴子可分得15粒；如果只分给第三群猴子，则每只猴子可分得20粒。

那么，把花生同时分给三群猴子，平均每只猴子可分得花生多少粒？

两个数的最大公约数与最小公倍数有如下关系

（a，b）×[a，b]＝a×b

1）已知Ａ、Ｂ两数的最大公约数是１２，最小公倍数是７２，Ａ＝36，Ｂ＝？

2）两个自然数的和是52，它们的最大公约数是4，最小公倍数是144。

求两个数各是多少。

3）有一种自然数，它们加上1是2的倍数，加上2是3的倍数，加上3是4的倍数，加上4是5的倍数加上5是6的倍数，加上6是7的倍数。

这种自然数除1外，最小的数是多少？