浙江省杭州市西湖高级中学学年高二数学月考试题.docx

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浙江省杭州市西湖高级中学学年高二数学月考试题

浙江省杭州市西湖高级中学2019-2020学年高二数学10月月考试题

一.选择题（共40分，每题4分，请从A、B、C、D四个选项中选出最符合题意的一个）

1.下列多面体是五面体的是（　　）

A．三棱锥B．三棱柱C．四棱柱D．五棱锥

2.正方体的棱长和其外接球的半径之比为（　　）

A.

∶1B.

∶2C．2∶

D.

∶3

3.如图所示，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6cm，O′C′＝2cm，则原图形是（　　）

A．正方形B．矩形C．菱形D．一般的平行四边形

4.一个几何体的三视图如图所示，那么此几何体的侧面积为　（　　）

A．48B．64C．80D．120

5.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是BB1，BC的中点，则图中阴影部分在平面ADD1A1上的正投影为（　　）

6.设P表示一个点，a，b表示两条直线，α，β表示两个平面，给出下列四个命题：

①若P∈a，P∈α，则a⊂α；②若a∩b＝P，b⊂β，则a⊂β；③若a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α，则b⊂α；④若α∩β＝b，P∈α，P∈β，则P∈b.其中真命题是（　　）

A．①②B．②③C．①④D．③④

7.如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点，给出五个结论：

①OM∥PD；②OM∥平面PCD；③OM∥平面PDA；④OM∥平面PBA；⑤OM∥平面PBC.

其中，正确结论的个数为（　　）

A．1B．2C．3D．4

8.如图所示，正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，

G是EF的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有（　　）

A．AH⊥平面EFHB．AG⊥平面EFHC．HF⊥平面AEFD．HG⊥平面AEF

9.如图所示，四棱锥SABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是（　　）

A．AC⊥SBB．AB∥平面SCD

C．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角

D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角

10.如图所示，在正四棱锥SABCD中，E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，动点P在线段MN（不包括端点）上运动，给出下列四个结论：

①EP⊥AC；②EP∥BD；③EP∥平面SBD；④EP⊥平面SAC.

其中，恒成立的为（　　）

A．①③B．③④C．①②D．②③④

二.填空题（共36分，双空题每空3分，单空题每空4分）

11.如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，且PA⊥平面ABCD，PA＝5，AB＝4，AD＝3，则异面直线PC与BD所成的角为________，直线PC与平面ABCD所成的角为________.

12.如图所示，设P是正方形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，则与平面PAB垂直的平面有和.

13.如图223所示，P是平行四边形ABCD所在平面外一点，

E为PB的中点，O为AC，BD的交点，则与EO平行的平面有________和________.

14.若一个几何体的正视图，侧视图和俯视图形状相同，大小均相等，那么这个几何体不可能是

，可能是也可能不是的几何体是.

A．球B．三棱锥C．正方体D．圆柱E.四棱柱F.圆台

15.如图，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点．

若在PB上存在一点Q，使平面MNQ∥平面PAD，则PQ∶QB＝________．

16.下列叙述不正确的是________．

①如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行；②如果两条直线都和第三条直线所成的角相等，那么这两条直线平行；③两条异面直线所成的角为锐角或直角；④直线a与b异面，b与c也异面，则直线a与c必异面．

17.如图所示，已知边长为2的等边三角形PCD所在的平面垂直于矩形ABCD

所在的平面，且BC＝2

，M为BC的中点，则二面角PAMD的大小为________．

三.解答题（共74分，请写出必要的解题过程和步骤）

18.（14分）如图，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点．

（1）求证：

MN∥平面PAD；

（2）若MN＝BC＝4，PA＝4

，求异面直线PA与MN所成的角的大小．

19.（15分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC＝45°，AD＝AC＝1，PO⊥平面ABCD，O点在AC上，PO＝2，M为PD中点．

（1）证明：

AD⊥平面PAC；

（2）求三棱锥MACP的体积．

20.（15分）如图所示，在四棱锥PABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PD＝a，PA＝PC＝

a，求证：

（1）平面PAC⊥平面PBD；

（2）二面角PBCD的大小为45°.

21.（15分）如图，已知四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，该菱形的边长为1，∠ABC＝60°，AA1⊥平面AC.

（1）设棱形ABCD的对角线的交点为O，求证：

A1O∥平面B1D1C；

（2）若四棱柱的体积V＝

，求C1C与平面B1D1C所成角的正弦值．

22.（15分）如图所示，PA⊥矩形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点．

（1）求证：

MN∥平面PAD；

（2）求证：

MN⊥CD；

（3）若二面角P-CD-A的大小为45°，求证：

平面BMN⊥平面PCD.

杭西高2019年10月高二数学参考答案

一.选择题（共40分，每题4分，请从A、B、C、D四个选项中选出最符合题意的一个）

1.下列多面体是五面体的是（）

A．三棱锥B．三棱柱C．四棱柱D．五棱锥

B[解析]三棱柱有3个侧面，2个底面，共5个面，所以三棱柱为五面体．

2.正方体的棱长和其外接球的半径之比为（）

A.∶1B.∶2C．2∶D.∶3

C[解析]设正方体的棱长为a，其外接球的半径为R.易知（2R）2＝a2＋a2＋a2＝3a2，则R＝32a，故正方体的棱长和其外接球的半径的之比为a∶32a＝2∶.

3.如图所示，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6cm，O′C′＝2cm，则原图形是（）

A．正方形B．矩形C．菱形D．一般的平行四边形

C[解析]如图，在原图形OABC中，

应有OA＝O′A′＝6cm，OD＝2O′D′＝2×2＝4cm，CD＝C′D′＝2cm.

∴OC＝＝＝6cm，

∴OA＝OC.

故四边形OABC是菱形．

4.一个几何体的三视图如图所示，那么此几何体的侧面积为（）

A．48B．64C．80D．120

C[解析]根据三视图知，该几何体是一个正四棱锥（底面边长为8），直观图如图，PE为侧面△PAB的边AB上的高，且PE＝5.所以此几何体的侧面积是S＝4S△PAB＝4×12×8×5＝80.

5.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是BB1，BC的中点，则图中阴影部分在平面ADD1A1上的正投影为（）

A[解析]由正投影的定义可知，点M在平面ADD1A1上的正投影为AA1的中点，点N在平面ADD1A1上的正投影为AD的中点，易知选A.

6.设P表示一个点，a，b表示两条直线，α，β表示两个平面，给出下列四个命题：

①若P∈a，P∈α，则a⊂α；②若a∩b＝P，b⊂β，则a⊂β；

③若a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α，则b⊂α；④若α∩β＝b，P∈α，P∈β，则P∈b.

其中真命题是（）

A．①②B．②③C．①④D．③④

D[解析]当a∩α＝P时，P∈a，P∈α，但a⊄α，∴①错；

当a∩β＝P时，②错；如图所示，∵a∥b，P∈b，∴P∉a，∴由直线a与点P确定唯一平面α，又a∥b，由a与b确定唯一平面β，但β经过直线a与点P，∴β与α重合，∴b⊂α，故③正确；

两个平面的公共点必在其交线上，故④正确．

7.如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点，给出五个结论：

①OM∥PD；②OM∥平面PCD；③OM∥平面PDA；④OM∥平面PBA；⑤OM∥平面PBC.

其中，正确结论的个数为（）

A．1B．2C．3D．4

C[解析]矩形ABCD的对角线AC与BD交于O点，所以O为BD的中点．在△PBD中，M是PB的中点，所以OM∥PD，所以OM∥平面PCD，且OM∥平面PDA.因为M∈PB，所以OM与平面PBA、平面PBC相交．

8.如图所示，正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有（）

A．AH⊥平面EFHB．AG⊥平面EFHC．HF⊥平面AEFD．HG⊥平面AEF

A[解析]原图中AD⊥DF，AB⊥BE，所以折起后AH⊥FH，AH⊥EH，又FH∩EH＝H，所以AH⊥平面EFH.

9.如图所示，四棱锥SABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是（）

A．AC⊥SBB．AB∥平面SCD

C．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角

D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角

D[解析]由AC⊥BD，AC⊥SD，且BD∩SD＝D，得AC⊥平面SBD，∴AC⊥SB，故A正确．

由AB∥CD，得AB∥平面SCD，故B正确．

记AC与BD交于点O，连接SO，则∠ASO为SA与平面SBD所成的角，

∠CSO为SC与平面SBD所成的角，可证明△SAO≌△SCO，∴SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角，故C正确．显然D错误．

10.如图所示，在正四棱锥SABCD中，E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，动点P在线段MN（不包括端点）上运动，给出下列四个结论：

①EP⊥AC；②EP∥BD；③EP∥平面SBD；④EP⊥平面SAC.

其中，恒成立的为（）

A．①③B．③④C．①②D．②③④

A[解析]设AC，BD交于点O，连接SO，EN，EM.①由SABCD是正四棱锥，可得SO⊥底面ABCD，AC⊥BD，∴SO⊥AC.又∵SO∩BD＝O，∴AC⊥平面SBD.∵E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，∴EM∥BD，MN∥SD.又EM∩MN＝N，SD∩BD＝D，∴平面EMN∥平面SBD，∴AC⊥平面EMN，∴AC⊥EP，故①正确．②由异面直线的定义可知EP与BD是异面直线，不可能有EP∥BD，因此②不正确．③由①可知平面EMN∥平面SBD，∴EP∥平面SBD，因此③正确．④∵BD⊥AC，EM∥BD，∴EM⊥AC.又EM⊥SO，SO∩AC＝O，∴EM⊥平面SAC.若EP⊥平面SAC，则EP∥EM，与EP∩EM＝E矛盾，因此当P与M不重合时，EP与平面SAC不垂直，故④不正确．故选A.

二.填空题（共36分，双空题每空3分，单空题每空4分）

11.如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，且PA⊥平面ABCD，PA＝5，AB＝4，AD＝3，则异面直线PC与BD所成的角为________，直线PC与平面ABCD所成的角为________.

图234

45°[解析]连接AC.因为PA⊥平面ABCD，则AC是PC在平面ABCD上的射影，

所以∠PCA是PC与平面ABCD所成的角．

在△PAC中，PA⊥AC，且PA＝5，

AC＝＝＝5，所以∠PCA＝45°，

即异面直线PC与BD所成的角为45°，直线PC与平面ABCD所成的角为45°.

12.如图所示，设P是正方形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，则与平面PAB垂直的平面有和.

[解析]平面PBC、平面PAD

∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC.

又BC⊥AB，PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB.

∵BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAB.

由AD⊥PA，AD⊥AB，PA∩AB＝A，得AD⊥平面PAB.

∵AD⊂平面PAD，∴平面PAD⊥平面PAB.

由已知易得平面PBC与平面PAD不垂直

13.如图223所示，P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E为PB的中点，O为AC，BD的交点，则与EO平行的平面有________和________.

图223

平面PAD、平面PCD[解析]在△DPB中，∵O为BD的中点，E为PB的中点，∴EO∥PD，又EO在平面PAD、PCD外，PD在平面PAD、PCD内，所以EO与平面PAD、平面PCD平行．

14.若一个几何体的正视图，侧视图和俯视图形状相同，大小均相等，那么这个几何体不可能是

，可能是也可能不是的几何体是.

A．球B．三棱锥C．正方体D．圆柱E.四棱柱F.圆台

D、F；B、E.

15.如图，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点．

若在PB上存在一点Q，使平面MNQ∥平面PAD，则PQ∶QB＝________．

1∶1[解析]若平面MNQ∥平面PAD，则应有MQ∥PA，

∵M是AB的中点，∴Q是PB的中点．所以PQ∶QB＝1∶1.

16.下列叙述不正确的是________．

①如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行；②如果两条直线都和第三条直线所成的角相等，那么这两条直线平行；③两条异面直线所成的角为锐角或直角；④直线a与b异面，b与c也异面，则直线a与c必异面．

①②④[解析]①②中的两条直线可以相交，也可以异面，还可以平行，故①②错误；对于④，异面直线不具有传递性，故④错误．

17.如图所示，已知边长为2的等边三角形PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，且BC＝2，M为BC的中点，则二面角PAMD的大小为________．

45°[解析]如图所示，取CD的中点E，连接PE，EM，EA.

∵△PCD为等边三角形，∴PE⊥CD，PE＝2sin60°＝.

又∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD＝CD，∴PE⊥平面ABCD.

∵AM⊂平面ABCD，∴PE⊥AM.

∵四边形ABCD是矩形，

∴△ADE，△ECM，△ABM均为直角三角形，

由勾股定理可求得EM＝，AM＝，AE＝3，

∴EM2＋AM2＝AE2，∴AM⊥EM.

又PE∩EM＝E，∴AM⊥平面PEM，∴AM⊥PM，

∴∠PME是二面角PAMD的平面角．

∵tan∠PME＝PEEM＝33＝1，

∴∠PME＝45°，∴二面角PAMD的大小为45°.

三.解答题（共74分，请写出必要的解题过程和步骤）

18.（14分）如图，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点．

（1）求证：

MN∥平面PAD；

（2）若MN＝BC＝4，PA＝4，求异面直线PA与MN所成的角的大小．

解：

（1）证明：

取PD的中点H，连接AH，NH.

∵N是PC的中点，

∴NH//12DC.

∵M是AB的中点，且DC//AB，

∴NH//AM，即四边形AMNH为平行四边形．

∴MN∥AH.

∵MN⊄平面PAD，AH⊂平面PAD，

∴MN∥平面PAD.

（2）连接AC并取其中点O，连接OM，ON，

∴OM//12BC，ON//12PA.

∴∠ONM就是异面直线PA与MN所成的角．

由MN＝BC＝4，PA＝4，得OM＝2，ON＝2.

∴MO2＋ON2＝MN2，∴∠MON＝90°，∠ONM＝30°，

即异面直线PA与MN成30°的角．

19.（15分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC＝45°，AD＝AC＝1，PO⊥平面ABCD，O点在AC上，PO＝2，M为PD中点．

（1）证明：

AD⊥平面PAC；

（2）求三棱锥MACP的体积．

图236

解：

（1）证明：

∵AD＝AC，∴∠ACD＝∠ADC＝45°，

∴AD⊥AC.

∵PO⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴PO⊥AD，

又∵AC∩PO＝O，且AC⊂平面PAC，PO⊂平面PAC，

∴AD⊥平面PAC.

（2）∵M是PD的中点，∴M到平面ABCD的距离为12PO＝1.由

（1）知，S△ACD＝12AD·AC＝12.

∴三棱锥MACD的体积V＝13×12×1＝16.三棱锥PACD的体积V＝13×12×2＝13.

∴三棱锥MACP的体积V＝13-16＝16.

20.（15分）如图所示，在四棱锥PABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PD＝a，PA＝PC＝a，求证：

（1）平面PAC⊥平面PBD；

（2）二面角PBCD的大小为45°.

证明：

（1）∵PD＝a，DC＝a，PC＝a，

∴PC2＝PD2＋DC2，∴PD⊥DC.

同理可证PD⊥AD，又AD∩DC＝D，

∴PD⊥平面ABCD.

∴PD⊥AC.

又四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD.

又BD∩PD＝D，∴AC⊥平面PBD.

又AC⊂平面PAC，

∴平面PAC⊥平面PBD.

（2）由

（1）知PD⊥BC，

又BC⊥DC，且PD∩DC＝D，

∴BC⊥平面PDC.

∴BC⊥PC.

∴∠PCD为二面角PBCD的平面角．

在Rt△PDC中，PD＝DC＝a，

∴∠PCD＝45°.

∴二面角PBCD的大小为45°.

21.（15分）如图，已知四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，该菱形的边长为1，∠ABC＝60°，AA1⊥平面AC.

（1）设棱形ABCD的对角线的交点为O，求证：

A1O∥平面B1D1C；

（2）若四棱柱的体积V＝32，求C1C与平面B1D1C所成角的正弦值．

解：

（1）证明：

连接A1C1，与B1D1交于点G，连接GC，因为A1G∥CO，A1G＝CO，于是四边形A1GCO是平行四边形，故A1O∥CG，又CG⊂平面B1D1C，故A1O∥平面B1D1C.

（2）设AA1＝h，因为S底＝AB·BC·sin∠ABC＝32，所以V＝Sh＝32，所以h＝1.

因为B1D1⊥A1C1，B1D1⊥A1A，所以B1D1⊥平面A1C，

所以平面B1D1C⊥平面A1C，过C1作C1H⊥GC于H，于是C1H⊥平面B1D1C，

所以∠C1CG为所求角，且sin∠C1CG＝C1GGC＝55.

22.（15分）如图所示，PA⊥矩形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点．

（1）求证：

MN∥平面PAD；

（2）求证：

MN⊥CD；

（3）若二面角P-CD-A的大小为45°，求证：

平面BMN⊥平面PCD.

解：

（1）证明：

如图所示，取PD的中点E，连接AE、EN，

则有EN//12CD//12AB//AM，

故AMNE是平行四边形，∴MN∥AE，

∵AE⊂平面PAD，MN⊄平面PAD，

∴MN∥平面PAD.

（2）证明：

∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB，

又AD⊥AB，∴AB⊥平面PAD，

∴AB⊥AE，即AB⊥MN，

又CD∥AB，∴MN⊥CD.

（3）∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AD，

又∠PDA＝45°，E是PD的中点，∴AE⊥PD，即MN⊥PD，

又MN⊥CD，∴MN⊥平面PCD，

又MN⊂平面BMN，∴平面BMN⊥平面PCD.