北师大初中七年级数学下册《探索三角形全等的条件》教案.docx
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北师大初中七年级数学下册《探索三角形全等的条件》教案
探索三角形全等的条件
第一课时
教学目标：
1、经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程；
2、掌握三角形的“边边边”条件，了解三角形的稳定性。
3、在探索三角形全等条件及其运用的过程中，能够进行有条理的思考并进行简单的推理。
教学重点：
三角形“边边边”的全等条件
教学难点：
用三角形“边边边”的条件进行有条理的思考并进行简单的推理。
教学过程：
一、实验操作
1.画出一个三角形，使它的三个内角分别为40°，60°，80°，把你画的三角形与小组内画的进行比较，它们一定全等吗？
结论：
2、画出一个三角形，使它的三边长分别为3cm4cm7cm,把你画的三角形与小组内画的进行比较，它们一定全等吗？
结论：
二、巩固练习：
1、下列三角形全等的是
2、三边对应相等的两个三角形例全等，简写为或
3、如图，AB=AC，BD=DC4、如图，AM=AN，BM=BN
求证：
△ABD≌△ACD求证：
△AMB≌△ANB
证明：
在△ABD和△ACD中证明：
在△AMB和△ANB中
∴△ABD△ACD（）∴≌（）
5、如图，AD=CB，AB=CD6、如图，PA=PB，PC是△PAB的
中线，∠A=55°
求证：
∠B=∠D求：
∠B的度数
证明：
在中解：
∵PC是AB边上的中线，
∴AC=（中线的定义）
在中
∴△≌△（）∴≌（）
∴∠B=∠D（全等三角形对应角相等）
∴∠A=∠B（）
∵∠A=55°（已知）
∴∠B=∠A=55°（等量代换）
提高练习：
1、如图，AB=DC，BF=CE，AE=DF，你能找到一对全等的三角形吗？
说明你的理由。
2、如图，A、C、F、D在同一直线上，AF=DC，AB=DE，BC=EF
你能找到哪两个三角形全等？
说明你的理由。
3、如图，已知AC=AD，BC=BD，CE=DE，则全等三角形共有对，
并说明全等的理由。
第二课时
教学目标：
1、经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程；
2、掌握三角形的“角边角”“角角边”条件，了解三角形的稳定性。
3、在探索三角形全等条件及其运用的过程中，能够进行有条理的思考并进行简单的推理。
教学重点：
三角形“角边角”“角角边”的全等条件
教学难点：
用三角形“角边角”“角角边”的条件进行有条理的思考并进行简单的推理。
准备活动：
1、三边对应相等的两个三角形全等，简写为或
2、如图1，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，AD能平
分∠BAC吗？
你能说明理由吗？
解：
AD平分∠BAC。
∵AD是BC边上的中线（已知）
∴＝（中线的定义）
在中
（图1）
∴≌（）
∴∠BAD＝∠CAD（）
∴AD平分∠BAC（）
3、如图2，（图2）
（1）∵AC∥BD（已知）
∴∠＝∠（）
（2）∵AD∥BC（已知）
∴∠＝∠（）
4、如图3，
∵EA⊥AD，FD⊥AD（已知）
∴∠＝∠＝90°（）
（图3）
教学过程：
一、探索练习：
1、如果“两角及一边”条件中的边是两角所夹的边，比如三角形的两个内角分别是60°和80°，它们所夹的边为2cm，你能画出这个三角形吗？
你画的三角形与同伴画的一定全等吗？
结论：
2、如果“两角及一边”条件中的边是其中一角的对边，比如三角形两个内角分别是60°和45°，一条边长为3cm。
你画的三角形与同伴画的一定全等吗？
结论：
二、巩固练习：
1、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成或
2、两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成或
3、如图，AB＝AC，∠B＝∠C，你能证明△ABD≌△ACE吗？
证明：
△ABD和△ACE中
∴≌（）
4、如图，已知AC与BD交于点O，AD∥BC，且AD＝BC，你能说明BO=DO吗？
证明：
∵AD∥BC（已知）
∴∠A=，（）
∠D=，（）
在中，
∴≌（）
∴BO=DO（）
5、如图，∠B＝∠C，AD平分∠BAC，你能证明△ABD≌△ACD？
若BD＝3cm，则CD有多长？
证明：
∵AD平分∠BAC（）
∴∠＝∠（角平分线的定义）
在△ABD和△ACD中
∴△ABD△ACD（）
∴BD＝CD（）
∵BD＝3cm（已知）
∴CD＝＝（等量代换）
6、如图，在△ABC中，BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，且BE＝CF，那么BD与DC相等吗？
你能说明理由吗？
解：
BD＝DC。
∵BE⊥AD于E，CF⊥AD于F
∴∠＝∠＝90°（垂直的定义）
在中，
∴≌（）
∴BD＝DC（）（第6题）
7、如图，已知AB＝CD，∠B＝∠C，你能说明△ABO≌△DCO吗？
三、提高练习：
1、如图，AB∥CD，∠A＝∠D，BF＝CE，∠AEB＝110°，求∠DCF的度数。
2、如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，BE是角平分线，ED⊥AB于D，
且BD＝AD，试确定∠A的度数。
小结：
掌握三角形的“角边角”“角角边”条件，能够进行有条理的思考并进行简单的推理。
第三课时
教学目标：
使学生掌握并初步学会应用三角形全等的判定Ⅰ——边角边公理
教学重点：
1．指导学生分析问题，寻找判定三角形全等的条件．
2．三角形全等证明的书写格式
教学难点：
1．指导学生分析问题，寻找判定三角形全等的条件．
2．三角形全等证明的书写格式
教学过程：
一、复习提问
1．怎样的两个三角形是全等三角形？
2．全等三角形的性质？
3．指出图中各对全等三角形的对应边和对应角，
并说明通过怎样的变换能使它们完全重合：
图
（1）中：
△ABD≌△ACE，AB与AC是对应边；
图
（2）中：
△ABC≌△AED，AD与AC是对应边．
二、新课
1．三角形全等的判定Ⅰ
（1）全等三角形具有“对应边相等、对应角相等”的性质．那么，怎样才能判定两个三角形全等呢？
也就是说，具备什么条件的两个三角形能全等？
是否需要已知“三条边相等和三个角对应相等”？
现在我们用图形变换的方法研究下面的问题：
如图2，AC、BD相交于O，AO、BO、CO、DO的长度如图所标，△ABO和△CDO是否能完全重合呢？
不难看出，这两个三角形有三对元素是相等的：
AO＝CO，
∠AOB＝∠COD，
BO＝DO．
如果把△OAB绕着O点顺时针方向旋转，因为OA＝OC，所以可以使OA与OC重合；又因为∠AOB＝∠COD，OB＝OD，所以点B与点D重合．这样△ABO与△CDO就完全重合．（附注：
此外，还可以图1
（1）中的△ACE绕着点A逆时针方向旋转∠CAB的度数，也将与△ABD重合．图1
（2）中的△ABC绕着点A旋转，使AB与AE重合，再把△ADE沿着AE（AB）翻折180°．两个三角形也可重合）
由此，我们得到启发：
判定两个三角形全等，不需要三条边对应相等和三个角对应相等．而且，从上面的例子可以引起我们猜想：
如果两个三角形有两边和它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等．
2．上述猜想是否正确呢？
不妨按上述条件画图并作如下的实验：
（1）读句画图：
①画∠DAE＝45°，②在AD、AE上分别取B、C，使AB＝3.1cm，AC＝2.8cm．③连结BC，得△ABC．④按上述画法再画一个△A＇B＇C＇．
（2）把△A＇B＇C＇剪下来放到△ABC上，观察△A＇B＇C＇与△ABC是否能够完全重合？
3．边角边公理：
有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简称“边角边”或“SAS”）
三、三角形全等判定Ⅰ的应用
1．填空：
（1）如图3，已知AD∥BC，AD＝CB，要用边角边公理证明△ABC≌△CDA，需要三个条件，这三个条件中，已具有两个条件，一是AD＝CB（已知），二是（）＝（）；还需要一个条件（）＝（）（这个条件可以证得吗？
）．
（2）如图4，已知AB＝AC，AD＝AE，∠1＝∠2，要用边角边公理证明△ABD≌ACE，需要满足的三个条件中，已具有两个条件：
（）＝（），（）＝（）（这个条件可以证得吗？
）．
2．例题
例1已知：
AD∥BC，AD＝CB（图3）．
求证：
△ADC≌△CBA．
问题：
如果把图3中的△ADC沿着CA方向平移到△ADF的位置（如图5），那么要证明△ADF≌△CEB，除了AD∥BC、AD＝CB的条件外，还需要一个什么条件（AF＝CE或AE＝CF）？
怎样证明呢？
例2已知：
AB＝AC、AD＝AE、∠1＝∠2（图4）．求证：
△ABD≌△ACE．
小结：
1．根据边角边公理判定两个三角形全等，要找出两边及夹角对应相等的三个条件．
2．找使结论成立所需条件，要充分利用已知条件（包括给出图形中的隐含条件，如公共边、公共角等），并要善于运用学过的定义、公理、定理．
3．证明的书写格式：
（1）通过证明，先把题设中的间接条件转化成为可以直接用于判定三角形全等的条件；
（2）再写出在哪两个三角形中：
具备按边角边的顺序写出可以直接用于判定全等的三个条件，并用括号把它们括起来；
（3）最后写出判定这两个三角形全等的结论．
作业：
1．已知：
如图，AB＝AC，F、E分别是AB、AC的中点．求证：
△ABE≌△ACF．
2．已知：
点A、F、E、C在同一条直线上，AF＝CE，BE∥DF，BE＝DF．求证：
△ABE≌△CDF．
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