七上第四五章.docx

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七上第四五章

第四章平面图形及其位置关系

一、线段、射线、直线

1、线段、射线、直线的定义

2、线段、射线、直线的表示方法

（1）线段的表示方法有两种

（2）射线的表示方法只有一种

（3）直线的表示方法有两种：

例1：

图中有______条线段，_____条射线，_____条直线.

例2：

下列语句准确规范的是（）

A.直线a、b相交于一点mB.延长直线AB

C.反向延长射线AO（O是端点）D.延长线段AB到C,使BC=AB

例3：

在一条直线上取两上点A、B,共得几条线段?

在一条直线上取三个点A、B、C,共得几条线段?

在一条直线上取A、B、C、D四个点时,共得多少条线段?

在一条直线上取n个点时,共可得多少条线段?

3、直线公理：

过两点有且只有一条直线。

简称两点确定一条直线。

例:

4：

经过平面内A、B、C三点可作直线的条数为（）

A.只能一条B.只能三条C.三条或一条D.不能确定

拓展：

经过平面内A、B、C、D四点可作直线_____________________条。

4、线段的比较

（1）叠合比较法；

（2）度量比较法。

5、线段公理：

“两点之间，线段最短”。

连接两点的线段的长度，叫做这两点的距离。

例5：

如图,从A到B有3条路径,最短的路径是③,理由是（）

A.因为③是直的B.两点确定一条直线

C.两点间距离的定义D.两点之间,线段最短

例6：

如图，在一条笔直的公路

的两侧分别有A、B两个村庄，现要在公路上建一供电站C，使供电站C到A、B两村所用电线之和最短.问供电站C的位置应该如何确定？

6、线段的中点：

如果线段上有一点，把线段分成相等的两条线段，这个点叫这条线段的中点。

应用形式（几何语言）：

∵点

是线段

的中点

∴

，

，

.

例7：

如图：

A、B、C三点在直线

上，且AB=5cm，BC=3cm，D为BC的中点，求AD的长.

解：

∵D为BC的中点

∴BD=

BC=_____=______cm

∴AD=AB+BD=____+_____=______cm

例8：

如图，线段AB=48cm，C为AB的中点，D为BC上任一点，E为BD中点，DE=10cm，求CD.

例9：

若A、B两点之间的距离是10cm，C是线段AB上的任意一点，则AC中点与BC中点间的距离是______________

例10：

延长线段

到C，使BC=

D为AC中点，若BD=3cm,求

的长.

二、角

1、角的概念：

2、角的表示方法：

角用“∠”符号表示

（1）分别用两条边上的两个点和顶点来表示。

（顶点必须在中间）

（2）在角的内部写上阿拉伯数字，然后用这个阿拉伯数字来表示角。

（3）在角的内部写上小写的希腊字母，然后用这个希腊字母来表示角。

（4）直接用一个大写英文字母来表示。

例11：

如图，

（1）图中哪些角可以用一个大写的字母表示.

（2）以A为顶点的角有几个？

请表述出来？

（3）用三个字母表示图中的∠1、∠2.

3、角的度量：

会用量角器来度量角的大小。

4、角的单位：

角的单位有度、分、秒，用°、′、″表示，角的单位是60进制与时间单位是类似的。

度、分、秒的换算：

1°=60′，1′=60″。

例12、57.32°是几度几分几秒？

例13、计算：

（1）39°48′＋41°37′　　

（2）

5、锐角、直角、钝角、平角、周角的概念和大小

（1）平角：

角的两边成一条直线时，这个角叫平角。

（2）周角：

角的一边旋转一周，与另一边重合时，这个角叫周角。

（3）0°<锐角<90°，直角=90°，90°<钝角<180°，平角=180°，周角=360°。

例14：

AB为一条直线，把一根小棒OC一端钉在点O，旋转小

木棒，使它落在不同的位置上形成不同的角，其中∠AOC为____，

∠AOD为____，∠AOE为____，木棒转到OB时形成的角为____.

（回答钝角、锐角、直角、平角）

例15：

8点30分时，时钟的时针与分针所夹的锐角是（）

A、70°B、75°C、80°D、60°

6、画两个角的和，以及画两个角的差

（1）用量角器量出要画的两个角的大小，再用量角器来画。

（2）三角板的每个角的度数，30°、60°、90°、45°。

7、角的平分线

从角的顶点出发将一个角分成两个相等的角的射线叫角的平分线。

若BD是∠ABC的平分线，则有：

∠ABD=∠CBD=

∠ABC；∠ABC=2∠ABD=2∠CBD

例16：

如图，O为直线AB上一点，射线OD、OE分别平分∠AOC、∠BOC.求∠DOE的度数.

8、角的计算。

例17：

如图所示，已知OE是∠AOD的平分线，OC是∠AOB的平分线．

（1）若∠AOD=120°，∠AOB=30°，求∠COE的度数．

（2）若∠AOD=m°，∠AOB=n°，求∠COE的度数．

例18：

从1点15分到1点35分，时针与分针各转了多少度？

例19：

已知一条射线OA，若从点O再引两条射线OB和OC使∠AOB=60°，∠BOC=20°求∠AOC的度数.

三、平行线和垂线

1、平行线的定义：

（1）如果在同一平面内的两条不相交的直线叫平行线。

（2）平行线用“∥”来表示；线段、射线的平行关系根据它所在的直线来决定，若它们所在的直线不相交，就平行，若所在的直线相交，就不平行。

例20：

下列四个图中的线段（或直线、射线）能相交的是（）

A.

（1）B.

（2）C.（3）D.（4）

例21：

下列说法中正确的是（）

A、在同一平面内，两条不平行的线段必相交

B、在同一平面内，不相交的两条线段是平行线

C、两条射线或线段平行是指它们所在的直线平行

D、一条直线有可能同时与两条相交直线平行

2、平行的公理及推论：

（1）平行公理：

若经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。

（2）平行公理的推论：

两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线也相互平行。

（平行于同一直线的两直线平行）

例22：

如图，直线AB、CD是一条河的两岸，并且AB//CD，点E为直线AB、CD外一点，现想过点E作岸CD的平行线，只需过点E作岸AB的平行线即可，其理由是______.

例23、如图所示：

EF//AB，FC//AB（已知），所以E、C、F在一条直线上。

根据：

__________.

3、画已知直线的平行线的方法

用直尺和三角板画平行线。

例24：

如图，在网格中分别过点F

做直线AC、BC的平行线

4、垂直的概念：

（1）如果两条直线相交成直角，那

么这两条直线互相垂直，其中一条直

线叫另一条直线的垂线，它们的交点

叫做垂足。

（2）两条线段互相垂直指它们所在

的直线互相垂直。

（3）两条直线垂直用“⊥”来表示，

如直线AB与直线CD垂直，记作：

AB⊥BC

例25：

如图，在网格中分别过点F做直线AC、BC的垂线

5、垂线段的概念：

（1）过一点A做直线a的垂线，垂足为B，则线段AB叫直线a的垂线段。

（2）直线外一点A到直线a的垂线段长度叫点A到直线a的距离。

6、垂直的性质：

平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

例26：

下列说法正确的是（）

A、两点之间的距离是两点间的线段；

B、同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行；

C、同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；

D、与同一条直线垂直的两条直线也垂直.

四、七巧板

七巧板的制作：

七巧板由5块三角形，1块正方形，一块平行四边形组成。

第五章一元一次方程

一、相关概念

（一）、一元一次方程的有关概念

1、方程是含有未知数的等式；

例如：

　　3x+5=8 ，

=

，0.4y—2.5=0.1，2x+3y=5

例1、下列式子中①x＞3；②3＋（－2）＝1；③m＝0；④－35x＋6x＝5；⑤x＋y＝0；⑥3x2＋2x哪些是方程._______________

2、解方程就是求使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值就是方程的解；

3、只含有一个未知数（元）x，未知数x的指数都是一（次）的方程叫一元一次方程；

例如：

3x+5=8，

=

，0.4y—2.5=0.1是一元一次方程，而2x+3y=5则不是．

4、列方程时，要先设出未知数，然后根据问题中的相等关系，写出含有未知数的等式列出方程.

例2、2004年底，英才中学统计全校教师的学历情况，全校180名教师中，具有本科学历的有120名，比五年前增加了20%，那么五年前英才中学具有本科学历的教师有多少名？

（只列方程，不必求解）

例3、根据下列问题，列出方程，不必求解.

（1）把若干本书发给学生，如果每人发4本，还剩下25本；如果每人发5本，还差5本，问学生有多少人？

（2）某班50名学生准备集体去看电影，电影票中有1.5元的和2元的，买电影票共花88元，问这两种电影票应各买几张？

例4、小明测量他家的客厅，长比宽多

，已知长为6米，宽多少米？

（只列方程，不必求解）

（二）、等式的性质

等式性质1：

等式的两边都加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等，

如果a＝b，那么a±c＝b±c；

等式的性质2：

等式的两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，

b，那么ac＝bc；若c≠0，则

例5、根据等式的性质填空.

（1）已知a＝c，则2a－b＝________

（2）已知m＝n，则5＋m＝_________

例6、利用等式的性质解方程

（1）x＋5＝－2

（2）－2x－3＝25（3）

例7、判断下列变形是否正确

（1）若ac＝bc，则a＝b

（2）若a＋x＝b，则x＝a＋b

（3）若

（4）若m（a2＋1）＝n（a2＋1），则m＝n

二、元一次方程

例1、解方程

例2、（浙江嘉兴市中考题）某校组织师生春游，如果单独租用45座客车若干辆，刚好坐满；如果单独租用60座客车，可少租1辆，且余30个座位.求该校参加春游的人数.

例3、小华的爸爸三年前为小华存了一份5000元的教育储蓄，今年到期时的本息和是5405元，请你帮小华算一算，这种储蓄的年利率.

例4、牧羊人赶着一群羊寻找一个草长得茂盛的地方，一个过路人牵着一只肥羊从后面跟了上来，他对牧羊人说：

“你赶的这群羊大概有100只吧？

”牧羊人答道：

“如果这群羊加上一倍，再加上原来这群羊的一半，又加上原来这群羊一半的一半，连你这只羊也算进去，才刚好凑满100只.”问牧羊人的这群羊共有多少只？

例5、某市收取水费按以下规定：

若每月每户用水不超过20立方米，则每立方米水价按1.2元收费；若超过20立方米，则超过部分每立方米按2元收费.如果某户居民在某月所交水费的平均水价为每立方米1.5元，那么该户居民这个月共用水多少立方米？

三、实际生活与一元一次方程

（1）等积变形问题

例1、用直径为90mm的圆柱形玻璃杯（已装满水，且水足够多）向一个内底面积为131×131mm2，内高为81mm的长方体铁盒倒水，当铁盒装满水时，玻璃杯中水的高度下降了多少？

（结果保留π）

（2）利息问题

例2、储户到银行存款，一段时间后，银行要向储户支付存款利息，同时银行还将代扣由储户向国家缴纳的利息税，税率为利息的20%.

（1）将8500元钱以一年期的定期储蓄存入银行，年利率为2.2%，到期支取时可得到利息_________元.扣除个人所得税后实得__________元；

（2）小明的父亲将一笔资金按一年期的定期储蓄存入银行，年利率为2.2%，到期支取时，扣除所得税后得本金和利息共计71232元，问这笔资金是多少元？

（3）王红的爸爸把一笔钱按三年期的定期储蓄存入银行，假设年利率为3%，到期支取时扣除所得税后实得利息为432元，问王红的爸爸存入银行的本金是多少？

（3）商品的利润率问题

例3、某种商品的标价是520元，打8折销售，仍可获得4%的利润，这种商品的进价是多少？

（4）行程问题与工程问题

　　行程问题与工程问题有相似之处，行程问题可以看作特殊的工程问题，二者的类似之处如下表：

行程问题中的相遇问题与工程问题中的合作问题类似。

　行程问题中的追及问题与工程问题中的“进、出水龙头问题类似”.

例4、

（1）小张和父亲预定搭乘家门口的公共汽车往火车站，去家乡看望爷爷，在行驶到一半路程时，小张向司机询问到达火车站的时间，司机估计继续乘公汽到火车站火车正好开出，于是建议小张和父亲改乘出租车，车速提高了一倍，结果赶到火车开出前15分钟到达火车站，已知公共汽车的平均速度是30千米/时，问小张家到火车站有多远？

（2）为庆祝校运会开幕，初一

（2）班学生接受了制作小旗的任务，原计划一半同学参加制作，每天制作40面，完成了三分之一以后，全班同学一起参加，结果比原计划提前一天半完成任务，假设每人的制作效率相同，问共制作小旗多少面？

（5）调配问题：

从调配后的数量关系中找等量元素，注意调配对象流动的方向及数量。

例5、甲站有汽车192辆，乙站有汽车48辆。

现每天从乙站调3辆汽车到甲站，几天以后，甲站的汽车是乙站的7倍？

四：

拓展

例1、解方程

例2 关于x的方程（m＋2）x|m＋3|－2＝0是一元一次方程，求

的值.

例3、已知（m2－1）x2－（m＋1）x＋8＝0是关于x的一元一次方程，①求代数式199（m＋x）（x－2m）＋3m＋4的值；②求关于y的方程m|y|＝x的解.

例4、 现有15％的盐水400克，张老师要求把盐水浓度变为12％，某同学由于计算错误，加进了110克的水，请你用列方程计算的方法，说明这位同学加水加多了，并指出多加了多少克的水？

例5、电脑上网有“宽带网”和“拨号上网”等方式，其中拨号上网的费用由电话费和上网费两部分组成，以前收费标准为：

电话费0.18元/3分钟，上网费7.2元/小时，从1999年3月1日起，信息产业部调整为：

上网电话费0.22元/3分钟，上网费为每月不超过60小时，按4元/小时计算，超过60小时的部分，按8元/小时计算.

（1）资费调整前，网民张永在其家庭经济预算中，一直有一笔每月70小时的上网支出，这笔预算为多少钱？

（2）资费调整后，预算不变，张永每月至多可上网多少小时？