2000-2012全国高中数学联赛分类汇编-专题08-立体几何Word格式.doc

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【解析】如图，把四面体补成平行六面体，则此平行六面体的体积=1×

×

sin×

2=3．

而四面体ABCD的体积=×

平行六面体体积=．故选B．

4、（2004一试6）顶点为P的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A是底面圆周上的点，B是底面圆内的点，O为底面圆圆心，AB⊥OB，垂足为B，OH⊥PB，垂足为H，且PA=4，C为PA的中点，则当三棱锥O－HPC的体积最大时，OB的长为（）

A．B．C．D．

5、（2005一试4）如图，为正方体。

任作平面与对角线垂直，使得与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S，周长为.则（）

A．S为定值，不为定值B．S不为定值，为定值

C．S与均为定值D．S与均不为定值

【解析】将正方体切去两个正三棱锥后，得到一个以平行平面为上、下底面的几何体V，V的每个侧面都是等腰直角三角形，截面多边形W的每一条边分别与V的底面上的一条边平行，将V的侧面沿棱剪开，展平在一张平面上，得到一个，而多边形W的周界展开后便成为一条与平行的线段（如图中），显然，故为定值。

当位于中点时，多边形W为正六边形，而当移至处时，W为正三角形，易知周长为定值的正六边形与正三角形面积分别为与，故S不为定值。

选B。

[来源:

学科网ZXXK]

6、（2006一试4）在直三棱柱中，，.已知Ｇ与Ｅ分别为和的中点，Ｄ与Ｆ分别为线段和上的动点（不包括端点）.若，则线段的长度的取值范围为（）

A.B.C.D.

7、（2007一试1）如图，在正四棱锥P−ABCD中，∠APC=60°

，则二面角A−PB−C的平面角的余弦值为（）

A. B. C. D.

【解析】如图，在侧面PAB内，作AM⊥PB，垂足为M。

连结CM、AC，则∠AMC为二面角A−PB−C的平面角。

不妨设AB=2，则，斜高为，故，由此得。

在△AMC中，由余弦定理得。

8、（2008一试4）若三个棱长均为整数（单位：

cm）的正方体的表面积之和为564cm2，则这三个正方体的体积之和为（）。

（A）764cm3或586cm3（B）764cm3　

（C）586cm3或564cm3（D）586cm3

【答案】A

9、（2000一试11）一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则这个球的体积是________.

10、（2001一试9）正方体ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ1１的棱长为1，则直线Ａ１Ｃ１与ＢＤ１的距离是___________．

【答案】

【解析】这是一道求两条异面直线距离的问题，解法较多，下面给出一种基本的解法．为了保证所作出的表示距离的线段与Ａ１Ｃ１和ＢＤ１都垂直，不妨先将其中一条直线置于另一条直线的垂面内．为此，作正方体的对角面ＢＤＤ１Ｂ１，则Ａ１Ｃ１⊥面ＢＤＤ１Ｂ１，且ＢＤ１面ＢＤＤ１Ｂ１．设Ａ１Ｃ１∩Ｂ１Ｄ１＝0，在面ＢＤＤ１Ｂ１内作ＯＨ⊥ＢＤ１，垂足为Ｈ，则线段ＯＨ的长为异面直线Ａ１Ｃ１与ＢＤ１的距离．在Ｒｔ△ＢＢ１Ｄ１中，ＯＨ等于斜边ＢＤ１上高的一半，即ＯＨ＝／6．

12、（2004一试9）如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角A－BD1—A1的度数是。

13、（2006一试10）底面半径为1cm的圆柱形容器里放有四个半径为cm的实心铁球，四个球两两相切，其中底层两球与容器底面相切.现往容器里注水，使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水cm3.[来源:

Z|xx|k.Com]

14、（2007一试9）已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，以顶点A为球心，为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于。

（第12题图1）

15、（2008一试12）一个半径为1的小球在一个内壁棱长为的正四面体容器内可向各个方向自由运动，则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是　.

【解析】如图1，考虑小球挤在一个角时的情况，记小球半径为，作平面//平面，与小球相切于点，则小球球心为正四面体的中心，，垂足为的中心．因，

16、（2010一试7）正三棱柱的9条棱长都相等，是的中点，二面角,则

【解析】解法一：

如图，以所在直线为轴，线段中点为原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系.设正三棱柱的棱长为2，则，从而，.

设分别与平面、平面垂直的向量是、，则[来源:

Zxxk.Com]

由此可设，所以，即

.所以.[来源:

学|科|网Z|X|X|K]

17、（2011一试6）在四面体中，已知，，，则四面体的外接球的半径为

学科网]

18、（2012一试5）设同底的两个正三棱锥和内接于同一个球．若正三棱锥的侧面与底面所成的角为，则正三棱锥的侧面与底面所成角的正切值是．