15因动点产生的梯形问题.docx

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15因动点产生的梯形问题

1.5因动点产生的梯形问题

例12015年上海市徐汇区中考模拟第24题

如图1，在平面直角坐标系中，开口向上的抛物线与x轴交于点A（－1,0）和点B（3,0），D为抛物线的顶点，直线AC与抛物线交于点C（5,6）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点E在x轴上，且△AEC和△AED相似，求点E的坐标；

（3）若直角坐标系平面中的点F和点A、C、D构成直角梯形，且面积为16，试求点F的坐标．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“15徐汇24”，拖动点E在x轴上运动，可以体验到，直线CA和直线DA与x轴的夹角都是45°，△CAE∽△EAD存在两种情况．

思路点拨

1．由A、C、D三点的坐标，可以得到直线CA、直线DA与x轴的夹角都是45°，因此点E不论在点A的左侧还是右侧，都有∠CAE＝∠DAE．因此讨论△AEC和△AED相似，要分两种情况．每种情况又要讨论对应边的关系．

2．因为∠CAD是直角，所以直角梯形存在两种情况．

满分解答

（1）如图1，因为抛物线与x轴交于点A（－1,0）和点B（3,0），设y＝a（x＋1）（x－3）．

将点C（5,6）代入y＝a（x＋1）（x－3），得12a＝6．

解得

．所以抛物线的解析式为

．

（2）由

，得顶点D的坐标为（1,－2）．

由A（－1,0）、C（5,6）、D（1,－2），得∠CAO＝45°，∠DAO＝45°，AC＝

，AD＝

．

因此不论点E在点A的左侧还是右侧，都有∠CAE＝∠DAE．

图2图3

如果△CAE∽△DAE，那么它们全等，这是不可能的．

如图2，图3，如果△CAE∽△EAD，那么AE2＝AC·AD＝

．

所以AE＝

．所以点E的坐标为

，或

．

（3）因为∠CAD＝90°，因此直角梯形存在两种情况．

①如图4，当DF//AC时，由

，得

．

解得DF＝

．此时F、D两点间的水平距离、竖直距离都是2，所以F（3,0）．

②如图5，当CF//AD时，由

，得

．

解得CF＝

．此时F、C两点间的水平距离、竖直距离都是

，所以F

．

图4图5

考点伸展

如果第（3）题改为：

点F在抛物线上，点F和点A、C、D构成梯形，求点F的坐标，那么就要分三种情况讨论了．

如图4，当DF//AC时，点F就是点B（3,0）．

如图6，当CF//AD时，FH＝CH．设F

，那么

．

解得x＝±5．此时点F的坐标为（－5,16）．

如图7，当AF//CD时，

．所以

．

解得x＝7．此时点F的坐标为（7,16）．

图6图7

例22014年上海市金山区中考模拟第24题

如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x＋2与x轴交于点A，点B是这条直线上第一象限内的一个点，过点B作x轴的垂线，垂足为D，已知△ABD的面积为18．

（1）求点B的坐标；

（2）如果抛物线经过点A和点B，求抛物线的解析式；

（3）已知

（2）中的抛物线与y轴相交于点C，该抛物线对称轴与x轴交于点H，P是抛物线对称轴上的一点，过点P作PQ//AC交x轴于点Q，如果点Q在线段AH上，且AQ＝CP，求点P的坐标．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“14金山24”，拖动点P运动，可以体验到，AQ＝CP有两种情况，四边形CAQP为平行四边形或等腰梯形．

思路点拨

1．△ABD是等腰直角三角形，根据面积可以求得直角边长，得到点B的坐标．

2．AQ＝CP有两种情况，四边形CAQP为平行四边形或等腰梯形．

平行四边形的情况很简单，等腰梯形求点P比较复杂，于是我们要想起这样一个经验：

平行于等腰三角形底边的直线截两腰，得到一个等腰梯形和一个等腰三角形．

满分解答

（1）直线y＝x＋2与x轴的夹角为45°，点A的坐标为（－2,0）．

因为△ABD是等腰直角三角形，面积为18，所以直角边长为6．

因此OD＝4．所以点B的坐标为（4,6）．

（2）将A（－2,0）、B（4,6）代入，

得解得b＝2，c＝6．

所以抛物线的解析式为．

（3）由，得抛物线的对称轴为直线x＝2，点C的坐标为（0,6）．

如果AQ＝CP，那么有两种情况：

①如图2，当四边形CAQP是平行四边形时，AQ//CP，此时点P的坐标为（2,6）．

②如图3，当四边形CAQP是等腰梯形时，作AC的垂直平分线交x轴于点F，那么点P在FC上．

设点F的坐标为（x,0），根据FA2＝FC2列方程，得（x＋2）2＝x2＋62．

解得x＝8．所以OF＝8，HF＝6．

因此．此时点P的坐标为．

图2图3

考点伸展

第（3）题等腰梯形CAQP时，求点P的坐标也可以这样思考：

过点P作PE//x轴交AC于E，那么PE＝PC．

直线AC的解析式为y＝3x＋6，设E（m,3m＋6），

那么P（2,3m＋6）．

根据PE2＝PC2列方程，得（2－m）2＝22＋（3m）2．

解得．所以P．

图4

其实第（3）题还有一个“一石二鸟”的方法：

设QH＝n，那么AQ＝4－n，PH＝3n，P（2,3n）．

根据AQ2＝CP2，列方程，得．（4－n）2＝22＋（3n－6）2．

整理，得2n2－7n－6＝0．解得n1＝2，．

当n1＝2时，P（2,6），对应平行四边形CAQP（如图2）；

当时，P，对应等腰梯形CAQP（如图4）．

例32012年上海市松江区中考模拟第24题

已知直线y＝3x－3分别与x轴、y轴交于点A，B，抛物线y＝ax2＋2x＋c经过点A，B．

（1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；

（2）记该抛物线的对称轴为直线l，点B关于直线l的对称点为C，若点D在y轴的正半轴上，且四边形ABCD为梯形．

①求点D的坐标；

②将此抛物线向右平移，平移后抛物线的顶点为P，其对称轴与直线y＝3x－3交于点E，若，求四边形BDEP的面积．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“12松江24”，拖动点P向右运动，可以体验到，D、P间的垂直距离等于7保持不变，∠DPE与∠PDH保持相等．

请打开超级画板文件名“12松江24”，拖动点P向右运动，可以体验到，D、P间的垂直距离等于7保持不变，∠DPE与∠PDH保持相等，，四边形BDEP的面积为24．

思路点拨

1．这道题的最大障碍是画图，A、B、C、D四个点必须画准确，其实抛物线不必画出，画出对称轴就可以了．

2．抛物线向右平移，不变的是顶点的纵坐标，不变的是D、P两点间的垂直距离等于7．

3．已知∠DPE的正切值中的7的几何意义就是D、P两点间的垂直距离等于7，那么点P向右平移到直线x＝3时，就停止平移．

满分解答

（1）直线y＝3x－3与x轴的交点为A（1，0），与y轴的交点为B（0,－3）．

将A（1，0）、B（0,－3）分别代入y＝ax2＋2x＋c，

得解得

所以抛物线的表达式为y＝x2＋2x－3．

对称轴为直线x＝－1，顶点为（－1,－4）．

（2）①如图2，点B关于直线l的对称点C的坐标为（－2,－3）．

因为CD//AB，设直线CD的解析式为y＝3x＋b，

代入点C（－2,－3），可得b＝3．

所以点D的坐标为（0，3）．

②过点P作PH⊥y轴，垂足为H，那么∠PDH＝∠DPE．

由，得．

而DH＝7，所以PH＝3．

因此点E的坐标为（3，6）．

所以．

图2图3

考点伸展

第

（2）①用几何法求点D的坐标更简便：

因为CD//AB，所以∠CDB＝∠ABO．

因此．所以BD＝3BC＝6，OD＝3．因此D（0，3）．

例42012年衢州市中考第24题

如图1，把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD方别置于平面直角坐标系中，使直角边OB、OD在x轴上．已知点A（1，2），过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F．抛物线y＝ax2＋bx＋c经过O、A、C三点．

（1）求该抛物线的函数解析式；

（2）点P为线段OC上的一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴于点N，问是否存在这样的点P，使得四边形ABPM为等腰梯形？

若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若△AOB沿AC方向平移（点A始终在线段AC上，且不与点C重合），△AOB在平移的过程中与△COD重叠部分的面积记为S．试探究S是否存在最大值？

若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“12衢州24”，拖动点P在线段OC上运动，可以体验到，在AB的左侧，存在等腰梯形ABPM．拖动点A′在线段AC上运动，可以体验到，Rt△A′OB′、Rt△COD、Rt△A′HG、Rt△OEK、Rt△OFG和Rt△EHK的两条直角边的比都为1∶2．

请打开超级画板文件名“12衢州24”，拖动点P在线段OC上运动，可以体验到，在AB的左侧，存在AM=BP．拖动点A′在线段AC上运动，发现S最大值为0.375．

思路点拨

1．如果四边形ABPM是等腰梯形，那么AB为较长的底边，这个等腰梯形可以分割为一个矩形和两个全等的直角三角形，AB边分成的3小段，两侧的线段长线段．

2．△AOB与△COD重叠部分的形状是四边形EFGH，可以通过割补得到，即△OFG减去△OEH．

3．求△OEH的面积时，如果构造底边OH上的高EK，那么Rt△EHK的直角边的比为1∶2．

4．设点A′移动的水平距离为m，那么所有的直角三角形的直角边都可以用m表示．

满分解答

（1）将A（1，2）、O（0，0）、C（2，1）分别代入y＝ax2＋bx＋c，

得解得，，．所以．

（2）如图2，过点P、M分别作梯形ABPM的高PP′、MM′，如果梯形ABPM是等腰梯形，那么AM′＝BP′，因此yA－yM′＝yP′－yB．

直线OC的解析式为，设点P的坐标为，那么．

解方程，得，．

x＝2的几何意义是P与C重合，此时梯形不存在．所以．

图2图3

（3）如图3，△AOB与△COD重叠部分的形状是四边形EFGH，作EK⊥OD于K．

设点A′移动的水平距离为m，那么OG＝1＋m，GB′＝m．

在Rt△OFG中，．所以．

在Rt△A′HG中，A′G＝2－m，所以．

所以．

在Rt△OEK中，OK＝2EK；在Rt△EHK中，EK＝2HK；所以OK＝4HK．

因此．所以．

所以．

于是．

因为0＜m＜1，所以当时，S取得最大值，最大值为．

考点伸展

第（3）题也可以这样来解：

设点A′的横坐标为a．

由直线AC：

y＝－x＋3，可得A′（a,－a＋3）．

由直线OC：

，可得．

由直线OA：

y＝2x及A′（a,－a＋3），可得直线O′A′：

y＝2x－3a＋3，．

由直线OC和直线O′A′可求得交点E（2a－2，a－1）．

由E、F、G、H4个点的坐标，可得

例52011年义乌市中考第24题

已知二次函数的图象经过A（2，0）、C（0，12）两点，且对称轴为直线x＝4，设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B．

（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；

（2）如图1，在直线y＝2x上是否存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形？

若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）如图2，点M是线段OP上的一个动点（O、P两点除外），以每秒个单位长度的速度由点P向点O运动，过点M作直线MN//x轴，交PB于点N．将△PMN沿直线MN对折，得到△P1MN．在动点M的运动过程中，设△P1MN与梯形OMNB的重叠部分的面积为S，运动时间为t秒，求S关于t的函数关系式．

图1图2

动感体验

请打开几何画板文件名“11义乌24”，拖动点M从P向O运动，可以体验到，M在到达PO的中点前，重叠部分是三角形；经过中点以后，重叠部分是梯形．

思路点拨

1．第

（2）题可以根据对边相等列方程，也可以根据对角线相等列方程，但是方程的解都要排除平行四边形的情况．

2．第（3）题重叠部分的形状分为三角形和梯形两个阶段，临界点是PO的中点．

满分解答

（1）设抛物线的解析式为，代入A（2，0）、C（0，12）两点，得解得

所以二次函数的解析式为，顶点P的坐标为（4，－4）．

（2）由，知点B的坐标为（6，0）．

假设在等腰梯形OPBD，那么DP＝OB＝6．设点D的坐标为（x，2x）．

由两点间的距离公式，得．解得或x＝－2．

如图3，当x＝－2时，四边形ODPB是平行四边形．

所以，当点D的坐标为（，）时，四边形OPBD为等腰梯形．

图3图4图5

（3）设△PMN与△POB的高分别为PH、PG．

在Rt△PMH中，，．所以．

在Rt△PNH中，，．所以．

①如图4，当0＜t≤2时，重叠部分的面积等于△PMN的面积．此时．

②如图5，当2＜t＜4时，重叠部分是梯形，面积等于△PMN的面积减去△P′DC的面积．由于，所以．

此时．

考点伸展

第

（2）题最好的解题策略就是拿起尺、规画图：

方法一，按照对角线相等画圆．以P为圆心，OB长为半径画圆，与直线y＝2x有两个交点，一个是等腰梯形的顶点，一个是平行四边形的顶点．

方法二，按照对边相等画圆．以B为圆心，OP长为半径画圆，与直线y＝2x有两个交点，一个是等腰梯形的顶点，一个是平行四边形的顶点．