初值问题的Euler方法和梯形法.docx
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初值问题的Euler方法和梯形法
学生实验报告
实验课程名称偏微分方程数值解
开课实验室数统学院
学院数统年级2013专业班信计02
学生姓名学号
开课时间2015至2016学年第2学期
总成绩
教师签名
数学与统计学院制
开课学院、实验室：
数统学院实验时间：
2016年月日
实验项目
名称
初值问题的Euler方法和梯形法
实验项目类型
验证
演示
综合
设计
其他
指导教师
曾芳
成绩
是
一．实验目的
通过该实验，要求学生掌握求解初值问题的欧拉法和梯形法，并能通过计算机语言编程实现这两种算法。
二．实验内容
考虑如下的初值问题：
该问题有解析解
。
1.用欧拉法求解该问题，取步长
，将3种步长的计算结果（
时刻的计算结果），解析结果和相应的绝对误差列表显示。
2.用梯形法求解该问题，取步长
，将3种步长的计算结果（
时刻的计算结果），解析结果和相应的绝对误差列表显示。
3.在同一种方法下，请说明哪种网格大小的计算结果更加精确，并说明理由。
在相同的网格大小下，比较上述两种算法的计算结果，那种算法的结果要好一些，并说明理由。
三．实验原理、方法（算法）、步骤
欧拉法的迭代格式及误差估计：
un+1=un+hf（tn,un）.∣un-u（tn）∣=O（h）
欧拉法：
function[x,y]=euler（fun,x0,xfinal,y0,n）
ifnargin<5,n=50;
end
h=（xfinal-x0）/n;
x
（1）=x0;y
（1）=y0;
fori=1:
n
x（i+1）=x（i）+h;
y（i+1）=y（i）+h*feval（fun,x（i）,y（i））;
end
x=x';
y=y';
x1=0:
:
1
y1=exp（2*x1）
plot（x,y,x1,y1）
functionf=doty（x,y）;
f=2*y
[x,y]=euler（'doty',0,1,1,10）
梯形法：
function[x,y]=tixing（fun,x0,xfinal,y0,n）
ifnargin<5,n=50;
end
h=（xfinal-x0）/n;
x
（1）=x0;y
（1）=y0;
fori=1:
n
x（i+1）=x（i）+h;
y（i+1）=y（i）+h*feval（fun,x（i）,y（i））
y（i+1）=y（i）+h*（feval（fun,x（i）,y（i））+feval（fun,x（i+1）,y（i+1）））/2;
end
x=x';
y=y';
x1=0:
:
1
y1=exp（2*x1）
plot（x,y,x1,y1）
四．实验环境（所用软件、硬件等）及实验数据文件
Matlab
五．实验结果及实例分析
欧拉法输出分析：
H=
计算值解析值误差
0
H=
0
H=
0
梯形法输出分析：
计算值解析值误差
H=
0
H=
0
H=
0
图像结果：
其中绿线代表欧拉法，红线为梯度法，蓝线为解析解：
H=
H=
H=
由图形结果易知梯形法的精度比欧拉法更高，更接近解析解。
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