因动点产生的梯形问题Word文档下载推荐.docx
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如图2中,由AE=FB（形）,得yA-yD=yC-yB（数）.
如图3中,由OE=FA（形）,得xC-xO=xA-xB（数）.
图1图2图3
例20 2016年上海市普陀区中考模拟第24题
在平面直角坐标系中,二次函数y=
x2+bx+c的图象与y轴交于点A,与双曲线y=
有一个公共点B,它的横坐标为4.过点B作直线l∥x轴,与二次函数图象交于另一点C,直线AC的截距是-6.
（1）求二次函数的解析式;
（2）求直线AC的表达式;
（3）平面内是否存在点D,使A、B、C、D为顶点的四边形是等腰梯形,如果存在,求出点D的坐标;
如果不存在,请说明理由.
请打开几何画板文件名“16普陀24”,可以体验到,以A、B、C、D为顶点的四边形的等腰梯形有两个.
1.先求出点B的坐标,写出点A的坐标,再代入二次函数的解析式列方程组.
2.如果以A、B、C、D为顶点的四边形是等腰梯形,那么对称轴就是△ABC的一边的垂直平分线.
3.等腰梯形分三种情况讨论.
例21 2016年上海市闸北区中考模拟第24题
如图,矩形OMPN的顶点O在原点,M、N分别在x轴和y轴的正半轴上,OM=6,ON=3,反比例函数y=
的图象与PN交于点C,与PM交于点D,过点C作CA⊥x轴于点A,过点D作DB⊥y轴于点B,AC与BD交于点G.
（1）求证:
AB∥CD;
（2）在直角坐标平面内是否存在点E,使以B、C、D、E为顶点,BC为腰的梯形是等腰梯形?
若存在,求点E的坐标;
若不存在,请说明理由.
请打开几何画板文件名“16闸北24”,可以体验到,以BC为腰的等腰梯形有两个,对称轴分别是BD和CD的垂直平分线.
1.第
（1）题证明内错角的正切值相等.
2.第
（2）题先根据等腰梯形的性质分三种情况画图确定存在性,再用方程进行计算.分别画△BCD的边BD和边CD的垂直平分线为等腰梯形的对称轴,可以确定以BC为腰的等腰梯形有两个.
例22 2017年上海市虹口区中考模拟第24题
如图所示,在平面直角坐标系中,抛物线y=
x2+bx+c经过点A（-2,0）和原点,点B在抛物线上且tan∠BAO=
抛物线的对称轴与x轴相交于点P.
（1）求抛物线的解析式,并直接写出点P的坐标;
（2）点C为抛物线上一点,若四边形AOBC为等腰梯形且AO∥BC,求点C的坐标;
（3）点D在AB上,若△ADP与△ABO相似,求点D的坐标.
请打开几何画板文件名“17虹口24”,拖动点D在AB上运动,可以体验到,△ADP与△ABO相似存在两种情况.点击屏幕左下角的按钮“第
（2）题”,可以体验到,以A、O、B、C为顶点的等腰梯形存在三种情况,其中AO∥BC时,点C与点B关于抛物线的对称轴对称.
1.已知二次函数的二次项系数和抛物线与x轴的两个交点,可以直接写出交点式.
2.等腰梯形AOBC当AO∥BC时,C、B两点关于抛物线的对称轴对称.
3.分两种情况讨论△ADP与△ABO相似.由于∠A是公共角,根据夹∠A的两边对应成比例,分两种情况列方程,先求AD的长,再求点D的坐标.
1.6 因动点产生的面积问题
面积的存在性问题常见的题型和解题策略有两类:
第一类,先根据几何法确定存在性,再列方程求解,后检验方程的根.
第二类,先假设关系存在,再列方程,后根据方程的解验证假设是否正确.
如图1,如果三角形的某一条边与坐标轴平行,计算这样“规则”的三角形的面积,直接用面积公式.
如图2、图3,三角形的三条边没有与坐标轴平行的,计算这样“不规则”的三角形的面积,用“割”或“补”的方法.
计算面积常用到的策略还有:
如图4,同底等高三角形的面积相等.平行线间的距离处处相等.
如图5,同底三角形的面积比等于高的比.
如图6,同高三角形的面积比等于底的比.
图4图5图6
例23 2016年广州市中考第24题
已知抛物线y=mx2+（1-2m）x+1-3m与x轴交于不同的两点A、B.
（1）求m的取值范围;
（2）证明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点P,并求出点P的坐标;
（3）当
<
m≤8时,由
（2）求出的点P和点A、B构成的△ABP的面积是否有最值,若有,求出最值及相应的m的值;
若没有,请说明理由.
请打开几何画板文件名“16广州24”,拖动表示实数m的点在x轴上运动,可以体验到,抛物线经过A、P两个确定的点,△ABP的高为定值,当m=8时,AB最大.
1.已知的抛物线的解析式可以因式分解的,抛物线过x轴上的定点（-1,0）.
2.第
（2）题分两步,先对m赋予两个不同的值,联立求方程组的解,再验证这个点是确定的.
3.第（3）题中△ABP的高为定值,点A为定点,求△ABP的最大面积,其实就是求点B的横坐标的最大值.
例24 2016年陕西中考第25题
问题提出
（1）如图1,已知△ABC,请画出△ABC关于直线AC对称的三角形.
问题探究
（2）如图2,在矩形ABCD中,AB=4,AD=6,AE=4,AF=2.是否在边BC、CD上分别存在点G、H,使得四边形EFGH的周长最小?
若存在,求出它周长的最小值;
问题解决 （3）如图3,有一块矩形板材ABCD,AB=3米,AD=6米,现想从此板材中截出一个面积尽可能大的四边形EFGH部件,使∠EFG=90°
EF=FG=
米,∠EHG=45°
.经研究,只有当点E、F、G分别在边AD、AB、BC上时,且AF<
BF,并满足点H在矩形ABCD内部或边上时,才有可能截出符合要求的部件.试问能否截得符合要求的面积尽可能大的四边形EFGH部件?
若能,求出截得的四边形EFGH部件的面积;
若不能,请说明理由.
请打开几何画板文件名“16陕西25”,拖动点G、H运动,可以体验到,当点G、H落在线段E'
F'
上时,FG+GH+HE最短.点击屏幕左下方的按钮“第（3）题”,拖动等腰直角三角形EFG的直角顶点F在AB上运动,可以体验到,点G有两次机会落在BC上,其中一次机会AF<
BF.再拖动H点运动,可以体验到,当点H落在FO的延长线上时,FH最大,四边形EFGH的面积也最大.
1.第
（2）题的模型是“打台球”两次碰壁问题,依据光的反射原理.
2.第（3）题需先设AF的长并求解,再验证点H在矩形内部,然后计算面积.
例25 2016年沈阳市中考第25题
如图1,在平面直角坐标系中,矩形OCDE的顶点C和E分别在y轴的正半轴和x轴的正半轴上,OC=8,OE=17.抛物线y=
x2-3x+m与y轴交于点A,抛物线的对称轴与x轴交于点B,与CD交于点K.
（1）将矩形OCDE沿AB折叠,点O恰好落在边CD上的点F处.
①求点F的坐标;
②请直接写出抛物线的函数表达式;
（2）将矩形OCDE沿着经过点E的直线折叠,点O恰好落在边CD上的点G处,连结OG,折痕与OG交于点H,点M是线段EH上的一个动点（不与点H重合）,连结MG,MO,过点G作GP⊥OM于点P,交EH于点N,连结ON.点M从点E开始沿线段EH向点H运动,至与点N重合时停止,△MOG和△NOG的面积分别表示为S1和S2,在点M的运动过程中,S1·
S2（即S1与S2的积）的值是否发生变化?
若变化,请直接写出变化的范围;
若不变,请直接写出这个值.
温馨提示:
考生可以根据题意,在备用图中补充图形,以便作答.
图1备用图
请打开几何画板文件名“16沈阳25”,拖动点M在EH上运动,可以体验到,∠NGH与∠OMH都是∠MOG的余角,所以∠NGH与∠OMH保持相等.
1.第
（1）题中点F的位置是由A、B两点确定的,A、B两点的坐标都隐含在抛物线的解析式中.
2.第
（2）题思路在画示意图过程中,点G是关键点.以E为圆心,EO为半径画弧,交CD于点G.
例26 2016年无锡市中考第27题
如图,已知平行四边形ABCD的三个顶点A（n,0）、B（m,0）、D（0,2n）（m>
n>
0）,作平行四边形ABCD关于直线AD的对称图形AB1C1D.
（1）若m=3,试求四边形CC1B1B面积S的最大值;
（2）若点B1恰好落在y轴上,试求
的值.
请打开几何画板文件名“16无锡27”,拖动点A在OB上运动,观察S随A变化的函数图象,可以体验到,当A是OB的中点时,S取得最大值.点击屏幕左下方的按钮“第
（2）题”,拖动点A或点B运动,可以体验到,△BB1F与△DAO保持相似,AB与AB1保持相等.
1.第
（1）题先说理再计算,说理四边形CC1B1B是矩形.
2.第
（2）题根据AB1=AB列关于m、n的方程,整理就可以得到m与n的关系.
例27 2017年上海市奉贤区中考模拟第24题
如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=-x2+bx+c经过点A（3,0）和点B（2,3）,过点A的直线与y轴的负半轴相交于点C,且tan∠CAO=
（1）求这条抛物线的表达式及对称轴;
（2）连结AB、BC,求∠ABC的正切值;
（3）若点D在x轴下方抛物线的对称轴上,当S△ABC=S△ADC时,求点D的坐标.
请打开几何画板文件名“17奉贤24”,可以体验到,△ABC是等腰直角三角形,B、D两点到直线AC的距离相等.
1.直觉告诉我们,△ABC是直角三角形.
2.第（3）题的意思可以表达为:
B、D在直线AC的两侧,到直线AC的距离相等.于是我们容易想到,平行线间的距离处处相等.
例28 2017年上海市普陀区中考模拟第25题
如图,半圆O的直径AB=10,有一条定长为6的动弦CD在弧AB上滑动（点C、D分别不与点A、B重合）,点E、F在AB上,EC⊥CD,FD⊥CD.
EO=FO;
（2）连结OC,如果△ECO中有一个内角等于45°
求线段EF的长;
（3）当动弦CD在弧AB上滑动时,设变量CE=x,四边形CDFE的面积为S,周长为l,问:
S与l是否分别随着x变化而变化?
试用所学过的函数知识直接写出它们的函数解析式及函数定义域,以说明你的结论.
请打开几何画板文件名“17普陀25”,拖动点C在弧AB上运动,可以体验到,梯形CDFE的中位线OH和直角边CD都是定值,∠COH为定值.
1.用垂径定理和平行线等分线段定理证明点O是EF的中点.
2.第
（2）题的△ECO中,∠ECO是定值,45°
的角分两种情况.
3.第（3）题用x表示OE的长,在△ECO中,∠ECO是定值.
例29 2017年福建省中考第25题
直线y=2x+m与抛物线y=ax2+ax+b都过点M（1,0）,且a<
b.
（1）求抛物线顶点Q的坐标（用含a的式子表示）;
（2）试说明抛物线与直线有两个交点;
（3）设抛物线与直线的另一个交点为N.
①若-1≤a≤-
时,求MN的取值范围;
②求△QMN的面积最小值.
请打开几何画板文件名“17福建25”,拖动抛物线的顶点Q运动,可以体验到,抛物线的形状变化但是开口始终向下,抛物线与x轴的两个交点是确定不变的,点N的位置变化但始终在一条直线上.观察S随a变化的函数图象,可以看到,S有最小值.
1.将M（1,0）分别代入直线和抛物线的解析式,可以确定m的值,用a表示b.
2.联立直线与抛物线的解析式,消去y,得到关于a的一元二次方程,判断Δ>
0.
3.第（3）题①,分别求a=-1和a=-
时直线与抛物线的交点M、N的坐标,再求MN的长,两个MN的长,就是MN的取值范围的两端值.
例30 2017年青岛市中考第24题
已知Rt△EFP和矩形ABCD如图1摆放（点P与点B重合）,点F、B（P）、C在同一直线上,AB=EF=6cm,BC=FP=8cm,∠EFP=90°
.如图2,△EFP从图1位置出发,沿BC方向匀速运动,速度为1cm/s,EP与AB交于点G;
同时,点Q从点C出发,沿CD方向匀速运动,速度为1cm/s.过点Q作QM⊥BD,垂足为H,交AD于点M,连结AF、PQ.当点Q停止运动时,△EFP也停止运动.设运动时间为t（s）（0<
t<
6）.解答下列问题:
（1）当t为何值时,PQ∥BD?
（2）设五边形AFPQM的面积为y（cm2）,求y与t之间的函数关系式;
（3）在运动过程中,是否存在某一时刻t,使S五边形AFPQM∶S矩形ABCD=9∶8?
若存在,求出t的值;
若不存在,请说明理由;
（4）在运动过程中,是否存在某一时刻t,使点M在线段PG的垂直平分线上?
图1图2
请打开几何画板文件名“17青岛24”,拖动点Q运动,可以体验到,点M可以落在线段PG的垂直平分线上.
1.把线段BP、PC、CQ、DQ的长用t表示出来.再把线段BG、DM的长用t表示出来.
2.用割补法求五边形AFPQM的面积,等于直角梯形减去两个直角三角形的面积.
3.第（3）题用第
（2）题的结果,直接解方程就可以了.
4.第（4）题是根据MP2=MG2列方程,需要构造以MP为斜边的直角三角形.
例31 2017年衢州市中考第24题
如图1,在平面直角坐标系中,过原点O及点A（8,0）、C（0,6）作矩形OABC,连结OB,点D为OB的中点,点E是线段AB上的动点,连结DE,作DF⊥DE,交OA于点F,连结EF.已知点E从点A出发,以每秒1个单位长度的速度在线段AB上移动,设移动时间为t秒.
（1）如图1,当t=3时,求DF的长;
（2）如图2,当点E在线段AB上移动的过程中,∠DEF的大小是否发生变化?
如果变化,请说明理由;
如果不变,请求出tan∠DEF的值;
（3）连结AD,当AD将△DEF分成的两部分的面积比为1∶2时,求相应的t的值.
请打开几何画板文件名“17衢州24”,拖动点E运动,可以体验到,△MDE∽△NDF,当点G是EF的三等分点时,EH=2FA或FA=2EH,而EH∶EA保持不变.
1.作DM⊥AB于M,DN⊥OA于N,那么△NDF与△MDE的相似比为3∶4.
2.面积比为1∶2要分两种情况讨论.把面积比转化为两个同高三角形底边的比.
3.过点E作OA的平行线,构造“8字型”相似,这样就把底边的比利用起来了.
例32 2017年苏州市中考第28题
如图1,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,OB=OC.点D在函数图象上,CD∥x轴,且CD=2,直线l是抛物线的对称轴,E是抛物线的顶点.
（1）求b、c的值;
（2）如图1,连结BE,线段OC上点F关于直线l的对称点F'
恰好在线段BE上,求点F的坐标;
（3）如图2,动点P在线段OB上,过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M,与抛物线交于点N.试问:
抛物线上是否存在点Q,使得△PQN与△APM的面积相等,且线段NQ的长度最小?
如果存在,求出点Q的坐标;
如果不存在,说明理由.
请打开几何画板文件名“17苏州28”,拖动点P运动,可以体验到,△PAM与△PQN的面积相等时,PN边上的高QH是定值.当QH与NQ重合时,NQ最小,NQ∥x轴.
1.由已知抛物线的解析式可得C（0,c）,再用c表示B、D两点的坐标,然后将B、D代入抛物线的解析式列关于b、c的方程组.
2.第
（2）题:
通过点C、F分别与点D、F'
关于直线l对称,得到点F'
是BE的中点,从而求得点F的坐标.
3.第（3）题:
设点P的横坐标为m,用m表示点M、N的坐标,进而用m表示线段PM、PN、PA的长,根据两个三角形的面积相等,求出PN边上的高QH.最后讨论NQ与QH的关系.
例33 2017年盐城市中考第27题
如图,在平面直角坐标系中,直线y=
x+2与x轴交于点A,与y轴交于点C.抛物线y=-
x2+bx+c经过A、C两点,与x轴的另一个交点为点B.
（1）求抛物线的函数表达式;
（2）点D为直线AC上方抛物线上一动点.
①连结BC、CD.设直线BD交线段AC于点E,△CDE的面积为S1,△BCE的面积为S2,求
的最大值;
②过点D作DF⊥AC,垂足为F,连结CD.是否存在点D,使得△CDF中的某个角恰好等于∠BAC的2倍?
若存在,求出点D的坐标;
请打开几何画板文件名“17盐城27”,拖动点D运动,可以体验到,△CDE与△BCE的面积比等于DM与BN的比,当DM最大时,面积比也最大.点击屏幕左下方的按钮“第（3）题”,可以体验到,∠CKO=2∠BAC,拖动点D运动,可以体验到,直角三角形CDF与直角三角形CKO相似存在两种情况.
1.△CDE与△BCE是同高三角形,面积比等于底边的比.构造“8字型”,把底边的比转化为竖直线段的比.
2.第（3）题的第一种情况∠DCF=2∠BAC,过点C作x轴的平行线,通过内错角相等,再作轴对称的角,很容易找到点D的位置.
3.第（3）题的第二种情况∠CDF=2∠BAC,先要探求2∠BAC的大小（正切值）,如果这一步探究不出来,基本上进行不下去.
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