整体数学教学.docx

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整体数学教学

Preparedon22November2020

整体数学教学

整体数学教学

--“三角形相似判定理”教学课例

一、整体教学设计的背景

1.人为割裂,忽视知识联系

教师常规的教学往往是按部就班，依据教材的课时划分时，很少考虑知识之间的内在联系,及保持知识结构的完整性。

如教学某性质判定理进,今天教“判定定理1”，明天教“判定定理2”，后天教“判定定理3”……每个判定定理都是以固定的模式展开：

“已知”、“求证”、“证明”，而且只是注重定理的本身展开，而不思考与其他相关知识的联系。

证明后用较多的时间直接操练该定理的“应用”。

这样教学的弊端是十分明显的。

首先，学生对判定定理整体性认识一开始就被人为地割裂，缺乏对这类知识的整体性认识，不能从大局观上与原有知识建立有效的联系。

也许从当堂课操练效果不错，对练习中单一使用本定理显示出“能掌握、能理解”。

但当几条定理全部呈现后操练时，不少学生对定理运用的选择上存在障碍。

这是这种“单一对象”的教学无法克服的弊病。

其次，这种“单一对象”的教学不尊重学生和低估学生原有的认知基础。

明明学生对这一类相似型知识有一种“似曾相识”的感觉，有一种内在的对两类“相似型”知识主动的认知欲望或冲动，但这种主动的欲望和冲动总是被拒绝的。

因此学生往往处于被动地位。

2.强调认知准备,整体把握

整体数学教学就是“需要从整体上把握，至少把一个单元的数学思想，核心意识，象一个胚胎那样置于中心地位，然后，教师和学生则向这个“数学胚胎”输送营养和活力，使数学学习健康进行”[1]。

因此，基于知识整体结构相似性考虑，运用学生已经的认知准备，主动构建主要的知识，这是有利于结构化知识的构建及培养元认知“调控”的能力。

根据对“三角形相似的判定定理”知识的结构分析（如图1）,我们探究整体教学策略的设计。

我们把相似三角形的三条判定定理作为一般三角形相似的判定方法整体学习的，使学生对相似三角形判定方法在较短时间内形成完整的认知结构，有利于学生面对选择时，作出正确、有效的判断，有利于领悟学习知识时所应考虑的方式与策略等默会知识。

3．充分尊重学生认知基础，找准新知识的固着点。

现代建构主义的理论告诉我们，只有充分调动学生的认知准备，使学生将新知识与原有知识建立有效的实质性的联系，以学生的亲身体验主动构建新知识，这种学习才是有效的。

我们在设计中始终以“全等三角形的判定”，“相似三角形的预备定理”作为固着点，以类比、化归为方法来构建相似三角形判定的新知识。

同时，当我们构建起相似三角形判定的新知识结构时，反过来对原来全等三角形判定的知识作出适当的改变，使它纳入到新的相似三角形判定这一新的认知结构中去。

在这课例中，知识的同化与顺应是非常清晰的。

4．凸现数学学习的本质，注重思想方法的领悟

数学学习中经常体现化归的数学思想，学生已有一定的领悟。

从某种意义上讲，数学就是一门化归的科学，数学学习的本质就是化归。

在“相似三角形判定定理”的学习过程学生将看到三条判定定理的得出都是通过将其化归为预备定理得以实现的，这将势必感受到数学学习的本质是化归。

化归的思想不仅是数学的学科思想，而且是人们认识世界、分析问题、解决问题不可或缺的思想方法。

同时，在具体构建新知识时，　又用了类比推理的数学思想，这些数学思想的领悟是数学学习的主题目标之一。

5．创设问题情境，使问题情境化、过程化、延伸化。

激起学生学习数学的内驱力的一种很有效的方法，就是创设问题情境，使学生引起认知冲突或置身于渴望求得新知解决问题的情境中，这时的学习是最为有效的。

为此，我们设计了“网格中的两个三角形是否相似”的问题情境，学生用定义或预备定理难解决，激起新的判定方法的学习欲望。

当学了三条判定定理后，就较容易地解决了问题，使他们体会到一种学习成功的愉悦。

图1

二、“相似三角形的判定”的教学研究

（一）教学设计

教学目标：

1、掌握相似三角形的判定定理，并能初步运用这些知识解决有关问题。

2、经历“观察－探索－猜测－证明”的学习过程，体验科学发现的一般规律，同时提高几何的图形语言、符号语言、文字语言表达能力。

3、通过相似三角形的判定定理的探索过程，渗透类比、化归等数学思想。

4、通过合作交流、自主评价改进学生的学习方式，提高学习质量，逐步形成正确的数学价值观。

教学过程：

教学环节

教师活动

学生活动

板书

复习提问

你知道的有关相似三角形的知识有哪些

（1）相似三角形的定义及预备定理。

（2）全等三角形与相似三角形的关系以及全等三角形的判定。

在△ABC和△A1B1C1中：

∠A=∠A1，∠B＝∠B1、，∠C＝∠C1

全等三角形的判定

；；；

创设情景

利用已有知识，能否解此题如图，在边长为1个单位的方格纸上有△ABC和△BDE，猜测△ABC与△BDE是否相似。

若相似，能证明吗

当运用已知知识（预备定理和定义）来证明这两个三角形相似面临困难时，产生寻求更为有效的、简便的判定方法需求

课题：

相似三角形的判定

探求新知

1．猜测

根据全等三角形的判定（条件），利用相似三角形定义条件，选择尽可能少的条件判定两个三角形相似。

小组讨论

大胆猜测

板书

全等　　　　　　相似

A．S．A　　两角对应相等

A．A．A　　

S．A．S　　两边对应成比例且夹角相等

S．S．S　　三边对应成比例

H．L

2．证明

以上猜想是否正确，必须证明，请学生选择他们希望首先证明的命题，逐一证明。

小组讨论后，全班交流。

（第一个命题的证明学生口述，教师板演，强调证明思路；第二、第三个命题证明学生口述）

第一个判定定理证明全过程

简单应用

运用相似三角形的判定定理解“情境问题”

独立思考，完成后全班交流

比较学生的不同证法

小结与自主评价

提问：

全等三角形是相似三角形的特例，那么，全等三角形的判定一定也是相似三角形判定的特例，若将全等三角形的判定纳入到相似三角形的判定中，全等三角形的判定用相似三角形的判定如何描述

反思和发表对本堂课的体验和收获

布置作业

必做题：

练习册

（1）

选做题：

将课堂中的例题引申；

（1）∠ABE为几度；

（2）连结AE，△ABE是什么三角形

（3）将△BED沿BD翻折，再沿BC平移后，均∠1＋∠2＋∠3为几度（运动过程，多媒体展示）

（二）课堂教学行为的变化

在课堂教学实施过程中，我们特别关注以下几个环节。

1、基于已有认知准备，学生通过类比猜测判定两三角形相似的条件。

在学生已回顾了全等三角形的判定以及相似三角形的定义后教师鼓励学生利用已有的知识，大胆猜测判定两三角形相似的可能条件。

请看以下片断。

1师：

刚才同学们已经回顾了相似三角形的一些性质，以及全等三角形的判定方法，结合这些知识，请你思考一下，在这些条件中，选择尽可能少的条件来判断两个三角形的相似，讨论后回答。

（学生讨论，教师巡视并参与组内讨论）

2生：

∠A=∠A1，∠B＝∠B1（学生口述，教师板书）

3师：

还有吗

4生：

AB/A1B1=AC/A1C1,且∠A=∠A1。

（学生口述，教师板书）

5师：

还有吗

6生：

AB/A1B1=AC/A1C1＝BC/B1C1；（板书）还有比较复杂的。

7师：

噢，没关系，你说说看。

8生：

∠A=∠A1，∠B＝∠B1，AB/A1B1=BC/B1C1（板书）

9师：

好，请坐。

他们小组得到了四种，其他小组看一看。

有什么意见吗

10生：

前面三种我们小组同意，最后一种我们不同意，前面已有两个角相等了，只要这两个角相等，就能判定这两个三角形相似的话，后面的例式AB/A1B1=BC/B1C1是多余的.

在上述师生互动中，教学鼓励学生根据已有的知识及认识策略，通过学生的合作与讨论猜测三角形相似的判定条件（①—⑥），进一步在同伴的帮助下，明晰判定条件（⑧—⑩），经历构建知识的活动体验。

2、学生自主探究，验证命题。

学生意识到通过类比猜测所得到的命题不一定都成立,因此学生有强烈地愿望去证明这些他们亲自构建的命题是否正确。

于是,组织小组讨论,不探究命题的证明。

在这一过程中，充分体现学生的自主合作与交流，倾听与评价。

下面这一片段展示了同学之间的互帮互学：

请你说说你们的想法。

生：

已知：

在△ABC与△A1B1C1，AB/A1B1=AC/A1C1＝BC/B1C1

师：

他要证的是“三边对应成比例，两三角形相似”

生：

在△ABC中取AD＝A1B1

师：

在哪条边上取

生：

在AB上截取AD＝A1B1，在AC上截取AE＝AC/A1C1，连结DE，可以证出△ADE≌△A1B1C1

师：

很好，怎么证明这两个三角形全等

生：

AD＝A1B1，AE＝A1C1，然后……（学生证不下去了）

师：

他的想法很好，但在证明两个三角形全等时，遇到了困难谁能帮助他，好你来说说。

生：

因为AD＝A1B1，AE＝A1C1，且A1B1/AB＝A1C1/AC，所以AD/AB＝AE/AC，所以DE∥BC，所以AD/AB＝DE/BC，又因为A1B1/AB＝B1C1/BC，所以DE＝B1C1，所以△ADE≌△A1B1C1，又因为DE∥BC，所以△ADE∽△ABC，所以△ABC∽△A1B1C1。

在上述片段中，先是一位同学上黑板报告他们小组讨论的结果：

证明“三边对应成比例，两三角形相似”，可是讲到一半，这位学生“卡”住了（①-⑧）。

此时，老师并没有急着将正确的证明教给学生，而是鼓励其他同学帮助这个同学修正和发展这一证明（⑨,⑩）。

这样，教师仅作为问题的提供者，而将发言权交给学生，教学任务是在学生自主学习中完成的，学生才是学习的主体。

3、反思交流，逐渐明晰化

学生对概念或性质的理解通常经历一个从蒙胧（也许包含一些错误的理解）到明晰，直到灵活应用的过程，而这一过程需要学生通过不断的实践、交流和反思来完成的。

自我的反思在这一过程中起着关键的作用。

　在这节课中，一开始，史莹璐同学提出“全等三角形的判定定理都可以用在相似三角形的判定中”，而且在教师的追问下，她一再坚持这个说法是正确的，考虑学生说法内含一定的合理成分，但仅学生的当时知识基础，老师说“这个问题留着，新课上完后我们再来讨论”。

这样很自然地为学生设计了一个反思的问题。

等到介绍完了三个判定定理，把学生引向到讨论是否“全等三角形的判定定理都可以用在相似三角形的判定中”。

师：

我们再回到史莹璐提出的这个问题。

“全等三角形的判定方法都可以用在相似三角形的判定上”。

刚才，史莹璐同学还是认为她的观点是对的。

噢，你说说。

史莹璐：

我现在认为，比如，全等中的S、S、S［边、边、边］只要把它的［对应］“相等”改为［对应］“成比例”，就可以用在相似三角形的判定中了。

师：

对，这样就对了。

通过上述对话，学生通过这节课的学习与反思，把自己的观点明晰化，把原先原始的直觉观点，精致成为科学的论断。

这种过程的呈现，不仅对这位同学是一个主动学习与内化的过程，也促进了学生之间互相启发、取长补短的学习共同体的形成。

三、实践反思

（1）重视现代信息技术的应用

现代信息技术的迅速发展和广泛应用，对数学课堂教学产生了重大的影响，现代信息技术的应用对于改善数学课堂教学过程，帮助学生理解数学知识本质和提高数学应用能力、改进学习方式起到重要作用。

在第一次教学设计中，多媒体仅仅用作呈现教学材料的目的，而在第二次教学设计中，充分考虑如何用多媒技术来展示证明的思想方法及过程，以及通过图形的变换来揭示问题之间的内在联系，这样较好地把技术与数学学习的本质结构起来。

正如在课后访谈中，同学在回答“今天这堂课留给你最好印象是什么”时，有的说“充分利用学校的硬件设备，使课堂变得生动、形象，我很喜欢”；也有的答道：

多媒体教室里设备齐全，可以使老师做好充分准备，以致于不会浪费时间，毕竟四十分钟很有限”。

的确，现代技术与课程内容整合，可将数学中抽象的东西直观化，展示思维的过程，对于改进教学，提高教学质量有着积极作用。

（2）任务的创设与使用

课堂总是围绕某些任务（或问题）而展开的。

一个精心设计的问题，不仅可以用来激发学生学习新知识的动机，也可用来作为应用学习新知识的载体，更可通过适当的变式使问题解决延伸到课堂以外，拓展学生探究的空间。

在这节课中贯穿始终的只有一个任务（即判定方格纸中两个三角形的相似性），在课的开头，它作为激发学生探究“三角形相似判定”的问题情境。

在学习了新知识后，它成为学生运用新知来解决此问题自然平台，使学生有学以致用的成就感。

此外，当学生解决了这个问题时，教师再将此题引申形成新的具有挑战性的问题，并将问题延伸到课后。

这样不仅使这节课前后呼应，内在一致，而且为学生的主动探究，从情感与认知两方面都提供了合理的载体。

这样的教学往往给人新鲜的感觉，能唤起学生的好奇心和求知欲，因而产生主动参与的动力。

然而，第一次教学设计中，任务的创设主要是为激发学习动机的情境服务。

而在第二次教学设计中，创设的任务贯穿于整个课堂：

激发动机，知识应用，课后探究。

（3）关注学习方式的改变

在以往的教学中，我们往往关注知识的传授与获得。

例如，在本节课的教学中，会把学生是否掌握相似三角形的判定定理作为教学成功与否的唯一标准。

而在这节课的处理时，教师更关注对思想方法的理解。

本课由类比全等三角形的判定猜想得到相似三角形的判定，企盼在这一过程中，学生能了解两者的内在联系，理解蕴含在其中的辩证唯物主义思想。

在证明相似三角形判定定理的过程中，始终贯彻“化归”的思想，从而达到突破教学难点的目的。

此外，我们更关注学生的学习方式。

从形式上，将课堂教学的空间形式由原来的“秧田式”座位排列改为T型排列，缩短了学生与学生之间的距离，增强了学生间的相互交流的机会，形成合作学习的课堂氛围。

从本质上说，这节课的教学试图体现对“相似型”知识”的学习方式：

利用已有知识，通过类比与化归来构建新知。

（4）、关注学生的反思性学习

在课的最后，留出5分钟的时间，让学生交流本堂课中的体验及收获。

这种交流是开放式的。

它包括知识上的收获，能力上的提高，数学思想、方法的领悟，过程的体验与感受，以及对老师、同伴、自身教学行为的反思、评价。

同时，学生也可以对本堂课进行质疑，说出心中的疑惑，谈谈自己不同的见解。

在本节课中，学生自主评价提到如下几个方面

（1）数学思想方法：

类比、化归。

生1：

我们学习相似三角形的判定是结合全等三角形的判定得到的。

生2：

相似三角形的判定定理的证明都是用预备定理来解决的。

（2）同伴互助。

生3：

我第一次站起来讲错了，但经同学的帮助，我现在学会了。

（3）自主发现。

生4：

我认为今天我们学到的三个判定定理比预备定理更加有用、实用。

（4）学生质疑。

“两角对应相等”。

此外，全等三角形与相似三角形的特殊关系在“小结与自主评价”这一教学环节中得以升华，在由学生认识到，把“全等三角形三边对应相等”改为“相似三角形三边对应成比例”后，教师提出“能否将全等三角形的判定定理纳入到相似三角形的判定定理中，用相似三角形的判定定理来描述”这一问题，使学生真正领悟到全等三角形与相似三角形两者之间的内在联系。

可见，自主评价是数学教学过程中极为重要的一环，是学生一节课的升华阶段，我们提倡“让学生在学习过程中评价，在评价过程中学习”，并且认为，学生长期经历自主评价，能形成价值判断意识，获得强劲的评价能力，逐步树立正确的数学价值观。

参考文献

[1]张奠宙、李士錡、李俊。

数学教育学导论。

高等教育出版社。

2003年4月，第125页。

（上海市民办梅陇中学李贞,上海普陀区教育学院叶锦义）

专家评点：

本课例关注一个有一定共性的“相似型”知识的教学问题，而且大胆地突破了常规处理。

这种探究对日常教学有直接的启示作用。

在整个课例的设计、实施、反思和改进过程中，始终关注数学学习规律的应用（将新知识建立在学生原有的知识准备之上），强调利用类比和化归思想来主动建构数学知识，追求学习方式的转变（观察－探索－猜测－证明的学习过程）。

而实现这一设计理念的一个关键是合适的情境创设。

本课例中，一个精心设计的“判定方格纸中两个三角形的相似性”问题，不仅用来激发学生学习新知识的动机，也用来作为应用学习新知识的载体，而且通过适当的变式使问题解决延伸到课堂以外，拓展学生探究的空间。

另外，通过主自评价对课堂学习进行质疑、反思和评价，培养学生监控学习过程的元认知能力的做法也值得借鉴。

（评点人：

黄荣金）