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函数的概念和性质
专题讲座
高中数学“函数的概念与性质”教学研究
李梁北京市西城区教育研修学院
函数是中学数学中的重点内容，它是描述变量之间依赖关系的重要数学模型^
本专题内容由四部分构成：
关于函数内容的深层理解；函数概念与性质的教学建议；学生学习中常见的错误分析与解决策略；学生学习目标检测分析^
研究函数问题通常有两条主线：
一是对函数性质作一般性的研究，二是研究几种具体的基本初等函数一一二次函数、指数函数、对数函数、藉函数.研究函数的问题主要围绕以
下几个方面：
函数的概念，函数的图象与性质，函数的有关应用等^
一、关于函数内容的深层理解
（一）函数概念的发展史简述
数学史角度：
早期函数概念（Descartes,1596—1650引入坐标系创立解析几
何，已经关注到一个变量对于另一个变量的依赖关系）［几何角度］;Newton,1642—
1727，用数流来定义流量（fluxion）的变化率，用以表示变量间的关系；Leibniz,1646一
1716引入常量、变量、参变量等概念；Euler引入函数符号2）,并称变量的函数是一个
解析表达式［代数角度］;Dirichlet,1805—1859提出'=了成）是工与’之间的一种对应的观点［对应关系角度］;Hausdorff在〈〈集合论纲要》中用“序偶”来定义函数［集合论角度］.
Dirichlet:
认为怎样去建立与了之间的关系无关紧要，他拓广了函数概念，指出：
“对于在某区间上的每一个确定的工值，，都有一个确定的值，那么丁叫做X的函数.”这种函数的定义，避免了以往函数定义中所有的关于依赖关系的描述，简明精确（经典函数定义）.
Veblen,1880—1960用“集合”和“对应”的概念给出了近代函数定义，通过集合概念，把函数的对应关系、定义域及值域进一步具体化了，且打破了“变量是数”的限制，变量可以是数，也可以是其它对象^
（二）初高中函数概念的区别与联系
1.初中函数概念：
设在某个变化过程中有两个变量f,如果对于K在某个范围内的每一个值，'都有唯一的值与它对应，我们就说y是k的函数，工叫自变量，y叫x的函数.
2.高中函数概念：
（1）设A,B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f,对A中的任意一个元素x,在B中有一个且仅有一个元素y与x对应，则称f是集合A到集合B的映射.记作了：
的T8其中式叫原象，尸叫象.
（2）设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数x,按照确定的法则f,都有唯一确定的数y与它对应，则这种映射叫做集合A上的一个函数.记作"火溢£A.
其中x叫做自变量，自变量取值的范围（数集A）叫做这个函数的定义域.所有函数值
构成的集合1K叫做这个函数的值域.函数的值域由定义域与对应法则完全
确定.
（3）函数是一种特殊的映射.其定义域和值域都是非空的数集，值域中的每一个元素都有原象.
构成函数的三要素：
定义城，值域和对应法则，其中定义域和对应法则是核心^
（3）函数在整个数学知识体系中的地位及作用
函数是中学数学最重要的基本概念之一，其核心内涵为从非空数集到非空数集的映射；
函数思想也是整个高中数学最重要的数学思想之一，而函数概念是函数思想的基础；它不仅
对前面学习的集合知识做了巩固和发展，而且它是学好后继知识的基础和工具；函数与方程、
不等式、数列、三角函数、解析几何、导数等内容的联系也非常密切；函数的基础知识在现实生活、社会、经济及其它学科中有广泛的应用；函数概念及其反应的数学思想方法已广泛
渗透到数学的各个领域，是进一步学习数学的重要基础^
（4）函数的概念与性质结构框图
（五）函数的概念与性质教学重点和难点
教学重点：
1.函数的概念
2.函数的基本性质
3.基本初等函数的图象和性质
教学难点：
1.函数概念的理解
2.对函数的单调性、奇偶性、周期性实质的把握
3.运用基本初等函数的图象和性质解决简单问题
二、函数概念与性质的教学建议：
（一）如何深入把握函数的概念？
1.映射与函数的教学建议：
教学中，由于映射与函数的概念比较抽象，不易把握，故本部分内容宜采用教师引导，师生共同研讨的方式来学习.
在教学中，教师可以类似举如下的例子进行剖析：
例1：
设集合』和召都是自然数集合N.映射有T3把集合招中的元素&映射到集合占中的元素了+X,则在映射J作用下，2的象是20的原象是.
分析：
由已知，在映射J作用下式的象为2"".
所以，2的象是了+2=6；
设象20的原象为”，则X的象为20,即顶+式二20.
由于eN,y+M随着5增大而增大，又2*+4=20,所以20的原象是4.
这个例子要求学生理解映射的意义，对于给出对应关系的映射会求映射中指定元素的
象与原象.能够有效判别学生对映射、象、原象这些概念的把握程度.同时，题目中兼顾对于
函数pf性质的探究，具有一定的综合程度.
二、函数概念与性质的教学建议：
（一）如何深入把握函数的概念？
1.映射与函数的教学建议：
教学中，由于映射与函数的概念比较抽象，不易把握，故本部分内容宜采用教师引导,师生共同研讨的方式来学习.
在教学中，教师可以类似举如下的例子进行剖析：
例1：
设集合』和召都是自然数集合N.映射f3rE把集合网中的元素X映射到集合B中的元素2”+x,则在映射/作用下，2的象是20的原象是.
分析：
由已知，在映射J作用下k的象为2*+X.
所以，2的象是十2二6；
设象20的原象为盂，则范的象为20,即2”+式二20.
由于入次，Y+m随着汗的增大而增大，又2*+4=20,所以20的原象是4.
这个例子要求学生理解映射的意义，对于给出对应关系的映射会求映射中指定元素的
象与原象.能够有效判别学生对映射、象、原象这些概念的把握程度.同时，题目中兼顾对于函数"'"性质的探究，具有一定的综合程度.
2.函数的定义域问题:
确定函数的定义域是研究函数问题的先决条件，因此对于一个函数问题，首先要明确自变量的取值集合.教学中，教师可通过类似下述问题明确求函数定义域的几类常见问题:
求下列函数的定义域:
（1）
所以，所求函数的定义域为’.
⑵由疽+由-3>0得，x>l或八-3.
所以，所求函数的定义域为'''''"''：
.
「3-aO,
[x工0,
⑶由序T得五圣,且戏手0,黄1,
所以，所求函数的定义域为''
1-[l-xa>07f-1
"°，且"4,所以-14口虫邳
所以，所求函数定义域为-一°'.
例3:
如图，用长为J的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若矩形的底边长为2工，求此框架围成的面积尸与五的函数关系式，并指出定义域.
解:
根据题意，-工一n.
AD-
5弧长为皿，所以2.
根据问题的实际意义
2得2十孔
所以，所求函数定义域为
潦。
2471
上述求函数定义域问题涵盖了确定函数定义域的两种类型问题^
（1）给出函数解析式求定义域（如例2）,这类问题就是求使解析式有意义的自变量
的取值范围.正确的解不等式或不等式组在解决这类问题中是重要的^
中学数学中常见的对变量有限制的运算法则有：
1分式中分母不为零；
2偶次方根下被开方数非负；
3零次藉的底数要求不为零；
4对数中的真数大于零，底数大于零且不等于1;
工工如+—,上已Z
5则2.
（2）在实际问题中求函数的定义域（如例3）.在这类问题中除了考虑解析式对自变量的限制，还应考虑实际问题对自变量的限制.
另外，在处理函数问题时要有一种随时关注定义域的意识，这是极其重要的.比如在研
究函数单调性、奇偶性、最值等问题时，首先要考虑的就是函数的定义域^
3.函数的对应法则问题：
确定函数的对应法则（即求函数的解析式）是有关函数概念中的重要问题，教学中教师可以设置如下相关题组，和学生共同解决.
例4:
（1）已知［舄〔一疽，求丁"）的解析式；
131
々+—）二式+>■泌
（2）已知x工，求八刁的值；
（3）如果了侦）为二次函数，=2，并且当z=1时,了拱）取得最小值T,求丁⑴的解析式；
分析：
（1）求函数丁（力的解析式，从映射的角度看就是求对应法则，于是，我们一
般有下面两种方法解决
（1）这样的问题
.通过这样“凑型”的方法，我们可以明确看到法则
方法二：
设■■-，则-则
这样，通过“换元”的方法也可以明确看到法则是什么
.所以
五+—
（2）用“凑型”的方法,
/（3）=7.
（3）因为长）为二次函数，并且当木=1时，J3］取得最小值一1,
所以，可设『⑴
又/（。
）=2所以,所以1=3.
7⑴二绝-1）'-1=3/-&+2.
（4）这个问题相当于已知的图象满足一定的条件，进而求函数"'力的解析式.所
以，可以类比解析几何中求轨迹方程的方法求'伺的解析式.
设/⑴的图象上任意一点坐标为，则户关于x=1对称点的坐标为
0＞面），由已知，点。
在函数⑴的图象上，
所以，点&的坐标&一时）满足y=sW的解析式，即》旅-睥2=
由于已知条件的不同，求函数的解析式的常见方法有像
（1）
（2）所用到的“凑形”及“换
元”的方法；有像（3）所用到的待定系数法；也有像（4）所用到的解析法.
值得注意的是（4）中所用的解析法.在求函数解析式或求曲线的轨迹方程时都可以用这种方法，是一种通法同时也表明函数和它的图象与曲线和它的方程之间有必然的取系^
（二）教学中如何突出函数性质的本质？
函数的性质主要包括函数的单调性、奇偶性、周期性与对称性等，侧重点在于理解与函数性质有关的概念，掌握有关判断、证明的基本方法以及简单的应用.这部分内容常用到
数形结合的思想方法.
1.关于基本概念的理解：
（1）设函数尸=/（对的定义域为£，如果对于。
内的任意一个术，都有一五已打，
且=?
则这个函数叫做奇函数.
设函数的定义域为D，如果对于力内任意一个真，都有fwD，且*对=此，则这个函数叫做偶函数.
由奇函数定义可知，对于奇函数v=f（不），点与点都在其图象上又点产与点尸关于原点对称，我们可以得到：
奇函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；通过同样的分析可以得到，偶函数的图象是以〃轴为对称轴的轴对称图形.
（2）一般地，设函数的定义域为』，区间仁月.如果取区间M中的任意两个值n勺,改变量&=勺一电>气则
当颐=/（心）-ej>。
时，就称函数，=了⑴在区间况上是增函数；
当切=/（功《°时，就称函数⑴在区间彼上是减函数.
如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M上
具有单调性，区间肱称为单调区间.
在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的^
（3）一般地，对于函数/⑴，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域中的每一个值时，都成立，那么就把函数）叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期.
（4）一般地，对于函数，如果存在一个不为零的常数&，使得当&取定义域中的每一个值时,+冷=都成立，则函数y=/（刀的图象关于直线K=&对称.
这四个概念都比较抽象，建议讲述相关概念时采用数形结合的手段，不断揭示概念的几何背景，进而完善学生对概念的认识.
2.
关于函数的奇偶性问题：
.教学中可给出如下题组：
1或,关于原点不对称,
所以此函数为非奇非偶函数.
（2）函数的定义域为㈤"°）,但是，由于了⑴=2,，（T）=0,
即如）打（T）且
所以此函数为非奇非偶函数.
（3）函数的定义域为R,又
所以此函数为偶函数.
（4）解1一应，得-E<
1+（-[1一歪[1十木“、
=z=lg-—=Tg—=20
又.--二-二
所以此函数为奇函数.
2-*-11-2*
二^-=
（5）函数的定义域为R,又2十11+2'
所以此函数为奇函数.
通过本例及函数奇偶性的定义，进一步可以得到下面几个结论:
①一个函数是奇（或偶）函数的必要不充分条件是定义域关于原点对称;
京侦）是奇函数，并且『01在x=0时有定义，则必有’（°）=°；
③既是奇函数又是偶函数的函数，其解析式一定为，侦）=。
，等.
判定函数奇偶性按照其定义可以分为两个步骤：
1判断函数的定义域是否关于原点对称；
2考察与了⑴的关系.
由此，若以奇偶性为标准可以把函数分为奇函数，偶函数，既奇又偶函数和非奇非偶函数四类.
例2:
已知丝）为奇函数，当五A0时，X一法，
（1）求的值；
（2）当五时，求的解析式.
解：
（1）因为'⑴为奇函数，所以「一EE.
（2）方法一：
当X罚时，一K>0.
5,⑴=-/（F）=-【（F）'-2（f）］=-x2-2x
方法二:
设（w）是〕⑴在了虹o时图象上一点，则（f-刃一定在；⑴在X＞o时的图象上.
所以，十=（一对一2（-对*=_】-礼
上述三个例子分别从具体函数、抽象函数、以及奇偶性的应用上加深对概念的理解.
3.关于函数的单调性问题：
（B〕
例3:
用函数单调性定义证明，函数"=西+阮+山司）在区间〔&J上为增函数.
瓦-耳d-=，书",且X]5
证明：
设妃M」，
/（瓦）-/（沔）=（“：
+AXj+c）-+曲+时=疽（孟；一M：
）+3（叱-踣
=成（浴+珀（松■珀+坎与-卅）=（改-刀1）[血（JT]+均）+a
因为气6,所以w又因为
所以
所以亦）・血＞0
（b]
,/=〃『+敲+二（寸n0）,、i无。
@…,,
函数『''在区间I/上为增函数.
例4:
设/⑴是定义域为—°°，°〉U（0,E）的奇函数，且它在区间（-8,0）上是减函
（1）试比较C）与-/（3）的大小；
⑵若济X。
，"+用履，求证：
.伽）+川）＞。
.
解：
（1）因为/⑴是奇函数，所以2°）=/（-3）,
又/成）在区间（-°3,°）上是减函数，所以，（-3）＞/（-2），即（-2）.
（2）因为次摩＜0，所以"用异号，不妨设醐＞＜Cl,
因为烟+用《0,所以m,
因为虬成/④在区间（f,Q）上是减函数，
所以见＞如滴,
因为/（工）是奇函数，所以/（-祖）=一/30,
所以■（心V㈣，即/伽）+为»0.
总之，函数的单调性是我们研究的极为重要的函数性质，其与其它问题的联系、自身的应用都很广泛，在教学中要予以充分注意.
（三）怎样有效提升学生对基本初等函数的图象与性质的把握？
基本初等函数包括：
二次函数、指数函数、对数函数和藉函数.
函数的图象上直观地反映着函数的性质，学习函数的“捷径”是熟知函数的图象.熟知函
数图象包括三个方面：
作图，读图，用图^
掌握初等函数一般包括以下一些内容：
首先是函数的定义，之后是函数的图象和性质函数的性质一般包括定义域，值域，图象特征，单调性，奇偶性，周期性，零点、最值以及值的变化特点等，研究和记忆函数性质的时候应全面考虑^
函数的定义（通常情况下是解析式）决定着函数的性质，我们可以通过解析式研究函数
的性质，也可以通过解析式画出函数的图象，进而直观的发现函数的性质^
1.关于二次函数的处理：
对于二次函数，初中已有研究，但高中阶段处理二次函数的视角又和初中有所不同.
例如：
设由是实数，证明关于左的方程-m+E+i一有两个不相等的实数
解.（初中、高中的不同处理方法）
教学中可以参考如下的题目：
例1:
（1）如果二次函数/侦）3+1在区间（2,+00）上是增函数，则*
的取值范围是
（2）二次函数点一3的最大值恒为负，则贫的取值范围是.
（3）函数川）='+8e对于任意竺R均有F（2+f）*（2T）则加，/⑶
了㈢的大小关系是.
解：
（1）由于此抛物线开口向上，且在（4+00〉上是增函数，
fl+2x=—
画简图可知此抛物线对称轴2或与直线右=2重合，或位于直线汽二2的左
于是有2，解之得炬~6.
（2）分析二次函数图象可知，二次函数最大值恒为负的充要条件是“二次项系数旧,且判别式A<0”，
W<0,
即［心-4皿解得"（皿-1）.
（3）因为对于任意均有『仁+£），所以抛物线对称轴为K=2.
又抛物线开口向上，做出函数图象简图可得/⑶51）7（』）.
例2、已知二次函数的对称轴为"1，且图象在二轴上的截距为-3,被K轴截得的线段长为4，求了的解析式.
解：
解法一：
设了
由小）的对称轴为五二1,可得；
由图象在，轴上的截距为一3，可得c=-3.
由图象被万轴截得的线段长为4，可得左=T/二3均为方程件十龈十口二0的根.
所以,即白-&+匕=。
，所以口=i.
.
解法二：
因为图象被工轴截得的线段长为4,可得x=-1^=3均为方程=°的根.
所以，设y&）F+i）E）
又图象在，轴上的截距为一3，即函数图象过点.
即一3玄=一3。
=1.所以g=『-A3.
二次函数是非常常见的一种函数模型，在高中数学中地位很重^
二次函数的解析式有三种形式：
一般式”履+阮"；顶点式〃用-疗廿，其中（彼）为顶点坐标；
双根式尸=心-珀（"勺），其中有心为函数图象与占轴交点的横坐标，即二次函数所对应的一元二次方程的两个根.
例1、2两个题目充分体现了数形结合思想及运动变化思想的运用.这两种数学思想在
函数问题的解决中被普遍使用.
2.关于指数函数、对数函数和藉函数的处理：
这三种基本初等函数是在研究一般函数基础上的重要模型，教学中建议采用如下问题突出相关函数性质的应用.
例3、比较下列各小题中各数的大小：
⑴。
出与。
妲⑵岫强"2与虾-E；
『1早2|1
（4）0一产与0一汗；（5）出与拒;（6）⑵‘3’色
分析：
（1）・》0厅是减函数顼十&0铲.
（2）函数P='昭孩在区间（0,+皿）上是增函数，所以1性°吊<1唱1=0
_[庭0顶->log06l=0
函数尹='。
且既^在区间（0,+E）上是减函数，所以2
所以'.I1
（4）利用藉函数和指数函数单调性.0.严>。
.产>0.2^.
22
比较3与1唱2,只需比较与1唱2,
2
因为y=l妪/是增函数，所以只需比较于与2的大小,
322
因为（3'）'=9》8=2\所以弟2,所以3>岫2,
1】2
综上，一」一1*「.
面，-^A-n>2,6>2a^brab,,,,
例4:
已知，，比较的大小.
分析：
方法一（作商比较法）
外、1+1]且
感江舌，又*>2上>2,所以口切
山4■方r
<1
所以温，所以M泌.
方法二（作差比较法）
□+3-4的二上（如+壮一2就）二!
[◎“_*）+（为一口切]=—可+3（2—以）]
因为八2号2,所以2*<0,2-占所以德+L<0，即胃+&<泌.
方法三（构造函数）
令y=g*+6-ab="加+&,将尸看作是关于就的一次函数，
因为1-b<0，所以此函数为减函数，又a&Zg,
%
（2）=（1-明2普=223
?
所以a+b-ab<0，即“+扫《显.
两个数比较大小的基本思路：
如果直接比较，可以考虑用比较法（包括“作差比较”与“作商比较”，如例4的方法一与方法二），或者利用函数的单调性来比较（如例3
（1）
（2）（3）,例4的方法三）.
如果用间接的方法可以尝试对要比较的两数进行适当的变形，转化成对另两个数的比较，也可以考虑借助中间量来比较（如例3（4）（5）（6））.
三、学生学习中常见的错误分析与解决策略
例1:
下列四组函数中，表示同一个函数的是（）
=ey=5V（By=l^ly=^
（A）,（B）,
xa-l?
y—.y———
（C）工」1/=E①）,K
易错点：
①定义域；②对应法则；③函数的概念.
错因分析：
①忽视函数的定义域；②不清楚函数概念的实质，如（B）中表示自变量的字母不同，就误认为不会是同一个函数.
解题策略：
判断两个函数是否为同一函数，就是要看两个函数的定义域与对应法则是否完全相同.
一般有两个步骤：
（1）在不对解析式进行变形的情况下求定义域，看定义域是否一致.
（2）对解析式进行合理变形的情况下，看对应法则是否一致^
分析：
（A）（C）（D）中两个函数的定义域均不同，所以不是同一函数.（B）中两个
函数的定义域相同，化简后为y=^及）=",对应法则也相同，所以选（B）.
这个例子可以有效检测学生对函数概念的把握，同时突出映射与函数概念的联系.
例2：
已知函数川）的定义域为（°」），求函数『队+1」及/〔尸）的定义域.
易错点：
①对应法则定义域；②定义域的概念.
错因分析：
①对对应法则的符号不理解；②不清楚定义域的含义.
解题策略：
此题的题设条件中未给出函数『3）的解析式，这就要求我们根据函数三要素之间的相互制约关系明确两件事情：
①定义域是指的取值范围；②受对应法则J制约
的量的取值范围在“已知”和“求”当中是一致的.那么由的定义域是（°」）可知法则丁制约的量的取值范围是（°」），而在函数了侦+D中，受/直接制约的是［+1,而定义域是指工的范围，因此通过解不等式。
£孟+1亡1得-1・5展，即为+1）的定义域是（一】，0）.同理可碍了'」的正义域为^
例3:
设函数在R上有定义，了⑴的值不恒为零，对于任意的"旧皿，恒有顶0+了）=火）+小顷）成立，则函数m）的奇偶性为.
易错点：
①抽象函数；②对“恒成立”的理解
错因分析：
①抽象函数的有关性质；②对“恒成立”的理解不清晰，不能将其转化为所需求的结构.
解题策略：
关于对抽象函数“子侦7）=打对+了3）”的使用一般有以下两个思路：
令w为某些特殊的值，如本题解法中，令*=，=°得到了7（Q）=°.当然，如果令
工=¥=1则可以得到/
（2）=2/
（1）等等.
令％，具有某种特殊的关系，如本题解法中，令，二-工.得到/（2x）=2/W,在某些1
/=—,y=工
情况下也可令犬，等等.
总之，函数方程的使用比较灵活，要根据具体情况作适当处理.在不是很熟悉的时候，
要有试一试看的勇气.
解：
令x=>y=o则『（。
）=/仰+/（0），所以F（o）=o,
再令，二F,则y（0）=J（x）+/（F,所以，（同，又川）的值不恒为零，故产3）是奇函数而非偶函数.
例4:
已知函数/〔片）是定义域为R的单调增函数.
（1）比较了0+乙）与?
（*）的大小；
（2）若/切）*。
+切，求实数白的取值范围.
易错点：
①函数概念；②增函数.
错因分析：
①对函数概念中的对应法则的理解不清楚；②没有理解增函数概念的实
质，不会将其应用于解决问题.
解题策略：
回顾单调增函数的定义，
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