函数的概念和性质.docx
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函数的概念和性质
函数的概念和性质答案与解析
一、填空题（共10小题，每小题4分，满分40分）
1．（4分）下列各组函数中，表示同一函数的是：
（3） ；
（1）y=1，y=
（2）y=
（3）y=x，y=
（4）y=|x|，
．
考点：
判断两个函数是否为同一函数．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
先判断两个函数的定义域是否是同一个集合，再判断两个函数的解析式是否可以化为一致．
解答：
解：
对于
（1）∵y的定义域为R，y的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）．∴两个函数不是同一个函数
对于
（2）∵y的定义域为[1，+∞），y的定义域为（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）．∴两个函数不是同一个函数
对于（3），两个函数的解析式一致，定义域是同一个集合，∴是同一个函数
对于（4）∵y的定义域为R，y的定义域为[0，+∞）．∴两个函数不是同一个函数
故选（3）．
点评：
两个函数解析式表示同一个函数需要两个条件：
①两个函数的定义域是同一个集合；②两个函数的解析式可以化为一致．这两个条件缺一不可，必须同时满足．
2．（4分）已知函数y=
的定义域为 （﹣∞，﹣
）∪（﹣
，1] ．
考点：
函数的定义域及其求法．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
令被开方数大于等于0及分母不为0，求出x的范围，即为定义域．
解答：
解：
要使函数有意义需
⇒
解得x＜﹣
，﹣
＜x≤1．
故答案为：
（﹣∞，﹣
）∪（﹣
，1]．
点评：
本题主要考查函数的定义域及其求法．求函数的定义域遇到开偶次方根时，要保证被开方数大于等于0．定义域的形式一定是集合或区间．
3．（4分）若函数
，则f（f（f（﹣1）））= 3π2﹣4 ．
考点：
函数的值；分段函数的解析式求法及其图象的作法．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
首先求出f（﹣1）的值，由于x=﹣1＜0，故知f（﹣1）=0，又知当x=0时，f（0）=π，即f（f（f（﹣1）））=f（π），求出f（π）的值即可．
解答：
解：
∵x=﹣1＜0，
∴f（﹣1）=0，
∵x=0，
∴f（0）=π，
∵π＞0，
∴f（π）=3π2﹣4，
∴f（f（f（﹣1）））=f（π）=3π2﹣4，
故答案为3π2﹣4．
点评：
本题主要考查函数的值和分段函数的知识点，解答本题的关键是根据x的取值范围求得f（x）的值，本题基础题，比较简单．
4．（4分）设函数y=
的定义域为M，值域为N，则M= （﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）∪（0，+∞） ，N= （﹣∞，0）∪（0，1）∪（1，+∞） ．
考点：
函数的值域；函数的定义域及其求法．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
根据函数解析式得到分母不为0，而分母中的分母也不为0即可求出x的范围，然后根据x的范围得到y的范围．
解答：
解：
根据题意得：
1+
≠0且x≠0，解得x≠﹣1且x≠0，所以定义域M=（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）∪（0，+∞）；
由y=
解得x=
，因为x≠﹣1且x≠0，得到y≠0且y≠1，所以值域N=（﹣∞，0）∪（0，1）∪（1，+∞）．
故答案为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）∪（0，+∞），（﹣∞，0）∪（0，1）∪（1，+∞）
点评：
考查学生会求函数的定义域，会求函数的值域．做题时考虑问题要全面．
5．（4分）已知函数f（x）满足f（ab）=f（a）+f（b），且f
（2）=p，f（3）=q，那么f（72）= 3p+2q ．
考点：
抽象函数及其应用．菁优网版权所有
专题：
常规题型；计算题．
分析：
本题考查的是抽象函数及其应用问题．在解答时，首先要仔细分析条件中的抽象表达式，然后结合条件所给的特值和问题中给的特值的联系逐一进行分解计算即可获得问题的解答．
解答：
解：
由题意可知：
f（6）=f
（2）+f（3）=p+q
∴f（18）=f（6）+f（3）=p+q+q=p+2q
∴f（36）=f（18）+f
（2）=p+2q+p=2p+2q
∴f（72）=f（36）+f
（2）=2p+2q+p=3p+2q
故答案为：
3p+2q．
点评：
本题考查的是抽象函数及其应用问题．在解答的过程当中充分体现了抽象表达式的应用能力、数据的分解处理能力以及特值的处理技巧．值得同学们体会和反思．
6．（4分）如果函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在区间（﹣∞，4]上是减函数，那么实数a的取值范围是 a≤﹣3 ．
考点：
函数单调性的性质．菁优网版权所有
专题：
计算题；数形结合．
分析：
求出函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2的对称轴x=1﹣a，令1﹣a≥4，即可解出a的取值范围．
解答：
解：
函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2的对称轴x=1﹣a，
又函数在区间（﹣∞，4]上是减函数，可得1﹣a≥4，得a≤﹣3．
故选A≤﹣3
点评：
考查二次函数图象的性质，二次项系数为正时，对称轴左边为减函数，右边为增函数，本题主要是训练二次函数的性质．
7．（4分）已知函数f（x），g（x）分别由如表给出：
x
1
2
3
f（x）
1
3
1
x
1
2
3
g（x）
3
2
1
则满足f[g（x）]＜g[f（x）]的x的值 1和3 ．
考点：
映射．菁优网版权所有
专题：
计算题；分类讨论．
分析：
分类讨论，当x=1，2，3时，分别求出f（x）、g（x）的值，进而得到f[g（x）]和g[f（x）]的值，
检验是否满足f[g（x）]＜g[f（x）]．
解答：
解：
由题意知，当x=1时，f（x）=1，g（x）=3，f[g（x）]=f（3）=1，g[f（x）]=g
（1）=3，
满足f[g（x）]＜g[f（x）]．
当x=2时，f（x）=3，g（x）=2，f[g（x）]=f
（2）=3，g[f（x）]=g（3）=1，
不满足f[g（x）]＜g[f（x）]．
当x=3时，f（x）=1，g（x）=1，f[g（x）]=f
（1）=1，g[f（x）]=g
（1）=3，
满足f[g（x）]＜g[f（x）]．
综上，当x=1时，或当x=3时，满足f[g（x）]＜g[f（x）]．
点评：
本题考查映射的定义，求函数值的方法，体现了分类讨论的数学思想．
8．（4分）函数f（x）=x2+x﹣2的定义域是[﹣1，2]，则值域为
．
考点：
二次函数在闭区间上的最值．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
由题意函数为二次函数利用导数法求函数值域，因为定义域为闭区间，所以只要求二次函数在定义域中的极值与区间端点值，这几个函数值的大小即可求得函数的值域．
解答：
解：
因为函数f（x）=x2+x﹣2的定义域是[﹣1，2]，由函数f（x）=x2+x﹣2求导得：
f′（x）=2x+1，令2x+1=0得：
x=﹣
，当
时，f′（x）＜0，函数f（x）在此区间上单调递减；当
时，f′（x）＞0，函数在此区间上单调递增；所以x=﹣
是函数在定义域上的极小值，也应为最小值，而f（﹣1）=﹣2，f
（2）=22+2﹣2=4，所以函数在定义域上的值域为：
f（x）
．
故答案为：
点评：
此题考查了利用函数的导函数求函数在闭区间上的值域，实质是比较函数在该定义域下的极值与区间端点值等若干函数值的大小．
9．（4分）f（x）是定义在R上的奇函数，下列结论中，不正确的是 （4） ：
（1）f（﹣x）+f（x）=0；
（2）f（﹣x）﹣f（x）=﹣2f（x）；（3）f（x）•f（﹣x）≤0；（4）
=﹣1．
考点：
奇函数．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
根据奇函数的定义“设函数y=f（x）的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有x∈D，且f（﹣x）=﹣f（x），则这个函数叫做奇函数．”进行逐一判定即可．
解答：
解：
根据奇函数的定义可知f（﹣x）=﹣f（x），则
（1），
（2）正确；
对于（3），f（x）f（﹣x）=﹣f2（x）≤0，故正确；
对于（4），f（x）是定义在R上的奇函数，则f（0）=0，则（4）不正确
故答案为：
（4）
点评：
本题主要考查了奇函数的定义，以及奇函数的性质等有关知识，属于基础题．
10．（4分）若记号“*”表示是a*b=
，则用两边含有“*”和“+”的运算对于任意三个实数a，b，c成立的一个恒等式 a*b+c=b*a+c． ．
考点：
映射．菁优网版权所有
专题：
新定义．
分析：
根据记号“*”表示是a*b=
，则可得到b*a=
，即“*”满足交换率，因此可以得到答案．
解答：
解：
∵a*b=
，
∴b*a=
，
∴a*b=b*a．
∴a*b+c=b*a+c
故答案为：
a*b+c=b*a+c．
点评：
此题是个基础题．考查学生对记号“*”表示是a*b=
利用与灵活应用，很好的考查了学生自学能力，和灵活应用知识解决问题的能力．
二、解答题（共4小题，满分0分）
11．已知函数y=f（x）在（﹣1，1）上是减函数，且f（1﹣a）＜f（2a﹣1），求实数a的取值范围．
考点：
函数单调性的性质．菁优网版权所有
专题：
综合题；转化思想；综合法．
分析：
本题中的不等式相应的函数是抽象函数，单调性已知，故可以利用单调性对其转化，将其转化为一般不等式求解．
解答：
解：
∵函数y=f（x）在（﹣1，1）上是减函数，且f（1﹣a）＜f（2a﹣1），
∴
即
∴0＜a＜
由上知，实数a的取值范围是0＜a＜
点评：
本题考点是函数单调性的应用，考查利用函数的单调性解抽象不等式，解答本题有一个易错点，那就是忘记函数定义域这一限制条件，致使解出的范围远远超出正确答案的范围．解题中要注意考虑全面，仔细分析，严谨转化．
12．求函数y=
的值域．
考点：
函数的值域．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
一般可以通过图象观察或利用不等式性质来求解，也可以利用函数的单调性求出值域．本题形式结构复杂，可采用求导的方法求解．
解答：
解：
函数的定义域由
求得x≥﹣2．
求导得y′=
﹣
=
．
令y′＞0得2
＞
，
即
解得x＞﹣2，
即函数y=
﹣
在（﹣2，+∞）上是增函数．
又此函数在x=﹣2处连续，∴在[﹣2，+∞）上是增函数，而f（﹣2）=﹣1．
∴函数y=
﹣
的值域是[﹣1，+∞）．
点评：
函数y=f（x）在（a，b）上为单调函数，当在[a，b]上连续时，y=f（x）在[a，b]上也是单调函数．
13．已知函数y=x2﹣2|x|：
（1）判断它的奇偶性；
（2）画出函数的图象（3）根据图象写出单调递增区间
考点：
函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．菁优网版权所有
专题：
计算题；数形结合．
分析：
（1）根据函数奇偶性的定义判断该函数的奇偶性是解决本题的关键，注明函数的定义域，判断f（﹣x）与f（x）的关系；
（2）根据函数奇偶性得出该函数的对称性，可以先画出该函数在（0，+∞）上的图象，利用对称性得出该函数在整个定义域上的图象；
（3）根据图象观察得出函数的单调增区间．
解答：
解：
（1）由于该函数的定义域是R，
f（﹣x）=（﹣x）2﹣2|﹣x|═x2﹣2|x|=f（x），
故该函数是偶函数；
（2）由于该函数是偶函数，故其图象关于y轴对称，
当x≥0时，y=x2﹣2x，先画出该部分的图象，
利用对称性得出该函数的完整的图象．
（3）据图象写出该函数的单调递增区间为：
（﹣1，0），（1，+∞）．
点评：
本题考查函数奇偶性的应用问题，考查函数奇偶性的判断方法，考查函数图象的作法，考查数形结合思想和等价转化思想．关键要把握准函数图象的增减趋势．
14．已知函数f（x），g（x）同时满足：
g（x﹣y）=g（x）g（y）+f（x）f（y）；f（﹣1）=﹣1，f（0）=0，f
（1）=1，求g（0），g
（1），g
（2）的值．
考点：
抽象函数及其应用；函数的值．菁优网版权所有
专题：
计算题；转化思想；对应思想．
分析：
由题设条件知，可以采用赋值的方法来求值，可令x求g（0），再令x=y=1求g
（1）的值，令x=1，y=﹣1求g
（2）的值
解答：
解：
由题设条件，令x=y=0，则有
g（0）=g2（0）+f2（0）
又f（0）=0，故g（0）=g2（0）
解得g（0）=0，或者g（0）=1
若g（0）=0，令x=y=1得g（0）=g2
（1）+f2
（1）=0
又f
（1）=1知g2
（1）+1=0，此式无意义，故g（0）≠0
此时有g（0）=g2
（1）+f2
（1）=1
即g2
（1）+1=1，故g
（1）=0
令x=0，y=1得g（﹣1）=g（0）g
（1）+f（0）f（﹣1）=0
令x=1，y=﹣1得g
（2）=g
（1）g（﹣1）+f
（1）f（﹣1）=﹣1
综上得g（0）=1，g
（1）=0，g
（2）=﹣1
点评：
本题考点是抽象函数及其运用，考查了根据函数的性质进行灵活赋值求函数值的能力，此题的正确确求解需要对题设条件进行综合分析恰当使用才能达到解题的目的，本题综合性强，题后要注意总结做题的规律．
参与本试卷答题和审题的老师有：
邢新丽；Linaliu；ying_0011；xintrl；minqi5；Mryang；sllwyn；394782；301137；庞会丽；caoqz（排名不分先后）
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2014年10月2日
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