函数的概念和性质.docx

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函数的概念和性质

专题讲座

高中数学“函数的概念与性质”教学研究

梁市西城区教育研修学院

函数是中学数学中的重点容，它是描述变量之间依赖关系的重要数学模型.

本专题容由四部分构成：

关于函数容的深层理解；函数概念与性质的教学建议；学生学习中常见的错误分析与解决策略；学生学习目标检测分析.

研究函数问题通常有两条主线：

一是对函数性质作一般性的研究，二是研究几种具体的基本初等函数——二次函数、指数函数、对数函数、幂函数.研究函数的问题主要围绕以下几个方面：

函数的概念，函数的图象与性质，函数的有关应用等.

一、关于函数容的深层理解

（一）函数概念的发展史简述

数学史角度：

早期函数概念（Descartes，1596—1650引入坐标系创立解析几

何，已经关注到一个变量对于另一个变量的依赖关系）[几何角度]；Newton，1642—1727，用数流来定义流量（fluxion）的变化率，用以表示变量间的关系；Leibniz，1646—1716引入常量、变量、参变量等概念；Euler引入函数符号，并称变量的函数是一个解析表达式[代数角度]；Dirichlet，1805—1859提出是与之间的一种对应的观点[对应关系角度]；Hausdorff在《集合论纲要》中用“序偶”来定义函数[集合论角度].

Dirichlet：

认为怎样去建立与之间的关系无关紧要，他拓广了函数概念，指出：

“对于在某区间上的每一个确定的值，都有一个确定的值，那么叫做的函数.”这种函数的定义，避免了以往函数定义中所有的关于依赖关系的描述，简明精确（经典函数定义）.

Veblen，1880－1960用“集合”和“对应”的概念给出了近代函数定义，通过集合概念，把函数的对应关系、定义域及值域进一步具体化了，且打破了“变量是数”的限制，变量可以是数，也可以是其它对象.

（二）初高中函数概念的区别与联系

1．初中函数概念：

设在某个变化过程中有两个变量，如果对于在某个围的每一个值，都有唯一的值与它对应，我们就说是的函数，叫自变量，叫的函数.

2．高中函数概念：

（1）设A，B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对A中的任意一个元素x，在B中有一个且仅有一个元素y与x对应，则称f是集合A到集合B的映射.记作，其中叫原象，叫象.

（2）设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数x，按照确定的法则f，都有唯一确定的数y与它对应，则这种映射叫做集合A上的一个函数.记作.

其中x叫做自变量，自变量取值的围（数集A）叫做这个函数的定义域.所有函数值构成的集合叫做这个函数的值域.函数的值域由定义域与对应法则完全确定.

（3）函数是一种特殊的映射.其定义域和值域都是非空的数集，值域中的每一个元素都有原象.

构成函数的三要素：

定义城，值域和对应法则，其中定义域和对应法则是核心.

（三）函数在整个数学知识体系中的地位及作用

函数是中学数学最重要的基本概念之一，其核心涵为从非空数集到非空数集的映射；函数思想也是整个高中数学最重要的数学思想之一，而函数概念是函数思想的基础；它不仅对前面学习的集合知识做了巩固和发展，而且它是学好后继知识的基础和工具；函数与方程、不等式、数列、三角函数、解析几何、导数等容的联系也非常密切；函数的基础知识在现实生活、社会、经济及其它学科中有广泛的应用；函数概念及其反应的数学思想方法已广泛渗透到数学的各个领域，是进一步学习数学的重要基础.

（四）函数的概念与性质结构框图

（五）函数的概念与性质教学重点和难点

教学重点：

1．函数的概念

2．函数的基本性质

3．基本初等函数的图象和性质

教学难点：

1．函数概念的理解

2．对函数的单调性、奇偶性、周期性实质的把握

3．运用基本初等函数的图象和性质解决简单问题

二、函数概念与性质的教学建议：

（一）如何深入把握函数的概念？

1．映射与函数的教学建议：

教学中，由于映射与函数的概念比较抽象，不易把握，故本部分容宜采用教师引导，师生共同研讨的方式来学习.

在教学中，教师可以类似举如下的例子进行剖析：

例1：

设集合和都是自然数集合.映射把集合中的元素映射到集合中的元素,则在映射作用下,2的象是_______；20的原象是________.

分析：

由已知，在映射作用下的象为.

所以，2的象是；

设象20的原象为，则的象为20，即.

由于，随着的增大而增大，又，所以20的原象是4.

这个例子要求学生理解映射的意义，对于给出对应关系的映射会求映射中指定元素的象与原象.能够有效判别学生对映射、象、原象这些概念的把握程度.同时，题目中兼顾对于函数性质的探究，具有一定的综合程度.

二、函数概念与性质的教学建议：

（一）如何深入把握函数的概念？

1．映射与函数的教学建议：

教学中，由于映射与函数的概念比较抽象，不易把握，故本部分容宜采用教师引导，师生共同研讨的方式来学习.

在教学中，教师可以类似举如下的例子进行剖析：

例1：

设集合和都是自然数集合.映射把集合中的元素映射到集合中的元素,则在映射作用下,2的象是_______；20的原象是________.

分析：

由已知，在映射作用下的象为.

所以，2的象是；

设象20的原象为，则的象为20，即.

由于，随着的增大而增大，又，所以20的原象是4.

这个例子要求学生理解映射的意义，对于给出对应关系的映射会求映射中指定元素的象与原象.能够有效判别学生对映射、象、原象这些概念的把握程度.同时，题目中兼顾对于函数性质的探究，具有一定的综合程度.

2．函数的定义域问题：

确定函数的定义域是研究函数问题的先决条件，因此对于一个函数问题，首先要明确自变量的取值集合.教学中，教师可通过类似下述问题明确求函数定义域的几类常见问题：

例2：

求下列函数的定义域：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）；

解：

（1）由，得，所以或，所以或.

所以，所求函数的定义域为.

（2）由得，或.

所以，所求函数的定义域为.

（3）由得，且，，

所以，所求函数的定义域为

（4）由得即所以.

所以，所求函数定义域为.

例3：

如图，用长为的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若矩形的底边长为，求此框架围成的面积与的函数关系式，并指出定义域.

解:

根据题意,.

弧长为，所以.

所以，.

根据问题的实际意义..

解得.

所以，所求函数定义域为.

上述求函数定义域问题涵盖了确定函数定义域的两种类型问题.

（1）给出函数解析式求定义域（如例2），这类问题就是求使解析式有意义的自变量的取值围.正确的解不等式或不等式组在解决这类问题中是重要的.

中学数学中常见的对变量有限制的运算法则有：

①分式中分母不为零；

②偶次方根下被开方数非负；

③零次幂的底数要求不为零；

④对数中的真数大于零，底数大于零且不等于1；

⑤，则.

（2）在实际问题中求函数的定义域（如例3）.在这类问题中除了考虑解析式对自变量的限制,还应考虑实际问题对自变量的限制.

另外，在处理函数问题时要有一种随时关注定义域的意识，这是极其重要的.比如在研究函数单调性、奇偶性、最值等问题时，首先要考虑的就是函数的定义域.

3．函数的对应法则问题：

确定函数的对应法则（即求函数的解析式）是有关函数概念中的重要问题，教学中教师可以设置如下相关题组，和学生共同解决.

例4：

（1）已知，求的解析式；

（2）已知，求的值；

（3）如果为二次函数，，并且当时，取得最小值，求的解析式；

（4）已知函数与函数的图象关于直线对称，求的解析式.

分析：

（1）求函数的解析式，从映射的角度看就是求对应法则，于是，我们一般有下面两种方法解决

（1）这样的问题.

方法一：

.通过这样“凑型”的方法，我们可以明确看到法则是“原象对应于原象除以原象的平方减1”.所以，.

方法二：

设,则.则，所以.

这样，通过“换元”的方法也可以明确看到法则是什么.

（2）用“凑型”的方法，.所以，.

（3）因为为二次函数，并且当时，取得最小值，

所以，可设，

又，所以，所以.

.

（4）这个问题相当于已知的图象满足一定的条件，进而求函数的解析式.所以，可以类比解析几何中求轨迹方程的方法求的解析式.

设的图象上任意一点坐标为，则关于对称点的坐标为，由已知，点在函数的图象上，

所以，点的坐标满足的解析式，即，

所以，.

由于已知条件的不同，求函数的解析式的常见方法有像

（1）

（2）所用到的“凑形”及“换元”的方法；有像（3）所用到的待定系数法；也有像（4）所用到的解析法.

值得注意的是（4）中所用的解析法.在求函数解析式或求曲线的轨迹方程时都可以用这种方法，是一种通法.同时也表明函数和它的图象与曲线和它的方程之间有必然的取系.

（二）教学中如何突出函数性质的本质？

函数的性质主要包括函数的单调性、奇偶性、周期性与对称性等，侧重点在于理解与函数性质有关的概念，掌握有关判断、证明的基本方法以及简单的应用.这部分容常用到数形结合的思想方法.

1．关于基本概念的理解：

（1）设函数的定义域为，如果对于的任意一个，都有，且，则这个函数叫做奇函数.

设函数的定义域为，如果对于任意一个，都有，且，则这个函数叫做偶函数.

由奇函数定义可知，对于奇函数，点与点都在其图象上.又点与点关于原点对称，我们可以得到：

奇函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；通过同样的分析可以得到，偶函数的图象是以轴为对称轴的轴对称图形.

（2）一般地，设函数的定义域为，区间.如果取区间中的任意两个值，，改变量，则

当时，就称函数在区间上是增函数；

当时，就称函数在区间上是减函数.

如果一个函数在某个区间上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间上具有单调性，区间称为单调区间.

在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的.

（3）一般地，对于函数，如果存在一个不为零的常数，使得当取定义域中的每一个值时，都成立，那么就把函数叫做周期函数，不为零的常数叫做这个函数的周期.

（4）一般地，对于函数，如果存在一个不为零的常数，使得当取定义域中的每一个值时，都成立，则函数的图象关于直线对称.

这四个概念都比较抽象，建议讲述相关概念时采用数形结合的手段，不断揭示概念的几何背景，进而完善学生对概念的认识.

2．关于函数的奇偶性问题：

对于函数的奇偶性，要求学生会判断及简单应用.教学中可给出如下题组：

例1：

判断下列函数的奇偶性.

（1）；

（2）；（3）；

（4）；（5）.

解：

（1）解，得到函数的定义域为或，关于原点不对称，

所以此函数为非奇非偶函数.

（2）函数的定义域为，但是，由于，，

即，且，

所以此函数为非奇非偶函数.

（3）函数的定义域为，又，

所以此函数为偶函数.

（4）解，得，

又

，

所以此函数为奇函数.

（5）函数的定义域为，又，

所以此函数为奇函数.

通过本例及函数奇偶性的定义，进一步可以得到下面几个结论：

①一个函数是奇（或偶）函数的必要不充分条件是定义域关于原点对称；

②是奇函数，并且在时有定义，则必有；

③既是奇函数又是偶函数的函数，其解析式一定为，等.

判定函数奇偶性按照其定义可以分为两个步骤：

①判断函数的定义域是否关于原点对称；

②考察与的关系.

由此，若以奇偶性为标准可以把函数分为奇函数，偶函数，既奇又偶函数和非奇非偶

函数四类.

例2：

已知为奇函数，当时，，

（1）求的值；

（2）当时，求的解析式.

解：

（1）因为为奇函数，所以.

（2）方法一:

当时,.

所以，.

方法二:

设是在时图象上一点,则一定在在时的图象上.

所以，，.

上述三个例子分别从具体函数、抽象函数、以及奇偶性的应用上加深对概念的理解.

3．关于函数的单调性问题：

例3：

用函数单调性定义证明，函数在区间上为增函数.

证明：

设，

因为，所以，又因为，

所以，，

所以，

函数在区间上为增函数.

例4：

设是定义域为的奇函数，且它在区间上是减函数.

（1）试比较与的大小；

（2）若，且，求证：

.

解：

（1）因为是奇函数，所以，

又在区间上是减函数，所以，即.

（2）因为，所以异号，不妨设，

因为，所以，

因为，，在区间上是减函数，

所以，

因为是奇函数，所以，

所以，即.

总之，函数的单调性是我们研究的极为重要的函数性质，其与其它问题的联系、自身的应用都很广泛，在教学中要予以充分注意.

（三）怎样有效提升学生对基本初等函数的图象与性质的把握？

基本初等函数包括:

二次函数、指数函数、对数函数和幂函数.

函数的图象上直观地反映着函数的性质,学习函数的“捷径”是熟知函数的图象.熟知函数图象包括三个方面：

作图，读图，用图.

掌握初等函数一般包括以下一些容：

首先是函数的定义，之后是函数的图象和性质.函数的性质一般包括定义域，值域，图象特征，单调性，奇偶性，周期性，零点、最值以及值的变化特点等，研究和记忆函数性质的时候应全面考虑.

函数的定义（通常情况下是解析式）决定着函数的性质，我们可以通过解析式研究函数的性质，也可以通过解析式画出函数的图象，进而直观的发现函数的性质.

1．关于二次函数的处理：

对于二次函数，初中已有研究，但高中阶段处理二次函数的视角又和初中有所不同.

例如：

设是实数，证明关于的方程有两个不相等的实数解.（初中、高中的不同处理方法）

教学中可以参考如下的题目：

例1：

（1）如果二次函数在区间上是增函数，则的取值围是________.

（2）二次函数的最大值恒为负，则的取值围是_______.

（3）函数对于任意均有，则，

的大小关系是_____________.

解：

（1）由于此抛物线开口向上，且在上是增函数，

画简图可知此抛物线对称轴或与直线重合，或位于直线的左侧，

于是有，解之得.

（2）分析二次函数图象可知，二次函数最大值恒为负的充要条件是“二次项系数，且判别式”，

即解得.

（3）因为对于任意均有，所以抛物线对称轴为.

又抛物线开口向上，做出函数图象简图可得.

例2、已知二次函数的对称轴为，且图象在轴上的截距为，被轴截得的线段长为，求的解析式.

解：

解法一：

设，

由的对称轴为，可得；

由图象在轴上的截距为，可得；

由图象被轴截得的线段长为，可得均为方程的根.

所以，即，所以.

.

解法二：

因为图象被轴截得的线段长为，可得均为方程的根.

所以，设，

又图象在轴上的截距为，即函数图象过点.

即.所以.

二次函数是非常常见的一种函数模型，在高中数学中地位很重.

二次函数的解析式有三种形式：

一般式；顶点式，其中为顶点坐标；

双根式，其中为函数图象与轴交点的横坐标，即二次函数所对应的一元二次方程的两个根.

例1、2两个题目充分体现了数形结合思想及运动变化思想的运用.这两种数学思想在函数问题的解决中被普遍使用.

2．关于指数函数、对数函数和幂函数的处理：

这三种基本初等函数是在研究一般函数基础上的重要模型，教学中建议采用如下问题突出相关函数性质的应用.

例3、比较下列各小题中各数的大小：

（1）与；

（2）；（3）与；

（4）与；（5）与；（6）.

分析：

（1）是减函数,.

（2）函数在区间（0,+）上是增函数，所以，

函数在区间（0,+）上是减函数，所以，

所以.

（3）由于,所以.

（4）利用幂函数和指数函数单调性..

（5）因为,.根据不等式的性质有.

（6）因为，所以，即；

比较与，只需比较与，

因为是增函数，所以只需比较与的大小，

因为，所以，所以，

综上，.

例4：

已知，比较的大小.

分析：

方法一（作商比较法）

，又，所以，

所以，所以.

方法二（作差比较法）

，

因为，所以，

所以，即.

方法三（构造函数）

令，将看作是关于的一次函数，

因为，所以此函数为减函数，又，

，

所以，即.

两个数比较大小的基本思路：

如果直接比较，可以考虑用比较法（包括“作差比较”与“作商比较”，如例4的方法一与方法二），或者利用函数的单调性来比较（如例3

（1）

（2）（3），例4的方法三）.

如果用间接的方法可以尝试对要比较的两数进行适当的变形，转化成对另两个数的比较，也可以考虑借助中间量来比较（如例3（4）（5）（6））.

三、学生学习中常见的错误分析与解决策略

例1：

下列四组函数中，表示同一个函数的是（）

（A）,（B）,

（C）,（D）,

易错点：

①定义域；②对应法则；③函数的概念.

错因分析：

①忽视函数的定义域；②不清楚函数概念的实质，如（B）中表示自变量的字母不同，就误认为不会是同一个函数.

解题策略：

判断两个函数是否为同一函数，就是要看两个函数的定义域与对应法则是否完全相同.

一般有两个步骤：

（1）在不对解析式进行变形的情况下求定义域，看定义域是否一致.

（2）对解析式进行合理变形的情况下，看对应法则是否一致.

分析：

（A）（C）（D）中两个函数的定义域均不同，所以不是同一函数.（B）中两个函数的定义域相同，化简后为及，对应法则也相同，所以选（B）.

这个例子可以有效检测学生对函数概念的把握，同时突出映射与函数概念的联系.

例2：

已知函数的定义域为，求函数及的定义域.

易错点：

①对应法则定义域；②定义域的概念.

错因分析：

①对对应法则的符号不理解；②不清楚定义域的含义.

解题策略：

此题的题设条件中未给出函数的解析式，这就要求我们根据函数三要素之间的相互制约关系明确两件事情：

①定义域是指的取值围；②受对应法则制约的量的取值围在“已知”和“求”当中是一致的.那么由的定义域是可知法则制约的量的取值围是，而在函数中，受直接制约的是，而定义域是指的围，因此通过解不等式得，即的定义域是.同理可得的定义域为.

例3：

设函数在上有定义，的值不恒为零，对于任意的，恒有成立，则函数的奇偶性为_________.

易错点：

①抽象函数；②对“恒成立”的理解.

错因分析：

①抽象函数的有关性质；②对“恒成立”的理解不清晰，不能将其转化为所需求的结构.

解题策略：

关于对抽象函数“”的使用一般有以下两个思路：

令为某些特殊的值，如本题解法中，令得到了.当然，如果令则可以得到，等等.

令具有某种特殊的关系，如本题解法中，令.得到，在某些情况下也可令，等等.

总之，函数方程的使用比较灵活，要根据具体情况作适当处理.在不是很熟悉的时候，要有试一试看的勇气.

解：

令，则，所以，

再令，则，所以，又的值不恒为零，故是奇函数而非偶函数.

例4：

已知函数是定义域为的单调增函数.

（1）比较与的大小；

（2）若，数的取值围.

易错点：

①函数概念；②增函数.

错因分析：

①对函数概念中的对应法则的理解不清楚；②没有理解增函数概念的实质，不会将其应用于解决问题.

解题策略：

回顾单调增函数的定义，在，为区间任意两个值的前提下，有三个重要的问题：

的符号；的符号；函数在区间上是增还是减.

由定义可知：

对于任取的，若，且，则函数在区间上是增函数；

不仅如此，若，且函数在区间上是增函数，则；

若，且函数在区间上是增函数，则；

于是，我们可以清晰地看到，函数的单调性与不等式有着自然的联系，请结合例4加以体会.

解：

（1）因为，所以，

由已知，是单调增函数，所以.

（2）因为是单调增函数，且，所以，

解得或.

四、学生学习目标检测分析

（一）课程标准中的相关要求

1．函数

①通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念。

②在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如，图像法、列表法、解析法）表示函数。

③通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用。

④通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；结合具体函数，了解奇偶性的含义。

⑤学会运用函数图像理解和研究函数的性质。

2．指数函数

①通过具体实例（如，细胞的分裂，考古中所用的14C的衰减，药物在人体残留量的变化等），了解指数函数模型的实际背景。

②理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。

③理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图像，探索并理解指数函数的单调性与特殊点。

④在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型。

3．对数函数

①理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用。

②通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图像，探索并了解对数函数的单调性与特殊点。

③知道指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函数。

（a>0,a≠1）4．幂函数

通过实例，了解幂函数的概念；结合函数y=x,y=x2,y=x3,y=,y=的图像，了解它们的变化情况。

（二）高考考试容与要求

1．函数

①了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.

②在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法、列表法、解析法）表示函数.

③了解简单的分段函数，并能简单应用.

④理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.

⑤会运用函数图像理解和研究函数的性质.

2．指数函数

①了解指数函数模型的实际背景.

②理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.

③理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握函数图像通过的特殊点.

④知道指数函数是一类重要的函数模型.

3．对数函数

①理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.

②理解对数函数的概念；理解对数函数的单调性，掌握函数图像通过的特殊点.

③知道对数函数是一类重要的函数模型；

④了解指数函数与对数函数互为反函数（）.

（三）两个典型高考题目剖析：

例1（2010年全国卷理8）已知函数.若，且，则的取值围是（）

（A）（B）（C）（D）

分析：

本题的知识涉及对数函数的图象和性质，函数图象的变换，利用导数研究单调性，不等式中的均值定理等容；涉及到数形结合与等价转化的数学思想，有一定的综合性.

思路一：

因为，即，所以.

因为函数在上单调递增，由，得，不合题意；由，得.

又因为，所以，且.

从而，其中.

令，则，当时，，所以函数在区间上单调递增.由此可知，，故的取值围是，正确选项是（C）.

思路二：

函数的图象如右图所示.因为，且，从而有，且.以下同解法一.

本题颇有些“绵里藏针”，如果未注意到的隐含条件，而直接利用均值定理，，从而得出的选A或B的错误结论.本题对于函数与导数考查的深刻性与灵活性可见一斑.

例2（2010年卷文14）如图放置的边长为1的正方形沿轴滚动，设顶点

的纵坐标与横坐标的函数关系是，则的最小正周期为；在其两个相邻零

点间的图象与轴所围成区域的面积为_______.

说明：

“正方形沿轴滚动”包括沿轴正方向和沿轴负方向滚动.沿轴正方向滚动指的是先以顶点为中心顺时针旋转，当顶点落在轴上时，再以顶点为中心顺时针旋