函数定义域值域求法十一种.docx
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函数定义域值域求法十一种
高中函数定义域和值域的求法总结
一、常规型
即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。
解：
要使函数有意义，则必须满足
x22x150①
11或x>5。
3且x11}{x|x5}。
1
例2求函数y'定义域。
*16x2
解：
要使函数有意义，则必须满足
sinx0①
16x20②
由①解得2kx2k，kZ③
由②解得4x4④
由③和④求公共部分，得
4x或0x
故函数的定义域为（4，］（0,］
评注：
③和④怎样求公共部分？
你会吗？
二、抽象函数型
抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。
（1）已知f（x）的定义域，求f［g（x）］的定义域。
（2）其解法是：
已知f（x）的定义域是］a,b］求f［g（x）］的定义域是解ag（x）b,即为所求的定义域。
例3已知f（x）的定义域为［—2,2］,求f（x2
3x3，故函数的定义域是｛x|x
（2）已知f［g（x）］的定义域，求f（x）的定义域。
其解法是：
已知f［g（x）］的定义域是］a，b］，求f（x）定义域的方法是：
由axb，求
g（x）的值域，即所求f（x）的定义域。
例4已知f（2x1）的定义域为］1，2］，求f（x）的定义域。
解：
因为1x2,22x4,32x15。
即函数f（x）的定义域是｛x13x5｝。
三、逆向型
即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。
特别是对于已知定义域为R,求
参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。
例5已知函数y.mx26mxm8的定义域为R求实数m的取值范围。
分析：
函数的定义域为R,表明mx26mx8m0,使一切x€R都成立，由x2项
的系数是m,所以应分m=0或m0进行讨论。
解：
当m=0时，函数的定义域为R;
当m0时，mx6mxm80是二次不等式，其对一切实数x都成立的充要条件
是
m0
（6m）24m（m8）0
0m1
m=0的情况，希望通过此例解决问题。
例6已知函数f（x）
kx7kx24kx
解：
要使函数有意义，则必须kx2
-的定义域是R，求实数k的取值范围。
3
4kx3工0恒成立，因为f（x）的定义域为
R,即
综上可知0m1。
评注：
不少学生容易忽略
kx24kx30无实数
3
1当&0时，16k243k0恒成立，解得0k
4
2当k=0时，方程左边=3工0恒成立。
3
综上k的取值范围是0k-。
4
四、实际问题型
这里函数的定义域除满足解析式外，还要注意问题的实际意义对自变量的限制，这点要加倍注意，并形成意识。
例7将长为a的铁丝折成矩形，求矩形面积y关于一边长x的函数的解析式，并求函数的定义域。
1
解：
设矩形一边为x，则另一边长为-（a2x）于是可得矩形面积。
2
J八12
yx（a2x）axx
22
21
xax。
2
由问题的实际意义，知函数的定义域应满足
x0
a2x0
x0
1
（a2x）0
2
0xa。
2
1a
故所求函数的解析式为yx2-ax，定义域为（0,巳）。
22
2x,
例8用长为L的铁丝弯成下部为矩形上部为半圆的框架，如图，若矩形底边长为
求此框架围成的面积y与x的函数关系式，并求定义域。
解：
由题意知，此框架围成的面积是由一个矩形和一个半圆组成的图形的面积，如图。
故y2xL2xX
2
（2-）x2Lx
2
根据实际问题的意义知
2x0
1
（1）当a0时，F（x）的定义域为｛x|ax1a｝；
1
（2）当0a时，F（x）的定义域为｛x|ax1a｝；
11
（3）当a或a时，上述两区间的交集为空集，此时F（x）不能构成函数。
22
六、隐含型
有些问题从表面上看并不求定义域，但是不注意定义域，往往导致错解，事实上定义域隐含在问题中，例如函数的单调区间是其定义域的子集。
因此，求函数的单调区间，必须先
求定义域。
例10求函数ylog2（x22x3）的单调区间。
解：
由x22x30，即x22x30,解得1x3。
即函数y的定义域为
（一1,3）。
函数ylog2（x22x3）是由函数ylog2t,tx22x3复合而成的。
22
tx22x3（x1）24，对称轴x=1，由二次函数的单调性，可知t在区间
（,1］上是增函数；在区间［1,）上是减函数，而ylog2t在其定义域上单调增；
（1,3）（,1］（1,1］,（1,3）［1,）［1,3），所以函数ylog2（x22x3）在区
间（1,1］上是增函数，在区间［1,3）上是减函数。
函数值域求法十一种
1.直接观察法
对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
例1.求函数数X的值域。
1
•••X
显然函数的值域是：
（，0）（0,）例2.求函数y3X的值域。
解：
•/X0
..X0,3..X3
故函数的值域是：
【3
2.配方法
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一
例3.求函数yX22x5,x[1,2]的值域。
解：
将函数配方得：
y&1）24
•/X[1,2]
由二次函数的性质可知：
当X=1时，『min4，当X1时，ymaX8故函数的值域是：
[4,8]
3.判别式法
1XX2
例4.求函数y1X2的值域。
解：
原函数化为关于X的一元二次方程
（y1）x2（y1）x0
（1）当y1时，xR
（1）24（y1）（y1）0
13
解得：
2'2
1□
（2）当y=1时，x0，而》2
13
故函数的值域为2,2
例5.求函数yx，x（2x）的值域。
22
解:
两边平方整理得：
2x2（y1）xy0
（1）
•/xR
4（y1）28y0
解得：
12y1.2
但此时的函数的定义域由x（2x）0，得0x2
由o，仅保证关于x的方程:
2x22（y1）xy20在实数集R有实根，而不能确保其实根在区间[0,2]上，即不能确保方程
（1）有实根，由0
13求出的范围可能比y的实际范围大，故不能确定此函数的值域为2,2。
可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。
•/0x2
yx
ymin
解得:
x（2x）0
0,y1-2代入方程
（1）
2运2\-'2[02]
X1£[0,2]
2迈24运
即当x12时，
原函数的值域为：
【0,14
注：
由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分易9除。
4.反函数法
直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。
3x4
例6.求函数5x6值域。
xg
解:
由原函数式可得：
53
46y3
则其反函数为：
y5x3,其定义域为：
％5
3
故所求函数的值域为：
，5
5.函数有界性法
直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。
ex1
例7.求函数y厂的值域。
ex以
解：
由原函数式可得：
y1
x
.e0
口0
yi
解得：
1y1
故所求函数的值域为（1,1）
COSX
例8.求函数'sinx3的值域。
解：
由原函数式可得：
『前乂cosx旳,可化为:
y21sinx（x
）3y
sinx（x）-
3y
即
y21
•/xR
sinx（x）[
1,1]
13y
1
即，y21
V2J2
解得：
VyT
故函数的值域为T，T
6.函数单调性法
例9.求函数y2X5log^x1（2xio）的值域。
解：
令yi2x5,y2log3-x1
1
log321-
8
log3、933
则y「y2在［2，10］上都是增函数所以yy1y2在［2，10］上是增函数
当x=2时，ymin2当x=10时，ymax25
1
33
故所求函数的值域为：
8
例10.求函数yx1x1的值域。
2
解:
原函数可化为：
yx1x1
令y1x1,y2x1，显然小2在口，］上为无上界的增函数所以yy1，y2在口］上也为无上界的增函数
显然y0，故原函数的值域为（0,2]
7.换元法
通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。
例11.求函数yxx1的值域。
解：
令x1t，（t0）
则xt21
2123
..yt2t1（t-）2-
又t0,由二次函数的性质可知当t0时，ymin1
当t0时，y
故函数的值域为[1,）
例12.求函数yx2j（x1）2的值域。
解:
因1即（x1）2故可令X
子sin（
0、2sin（
-）11.2
4
故所求函数的值域为[0,12]
x3x
例13.求函数yx42x21的值域。
12x
,y——
解：
原函数可变形为：
21X
1x2
1x2
2x.Q2
可令xtg,贝眉1x2sin2,1x2cos
例15.求函数yx4-5x2的值域。
解：
由5x20,可得|x|-5故可令xcos,[0,]
y、5cos4.5sin、10sin（—）4
4
•/0
___5_
444
当/4时，『max4尿
当时,ymin4运
故所求函数的值域为：
【45,410]
8.数形结合法
其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。
例16.求函数y.（x2）2（x8）2的值域。
B
P
A
I
1
11J
02
解：
原函数可化简得：
yix2iix8i
上式可以看成数轴上点P（X）至U定点A
（2），B（8）间的距离之和。
由上图可知，当点P在线段AB上时，y|x2I|x8||AB|10
当点P在线段AB勺延长线或反向延长线上时,ix2Iix8||AB|10
故所求函数的值域为：
[10,]
例17.求函数yX26x13,X24x5的值域。
解:
原函数可变形为：
y.（x3）2（02）2」（x2）2（01）2
上式可看成x轴上的点P（x，0）到两定点A（3,2）,b（2,1）的距离之和，由图可知当点P为线段与x轴的交点时，ymin|AB「（32）2（21）2-43,
故所求函数的值域为43,]
J
J
（2
例18.求函数yX26x13'..x24x5的值域。
2222
解:
将函数变形为：
y（x3）（o2）、（x2）（01）
上式可看成定点A（3,2）到点P（x,0）的距离与定点B（2,1）到点P（x，0）的距离之差。
即：
y|AP||BP|
由图可知：
（1）当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时，女口点P',则构成ABP',根据三角形两边之差小于第三边，有
『22
ilAP'i|BP'ii|AB|.（32）（21）.26
即：
26y26
（2）当点P恰好为直线AB与X轴的交点时，有l|AP||BP|||AB|26
综上所述，可知函数的值域为：
（26,26]
注：
由例17,18可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使AB两点在x轴的两侧，而求两距离之差时，贝V要使A,B两点在x轴的同侧。
女如例17的A,B两点坐标分别为：
（3,2）,（2,1）,在x轴的同侧；例18的AB两点坐标分别为（3,2）,（2,1）,在x轴的同侧。
9.不等式法
利用基本不等式ab2柘5,abc3VabC（a，b，cR）,求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。
121_
例19.求函数y（sinx品）（cosx品）4的值域。
解：
原函数变形为：
1
2~cosx
221
y（sinxcosx）—
sinx
1ces2xsec2x3tan2xcot2x3vtan2xcot2x2
当且仅当tanxcotx
即当xk4时（kz）,等号成立
故原函数的值域为：
【5,）
例20.求函数y2sinxsin2x的值域。
解:
y4sinxsinxcosx
4sin2xcosx
y16sin4xcos2x
8sin2xsin2x（22sin2x）
8[（sin2xsin2x22sin2x）/3]3
64
27
i22
当且仅当sin2x22sin2x,即当x3时，等号成立。
y2648^3y8^3
由由27可得：
—厂'~9一
8J38^3
故原函数的值域为：
919
10.——映射法
axb―小
原理：
因为yL（c0）在定义域上x与y是对应的。
故两个变
量中，若知道一个变量范围，就可以求另一个变量范围。
13x
例21.求函数y2x1的值域。
11
x|x一或X-
解:
T定义域为22
13xX1y
由丫得2y3
1y11y1
xx
故2y32或2y32
3或3
解得y严2
33
故函数的值域为,22,
11.多种方法综合运用
Jx2
x3的值域。
x3
1
J
t
例22.求函数y
解:
令tx2（to）,则tt21
（1）当t
C1
所以0y2
0时，
t21
1
2
当且仅当t=1,即x1时取等号，
（2）当t=0时，y=0
0,-综上所述，函数的值域为：
2注：
先换元，后用不等式法
此时tan2都存在，故函数的值域为，^
注：
此题先用换元法，后用配方法，然后再运用sin的有界性。
总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。
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