第六章 特殊平行四边形.docx

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第六章特殊平行四边形

《矩形》教案设计

一．    教学目标：

1）         了解矩形的定义

2）         通过学生探索来发现矩形对角线的性质

3）         探索并掌握矩形判定的常用条件

4）         矩形性质与判定的简单应用

二．    教学重点为：

掌握矩形的性质与常用判定条件并能简单应用

三．    教具：

四边形模型，三角板，投影片

四．    教学过程：

1．引入：

把平行四边形的一个内角变化（使它等于直角）

矩形定义

2．演示平行四边形活动框，观察两条对角线长度的变化情况

　　　　　　　　（分∠A为锐角、钝角、直角）

矩形性质：

矩形的对角线相等，四个角都是直角（出示符号语言）

3．问题：

若平形四边形的对角线相待，则它是矩形吗？

（由学生分析）

矩形判定：

对角线相等的平行四边形是矩形（出示符号语言）

4．矩形是轴对称图形吗？

如果是，它有几条对称轴？

5．课堂练习：

1）         填空、选择（略）

2）         如图一个平行四边形纸片

＊  所得图形是什么四边形？

为什么？

＊  求原平行四边形的面积（学生分组讨论、生回答）

3）在矩形ABCD中，AC，BD相交于O，已知AC＝6，∠BOC=1200

＊  求∠ACB

＊  求AB，BC的长度

（师与生共同分析、师板书）

4）已知：

如图OC在Rt∠AOB内，点D在OC上，DE⊥OA，E是垂足，点F在OB上，且∠ODF＝∠DOE，连结EF

问：

OD、EF有怎样关系？

简单说明理由

（师生共同分析完成、生板书）

五．    课后小结：

由学生谈谈（略）

六．    作业（略）

课题：

6.1矩形

（1）

教学目标：

1、经历矩形的概念、性质的发现过程；

2、掌握矩形饿概念；

3、掌握矩形的性质定理“矩形的四个角都是直角”；

4、掌握矩形的性质定理“矩形的对角线相等”；

5、探索矩形的对称性。

教学重点和难点：

教学重点：

矩形的性质

教学难点：

矩形的对称性的推理过程。

教学过程：

一、“合作学习”

如图，用6根火柴棒首尾相接摆成一个平行四边形。

思考：

（1）能摆成多少个不同的平行四边形？

它们有什么共同的特点？

（2）在这些平行四边形中，有没有面积最大的一个平行四边形？

说出你的理由？

（3）这个面积最大的平行四边形的内角有什么特点？

量一量它的两条对角线的长度，你有什么发现？

教师在学生回答的基础上，引入新课题-----6.1矩形

（1）

二、讲解新课

1、矩形的概念

在上面“合作学习”和小学的知识基础上，引导学生归纳出矩形的概念：

有一角是直角的平行四边形是矩形

让学生举出三个日常生活中的矩形的实例。

2、矩形的性质

根据上面的定义提问：

（1）矩形是不是平行四边形？

（2）平行四边形是不是矩形？

（3）平行四边形的性质矩形有没有也具备？

（4）矩形有没有与平行四边形不同的性质？

教师在学生回答的基础上，引导学生得出：

矩形不但具备一般平行四边形的所有性质，还具备一般平行四边形没有的特殊性质：

（1）矩形的四个角都是直角；

（2）矩形的对角线相等。

教师根据矩形的性质2，画出图形，写出已知、求证，让学生独立完成性质2的证明。

已知：

如图，AC和BD是矩形ABCD的对角线；

求证：

AC=BD。

教师让学生独立完成证明过程，

让一位学生板演，教师是学生完成证明过程后，

进行点评指正。

3、讲解范例

例1、已知：

如图，在矩形ABCD中对角线AC、BD

相交于点O，∠AOD=120°，AB=4cm。

（1）判断△AOB的形状；

（2）求对角线的长。

教师做启发性提问：

（1）矩形的对角线有什么性质？

（2）平行四边形的对角线有什么性质？

（3）有

（1）与

（2）可以知道，矩形的对角线被点O分成了四部分，OA、OB、OC、OD它们的大小关系是怎样的？

（4）从∠AOD=120°，可以知道∠AOB是多少度？

由此可以看出△AOB是什么形状？

（5）从△AOB的形状可以知道对角线AC、BD与AB有什么关系？

教师在学生回答后让学生独立完成解题过程，让一位学生板演，教师最后进行点评指正。

4、矩形的对称性

教师根据例1，再通过作图的方式，说明矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，有两条对称轴。

三、课堂练习

学生独立完成课本第134页的“课内练习”1、2两题的解题过程，让一位学生板演第1题的证明过程，教师巡视指导，最后进行点评指正。

四、课堂小结

1、矩形不但具备一般平行四边形的所有性质，还具备一般平行四边形没有的特殊性质是：

（1）矩形的四个角都是直角；

（2）矩形的对角线相等。

2、矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，有两条对称轴。

五、布置作业

见作业本

教学后记：

课题：

6.1矩形

（2）

教学目标：

1、经历矩形的判定定理的发现过程；

2、掌握矩形的判定定理“有三个角是直角的四边形是矩形”；

3、掌握矩形的判定定理“对角线相等的平行四边形是矩形”。

教学重点和难点：

教学重点：

矩形的判定

教学难点：

判定定理“对角线相等的平行四边形是矩形”的证明。

教学过程：

一、复习引入

1、复习提问：

矩形的对边有什么性质？

角呢？

对角线呢？

（学生口答）

2、提问：

要判断一个四边形是矩形目前我们有什么方法？

在学生的回答后，引入新课—6.2矩形

（2）

二、讲解新课

1、“合作学习”

提问：

（1）命题“矩形的四个角都是直角”的逆命题是什么？

是真命题还是假命题？

要判定一个四边形四边形矩形只要说明几个角是直角？

为什么？

（2）工人师傅为了检验两组对边相等的四边形窗框是否成矩形，一种方法是量一量这个四边形的对角线是否相等。

你知道这是为什么吗？

学生讨论回答，在学生回答后引导学生得出：

要判断一个四边形是不是矩形，除了利用矩形的定义外，还有以下两个定理：

定理1、有三个角是直角的四边形是矩形；

定理2、对角线相等的四边形是矩形。

2、矩形判断定理的证明

（1）证明定理1

教师做启发性提问：

①定理的条件是什么？

结论是什么？

②在没有这个判定定理以前，我们要证明一个四边形是矩形，只能根据什么方法来证明？

③因此证明这个定理应该先证明什么？

再证明什么？

教师在学生回答后，让学生自己独立的完成证明。

（2）证明定理2

教师对照右边的图形，写出已知、求证如下。

已知：

在平行四边形ABCD在中，AC=BD；

求证：

平行四边形ABCD是矩形

教师做启发性提问：

①条件是什么？

结论是什么？

②要证明一个四边形是矩形，根据矩形的定义，只需证明什么？

③要证明有一个角是直角，根据相邻的两个角互补，只需要证明什么？

于是就归结为证明怎样的两个三角形全等？

④如果选择要证明全等的两个三角形是△ABC和△DCB，它们已经满足哪些条件？

这些条件能证明它们全等吗？

根据是什么？

在学生回答后让学生口述证明过程，教师在指正的基础上同步板书，证明过程略。

3、讲解范例

例2、一张四边形的纸板ABCD的形状如图

（1），它的两条对角线互相垂直。

如果要从这张纸板中剪出一个矩形，并且使它的四个顶点分别落在四边形ABCD的四条边上，可以怎么剪？

教师引导学生利用三角形的中位线定理，分别取AB、BC、CD、DA的中点E、F、G、H，任何再利用三角形的中位线定理进行证明，证明过程略。

三、课堂练习

学生独立完成课本第136页的“课内练习”1、2两题的解题过程，第1小题让学生口答，再让一位学生板演第2题的证明过程，教师巡视指导，最后进行点评指正。

四、课堂小结

针对判定一个四边形是矩形的判定方法进行小结，特别指出要利用判定定理2进行判定时要具备两个条件：

（1）这个四边形是平行四边形；

（2）对角线要相等。

这两个条件缺一不可。

五、布置作业

见作业本

教学后记：

第6章特殊平行四边形与梯形

6.1矩形

（2）

【设计理念】

    根据新课程标准要求学生学习数学的重要方式是动手实践、自主探索与合作交流。

学生是学习活动的主体，教师是学生学习的组织者、引导者与合作者。

结合八年级学生的实际情况，本节课教学过程的教学设计分以下几面：

1、充分考虑了为学生提供动手实践、研究探讨的时间与空间，让学生经历知识发生、发展的全过程，并能学以致用。

2、根据本节课的特点，适当、适量设置例题、习题。

使整个课堂教学设计体现了活动性、开放性、探究性、合作性、生成性。

3、教师始终起到启发、点拨、纠偏、示范的作用。

4、学生积极参与到课堂教学中来，动手动口动脑相结合，使他们“听”有所思，“学”有所获．

【教材分析】

1．在教材中的地位与作用

    生活中随处可见矩形，矩形的应用非常广泛。

矩形第二课时的一节也是后续几何知识学习的基础。

学生探索得出矩形判定的方法，为以后进一步研究其他图形奠定基础，与矩形相关的问题也是考查的热点。

2．对教材的处理

    本节课主要是探索矩形判定的条件，应用矩形的判定定理解决相关问题。

利用这节课来培养学生自主学习、合作学习、主动获取知识的能力。

转变学生的学习方式，使学生经历实践、推理、交流等数学活动过程，亲身体验数学思想方法及数学观念，培养学生能力，促进学生发展。

在选题时, 遵循学生的认识规律, 照顾学生的接受能力, 配置由浅入深, 由易到难的练习题。

教学中，通过有效措施让学生在对解决问题过程的反思中，获得解决问题的经验，进行富有个性的学习。

3．教学目标

    知识与技能：

通过探索与交流，逐渐得出矩形的判定定理，使学生亲身经历知识的发生过程，并会运用定理解决相关问题。

通过开放式命题，尝试从不同角度寻求解决问题的方法。

    过程与方法：

 通过动手实践、合作探索、小组交流，培养学生的的逻辑推理、动手实践等能力。

    情感态度与价值观：

在良好的师生关系下，创设轻松的学习氛围，使学生在数学活动中获得成功的体验，增强自信心，在合作学习中增强集体责任感。

4.教学重点与难点

重点：

探索矩形判定定理的过程及应用

难点：

矩形判定定理的应用

【教学方法与教学手段】

1．教学方法  

探究发现、合作学习的方法

2．教学手段

采用多媒体辅助教学，促进学生自主学习，提高学习效率。

【教学过程】

环节一：

创设情境、导入新课

通过上节课对矩形的学习，谁能回答以下问题

1、判定四边形是矩形的方法是什么？

（用定义）

（1）是不是平行四边形，

（2）再看它有无直角。

2、矩形是特殊的平行四边形它具有哪些性质？

（通过对矩形定义及性质的回顾，引出判定矩形除了定义外，还有哪些方法，导入新课。

）

环节二：

尝试发现，探索新知

活动一：

1、先请同学仅用手中量角器量一下图形（甲）（乙）中的四边形的角（有几个直角）。

甲乙

2、然后通过同桌同学交流用有几个直角才能构成矩形，并说明理由。

（此问题的解决以动手实践，合作交流的形式进行，学生在探究过程中根据已有的知识积累——矩形的定义，得出矩形的判定定理一。

教师以合作者的身份深入学生中，了解学生的探究进程并适当给予点拨。

）

最后教师进行适当板书进行推证、讲解。

在此过程中，全体同学可互相补充、互相评价，培养学生的语言表达能力、推理能力。

活动二：

教师提问：

矩形的对角线相等,相反对角线相等的四边形是什么图形？

在学生回答是或不是的情况下，让学生下例步骤进行探索。

1、画任意两条长度相等的相交线段，并把它们的四个顶点顺次连结，看是不是矩形？

2、画两条长度相等并且一条并分另一条的线段，并把它们的四个顶点顺次连结，看是不是矩形？

3、画两条长度相等并且互相平分的线段，并把它们的四个顶点顺次连结，看是不是矩形？

4、然后通过同桌同学交流用怎样的两条长度相等才能构成矩形，并说明理由。

最后通过教师演示动画，师生进行适当交流、归纳、讲解，得出矩形的判定定理二。

（此问题的解决仍以分组合作交流的形式进行，通过此种互动过程，让全体学生参与其中，获得不同程度的收获，体验成功的喜悦）

活动三：

矩形的判定定理二的证明。

已知：

在平行四边形ABCD中，AC＝BD，

求证：

平行四边形ABCD是矩形。

对于判定定理二的证明教师从以下几个方面进行与学生交流。

（1）条件与结论各是什么？

（引出条件与结论的关系）

（2）使一个平行四边形是矩形，已学过什么方法？

（引出矩形的定义证明）

（3）要证明一个角是直角，根据平行四边形相邻两个角互补，只需证明什么？

（引出证明两个三角形全等）

（4）如何选择要证明两个三角形全等，它们的条件是否满足？

最后由学生说出整个证明的过程，教师进行适当的点评与板书。

当判定定理一、定理二得出后，让学生总结矩形的三种判定方法（定义，定理一与定理二），并对题设进行比较、区分，使学生进一步明确定理应用的条件。

环节三：

应用辨析，巩固定理

为了帮助学生巩固定理，应用如下：

应用一、工人师傅为了检验两组对边相等的四边形是否成矩形，你有没有方法帮助工人师傅解决这个问题？

（这一题是由引入判定定理二改编而成的，主要考查学生的判定矩形的多种解决方法的实际问题。

）

应用二、例题讲解

一张四边形纸板ABCD形状如图，它的对角线互相垂直。

若要从这张纸板中剪出一个矩形，并且使它的四个顶点分别落在四边形ABCD的四条边上，可怎么剪？

对于这个问题的解决教师引导学生回顾过去证明“依次连结四边形各边中点所得的四边形是平行四边形的经验，使学生联想到连结四边形ABCD的两条对角线，然然后运用中位线定理，这样就解决了这个问题。

应用三、

练习一、判断题：

1、内角都相等的四边形是矩形。

2、对角线相等的四边形是矩形。

3、对角线互相平分且相等的四边形是矩形。

4、一组邻角相等的平行四边形是矩形。

5、对角互补的平行四边形是矩形。

练习二：

如图AC，BD是矩形ABCD的两条结角线，AE=CG=BF=DH。

求证：

四边形EFGH是矩形。

（练习一，二是课内练习，主要为加强学生对所学定理的理解和掌握， 使学生能将给出的条件转化为应用定理所需的条件，辨析判定定理的题设，以便更好地应用定理。

这两个问题的解决分别应用所学定理，使学生能够学习致用。

这两道题的解决方法是先采用独立完成形式，有困难的学生可以求助老师或同学，学生互助完成，派学生代表板书讲解。

）

环节四：

反思小结，体验收获                                    

    今天你学到了什么？

谈谈你的收获。

（再现知识，教师点评，对学生在课堂上的积极合作，大胆思考给与肯定，提出希望。

）

6.1矩形（3）

【教学目标】

1．进一步掌握矩形的性质及判定的应用

2．理解定理”直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的证明

3．会利用矩形的性质和判定解决简单几何问题.

【教学重点、难点】

Ø重点：

本节教学的重点是进一步掌握矩形的性质及判定的应用．

Ø难点：

定理”直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的证明要添加教多的辅助线,综合应用知识的能力要求教高,是本节教学的难点．

【教学过程】

一.复习旧知:

1.矩形的定义.（请下游同学回答）

2.矩形的两个性质定理.（请中下游同学回答）

3.矩形的两个判定定理.（请中下游同学回答）

4.师生一起回答:

有一句话既是矩形的性质,又是矩形的判定,那就是矩形的定义.

5.师生共同回忆:

”直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”.

二.新课讲授:

1.下面谈谈第5点”直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的证明过程.

启发引导如下:

1.帮助学生根据题意,画出图形.

2.根据图形,写出已知和求证.（上游生回答）.

3.回顾证明一条线段是另一条线段的一半,可以转换成怎样的一个等价命题.（上游生回答）.

4.如何在图中画出2倍的CD.（中游生回答）.

5.延长CD到E,使DE=CD,问题就化归为证明哪两条线段线段相等.（中游生回答）.

6.现在我们证明两条线段相等有哪些新的方法.（上游生回答）.

已知:

如图,在RT⊿ABC中,∠ACB=RT∠,CD是斜边AB上的中线,

求证:

CD=

ABEA

证明:

延长CD到E,使DE=CD,连接AE,BE.

CD是斜边AB上的中线.

AD=DBD

又

CD=DE

四边形AEBC是平行四边形.

∠ACB=RT∠,BC

四边形AEBC是矩形（矩形的定义）.

CE=AB（矩形的对角线相等）,

CD=

AB

三.巩固练习

1.课本”课内练习”（请三位中游生上黑板来演示）

2.（机动）见书本作业题（A）组.

四.小结:

1.通过这节课的学习,你有什么收获?

（请各个层次的同学回答）.

2.还有什么困惑需要我们共同解决?

五.作业:

见作业本

6.2菱形

（1）

【教学目标】

1.经历菱形的概念、性质的发现过程

2.掌握菱形的概念

3.掌握菱形的性质定理“菱形的四条边都相等”

4.掌握菱形的性质定理“菱形的对角线互相垂直,并且每条对角线平分一组对角”

5.探索菱形的对称性

【教学重点、难点】

Ø重点：

菱形的性质．

Ø难点：

菱形的轴对称需要用折叠和推理相结合的方法,是本节的教学难点．

【教学过程】

一.引入:

用多媒体显示下面的图形

观察以下由火柴棒摆成的图形

议一议:

（1）三个图形都是平行四边形吗?

（2）与图一相比,图二与图三有什么共同的特点?

目的是让学生经历菱形的概念,性质的发现过程,并让学生注意以下几点:

（1）要使学生明确图二、图三都为平行四边形

（2）引导学生找出图二、图三与图一在边方面的差异

二.新课:

把一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.

再用多媒体教科书中有关菱形的美丽图案,让学生感受菱形具有工整,匀称,美观等许多优点.

菱形也是特殊的平行四边形,所以它具有一般平行四边形的性质外还具有一些特殊的性质.

定理1:

菱形的四条边都相等

这个定理要求学生自己完成证明,可以根据菱形的定义推出,课堂上只需让学生说说理由就可以了,不必写证明过程.

定理2:

菱形的对角线互相垂直,并且每条对角线平分一组对角.

已知:

在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O。

求证:

AC⊥

BD,AC平分∠

BAD和∠

BCD，BD平分∠

ABC和∠

ADC

分析：

由菱形的定义得△ABD是什么三角形？

BO与OD有什么关系？

根据什么？

由此可得AO与BD有何关系？

∠BAD有何关系？

根据什么？

证明：

∵四边形ABCD是菱形

∴AB=AD（菱形的定义）

BO=OD（平行四边形的对角线互相平分）

∴AC⊥BD，AC平分∠BAD（等腰三角形三线合一的性质）

同理，AC平分∠

BCD，BD平分∠

ABC和∠

ADC

∴对角线AC和BD分别平分一组对角

由定理2可以得出菱形是轴对称图形，它的两条对角线所在的直线都是它的对称轴。

另外，还可以从折叠来说明轴对称性。

同时指出以上两个性质只是菱形不同于一般平行四边形的特殊性质。

菱形还具有平行四边形的所有共性，比如：

菱形是中心对称图形，对称中心为两条对角线的交点。

三．应用

例1．在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交与点O,∠BAC=30°,BD=6

求菱形的边长和对角线AC的长.

分析:

本题是菱形的性质定理2的应用，由∠BAC=30°，

得出△ABD为等边三角形，就抓住了问题解决的关

键。

解：

∵四边形ABCD是菱形

∴AB=AD（菱形的定义）

AC平分∠BAD（菱形的每条对角线平分一组对角）

又∵∠BAC=30°

∴∠BAD=60°

∴△ABD为等边三角形

∴AB=BD=6

又∵OB=OD=3（平行四边形的对角线互相平分）

AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直）

由勾股定理得AO2+BO2=AB2

∴AO=

AC=2AO=

四．巩固：

教科书第141页课那练习1、2

五．小结：

1、通过本节课的学习，你有什么收获？

还有哪些困惑？

2、本节课的主要内容是：

一个定义（菱形的定义），二条定理（菱形的性质定理），二个结论（菱形是轴对称图形，又是中心对称图形）。

六．作业：

（略）

6.2菱形

（2）

【教学目标】

1．经历菱形的判定定理的发现过程。

2．掌握菱形的判定定理“四条边相等的四边形是菱形”。

3．掌握菱形的判定定理“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”。

　4．通过运用菱形知识解决具体问题，提高分析能力和观察能力．并根据平行四边形、矩形、菱形的从属关系，向学生渗透集合思想．

【教学重点、难点】

Ø重点：

菱形的判定定理．

Ø难点：

菱形判定方法的综合应用．课本“合作学习”既需要一定的空间想象力，又要有较强的逻辑思维能力．

【教学方法】

启发诱导、讨论、讲授相结合

【教学过程】

（一）、复习引入

1、提问

菱形的定义和性质。

定义：

一组邻边对应相等的平行四边形叫做菱形。

性质：

除具备一般平行四边形的性质外，还具备四条边相等，

对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角

判定一个四边形是不是菱形可根据什么来判定？

定义，此外还有两种判定方法，今天我们就要学习菱形的判定。

（板书课题）

（二）、创设情境，引入新课

1、合作学习：

学生拿出准备好的长方形纸片，按图6-15（P142）的方法对折两次，并沿（3）中的斜线剪开，展开剪下的部分，猜想这个图形是哪一种四边形？

一定是菱形吗？

为什么？

剪出的图形四条边都相等，根据这个条件首先证它是平行四边形，再证一组邻边相等，依定义即知为菱形．

结论：

菱形判定定理1：

四边都相等的四边形是菱形（板书）

　（三）、交流互动，探求新知

1、已知：

如图，在

ABCD中，BD⊥AC，O为垂足。

求证：

ABCD是菱形

启发：

在已知是平行四边形的情况下，要证明是菱形，只要证明一组邻边相等。

证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AO＝CO（平行四边形的对角线互相平分）。

∵BD⊥AC，

∴AD＝CD

∴

ABCD是菱形（菱形的定义）。

结论：

菱形判定定理2：

对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

2、猜想：

对角线互相垂直平分的四边形是不是菱形？

启发：

通过四个直角三角形的全等得到四条边相等。

结论：

对角线互相垂直平分的四边形是菱形。

3、例2：

如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线与AD，BC分别交于点E，F，求证：

四边形AFCE是菱形。

1

启发：

已知对角线互相垂直，还需什么条件就能说明四边形是菱形？

——说明是平行四边形

证明：

∵四边形ABCD是矩形，

∴AE∥FC（矩形的定义）

∴∠1＝∠2

又∵∠AOE＝∠COF，AO＝CO

∴△AOE≌△COF

∴EO＝FO

∴四边形AFCE是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。

又∵EF⊥AC

∴四边形AFCE是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）。

（四）、应用新知，巩固练习

1、课本“课内练习”

2、思考题：

如图，△ABC中，∠A=90°,∠B的平分线交AC于D，AH、DF都垂直于BC，H、F为垂足，求证：

四边形AEFD为菱形。

（五）、课堂小结，布置作业

1、本节的