精品初一复习课件平行线的性质.docx

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精品初一复习课件平行线的性质

平行线的性质

知识集结

知识元

根据平行线的性质求角的度数

知识讲解

结合图形找出平行线被直线所截得出的同位角、内错角或同旁内角，根据平行线的性质和已知中角的度数即可求出角的度数。

例题精讲

根据平行线的性质求角的度数

例1.

如图，已知a∥b，小华把三角板的直角顶点放在直线a上．若∠1=40°，则∠2的度数为（　　）.

A．100°

B．110°

C．120°

D．130°

【答案】D

【解析】

题干解析:

解：

∵∠1+∠3=90°，

∴∠3=90°﹣40°=50°，

∵a∥b，

∴∠2+∠3=180°．

∴∠2=180°﹣50°=130°．

故选：

D．

例2.

如图，直线EF∥GH，点A在EF上，AC交GH于点B，若∠FAC=72°，∠ACD=58°，点D在GH上，求∠BDC的度数．

【答案】

见解析

【解析】

题干解析:

解：

∵EF∥GH，∴∠ABD+∠FAC=180°，∴∠ABD=180°﹣72°=108°，∵∠ABD=∠ACD+∠BDC，∴∠BDC=∠ABD﹣∠ACD=108°﹣58°=50°．

例3.

如图，AB∥CD，∠CDE=120°，GF交∠DEB的平分线EF于点F，∠AGF=130°，求∠F的度数．

【答案】

见解析

【解析】

题干解析:

解：

∵AB∥CD，∠CDE=120°，∴∠BED=∠CDE=120°，∵EF平分∠BED，∴∠BEF=

BED=60°，∴∠GEF=120°，∵∠AGF=130°，∴∠F=∠AGF﹣∠GEF=10°．

根据平行线的性质对角之间关系的推理

知识讲解

根据平行线被直线所截得的同位角相等、内错角相等，同旁内角互补，对角之间关系的进行判断。

例题精讲

根据平行线的性质对角之间关系的推理

例1.

如图，AB∥EF，EF∥CD，EG∥BD，则图中与∠1相等的角（除∠1外）共有（　　）.

A．6个

B．5个

C．4个

D．2个

【答案】B

【解析】

题干解析:

解：

如图，与∠1相等的角有：

∠2、∠3、∠4、∠5、∠6共5个．故选B．

例2.

按如图方式折叠一张对边互相平行的纸条，EF是折痕，若∠EFB=32°，则

（1）∠C′EF=32°

（2）∠AEC=148°（3）∠BGE=64°（4）∠BFD=116°以上结论正确的是（　　）.

A．①③

B．②④

C．①③④

D．②③④

【答案】C

【解析】

题干解析:

∵AC′∥BD′,∠EFB=32°

∴∠C′EF=∠EFB=32∘，故①正确；

由折叠可知,∠CEF=∠C′EF=32∘，

∴∠AEC=180∘−∠CEF−∠C′EF=116∘，故②错误；

∵AC′∥BD′,∠AEC=116∘，

∴∠BGE=180∘−∠AEC=64∘，故③正确；

∵CE∥DF,且∠BGE=∠CGF=64∘，

∴∠BFD=180∘−∠CGF=116∘，故④正确；

故选：

C.

例3.

已知，如图，∠1=∠ACB，∠2=∠3，FH⊥AB于H．问CD与AB有什么关系？

【答案】

解：

CD⊥AB；理由如下：

∵∠1=∠ACB，∴DE∥BC，∠2=∠DCB，又∵∠2=∠3，∴∠3=∠DCB，故CD∥FH，∵FH⊥AB∴CD⊥AB．

【解析】

题干解析:

由∠1=∠ACB，利用同位角相等，两直线平行可得DE∥BC，根据平行线的性质和等量代换可得∠3=∠DCB，故推出CD∥FH，再结合已知FH⊥AB，易得CD⊥AB．

例4.

如图，已知：

AC∥DE，DC∥EF，CD平分∠BCA．求证：

EF平分∠BED．（证明注明理由）

【答案】

证明：

∵AC∥DE（已知），∴∠BCA=∠BED（两直线平行，同位角相等），即∠1+∠2=∠4+∠5，∵AC∥DE，∴∠1=∠3（两直线平行，内错角相等）；∵DC∥EF（已知），∴∠3=∠4（两直线平行，内错角相等）；∴∠1=∠4（等量代换），∴∠2=∠5（等式性质）；∵CD平分∠BCA（已知），∴∠1=∠2（角平分线的定义），∴∠4=∠5（等量代换），∴EF平分∠BED（角平分线的定义）．

【解析】

题干解析:

要证明EF平分∠BED，即证∠4=∠5，由平行线的性质，∠4=∠3=∠1，∠5=∠2，只需证明∠1=∠2，而这是已知条件，故问题得证．

平行线间的距离的应用

知识讲解

（1）平行线间的距离处处相等

（2）同底等高的两个三角形的面积相等。

例题精讲

平行线间的距离的应用

例1.

在同一平面内，直线a∥c，且直线a到直线c的距离是2；直线b∥c，直线b到直线c的距离为5，则直线a到直线b的距离为（　　）.

A．3

B．7

C．3或7

D．无法确定

【答案】C

【解析】

题干解析:

此题考查了两条平行线间的距离，注意思维的严密性，应分情况考虑．分两种情况：

①直线b在直线a和c的上方；则直线a到直线b的距离为5﹣2=3；

②直线b在直线a和直线c的下方则直线a到直线b的距离为5+2=7．

综上所述，直线a到直线b的距离为3或7.故选C．

例2.

如图，直线AE∥BD，点C在BD上，若AE=4，BD=8，△ABD的面积为16，则△ACE的面积为　　．

【答案】

8

【解析】

题干解析:

根据两平行线间的距离相等，可知两个三角形的高相等，所以根据△ABD的面积可求出高，然后求△ACE的面积即可．解：

在△ABD中，当BD为底时，设高为h，在△AEC中，当AE为底时，设高为h′，∵AE∥BD，∴h=h′，∵△ABD的面积为16，BD=8，∴h=4．则△ACE的面积=

×4×4=8．

命题的定义及结构

知识讲解

1.1、命题的概念：

判断一件事情的语句叫命题。

在理解命题的概念时，注意以下两点：

（1）只要对一件事情作出了判断，不管正确与否，都是命题。

如：

相等的角是对顶角。

2.

（2）如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它就不是命题。

如：

画线AB=CD

2、命题的组成：

命题是由题设（条件）和结论两部分构成的。

题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。

注意：

命题一般都写成“如果…，那么…”的形式。

“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论。

添加“如果”、“那么”后，命题的意义不能改变，改写的句子要完整，语句要通顺，使命题的题设和结论更明朗，易于分辨，改写过程中，要适当增加词语。

例题精讲

命题的定义及结构

例1.

下列语句中，不是命题的是（）.

A．内错角相等

B．如果

，那么

、

互为相反数

C．已知

，求

的值

D．玫瑰花是红的

【答案】C

【解析】

题干解析:

明确判断一件事情的语句，且由题设和结论两部分构成的是命题．A、B、D都是判断一件事情的语句，并且由题设和结论构成，C不是判断一件事情的语句，故选C．

例2.

命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”的题设是，结论是．

【答案】

两条直线垂直于同一条直线，这两条直线互相平行

【解析】

题干解析:

先把命题改为“如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行”的形式，再根据如果…后面是题设，那么…后面是结论判断即可。

例3.

指出下列命题的题设和结论：

（1）等角的补角相等。

（2）有理数一定是自然数。

【答案】

（1）题设：

如果两个角相等，结论：

那么这两个角是对顶角。

（2）题设：

如果一个数是有理数，结论：

那么这个数是自然数。

【解析】

题干解析:

先把命题改写为如果……那么…..的形式，如果后跟的是题设，那么后面就是结论。

真假命题及其证明

知识讲解

命题的分类：

正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题。

数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理。

有些命题可以从公理或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理。

例题精讲

真假命题及其证明

例1.

下列句子：

①我们到操场打球去；

②延长线段AB到C；

③对顶角相等；

④若平面上两条直线不相交，则这两条直线平行；

⑤你去看电影吗？

⑥2010年亚运会不是在广州举行；

⑦画一个角等于已知角；

⑧同位角相等吗？

这里是命题的语句是______________；是真命题的是。

【答案】

③④⑥

③④

【解析】

题干解析:

①②⑤⑦不是表示判断的句子，所以不是命题，⑥是错误的命题，所以⑥是假命题。

根据平行线的性质与判定完善简单的推理

知识讲解

理解平行线的性质与判定的区别与联系，分清性质与判定的题设与结论，是完善推理过程的关键。

例题精讲

根据平行线的性质与判定完善简单的推理

例1.

如图：

∠1＝∠2＝∠3，完成说理过程并注明理由：

（1）因为∠1＝∠2所以____∥____（）

（2）因为∠1＝∠3

所以____∥____（）

【答案】

（1）EFBD同位角相等两直线平行；

（2）ABCD内错角相等两直线平行.

【解析】

题干解析:

根据平行线的性质和判定及对顶角的性质即可得出结论。

例2.

如图，EF⊥AB于F，CD⊥AB于D，点G在AC边上，且∠AGD=∠ACB，

（1）求证：

EF∥CD；

（2）求证：

∠1=∠2．

【答案】

证明：

（1）∵EF⊥AB于F，CD⊥AB于D，∴∠BFE=∠BDC=90°，∴EF∥CD；

（2）∵EF∥CD，∴∠2=∠3，∵∠AGD=∠ACB，∴DG∥BC，∴∠1=∠3∴∠1=∠2．

【解析】

题干解析:

（1）由垂直的定义可得∠BFE=∠BDC，再根据平行线的判定可证明EF∥CD；

（2）由条件可证明DG∥BC，结合

（1）的结论，根据平行线的性质可证明∠1=∠2．

根据平行线的性质与判定求角的大小或判断角之间的关系

知识讲解

根据角之间的关系由平行线的判定得出平行线，根据平行线利用平行线的性质得出角之间的关系，从而求出角的大小或角之间的关系。

例题精讲

根据平行线的性质与判定求角的大小或判断角之间的关系

例1.

如图，AD∥EG∥BC，AC∥EF，则图中与∠1相等的角（不含∠1）有（）个；若∠1=50°，则∠AHG=（）度．

【答案】

130°

【解析】

题干解析:

此题主要是能够结合平行线正确找到同位角、内错角以及同旁内角．解：

∵AD∥EG∥BC，AC∥EF，∴∠1=∠3，∠3=∠4，∠4=∠5，∠5=∠6，∠5=∠2．故∠1相等的角（不含∠1）有∠3，∠4，∠2，∠5，∠6共5个．∵∠1=50°，∴∠4=50°．则∠AHG=180°-50°=130°．

例2.

如图，∠1+∠2=180°，∠3=108°，求∠4的度数．

【答案】

解：

∵∠3+∠6=180°，∠3=108°，∴∠6=180°-108°=72°，∵∠1+∠2=180°，∠2+∠5=180°，∴∠1=∠5，∴a∥b，∴∠4=∠6=72°．

【解析】

题干解析:

先由邻补角的定义求出∠6=180°-108°=72°，再由已知，得∠1=∠5，所以a∥b，再根据两直线平行，内错角相等求∠4的度数．

例3.

如图，BD⊥AC于D，EF⊥AC于F，DM∥BC，∠1=∠2．求证：

∠AMD=∠AGF．

【答案】

证明：

∵BD⊥AC，EF⊥AC，∴BD∥EF，∴∠2=∠CBD，∵∠2=∠1，∴∠1=∠CBD，∴GF∥BC，∵BC∥DM，∴MD∥GF，∴∠AMD=∠AGF．

【解析】

题干解析:

由BD⊥AC，EF⊥AC，得到BD∥EF，根据平行线的性质得到∠2=∠CBD，等量代换得到∠1=∠CBD，根据平行线的判定定理得到GF∥BC，证得MD∥GF，根据平行线的性质即可得到结论．

根据平行线的性质与判定判断两直线平行

知识讲解

根据平行线利用平行线的性质得出角之间的关系，根据角之间的关系由平行线的判定得出平行线，从而求判断两直线平行。

例题精讲

根据平行线的性质与判定判断两直线平行

例1.

如图，AB∥CD，AE平分∠BAD，CD与AE相交于F，∠CFE＝∠E．求证：

AD∥BC．

【答案】

见解析

【解析】

题干解析:

证明：

∵AE平分∠BAD，（已知）∴∠1＝∠2，（角平分线的定义）∵AB∥CD，（已知）∴∠1＝∠CFE（两直线平行，同位角相等）∵∠CFE＝∠E，（已知）∴∠1＝∠CFE＝∠E，（等量代换）∴∠2＝∠E，∴AD∥BC．（内错角相等，两直线平行）

例2.

如图，AB∥CD，AE平分∠BAD，CD与AE相交于F，∠CFE=∠E．求证：

AD∥BC．

【答案】

证明：

∵AE平分∠BAD，∴∠1=∠2，∵AB∥CD，∠CFE=∠E，∴∠1=∠CFE=∠E，∴∠2=∠E，∴AD∥BC．

【解析】

题干解析:

首先利用平行线的性质以及角平分线的性质得到满足关于AD∥BC的条件，内错角∠2和∠E相等，得出结论．

平移的概念及性质，利用平移作图

知识讲解

在平面内，一个图形由一个位置沿某个方向移动到另一个位置，这样的图形运动叫做平移；

平移的性质：

在平面内，一个图形平移后得到的图形与原图形的对应线段相等，对应角相等，各对应点所连接的线段平行（或在同一条直线上）且相等；

平移的概念和性质，可以作为画出平移后的图形的理论依据．

例题精讲

平移的概念及性质，利用平移作图

例1.

如图，线段AB=CD，AB与CD相交于O，且∠AOC=60°，CE是由AB平移所得，则AC+BD与AB的大小关系是（　　）.

A．AC+BD＞AB

B．AC+BD=AB

C．AC+BD≥AB

D．无法确定

【答案】C

【解析】

题干解析:

解：

由平移的性质知，AB与CE平行且相等，

所以四边形ACEB是平行四边形，BE=AC，

当B、D、E不共线时，

∵AB∥CE，∠DCE=∠AOC=60°，

∵AB=CE，AB=CD，

∴CE=CD，

∴△CED是等边三角形，

∴DE=AB，

根据三角形的三边关系知BE+BD=AC+BD＞DE=AB，

即AC+BD＞AB．

当D、B、E共线时，AC+BD=AB．

故选C．

例2.

如图，面积为12平方厘米的△ABC沿BC方向平移至△DEF位置，平移的距离是边BC长的两倍，则图中的四边形ACED的面积是（）平方厘米．

【答案】

解：

∵平移的距离是边BC长的两倍，∴BC=CE=EF，∴四边形ACED的面积是三个△ABC的面积；∴四边形ACED的面积=12×3=36（平方厘米）．

【解析】

题干解析:

根据平移的性质可以知道四边形ACED的面积是三个△ABC的面积，依此计算即可．

例3.

作图题：

（不要求写作法）如图，在10×10的方格纸中，有一个格点四边形ABCD（即四边形的顶点都在格点上）．

（1）在给出的方格纸中，画出四边形ABCD向下平移5格后的四边形A1B1C1D1；

（2）在给出的方格纸中，画出四边形ABCD关于直线l对称的四边形A2B2C2D2．

【答案】

解：

作图如图：

画出对应点的位置，连接即可.

【解析】

题干解析:

在平移时要注意平移的方向和平移的距离．确定平移的方向和距离，先确定一组对应点；确定图形中的关键点；利用第一组对应点和平移的性质确定图中所有关键点的对应点；按原图形顺序依次连接对应点，所得到的图形即为平移后的图形．轴对称图形对应点到对称轴的距离相等，利用此性质找对应点，顺次连接即可．

当堂练习

单选题

练习1.

在同一平面内，直线a∥c，且直线a到直线c的距离是2；直线b∥c，直线b到直线c的距离为5，则直线a到直线b的距离为（　　）.

A．3

B．7

C．3或7

D．无法确定

【答案】C

【解析】

题干解析:

此题考查了两条平行线间的距离，注意思维的严密性，应分情况考虑．分两种情况：

①直线b在直线a和c的上方；则直线a到直线b的距离为5﹣2=3；

②直线b在直线a和直线c的下方则直线a到直线b的距离为5+2=7．

综上所述，直线a到直线b的距离为3或7.故选C．

练习2.

说法错误的是（）.

A．所有的命题都是定理

B．定理是真命题

C．公理是真命题

D．“画线段AB＝CD”不是命题

【答案】A

【解析】

题干解析:

辨析命题、定理、公理的关系，明确逻辑意义，是做这类选择题的有效途径．A：

定理是真命题，但假命题不是定理，所以错误，B、C、D均正确，所以本题选择A．

练习3.

两个角的两边分别平行，其中一个角是60°，则另一个角是（　　）.

A．60°

B．120°

C．60°或120°

D．无法确定

【答案】C

【解析】

题干解析:

根据题意分两种情况画出图形，再根据平行线的性质解答．

解：

如图

（1），∵AB∥DE，∴∠A=∠1=60°，

∵AC∥EF，∴∠E=∠1，

∴∠A=∠E=60°．

如图

（2），∵AC∥EF，∴∠A=∠1=60°，

∵DE∥AB，∴∠E+∠1=180°，

∴∠A+∠E=180°，

∴∠E=180°-∠A=180°-60°=120°．

故一个角是60°，则另一个角是60°或120°．

故选C．

练习4.

如图，线段AB=CD，AB与CD相交于O，且∠AOC=60°，CE是由AB平移所得，则AC+BD与AB的大小关系是（　　）.

A．AC+BD＞AB

B．AC+BD=AB

C．AC+BD≥AB

D．无法确定

【答案】C

【解析】

题干解析:

解：

由平移的性质知，AB与CE平行且相等，

所以四边形ACEB是平行四边形，BE=AC，

当B、D、E不共线时，

∵AB∥CE，∠DCE=∠AOC=60°，

∵AB=CE，AB=CD，

∴CE=CD，

∴△CED是等边三角形，

∴DE=AB，

根据三角形的三边关系知BE+BD=AC+BD＞DE=AB，

即AC+BD＞AB．

当D、B、E共线时，AC+BD=AB．

故选C．

练习5.

已知两个角有一条边在同一直线上，另一条边互相平行，则这两个角

.

A．相等

B．互补

C．相等或互补

D．无法确定

【答案】C

【解析】

题干解析:

有两种情况：

当两角是同位角时两角相等；当两角是同旁内角时两角互补．

填空题

练习1.

如图，直线AE∥BD，点C在BD上，若AE=4，BD=8，△ABD的面积为16，则△ACE的面积为　　．

【答案】

8

【解析】

题干解析:

根据两平行线间的距离相等，可知两个三角形的高相等，所以根据△ABD的面积可求出高，然后求△ACE的面积即可．解：

在△ABD中，当BD为底时，设高为h，在△AEC中，当AE为底时，设高为h′，∵AE∥BD，∴h=h′，∵△ABD的面积为16，BD=8，∴h=4．则△ACE的面积=

×4×4=8．

练习2.

下列句子：

①我们到操场打球去；

②延长线段AB到C；

③对顶角相等；

④若平面上两条直线不相交，则这两条直线平行；

⑤你去看电影吗？

⑥2010年亚运会不是在广州举行；

⑦画一个角等于已知角；

⑧同位角相等吗？

这里是命题的语句是______________；是真命题的是。

【答案】

③④⑥

③④

【解析】

题干解析:

①②⑤⑦不是表示判断的句子，所以不是命题，⑥是错误的命题，所以⑥是假命题。

练习3.

已知，如图，直线

，则

，

，

，

之间的数量关系为．

【答案】

∠1+∠4=∠2+∠3

【解析】

题干解析:

解：

∠1+∠4=∠2+∠3，理由是：

延长ED交直线b于A，∵a∥b，∴∠1=∠DAB，∵∠DAB+∠4+∠DCB+∠ADC=360°，∴∠1+∠4+（180°﹣∠3）+（180°﹣∠2）=360°，∴∠1+∠4=∠2+∠3，故答案为：

∠1+∠4=∠2+∠3．

解答题

练习1.

把下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并分别指出它们的题设和结论：

（1）两点确定一条直线；

（2）同角的补角相等；

（3）两个锐角互余．

【答案】

（1）如果在平面上有两个点，那么过这两个点能确定一条直线．题设：

在平面上有两个点；结论：

过这两个点能确定一条直线．

（2）如果两个角是同角的补角，那么它们相等．题设：

两个角是同角的补角；结论：

这两个角相等．（3）如果两个角是锐角，那么这两个角互余．题设：

两个角是锐角；结论：

这两个角互余

【解析】

题干解析:

无

练习2.

已知：

如图BE∥CF，BE、CF分别平分∠ABC和∠BCD，求证：

AB∥CD

证明：

∵BE、CF分别平分∠ABC和∠BCD（已知）

∴∠1=

∠　　，∠2=

∠　　（　　）

∵BE∥CF（　　）

∴∠1=∠2（　　）

∴

∠ABC=

∠BCD

即∠ABC=∠BCD

∴AB∥CD（　　）

【答案】

解：

∵BE、CF分别平分∠ABC和∠BCD（已知），∴∠1=

∠ABC，∠2=

∠BCD（角平分线的定义）；∵BE∥CF（已知），∴∠1=∠2（两直线平行，内错角相等），∴

∠ABC=

∠BCD，即∠ABC=∠BCD，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．

【解析】

题干解析:

先利用角平分线的定义填空，再根据平行线的性质和判定填空．

练习3.

如图，EF⊥AB于F，CD⊥AB于D，点G在AC边上，且∠AGD=∠ACB，

（1）求证：

EF∥CD；

（2）求证：

∠1=∠2．

【答案】

证明：

（1）∵EF⊥AB于F，CD⊥AB于D，∴∠BFE=∠BDC=90°，∴EF∥CD；

（2）∵EF∥CD，∴∠2=∠3，∵∠AGD=∠ACB，∴DG∥BC，∴∠1=∠3∴∠1=∠2．

【解析】

题干解析:

（1）由垂直的定义可得∠BFE=∠BDC，再根据平行线的判定可证明EF∥CD；

（2）由条件可证明DG∥BC，结合

（1）的结论，根据平行线的性质可证明∠1=∠2．

练习4.

指出下列命题的题设和结论：

（1）等角的补角相等。

（2）有理数一定是自然数。

【答案】

（1）题设：

如果两个角相等，结论：

那么这两个角是对顶角。

（2）题设：

如果一个数是有理数，结论：

那么这个数是自然数。

【解析】

题干解析:

先把命题改写为如果……那么…..的形式，如果后跟的是题设，那么后面就是结论。

练习5.

如图，已知：

∠1=∠2，∠D=50°，求∠B的度数．

【答案】

解：

∵∠1=∠2，∠2=∠EHD，∴∠1=∠EHD，∴AB∥CD；∴∠B+∠D=180°，∵∠D=50°，∴∠B=180°-50°=130°．

【解析】

题干解析:

此题首先要根据对顶角相等，结合已知条件，得到一组同位角相等，再根据平行线的判定得两条直线平行．然后根据平行线的性质得到同旁内角互补，从而进行求解．

练习6.

将方格中的图案作下列变换，请画出相应的图案：

（1）沿y轴正向平移4个单位；

（2）关于y轴轴对称.

【答案】

【解析】

题干解析