高考数学专题4函数的性质1doc.docx

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高考数学专题4函数的性质1doc

专题4函数的性质

（一）

一.知识网络

一&八与推论

认卸

fffi

函披图金的对荷注

（1）天干■统:

:

=a的对称性

（2）关干点（«.0）的对称性

（3）鈔1对称询JE

2.咼考考点

1.函数单调性的判定；单调区间的寻求.

2.函数奇偶性的判定与应用；函数单调性耳奇偶性联系的应用.

3.函数周期性定义及其延伸的应用.

4.函数的单调性与不等式的问题；函数的奇偶性，周期性与方程的问题.

5.函数奇偶性的延伸一一函数图形的对称性.

6.反函数的存在与判断;正反函数的联系及求值问题.

三、知识要点

1.单调性

⑴定义:

设函数f（x）的定义域为I,区间I）UI.如果对任意X】,2€D,当小〈兀2时，

都冇f（Xl）f（心））,则称f（x）是区间D上的增（减）函数.区间D称为f（x）的单调区间.

认知：

（I）单调性立足于凿数定义域的某一了区间.相对于整个定义域而言，单调性往往是函数的局部性质，而对于这一区间而言，单调性又是函数在这一区间上的“整体”性质.因此定义中的X】，“2具有任意性,不能以特殊值代替.

（II）函数f（x）在区间D上递增（或递减），与f（x）图像在区间D上部分（从左向右）的上升（或下降）是一样的.

（III）注意到定义均为充要性命题，因此，在函数的单调性之下，口变量的不等关系与相应函数值间的不等关系相互贯通：

f（x）在D上为增函数且f（心）xl

f（x）在d上为减函数且f（xi）xi>x2,",乃Ed.

（2）定义的应用

单调性的定义，是判断，证明函数的单调性以及寻求函数单调区间的基本依据.应用函数的单调性定义的解题三部曲为

（1）设值定大小:

设X】，兀2为给定区间上任意两个自变量值，且X】；

（1【）作差并变形:

作差f（“）-f（%2），并将差式向着冇利于判断差式符号的方向变形；

（IH）定号作结论:

确定差值的符号，当符号不确定时考虑分类讨论，而后根据定义作出结论.

在这里，差式的变形到位与否是解题成功的关键环节,差式变形的主要手段有通分，分解因式，配方以及有理化分母（或分子）等，其中，应用最为广泛的是分解因式.

⑶延伸

单调性相同的两个函数的复合函数必为增函数；

单调性相反的两个两数的复合函数必为减函数.

复合函数单调性问题的解题思路

（I）引元分解:

引入新元，将所给函数分解为两个（或两个以上）简单证数（化整为零》；

（II）分别考察:

分别考察内，外两层函数在各自定义域上的单调性；

（III）综合结论:

利用单调性定义或上述命题，由内，外两层函数的单调性作出相关结论.

2.奇偶性

⑴定义:

如果对于因数f（x）的定义域内的任意一个X,都有f（-x）=-f（x）,则称f（x》为这一定义域内的奇函数;如果对于函数f（x）的定义域内的任意一个X,都有f（-X）二f（x）,则称f（x）为这一定义域内的偶函数

（2）认知：

（I）上述定义要求-•对实数x,-X必须同吋都在f（x）的定义域内，注盘到实数X,-X在X轴上的对应点关于原点对称（或与原点重合），故知f（x）的定义域关于原点对称是f（x）具有奇偶性的必要条件.

（1【）判断函数奇偶性的步骤：

1考察函数定义域；

2考察f（-x）与f（x）的关系;

3根据定义作出判断.

（III）定义中条件的等价转化

心）

©f（-x）=-f（x）f（x）+f（-x）=0;或f（-x）=-f（x）U*/（X）=-l（f（x）HO）

/（-x）

②f（-x）=f（x）f（x）-f（-x）=0;或f（-x）=f（x）O（X）=1（f（x）HO）

⑶延伸：

（I）设函数f（x）是定义域关于原点对称的任意一个函数，则有

心+心）fg-jE

f（x）=2+2=g（x）+p（x）

/⑴+心）

其中,g（x）=

为偶函数,p（x）=

为奇函数.

叩对于定义域关于原点对称的任何一个函数f（x）,f（x）总可以衣示为一个奇函数与一个偶两数的和.（1【）若f（x）为奇函数且零属于f（x）的定义域，则f（0）=0.

⑷奇（偶）函数图像的特征

（I）奇函数图像关于原点对称；

（II）偶函数图像关于y轴对称.

（5）奇偶性与单调性的联系

当函数f（x）既具奇偶性，又在某区间上单调时，我们可利用奇、偶函数的定义导出以下命题：

设G,G‘为函数F（x）的定义域的了区间，并且区间G与G'关于原点对称，则有

（1）当彳（x）为奇函数时，f（x）在区间G和区间G'上的单调性相同；

（1【）当f（x）为偶函数时，f（x）在区间G和区间G'上的单调性相反.

这一命题又可凝练为八个字：

区间对称，奇同偶反.

4.经典例题

b

例1.讨论函数f（x）=ax+^（x>0）的单调性，其中a>0,且b>0.

分析1.运用函数的单调性定义.设0<心<花，则

b

X1X2-一

f

（2）_f（D）=a（Xl-花）X1X2（尽量简化分母）

b

由此可见，差式的符号取决于幺

的符号，因此，以确定

的符号为主旨展开讨论.

在这里，当划分区间的分界点难以确定吋，可考虑运用极端分析法，即从极端情形入于分析与寻觅:

于是考虑以这些零值为分界点划分所给区间（0,+8）

解法1•设心，心€（0,+8）且耳<花，则心一花①且

（axj+—）-（ax?

+

f（xl）-“2

⑴当小，心€（0,

],0<

<0

从而冇f（“）-班心）>0,即f（®）>fC）

］上为减函数.

（2）当心，乃€

+8）时,

bb

>o,小*2_a>o

从而f（心）-f（X2

）＜0,即f（X】）＜f（x2）

g）上为增函数.

于是由

（1）

（2）得知，f（x）在（0,

）为减函数，在［

+只）上为增函数.

分析2•注意到f（x）的导数易求,

考虑运川导数法.

解法2.f'（x）二a-X

令f‘（x）二0得

•••当0

时,

b1a

<—>—

ax2b

同理可得,彳匕）在（

•••f（x）在（0,

）上为减两数.

+8）上为增两数.

综上得知,f（x）在（0,

）为减函数，在［

，+8）上为增函数.

点评：

（1）解法一屮确定讨论的子区间的分界点的“极端分析法”，在解决共它单调性的讨论问题时值得借鉴.

（2）木题的结论对解决此类函数问题具冇潜在作用，谙同学们注意它或它的特例的图像.

丄丄匕+丄）+2

例2.已知函数f（x）-m（x+^）的图象与h（x）=4X的图象关于点A（0,1）对称.

（1）求m的值;

a

⑵若g（x）=f（x）+4x在区间（0,2）上为减函数,求实数a的取值范围.

分析:

对于两个函数的图象关于某点对称或关于某直线对称的问题,解题的基本策略是从两个图彖上的"点对称”切入即从“一个图像上的某一点（或任一点）关于该点的对称点必在另一个函数图像上”切入

5

解：

⑴在这里，点M（l,2）在函数h（x）的图像上，

5

又点\[（1,2）关于点A（o,I）的对称点为w（-1,-2）

・•・由题设知点w必在函数f（x）的图像上.

2丄

故得-2二m[（-1）+㈠）]

1

由此解得m二4

（2）由

（1）知,f（x）=

+4x

X

即g（x）二4

解法一（定义法）：

设心,2€（0,2）且心“2

XxO令&■仔+尹

则由题设得g（m）-gC）>012

又•••心,X2€（0,2）且心02

・・・0〈小“2<4,勺乃>4②

注意到①式中须有a+1>0,

.・.由②得勺兀24③

—>l<=>a>3

再注意到①式是对任意X】，兀2€（0,2）都成立，为满足它，③式须有4

・••所求实数a的取值范围为：

[3,+<-）.

解法2（导数法）：

供同学们练习.

点评:

解法一的特点是“构造”.由已知导出①式后，注意到左边是关于X】，“2的代数式（函数

a+1a+1

式）可兀2,右边为常数1,于是想到再由题设条件入手去构造关于兀込2的不等式，以求两式联合推

出关于参数a的不等式，进而解出a的取值范围.此为解决这类问题的常用策略.

例3.已知函数f（x）对任意实数x,y满足f（x）+f（y）=f（x+y）+3,f（3）二6，且当x>0时,f（x）>3.

（1）讨论f（x）在R上的单调性;

（2）是否存在实数a,使『（d?

—4一5）<4成立?

若存在，求出实数a的值;若不存在,请说明理由.

分析:

此类关于抽象函数的不等式问题，一般只适于定义法.

（i）循着运用单调性定义解题的思路

设小，心er且小

因此，立足于所设小，心，寻觅它们的等量关系：

“2=Z1+（心-X1）,

而兀2-Z1>0由此寻到解题的突破.

（ii）解不等式f（°$一°-5）<4,需将4化为f

（2）的形式.注意到已知等式的一般性，考虑循着

由一般到特殊的辩证途径去寻觅.

解：

⑴设帀，心€r且可〈心，

则有D=^1+（心-X1），且心-X1>0

・•・由当x>0时,f（x）>3得

fC-X1）>3O化心-心）-3>0①

/.f（X2）=f[Xl+（兀2-X1）]

=f（）+[f（Q-X1）-3]

・•・由①②得f（*2）>f（Xl）即f（心）"（心）

・・・f（x）在R上为增函数.

（2）在已知恒等式中令x二y二1得2f（l）=f

（2）+3（从“1”入手去接近“3”）

Of

（2）=2f（l）-3①

乂令x=2,y=l得f（3）=f⑵+f⑴-3②

・•・①代入②得f（3）=3f（l）-6

Vf（3）=6,・・・f（l）二4

・•・不等式f（°）<4<=>f（夕-a-5）

而由①知f（x）在r上为增函数，

故得J-a-5a2-a-5

O-2

2

于是可知，存在实数a€（-2,3）,使得f（a）"成立.

点评：

（i）解决含有抽象函数符号的一类不等式f（p（x））

（ii）“以特殊”破解“一般”，是解决这一问题的基本策略.

例4.定义在R上的函数f（x）满足

（i）当x<0时，f（x）>l;

（ii）f（0）H0;

（iii）对任意实数x,y都有f（x+y）=f（x）*f（y）.

（1）当x>0时，求证:

0

（2）求iiE:

f（x）是R上的减函数;

（3）试求不等式f（x-l）•f（“一2兀）$1的解集.

分析:

对于比较复杂的此类问题，往往是以自变量的“特殊取值”奠飓,从自变量取值之间的“特殊关系”入手突破•为了推出某个H标或实现某种设想，既要想到“等量替换”，乂要想到“同位替换”.

解：

（1）证明:

在（iii）中令x二尸0得f（0）,

Vf（0）#=0.\f（0）=l①

在（iii）中令y二-x得f（x）*f（-x）=f（0）

]

・•・由①得f（x）-f（-x）=lOf（x）=/（F）②

设x〉0,则-x〈0

・••由（i）得f（~x）>l③

・••由②③得f（x）

此时再注意至!

1f（x）'f（-x）=l,且f（-x）>l>0

故有f（x）>0⑤

因此由④©得0

（2）证明:

由题设条件知，当x<0时，有f（x）>1;

由

（1）知，当x>0时，冇0

又当x=0时,f（x）=f（O）=l

・••当xWR时,总有f（x）>0⑥

此时，以-y代替（迪）中的y得

f（x-y）=f（x）f（-y）⑦

注意到由②得f（-y）•f（y）=l

/w

・•・由⑦得,f（x-y）=J*®）⑧

设且可<心，则<0

・•・由⑧得班心-心）=“2）⑨

vXj-<0.心）>!

又f（x）>0恒成立，

・••由⑨得而

・・・f（x）在R上为减函数.

（3）由①知,f（0）=l

.•.由（iii）得,原不等式Of（X-】）f（x2-2x）2F（0）

0刃（"1）+（/-2丽"（0）

Vf（x）在R上为减函数.

・•・由⑩得

1—/51+

・•・原不等式的解集为[2'2].

点评：

（1）在这里，“特数”与“替换”的运用酣畅淋漓，既有"特殊取值”：

令x=y=0;乂有“特殊关系”：

令y-x;既有“等量替换”得①②两式；乂有“同位替换”得⑦式.

（2）若注意到条件（iii）符合指数函数f（x）=^'（或f（x）=/,a>0且oHl）,则第2题的证明可

想到借鉴指数型函数单调性证明的常用方法——比值法.

例5.定义在（一2,2）上的偶函数f（x）满足f（1-a）

分析:

求解关于抽象函数的不等式，需耍反用函数的单调性定义脱去迷数符号f,为此，需耍利用己知条件将fZ下的白变量调整到f（x）的同一个单调区间上.

卜2<1—a<2

<<=>-1

解：

由f（x）的定义域为（-2,2）得1一2

注意到f（x）为偶函数

并口由①知

e[0,2）

又•••f（X）为偶函数且f（x）在（-2,0］上为増函数,

Af（x）在［0,2）上为减函数④

•••山②③④得

.01

<=>a-1

2（注意①）

2

于是可知，所求a的取值范围为（-1,2）

点评:

在这里，利用"f（X）为偶函数o/（kb=/W”转化，可避免条件的延忡或分类讨论，使解

题过程简捷明快.

logiH+px+9

例6•已知f（x）=】『+刃X+1，是否存在实数p,q,m使f（x）同时满足三个条件：

（i）定义域为实数R的奇函数；

（ii）在［1,+8）上为减函数;

（iii）最小值是1.

若存在，求出p,q,m的值;若不存在,请说明理由.

分析：

由（i）知f（-x）=-f（x）在R上恒成立，则想到从特殊值切入,由奇偶性突破.同时，注意到f（x）为分

x2+px+今

式函数与对数函数的复合函数,乂考虑引入内层函数g（x）=X?

+刃X+1,并刻意向g（x）的性质问题

转化.

解：

Vf（x）的定义域为RR为奇函数.

・•・f（-x）+f（x）=0对任意xeR都成立.

令x=0得2f（0）=0,Af（0）=0

logI°=0o0=1

log]

再由f（-x）+f（x）=0得'

x'+px+l,

Eh汽

X2-px+1

x2-mx+1

=0

x+px+lx-px+l—、

2A=]

x+mx+lx-mx+1

整理得

若p=m,则f（x）=0,与题意不合,故有p二-m

-f（x）=

logi

x2-mx+1x'+mx+l

x-wx+1

令g（x）=^2+处+1

2m

（x+丄）+桝

则g（x）=l-X

（对g（x）分离常数项，并在主体部分变形，构造，为进-步转化奠定基础.）

•・・f（x）在［1,+8）上为减函数，

Ag（x）在［1,+呵上为增函数且g（x）>0（转化之一）④

丄丄

又令u二x+X,则u二x+X在［1,+8）上递增

且G2（证明从略）⑤

・•・由③®⑤m>0⑥

丄

再注意到u二x+X为奇函数，故u在（-8,-1］上递增，在［-1,0）下降（转化之二）

1

・••当X=-1时，u=x+X在（-00,0）上取得最大值-2⑦

2

（同理：

当X二1时，u二x+X在（0,+8）上取得最小值2）

・•・由③⑥⑦知当x二-1时f（x）取得最小值f（-l）.

即f（T）=T

o匕十

2-m

=>W=1

（符合⑥）⑧

于是由①②⑧得P=-l,q=l,m=l.

点评：

在这里，从特殊值切入，由奇偶性突破，利用单调性攻坚.其中，对『（x）性质的分析与转化,一步:

1

化繁为简，化生为熟;而由f（x）与内层函数g（x）的相互联系导出m〉0,由f（x）与内层函数g（x）,u二x+X的

相互结合导岀匚瓜仗）=FCD,乃是解题的关键.

五.高考真题

（一）选择题

1.若函数f（X）是定义在R上的偶函数，在（-8,0］上是减函数，且"2）=0,则使得f（x）<0的x的取值范围是（）.

D・（-2,2）

A.（—8,2）B.（2,+8）C.（-8,-2）U（2,+°°）

分析：

由『6）为偶函数，『点）在（-8,0］上为减函数得

1'仅）在［0,+8］上为增函数.

乂f

（2）=0,Af（-2）=0

・••当x>2时,f（x）>f

（2）=0

当x<-2时,f（x）>f（-2）=0

・•・由①<2）否定A,B,C,应选D.

2.设函数f（x）（xeR）为奇函数,f⑴二

2,f（x+2）h（x）+f⑵,则f（5）=（

A.0

B.1

c.

D.5

分析：

由f（x）为奇函数且f（i）二2得

f（-i）二一2

2+2f⑵①

•••②代入①得f（5）=

2+2=2

应选C.

由己知f（x+2）=f（x）+f⑵得f（5）=f（3）+f

（2）=f（l）+2f

（2）=

又f（l）=f（-l+2）（与另一条件沟通联系）

=f（-l）+f

（2）

Af

（2）=f（l）-f（-l）=l

3.f（x）是定义在R上的以3为周期的奇函数，且f

（2）=0,则方程f（x）=0在区间（0,6）内解的个数的最小值是（）

A.2B.3C.4D.5

分析:

立足于考察函数f（x）的零值.

由f

（2）=0得f（-2）=0

又由f（x）为奇函数且xGR得f（0）=0.

・•・利用f（x）的周期性和奇偶性得

f（l）=f（l-3）=f（-2）=0

f（3）=f（0+3）=f（0）=0

f（4）=f（l+3）=f（l）=0

f（5）=f（2+3）=f

（2）=0

・•・方程f（x）=0在区间（0,6）内至少有5个解,故应选D.

点评:

若这里f（x）还满足f

（2）二0,则f（x）=o解的个数还会增加，故这里说满足所给条件的方程

f（x）=o在区间（0,6）内解的个数的故小值是5.

（二）解答题

2〜f

1.已知向护=（x，x+l），E=（1-和），若函数f（x）二ab在区间（-1,1）上是增函数，求t的取值范围.

分析:

这里是在f（x）在区间（-1,1）上递增的条件下,求函数f（x）的解析式中所含参数t的取值范围.为此,首先从化生为熟切入，先将f（x）的表达式化为我们所熟悉的形式.

解:

山题设条件得心）二/（1-小+（兀+1）（

・・・f（x）=—X’+H+t

（x）=_3“+2x+Z

注意到f（x）在（一1,1）上为增函数

在（1,1）上总有f‘（x）NO

Ot$3X-2x在区间（-1,1）上恒成立

11

设g（x）二3兀-2x，则g（x）的图像是以X二3为对称轴,开口向上的抛物线,£（x）在（3,+8）

上递增.

・•・由①得,t^g（x）在区间（-1,1）上恒成立

Ot^g（-l）

Ot25

于是可知，当f（x）在区间（-1,1）上是增函数时,t的取值范围为［5,+8）.

2.设函数f（x）在（-8,+8）上满足f（2-x）=f（2+x）,f（7-x）=f（7+x）,且在闭区间［0,7］上,只有f（l）=f（3）=0.

（1）试判断函数y=f（x）的奇偶性；

（2）试求方程f（x）二0在闭区间［-2005,2005］上的根的个数，并证明你的结论.

分析：

（1）判断f（x）的奇偶性,要立足于定义，判断f（-x）=f（x）或f（-x）-f（x）在定义域内是否恒成立.当题目中的条件比较抽彖，正面推断难以进行时,可以考虑取一些特殊值计算，判断，或从反面以“特殊”去否定"一般”，或从中受到某种启发.

（2）探求方程f（x）=0在某区间上的根的个数，运用从局部到整体的策略，即先确定f（x）=0在某个子区间上的根的个数，而后利用f（x）的周期性向其它子区间漫延，最后“集零为整”获得问题的答案.

解：

⑴若f（x）为奇函数且0属于f（x）的定义域，则有f（0）=-f（0）,即f（0）=0

这与在闭区间［0,7］上只有f⑴二f⑶二0矛盾.・・・f（x）不是奇函数.①

乂由f（2-x）=f（2+x）得f（x）的图像关于直线x=2对称.

・・・f（-l）=f⑸H0

而f

（1）=0・・・f（-l）Hf（l），即f（x）不是偶函数②

于是，由知,f（x）是非奇非偶函数.

（2）注意到f（2-x）=f（2+x）Of（x）=f（4-x）

f（7-x）=f（7+x）Of（x）=f（14-x）

Af（4-x）=f（14-x）

Of（x）=f（x+10）

・•・f（x）是周期西数且10是f（x）的一个周期.③

又f（7-x）=f（7+x）Of（x）的图像关于直线x=7对称

而f（x）在［0,7］上仅冇f（l）=f（3）=0④

Af（x）=0在⑺10］上没有根.（不然，若存在ce（7,10］使得f（c）=0,则有f（c）=f（14-c）=0,但4W14-c<7,这与

f（x）在［0,7］上只有f（l）=f（3）=0矛盾.）⑤

Af（x）=0在［0,10］上仅冇x=l和x=3两个根.⑥

于是由③④⑤⑥得,f（x）=0在［0,2000］上仅有400个根，在（2000,2005］±仅有2个根，在［-2000,0）上仅冇400个根，而在［-2005,-2000）上没冇根.

因此,f（x）=0在［-2005,2005］上仅有802个根.

3.已知函数f（x）（xWR）满足下列条件:

对任意的实数耳山2都有

2（可-心尸兰（心72）【/（小）一/（兀2）】和"（心）一/（兀2）|外1-花|"其中丸是大于0的常数.

设实数如，讥满足化如）二（）和bp-%f（a）.

⑴证明：

彳W1,并且不存在％