北师大版九年级数学下册 同步练习题切线长定理.docx

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北师大版九年级数学下册同步练习题切线长定理

《切线长定理》分层练习

◆基础题

1．如图，PA、PB切⊙O于点A、B，PA=10，CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D两点，则△PCD的周长是（　　）

A．10B．18C．20D．22

2．如图，PA，PB分别是⊙O的切线，A，B分别为切点，点E是⊙O上一点，且∠AEB=60°，则∠P为（　　）

A．120°B．60°C．30°D．45°

3．已知P为⊙O外一点，PA，PB为⊙O的切线，A、B为切点，∠P=70°，C为⊙O上一个动点，且不与A、B重合，则∠BCA=（　　）

A．35°C、145°B．110°、70°C．55°、125°D．110°

4．如图，一圆外切四边形ABCD，且BC=10，AD=7，则四边形的周长为（　　）

A．32B．34C．36D．38

5．如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，P、C、D为切点，如果AB=5，AC=3，则BD的长为　　．

6．如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，若∠APB=60°，PO=2，则⊙O的半径等于　　．

7．已知P是⊙O外一点，PA切⊙O于A，PB切⊙O于B．若PA=6，则PB=　　．

8．如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与两直角边AB，BC分别相切于点D、E，过劣弧DE（不包括端点D，E）上任一点P作⊙O的切线MN与AB，BC分别交于点M，N，若⊙O的半径为4cm，则Rt△MBN的周长为　　．

9．如图所示，PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，Q为⊙O上一点，过Q点作⊙O的切线，交PA、PB于E、F点，已知PA=8cm，求：

△PEF的周长．

10．如图，点B在⊙O外，以B点为圆心，OB长为半径画弧与⊙O相交于两点C，D，与直线OB相交A点．当AC=5时，求AD的长．

◆能力题

1．如图，直线AB、CD、BC分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，若OB=6，OC=8，则BE+CG的长等于（　　）

A．13B．12C．11D．10

2．如图，正方形ABCD边长为4，以正方形的一边BC为直径在正方形ABCD内作半圆，过A作半圆的切线，与半圆相切于F点，与DC相交于E点，则△ADE的面积（　　）

A．12B．24C．8D．6

3．如图中，CA，CD分别切圆O1于A，D两点，CB、CE分别切圆O2于B，E两点．若∠1=60°，∠2=65°，判断AB、CD、CE的长度，下列关系何者正确（　　）

A．AB＞CE＞CDB．AB=CE＞CDC．AB＞CD＞CED．AB=CD=CE

4．如图，小明同学测量一个光盘的直径，他只有一把直尺和一块三角板，他将直尺、光盘和三角板如图放置于桌面上，并量出AB=3cm，则此光盘的直径是　　cm．

5．一位小朋友在不打滑的平面轨道上滚动一个半径为5cm的圆环，当滚到与坡面BC开始相切时停止．其AB=40cm，BC与水平面的夹角为60°．其圆心所经过的路线长是　　cm（结果保留根号）．

6．如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=4，以BC为直径在矩形内作半圆，自点A作半圆的切线AE，则tan∠CBE=　　．

7．如图，⊙O是梯形ABCD的内切圆，AB∥DC，E、M、F、N分别是边AB、BC、CD、DA上的切点．

（1）求证：

AB+CD=AD+BC；

（2）求∠AOD的度数．

8．如图，PA、PB是⊙O的切线，CD切⊙O于点E，△PCD的周长为12，∠APB=60°．求：

（1）PA的长；

（2）∠COD的度数．

◆提升题

1．P是⊙O外一点，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，点C是劣弧AB上任意一点，经过点C作⊙O的切线，分别交PA、PB于点D、E．若PA=4，则△PDE的周长是（　　）

A．4B．8C．12D．不能确定

2．如图，△ABC中，∠A=60°，BC=6，它的周长为16．若⊙O与BC，AC，AB三边分别切于E，F，D点，则DF的长为（　　）

A．2B．3C．4D．6

3．如图，AB是⊙O的直径，C是AB延长线上的一点，CD是⊙O的切线，D为切点，过点B作⊙O的切线交CD于点E，若AB=CD=2，则CE=　　．

4．如图所示，⊙D的半径为3，A是圆D外一点且AD=5，AB，AC分别与⊙D相切于点B，C．G是劣弧BC上任意一点，过G作⊙D的切线，交AB于点E，交AC于点F．

（1）△AEF的周长是　　；

（2）当G为线段AD与⊙D的交点时，连结CD，则五边形DBEFC的面积是　　．

5．如图，AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，BO=6，CO=8．

（1）判断△OBC的形状，并证明你的结论；

（2）求BC的长；

（3）求⊙O的半径OF的长．

6．已知：

如图△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O交AB于D，过D作⊙O的切线交BC于点E，EF⊥AB，垂足为F．

（1）求证：

DE=

BC；

（2）若AC=6，BC=8，求S△ACD：

S△EDF的值．

答案和解析

◆基础题

1．【答案】C

解：

∵PA、PB切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，∴PA=PB=10，CA=CE，DE=DB，∴△PCD的周长是PC+CD+PD=PC+AC+DB+PD=PA+PB=10+10=20．

2．【答案】B

解：

连接OA，BO,∵∠AOB=2∠E=120°，∴∠OAP=∠OBP=90°，∴∠P=180°﹣∠AOB=60°．

3．【答案】C

解：

如图；连接OA、OB，则∠OAP=∠OBP=90°，∴∠BOA=180°﹣∠P=110°，∴∠AEB=

∠AOB=55°；∵四边形AEBF是⊙O的内接四边形，∴∠AFB=180°﹣∠AEB=125°，①当C点在优弧AB上运动时，∠BCA=∠AEB=55°；②当C点在劣弧AB上运动时，∠BCA=∠AFB=125°．

4．【答案】B

解：

由题意可得圆外切四边形的两组对边和相等，所以四边形的周长=2×（7+10）=34．

5．【答案】2

解：

∵AC、AP为⊙O的切线，∴AC=AP，∵BP、BD为⊙O的切线，∴BP=BD，∴BD=PB=AB﹣AP=5﹣3=2．

6．【答案】1

解：

∵PA、PB是⊙O的两条切线，∴∠APO=∠BPO=

∠APB，∠PAO=90°,∵∠APB=60°，∴∠APO=30°，∵PO=2，∴AO=1．

7．【答案】6

解：

∵PA、PB都是⊙O的切线，且A、B是切点；∴PA=PB，即PB=6．

8．【答案】8cm

解：

连接OD、OE，∵⊙O是Rt△ABC的内切圆，∴OD⊥AB，OE⊥BC，∵∠ABC=90°，∴∠ODB=∠DBE=∠OEB=90°，∴四边形ODBE是矩形，∵OD=OE，∴矩形ODBE是正方形，∴BD=BE=OD=OE=4cm，∵⊙O切AB于D，切BC于E，切MN于P，NP与NE是从一点出发的圆的两条切线，∴MP=DM，NP=NE，∴Rt△MBN的周长为：

MB+NB+MN=MB+BN+NE+DM=BD+BE=4cm+4cm=8cm．

9．解：

∵PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，Q为⊙O上一点，过Q点作⊙O的切线，交PA、PB于E、F点，∴PA=PB，EA=EQ，FB=FQ，∵PA=8cm，∴△PEF的周长为：

PE+EF+PF=PA+PB=8+8=16（cm）．

10．解：

连接OC、OD．∵OA是⊙B的直径，∴∠OCA=∠ODA=90°，∴AC、AD都是⊙O的切线．∴AD=AC=5．

◆能力题

1．【答案】D

解：

∵AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD=180°，∵CD、BC，AB分别与⊙O相切于G、F、E，∴∠OBC=

∠ABC，∠OCB=

∠BCD，BE=BF，CG=CF，∴∠OBC+∠OCB=90°，∴∠BOC=90°，∴BC=

=10，∴BE+CG=10．

2．【答案】D

解：

∵AE与圆O切于点F，显然根据切线长定理有AF=AB=4，EF=EC，设EF=EC=x，则DE=4﹣x，AE=4+x，在三角形ADE中由勾股定理得：

（4﹣x）2+42=（4+x）2，∴x=1，∴CE=1，∴DE=4﹣1=3，∴S△ADE=AD•DE÷2=3×4÷2=6．

3．【答案】A

解：

∵∠1=60°，∠2=65°，∴∠ABC=180°﹣∠1﹣∠2=180°﹣60°﹣65°=55°，∴∠2＞∠1＞∠ABC，∴AB＞BC＞AC，∵CA，CD分别切圆O1于A，D两点，CB、CE分别切圆O2于B，E两点，∴AC=CD，BC=CE，∴AB＞CE＞CD．

4．【答案】6

解：

∵∠CAD=60°，∴∠CAB=120°，∵AB和AC与⊙O相切，∴∠OAB=∠OAC，∴∠OAB=

∠CAB=60°,∵AB=3cm，∴OA=6cm，∴由勾股定理得OB=3

cm，∴光盘的直径6

cm．

5．【答案】40﹣

解：

连接OD、BD，作DE⊥AB，∵BC与水平面的夹角为60°，∴∠DBE=60°，∴∠BDE=30°，设BE=x，则BD=2x，∴由勾股定理得4x2﹣x2=25，解得x=

，∴OD=AE=40﹣

．

6．【答案】

解：

设BC的中点为O，连接AO，交BE于F．由于AB、AE分别切⊙O于B、E，则AB=AE，且∠BAF=∠EAF．又∵AF=AF，∴△ABF≌△AEF．∴AO垂直平分BE．在Rt△ABO中，BF⊥AO，则∠FBO=∠BAO，易知BO=2，AB=5，∴tan∠BAO=tan∠CBE=

．

7．

（1）证明：

∵⊙O切梯形ABCD于E、M、F、N，由切线长定理：

AE=AN，BE=BM，DF=DN，CF=CM，∴AE+BE+DF+CF=AN+BM+DN+CM，∴AB+DC=AD+BC；

（2）解：

连OE、ON、OM、OF，∵OE=ON，AE=AN，OA=OA，∴△OAE≌△OAN，∴∠OAE=∠OAN．同理，∠ODN=∠ODF．∴∠OAN+∠ODN=∠OAE+∠ODE．又∵AB∥DC，∠EAN+∠CDN=180°，∴∠OAN+∠ODN=

×180°=90°，∴∠AOD=180°﹣90°=90°．

8．解：

（1）∵CA，CE都是圆O的切线，∴CA=CE，同理DE=DB，PA=PB，∴三角形PDE的周长=PD+CD+PC=PD+PC+CA+BD=PA+PB=2PA=12，即PA的长为6；

（2）∵∠P=60°，∴∠PCE+∠PDE=120°，∴∠ACD+∠CDB=360°﹣120°=240°，∵CA，CE是圆O的切线，∴∠OCE=∠OCA=

∠ACD；同理：

∠ODE=

∠CDB，∴∠OCE+∠ODE=

（∠ACD+∠CDB）=120°，∴∠COD=180﹣120°=60°．

◆提升题

1．【答案】B

解：

根据题意画出图形，如图所示，由直线DA和直线DC为圆O的切线，得到AD=DC，同理，由直线EC和直线EB为圆O的切线，得到EC=EB，又直线PA和直线PB为圆O的切线，所以PA=PB=4，

则△PDE的周长C=PD+DE+PE=PD+DC+EC+PE=PD+DA+EB+PE=PA+PB=4+4=8．

2．【答案】A

解：

∵⊙O与BC，AC，AB三边分别切于E，F，D点，∴AD=AF，BE=BD，CE=CF，

∵BC=BE+CE=6，∴BD+CF=6，∵AD=AF，∠A=60°，∴△ADF是等边三角形，∴AD=AF=DF，∵AB+AC+BC=16，BC=6，∴AB+AC=10，∵BD+CF=6，∴AD+AF=4，∵AD=AF=DF，∴DF=AF=AD=

×4=2．

3．【答案】

解：

∵CD是⊙O的切线，∴CD2=CB•CA，∵AB=CD=2，∴4=BC（BC+2），解得BC=﹣1+

，∵CD是⊙O的切线，BE为⊙O的切线，∴∠CBE=∠CDO=90°，∴△BCE∽△DCO，∴

，即

，解得，CE=

．

4．【答案】8；9

解：

（1）如图1所示：

连接ED，DG，FD，CD，∵AB，AC分别与⊙D相切于点B，C，∴AB=AC，∠ABD=∠ACD=90°，∵⊙D的半径为3，A是圆D外一点且AD=5，∴AB==4，∵过G作⊙D的切线，交AB于点E，交AC于点F，∴BE=EG，FG=FC，则△AEF的周长是：

AE+EG+FG+AF=AB+AC=8．

（2）如图2，AG=AD﹣DG=5﹣3=2．∵在△AEG和△ADB中，∠ABD=∠AGD=90°，∠BAD=∠EAG，∴△AEG∽△ADB，∴

，∴EG=

，∴EF=2EG=3，∴S△AEF=

EF•AG=

×3×2=3．又∵S四边形ABDC=2S△ABD=AB•BD=3×4=12，∴S五边形DBEFC=12﹣3=9．

5．解：

（1）△OBC是直角三角形．证明：

∵AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，∴∠OBE=∠OBF=

∠EBF，∠OCG=∠OCF=

∠GCF，∵AB∥CD，∴∠EBF+∠GCF=180°，∴∠OBF+∠OCF=90°，∴∠BOC=90°，∴△OBC是直角三角形；

（2）∵在Rt△BOC中，BO=6，CO=8，∴BC=10；

（3）∵AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，∴OF⊥BC，∴OF=

=4.8．

6．

（1）证明：

∵EC、ED都是⊙O的切线，∴EC=ED，∠ECD=∠EDC．∵∠EDC+∠EDB=90°，∠ECD+∠B=90°，∴∠EDB=∠B．∴ED=BE．∴DE=BE=EC．∴DE=

BC．

（2）解：

在Rt△ABC中，AC=6，BC=8，则AB=10，根据射影定理可得：

AD=AC2÷AB=3.6，∴BD=BC2÷AB=6.4，∴S△ACD：

S△BCD=AD：

BD=9：

16，∵ED=EB，EF⊥BD，∴S△EDF=

S△EBD，同理可得S△EBD=

S△BCD，∴S△EDF=

S△BCD，∴S△ACD：

S△EDF=

．