三角形内角和定理1.docx

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三角形内角和定理1

授课人

备课时间

上课时间

执教班级

课题

三角形内角和定理1

教学课时

1

教学课型（新授、复习、

习题、实验等）

新授课

教学

目标

（一）教学知识点

三角形的内角和定理的证明.

（二）能力训练要求

掌握三角形内角和定理，并初步学会利用辅助线证题，同时培养学生观察、猜想和论证能力.

（三）情感与价值观要求

通过新颖、有趣的实际问题，来激发学生的求知欲.

教学

重点、

难点

●教学重点

三角形内角和定理的证明方法运用

●教学难点

三角形内角和定理的证明方法.

媒体运用

电子白板

预设过程（应包括课程导入、预习自学、展示交流、当堂练习检测等）

Ⅰ.巧设现实情境，引入新课

［师］大家来看一机器零件

工人师傅将凹型零件（图1）加工成斜面EC与槽底CD成55°的燕尾槽（图2）的程序是：

将垂直的铣刀倾斜偏转35°角（图3），就能得到55°的燕尾槽底角.

图1　　　　　　　图2　　　　　　　图3

为什么铣刀偏转35°角，就能得到55°的燕尾槽底角呢？

Ⅱ.讲授新课

［师］为了回答这个问题，先观察如下的实验（电脑实验，或实物实验）

用橡皮筋构成△ABC，其中顶点B、C为定点，A为动点（如图4），放松橡皮筋后，点A自动收缩于BC上，请同学们考察点A变化时所形成的一系列的三角形：

△A1BC、△A2BC、△A3BC……其内角会产生怎样的变化呢？

图4

［生甲］当点A离BC越来越近时,∠A越来越接近180°,而其他两角越来越接近于0°.

［生乙］三角形各内角的大小在变化过程中是相互影响的.

［师］很好.在三角形中，最大的内角有没有等于或大于180°的？

［生丙］三角形的最大内角不会大于或等于180°.

［师］很好.看实验：

当点A远离BC时，∠A越来越趋近于0°,而AB与AC逐渐趋向平行，这时，∠B、∠C逐渐接近为互补的同旁内角.即∠B+∠C→180°.

请同学们猜一猜：

三角形的内角和可能是多少？

［生齐声］180°

［师］180°，这一猜测是否准确呢？

我们曾做过如下实验：

实验1：

先将纸片三角形一角折向其对边，使顶点落在对边上，折线与对边平行（图5

（1））然后把另外两角相向对折，

使其顶点与已折角的顶点相嵌合（图

（2）、（3）），最后得图（4）所示的结果.

（1）

（2）（3）（4）

图5

实验2：

将纸片三角形三顶角剪下，随意将它们拼凑在一起.

［师］由实验可知：

我们猜对了！

三角形的内角之和正好为一个平角.

但观察与实验得到的结论，并不一定正确、可靠，这样就需要通过数学证明.那么怎样证明呢？

请同学们再来看实验.

图6

这里有两个全等的三角形，我把它们重叠固定在黑板上，然后把三角形ABC的上层∠B剥下来，沿BC的方向平移到∠ECD处固定，再剥下上层的∠A，把它倒置于∠C与∠ECD之间的空隙∠ACE的上方.

这时，∠A与∠ACE能重合吗？

［生齐声］能重合.

［师］为什么能重合呢？

［生齐声］因为同位角∠ECD=∠B.所以CE∥BA.

［师］很好，这样我们就可以证明了：

三角形的内角和等于180°.接下来同学们来证明：

三角形的内角和等于180°这个真命题.

这是一个文字命题，证明时需要先干什么呢？

［生］需要先画出图形，根据命题的条件和结论，结合图形写出已知、求证.

［师］对，下面大家来证明，哪位同学上黑板给大家板演呢？

图7

［生甲］已知，如图7，△ABC.

求证：

∠A+∠B+∠C=180°

证明：

作BC的延长线CD，过点C作射线CE∥AB.则

∠ACE=∠A（两直线平行，内错角相等）

∠ECD=∠B（两直线平行，同位角相等）

∵∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°（1平角=180°）

∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代换）

即：

∠A+∠B+∠C=180°.

［生乙］老师，我的证明过程是这样的：

证明：

作BC的延长线CD，作∠ECD=∠B.

则：

EC∥AB（同位角相等，两直线平行）

∴∠A=∠ACE（两直线平行，内错角相等）

∵∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°（1平角=180°）

∴∠ACB+∠A+∠B=180°（等量代换）

［师］同学们写得证明过程很好，在证明过程中，我们仅仅添画了一条射线CE，使处于原三角形中不同位置的三个角，巧妙地拼凑到一起来了.为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线.

我们通过推理的过程，得证了命题：

三角形的内角和等于180°是真命题，这时称它为定理.即：

三角形的内角和定理.

小明也在证明三角形的内角和定理，他是这样想的.大家来议一议，他的想法可行吗？

图8

在证明三角形内角和定理时，小明的想法是把三个角“凑”到A处，他过点A作直线PQ∥BC.（如图8）他的想法可行吗？

你有没有其他的证法.

［生甲］小明的想法可行.因为：

∵PQ∥BC（已作）

∴∠PAB=∠B（两直线平行，内错角相等）

∠QAC=∠C（两直线平行，内错角相等）

∵∠PAB+∠BAC+∠QAC=180°（1平角=180°）

∴∠B+∠BAC+∠C=180°（等量代换）

图9

［生乙］也可以这样作辅助线.即：

作CA的延长线AD，过点A作∠DAE=∠C（如图9）.

［生丙］也可以在三角形的一边上任取一点，然后过这一点分别作另外两边的平行线，这样也可证出定理.

图10

即：

如图10，在BC上任取一点D，过点D分别作DE∥AB交AC于E，DF∥AC交AB于F.

∴四边形AFDE是平行四边形（平行四边形的定义）

∠BDF=∠C（两直线平行，同位角相等）

∠EDC=∠B（两直线平行，同位角相等）

∴∠EDF=∠A（平行四边形的对角相等）

∵∠BDF+∠EDF+∠EDC=180°（1平角=180°）

∴∠A+∠B+∠C=180°（等量代换）

［师］同学们讨论得真棒.接下来我们做练习以巩固三角形内角和定理.

Ⅲ.课堂练习

（一）随堂练习

图11

1.直角三角形的两锐角之和是多少度？

等边三角形的一个内角是多少度？

请证明你的结论.

答案：

90°60°

如图11，在△ABC中，∠C=90°

∵∠A+∠B+∠C=180°

∴∠A+∠B=90°.

图12

如图12，△ABC是等边三角形，则∠A=∠B=∠C.

∵∠A+∠B+∠C=180°

∴∠A=∠B=∠C=60°

图13

2.如图13,已知，在△ABC中，DE∥BC，∠A=60°,∠C=70°,求证：

∠ADE=50°.

证明：

∵DE∥BC（已知）

∴∠AED=∠C（两直线平行，同位角相等）

∵∠C=70°（已知）

∴∠AED=70°（等量代换）

∵∠A+∠AED+∠ADE=180°（三角形的内角和定理）

∴∠ADE=180°－∠A－∠AED（等式的性质）

∵∠A=60°（已知）

∴∠ADE=180°－60°－70°=50°（等量代换）

（二）看课本，然后小结.

Ⅳ.课时小结

这堂课，我们证明了一个很有用的三角形内角和定理.证明的基本思想是：

运用辅助线将原三角形中处于不同位置的三个内角集中在一起，拼成一个平角.辅助线是联系命题的条件和结论的桥梁，今后我们还要学习它.

Ⅴ.课后作业

（一）课后习题

（二）1.预习新课

2.预习提纲

（1）三角形内角和定理的推论是什么？

（2）三角形内角和定理的推论的应用.

Ⅵ.活动与探究

1.证明三角形内角和定理时，是否可以把三角形的三个角“凑”到BC边上的一点P？

（如图14-

（1）），如果把这三个角“凑”到三角形内一点呢？

（如图14-

（2））“凑”到三角形外一点呢？

（如图14-（3）），你还能想出其他证法吗？

（1）

（2）（3）

图14

［过程］让学生在证明这个题的过程中，进一步了解三角形内角和定理的证明思路，并且了解一题的多种证法，从而拓宽学生的思路.

［结果］证明三角形内角和定理时，既可以把三角形的三个角“凑”到BC边上的一点P，也可以把三个角“凑”到三角形内一点；还可以把这三个角“凑”到三角形外一点.

证明略.

板书

设计

一、问题串

二、知识结构图

三角形的内角和等于180°

教学后记或反思（主要记录课堂设计理念，实际教学效果及改进设想等）

通过实验引入新课，掌握三角形内角和定理，并初步学会利用辅助线证题，同时培养学生观察、猜想和论证能力.通过习题的练习，提高学生数学学习的能力。