中考命题走向与初中数学教学.docx
《中考命题走向与初中数学教学.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《中考命题走向与初中数学教学.docx（45页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
中考命题走向与初中数学教学
中考命题走向与初中数学教学
紫石中学徐高明
纵观2010年全国各地中考数学试卷，注重体现新课程理念，贴近中学数学教学实际，坚持对基础知识、基本技能以及数学思想方法的考查，体现了“有利于贯彻党和国家的教育方针，推进中小学实施素质教育；有利于体现九年义务教育的性质，全面提高初中数学教育质量；有利于初中数学课程改革和教学改革，培养学生的创新意识和实践能力；有利于减轻学生过重的负担，促进学生主动、活泼、生动地学习”的命题原则，试卷除保留各地区命题的基本风格与特点外，还出现了许多格调清闲、简洁明快的新思维、新亮点考题，这为2011年中考数学命题的进一步改革指明了新的方向。
一、2010年中考试卷的新思维、新亮点
1.问题设计立意新
各地的试卷均能注意知识的覆盖面，注重考查考生的基础知识、基本技能和基本思想方法的“三基”要求，突出重点知识重点考查的传统。
试题较好地联系教学实际，试题的要求与平时的教学要求基本保持一致。
问题的情景亲切自然、界面友好，增强了考题叙述的明确性和设问的亲和度，体现了命题者对考生的人文关怀。
南通市中考题一个鲜明的特点以开放题的形式，考察学生的发散思维能力。
1.1注重三基，重视对数学核心内容的考查。
数学的基础知识、基本技能和基本思想方法是发展能力、提高学生的素养的依托。
试题的设计，将不局限于知识本身的考查，而是注重创设一个合适的情境，让考生在新情境中活用“三基”。
这些试题，创设的情境富有思考性，考生必须分析情景，活用知识，而不能靠单纯的知识和方法得以复现或套用代数式来解题。
例1
（1）先化简，再任选一个你喜欢的数代入求值。
（
－4）÷
（注意x不能取0、-2、2）
（2）（2010年徐州市）平面直角坐标系中，若平移二次函数y=（x-2009）（x-2010）+4的图象，使其与x轴交于两点，且此两点的距离为1个单位，则平移方式为
A．向上平移4个单位B．向下平移4个单位
C．向左平移4个单位D．向右平移4个单位
（考查平移）
（3）（2010年南京市）甲种蔬菜保鲜适宜的温度是1℃～5℃，乙种蔬菜保鲜适宜的温度是3℃～8℃，将这两种蔬菜放在一起同时保鲜，适宜的温度是
A.1℃～3℃B.3℃～5℃C.5℃～8℃D.1℃～8℃
（考查有理数的符号运算）
（4）（2010年北京市）2010年6月3日，人类首次模拟火星载人航天飞行试验“火星-500”正式启动。
包括中国志愿者王跃在内的6名志愿者踏上了为期12480小时的“火星之旅”。
将12480用科学记数法表示
应为（A）12.48103（B）0.1248105（C）1.248104（D）1.248103。
（考查科学记数法）
1.2.充分注重应用，重视对解决实际问题的能力的考查。
关注数学与实际的联系，培养学生的应用意识与现实的联系，是课标倡导的基本理念。
从全国各地的中考试题来看，应用题的命题出现以下特点：
⑴应用题的比重增大，保持了较高的分值；
⑵应用题涉及到的知识面普遍较广。
应用题考查的知识点包括初中数学所有知识点，有的还涉及到多个知识点；
⑶应用题题型的设计丰富多彩。
应用题除了文字题外，还有图式信息题、表式信息题、统计图表信息题、函数图象信息题、实验操作题等。
应用题不仅在大题中出现，也普遍出现在小题中；
⑷应用题背景广泛，取材丰富，突出试题的教育价值。
应用题的素材涉及到重大时政、国情国策、环保法制、航天科技、体育竞技、市场营销、日常生活，既展示数学知识的丰富应用，又体现数学试题的德育功能。
例2（2010年南通市中考26题）小沈准备给小陈打电话，由于保管不善，电话本上的小陈手机号码中，有两个数字已模糊不清．如果用x、y表示这两个看不清的数字，那么小陈的手机号码为139x370y580（手机号码由11个数字组成），小沈记得这11个数字之和是20的整数倍．
（1）求x+y的值；
（2）求小沈一次拨对小陈手机号码的概率．
例3（2010年上海市中考22题）某环保小组为了解世博园的游客在园区内购买瓶装饮料
数量的情况，一天，他们分别在A、B、
C三个出口处，
对离开园区的游客进行调查，其中在A出口
调查所得的数据整理后绘成图6.
（1）在A出口的被调查游客中，购买2瓶及
（2）2瓶以上饮料
的游客人数占A出口的被调查游客人数的__________%.
（2）试问A出口的被调查游客在园区内人均购买了多少瓶饮料？
（3）已知B、C两个出口的被调查游客在园区内人均购买饮料的数量如表一所示若C出口的被调查人数比B出口的被调查人数多2万，且B、C两个出口的被调查游客在园区内共购买了49万瓶饮料，试问B出口的被调查游客人数为多少万？
出口
B
C
表一
人均购买饮料数量（瓶）
3
2
本题以非常熟悉，非常现实的购买饮料为素材，对统计图表的理解并从中获取信息，解答具体的问题。
例4（2010湖州中考题）一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶设行驶的时间为x（时），两车之间的距离为y（千米），图中的折线表示从两车出发至快车到达乙地过程中y与x之间的函数关系
（1）根据图中信息，求线段AB所在直线的函数解析式和甲乙两地之间的距离；
（2）已知两车相遇时快车比慢车多行驶40千米，若快车从甲地到达乙地所需时间为t时，求t的值；
（3）若快车到达乙地后立刻返回甲地，慢车到达甲地后停止行驶，请你在图中画出快车从乙地返回到甲地过程中y关于x的函数的大致图象（温馨提示：
请画在答题卷相对应的图上）
一次函数图象与实问题结合是近年中考的热点问题，这类问题通常是从函数中得出需要的信息，然后利用待定系数法求出一次函数解析式，再利用解析式解决问题。
解决此类问题一是要能深刻理解题意，看懂图象和熟悉实际情景中的数量关系，应用数型结合的思想、方法联系各种知识进行分析推理；二是要准确识图，从图象信息与实际数据转化为相关的数学问题，理清题目中变量之间的关系，通过合理建模解决实际问题。
例5（2010年南京市中考27题）某批发商以每件50元的价格购进800件T恤，第一个月以单价80元销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓是单价为40元，设第二个月单价降低
元。
（1）填表（不需化简）
时间
第一个月
第二个月
清仓时
单价（元）
80
40
销售量（件）
200
（2）如果批发商希望通过销售这批T恤获利9000元，那么第二个月的单价应是多少元？
（2010山东青岛市）某市政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：
．
（1）设李明每月获得利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利
润？
（2）如果李明想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？
（3）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？
（成本＝进价×销售量）
答案：
解：
（1）由题意，得：
w=（x－20）·y
=（x－20）·（
）
.
答：
当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润．
（2）由题意，得：
解这个方程得：
x1=30，x2=40．
答：
李明想要每月获得2000元的利润，销售单价应定为30元或40元.
法二：
∵
，
∴抛物线开口向下.
∴当30≤x≤40时，w≥2000．
∵x≤32，
∴30≤x≤32时，w≥2000．
∵
，
，
∴y随x的增大而减小.
∴当x=32时，y最小＝180.
∵当进价一定时，销售量越小，
成本越小，
∴
（元）.
（3）法一：
∵
，
∴抛物线开口向下.
∴当30≤x≤40时，w≥2000．
∵x≤32，
∴当30≤x≤32时，w≥2000．
设成本为P（元），由题意，得：
∵
，
∴P随x的增大而减小.
∴当x=32时，P最小＝3600.
答：
想要每月获得的利润不低于2000元，每月的成本最少为3600元．
生活化素材得以重视，要求学生在理解实际情境的同时，将实际问题转化为数学问题，通过对题意的理解，提取有效信息，综合考查学生列一元二次方程解决实际问题能力是否具有方程思想和函数思想。
2010年的中考数学试题非常关注与实际生活的联系，数学知识与生活实际联系密切，强调人与自然、社会协调发展的现代意识，引导考生关注社会生活和经济发展的基本走向，密切联系最新的科技成果和社会热点，如为玉树地震灾区送温暖的“爱心专列”“情系玉树”等考题；关于热爱生活、爱护环境、科学发展的“绿色生活”“美丽家园”“和谐文明”等考题。
2.能力考查模式新
试卷注意创设适当的新情景，突出考查数学的基础知识、技能的活用，突出对数学思维的要求，注意为考生的可持续发展打好基础，各类试题创设的新情景富有思考性、启发性与发展性，考生需要通过操作、观察、分析、计算、类比等来发现规律，并进行归纳总结，而不能单靠知识和方法的复现或套代模式来解题。
试卷还突出对基本方法和基本算理的考查，淡化对特殊技巧的要求，有些考题运算看似很简单，但对有关算理、运算法则的考核却比较深刻，这些试题删繁就简，不堆砌技巧，突出了对数学的理解、把握和活用，有助于数学能力的形成，也有助于让考生在解题中领悟数学的本质。
给定一个问题情境，考查学生的动手操作设计能力
在实际问题中考查学生动手操作、设计能力对于培养同学们的创新能力具有重要的意义，所以近年来中考命题者常给出一个与生活有关的问题情境、提出要求，让学生去设计、操作或解答。
例6（2010年南充市中考题）如图1，小明家的房前一块矩形的空地，
空地上有三棵树A、B、C，小明想建一个圆形花坛，
使三棵树都在花坛的边上。
图1
⑴请你帮小明把花坛的位置画出来（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）。
⑵若△ABC中，AB=8米，AC=6米，∠BAC=90°，试求小明家圆形花坛的面积。
分析本题主要考查同学们尺规作图的能力和对圆的有关知识的掌握情况。
⑴形花坛经过A、B、C三点，只要作出的两条边的垂直平分线找到交点O就可确定圆心，然后以O为圆心，以线段OA为半径作圆。
⑵如果∠BAC=90°，则BC为圆的直径，根据勾股定理求出BC=10米，因此圆径为5米，面积可求。
解⑴如图2所示的⊙O即为所求做的花坛的位置。
⑵∵∠BAC=90°，AB=8米，AC=6米，
∴BC=10米
∴△ABC外接圆的半径为5米，
图2
∴小明家圆形花坛的面积为25π平方米。
启示《标准》强调指出：
“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。
”对于有些知识的学习，例如，图形的基本性质、变换和位置关系等的学习，单凭教师的讲解学生是不能形成长久记忆和真正掌握的。
这就要求我们在教学中应努力创设一定的问题情境，引导学生动手操作和实验，让学生经历探索物体与图形的基本性质、变换和位置关系的过程，在探索过程中达到掌握知识的目的。
同时让学生在探索图形的性质、图形的变换以及平面图形与空间几何体的相互转换等活动过程中，初步建立起空间观念，发展几何直觉，这才是进行几何教育的真正落脚点。
例7（2010年天津市中考题）有一张矩形纸片ABCD，按下面步骤进行折叠：
第一步：
如图①，将矩形纸片
折叠，使点B、D重合，点C落在点
处，得折痕EF；
第二步：
如图②，将五边形
折叠，使AE、
重合，得折痕DG，再打开；
第三步：
如图③，进一步折叠，使AE、
均落在DG上，点A、
落在点
处，点E、F落在点
处，得折痕MN、QP.
这样，就可以折出一个五边形
.
（Ⅰ）请写出图①中一组相等的线段（写出一组即可）；
（Ⅱ）若这样折出的五边形DMNPQ（如图③）恰好是一个正五边形，当
，
，
时，有下列结论：
①
；②
；
③
；④
.
其中，正确结论的序号是（把你认为正确结论的序号都填上）.
第1问是开放题，答案不唯一，第2问①利用勾股定理化简即得；②折纸题由矩形对边相等过D点作辅助线；③利用对称性；④结论错误。
本题体现一定能力要求，有直接提出要探究的问题，也有通过变化在新情境中探究，无法套用已有的模式处理。
必须灵活运用已学知识去分析、探究、创造性解题。
例8（2010年嘉兴市中考题）如图，已知⊙O的半径为1，PQ是⊙O的直径，n个相同的正三角形沿PQ排成一列，所有正三角形都关于PQ对称，其中第一个△A1B1C1的顶点A1与点P重合，第二个△A2B2C2的顶点A2是B1C1与PQ的交点，…，最后一个△AnBnCn的顶点Bn、Cn在圆上．
（1）如图1，当n＝1时，求正三角形的边长a1；
（2）如图2，当n＝2时，求正三角形的边长a2；
（3）如题图，求正三角形的边长an（用含n的代数式表示）．
（本题考查学生探究规律能力）
3.自主探索思路新
探索是发现的先导，中考试题应该留给考生探索和发现的空间，这是培养考生创新意识和实践能力所必需的前提。
今年的中考数学试卷，继续关注对学生的阅读理解能力、抽象归纳能力的考查。
在数学试题中，或设计了阅读材料，让考生通过阅读试题提供的材料去获取相关信息，进而加工、整合，形成解决问题的方案；或设计了问题的情景，让考生分析、说理，从而考查其交流和表达的能力；或设计了一些新颖的动态场景，让考生通过观察、分析、归纳来发现规律，等等。
这些试题以不同方式为考生提供探索的机会，留出让考生自主发挥的空间。
它们既不超纲，又不拘泥于知识点，而是放手让考生自主探索，在观察、实验、分析、比较、归纳、猜想中学习数学知识，有利于促进考生主动、活泼、生动地学习，从而达到考查考生基本数学素养和一般能力的目的，促进学生的全面发展。
例9（2010年南通市中考24题）
（1）将一批重490吨的货物分配给甲、乙两船运输．现甲、乙两船已分别运走其任务数的
、
，在已运走的货物中，甲船比乙船多运30吨．求分配给甲、乙两船的任务数各多少吨？
（2）自编一道应用题，要求如下：
①是路程应用题．三个数据100，
，
必须全部用到，不添加其他数据．
②只要编题，不必解答．
结果是开放的，只要合理都可以得分，基于学生已有经验进行设计的，不同程度的学生都可以根据自己的能力进行探索，并有发挥的空间。
但试题没有现成的模式可套用，因而有利于促进学生主动、活泼、生动地学习。
例10（2010年南通市中考25题）如图，已知：
点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AC=DF．
能否由上面的已知条件证明AB∥ED？
如果能，请给出证明；如果不能，请从下列三个条件中选择一个合适的条件，添加到已知条件中，使AB∥ED成立，并给出证明．
供选择的三个条件（请从其中选择一个）：
①AB=ED；
②BC=EF；
③∠ACB=∠DFE．
认真分析各个条件后对问题作出判断，能快速构建反例，做出正确的选择，常常是十分有效的。
例11（2010年连云港）27．（本题满分10分）如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线．如，平行四边形的一条对线所在的直线就是平行四边形的一条面积等分线．
（1）三角形的中线、高线、角平分线分别所在的直线一定是三角形的面积等分线的有________；
（2）如图1，梯形ABCD中，AB∥DC，如果延长DC到E，使CE＝AB，连接AE，那么有S梯形ABCD＝S△ABE．请你给出这个结论成立的理由，并过点A作出梯形ABCD的面积等分线（不写作法，保留作图痕迹）；
（3）如图，四边形ABCD中，AB与CD不平行，S△ADC＞S△ABC，过点A能否作出四边形ABCD的面积等分线？
若能，请画出面积等分线，并给出证明；若不能，说明理由．
答案
（1）中线所在的直线
（2）法一：
连接BE，因为AB∥CE,AB=CE，所以四边形ABEC为平行四边形
所以BE∥AC.....
所以△ABC和△AEC的公共边AC上的高也相等
所以有
所以
法二：
设AE与BC相交于点F
因为AB∥CE，所以
又因为AB=CE
所以
所以
过点A的梯形ABCD的面积等分线的画法如右图
（1）所示
（3）能.连接AC,过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E,连接AE.
因为BE∥AC,所以△ABC和△AEC的公共边AC上的高也相等
所以有
所以
因为
所以面积等分线必与CD相交,取DE中点F
则直线AF即为要求作的四边形ABCD的面积等分线
作图如右图
（2）所示
例12（2010年苏州市中考题）刘卫同学在一次课外活动中，用硬纸片做了两个直角三角形，见图①、②．图①中，∠B=90°，∠A=30°，BC=6cm；图②中，∠D=90°，∠E=45°，DE=4cm．图③是刘卫同学所做的一个实验：
他将△DEF的直角边DE与△ABC的斜边AC重合在一起，并将△DEF沿AC方向移动．在移动过程中，D、E两点始终在AC边上（移动开始时点D与点A重合）．
（1）在△DEF沿AC方向移动的过程中，刘卫同学发现：
F、C两点间的距离逐渐▲．
（填“不变”、“变大”或“变小”）
（2）刘卫同学经过进一步地研究，编制了如下问题：
问题①：
当△DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，F、C的连线与AB平行?
问题②：
当△DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形?
问题③：
在△DEF的移动过程中，是否存在某个位置，使得∠FCD=15°?
如果存在，
求出AD的长度；如果不存在，请说明理由．
请你分别完成上述三个问题的解答过程．
研究型实验题不断升温。
二、新课程理念下数学命题
一份好试卷，应有和谐的结构和适量的亮点，使人看起来应是“出乎意料之外，又在情理之中”.要达到这种层次，我们必须会编好题、编新题.编题是一项有趣味、有价值、有意义，同时也是一项非常艰辛的教研活动.怎样编出含金量高的试题.首先要把握新课程标准，其次要植根于现行教材，在课本中，实际生活中寻找编题的突破口，或改编，或引申或移植，或原创，有时会“移花接木”，有时需新旧结合，有时又需展开想象.总之，编题是有法而又无定法，下面我就自己在命题实践中的感受谈谈自己的作法.
2.1改编习题，刷新陈题
所谓改编习题就是利用已有题目，既在呈现的方式上进行变换，又在实质上、思维角度有所改变，使问题变得更加灵活，思维空间更大.
（1）由“正向思维”变“逆向思维”
原题：
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=3则sinB=___________.
朝着此题的思维反向进行改编为
例1、如图，在正方形网格中，小格的顶点叫格点，请你以三个格点为
顶点画一个直角三角形，其中一个内角的正弦值为
（2）由“静态”变“动态”
原题：
如图，已知在⊙O中，半径OA⊥OB，
C是OB延长线上一点，AC交⊙O于D，求证：
弧AD的度数是∠C度数的2倍（用三种方法证明）
通过对此题的观察可发现点C位置不固定，其中蕴含了动态感，因此本题可改造成如下动态题：
例2、如图，CD是⊙O的直径，半径OA⊥CD于O，直线AB绕着A点转动，分别交直线CD于B，⊙O于P.
（1）在图
（1）中直线AB经过点C（B、P与C重合）时，∠ABD的度数与弧AP的度数关系是_______________；
（2）当直线AB分别不经过C、O、D三点时，在图
（2）、图（3）的两种情况下，∠ABD的度数与弧AP的度数的关系是否都与第
（1）问相同，并在图
（2）、图（3）中选一个证明你对该情况下的结论.
（3）由“单个问题”变“一列问题”
（2010南充市）如图，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC，OE⊥BC，OE=
BC.
⑴求∠BAC的度数；
⑵将△ACD沿AC折叠为△ACF，将△ABD沿AB折叠为△ABG，延长FC和GB相交于点H，求证：
四边形AFHG是正方形；
⑶若BD=6，CD=4，求AD的长。
这道题的原型是前几年的一道中考填空题，原题是，如图：
在△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC于D点，已知BD=6，CD=4，则高AD的长为.
虽然它是一道填空题，但是这道题所考的知识点不仅众多而且重要，考了翻折、特殊平行四边形的判定和性质、直角三角形的勾股定理；考了数学中的转化思想和利用代数知识求解几何问题的方程思想，对于学生来说，本题切入口小，难度大。
在当今中考改革降低难度的大背景下，命题人对这道题作了大胆的创新编制，其编制思路解读如下：
由∠BAC=45°联想到圆中的圆周角，从而作出在△ABC的外接圆，考虑到圆周角与圆心角的关系，又把∠BAC=45°转化为∠BOC=90°，进而联想到垂径定理，等腰直角三角形等重要知识可融入其中，由此∠BOC=90°就转化为OE⊥BC，OE=
BC并去掉OB、OC，这样就产生了2010年南充市中考题的第一问⑴求∠BAC的度数。
由于不容易联想到翻折方法解原题，编者告知了学生折叠的过程，这样难度下降了，同时又突出重要知识点特殊平行四边形判定和性质的考查，这样就产生了2010年南充市中考题的第二问⑵将△ACD沿AC折叠为△ACF，将△ABD沿AB折叠为△ABG，延长FC和GB相交于点H，求证：
四边形AFHG是正方形。
在第二问的铺垫下，把原题中的条件AD⊥BC，BD=6，CD=4添上再求高AD的长，这样就产生了2010年南充市中考题的第三问⑶若BD=6，CD=4，求AD的长。
命题水到渠成。
（4）由“小题”变“大题”
原题：
欣赏下面各等式
32+42=52
102+112+122=132+142
请写出下一个由7个连续正整数组成，前4个数的平方和等于后3个数的平方和的等式为_________
将此题拓展，引申如下：
观察下列等式，解答下列问题
等式
（1）：
32+42=52
等式
（2）：
102+112+122=132+142
等式（3）212+222+232+242=252+262+292
……
等式（n）
（1）由上述等式可知，每个等式中紧靠等于左边的数分别是42、122、242……，这些数存在规律（4×1）2，[4×（1+2）]2,[4×（1+2+3）]2……请你根据这个规律直接写出等式（4）；
（2）若紧靠左边的数是2202，那么该等式是多少个连续正整数平方和组成的？
近几年中考特别注重对往年中考试题的传承和创新，因此研究中考试题的编制思路，对教学有着特别重要的作用，解读今年的一道中考题，与大家共享。
启示：
由编制思路带来的教学感悟
⑴发挥学生主体的内在动力
教师在教平行班的学生，使用同一本教材，教学效果有不同；不同的教师讲同一内容的课，听后感觉也会不同，这是值得思考和认真研究的问题。
虽然原因很多，但主要在于学生自身的内因上。
很多老师一到课堂就开始讲课，生怕自己哪些地方没有讲到，其实，我们老师更应该给学生以理想教育。
因为理想是学生走向成功的真正动力。
一个学生一旦有了明确的奋斗目标，就必然会坚定而自觉地
升级会员 