不定积分例题及答案.docx
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不定积分例题及答案
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第4章不定积分
内容概要
名称
主要内容
不定积分
不定积分的概念
设f（x），xI，若存在函数F（x），使得对任意xI均有F（x）f（x）或dF（x）f（x）dx，则称F（x）为f（x）的一个原函数。
f（x）的全部原函数称为f（x）在区间I上的不定积分，记为
注：
（1）若f（x）连续，则必可积；
（2）若F（x）,G（x）均为f（x）的原函数，则F（x）G（x）C。
故不定积分的表达式不唯一。
性质
d
性质1：
dx
性质2：
F（
性质3：
[
f（x）dxf（x）或df（x）dxf（x）dx；
x）dxF（x）C或dF（x）F（x）C；
f（x）g（x）]dxf（x）dxg（x）dx，,为非零常数。
计算方法
第一换元积分法（凑微分法）
设f（u）的原函数为F（u），u（x）可导，则有换元公式：
f（（x））（x）dxf（（x））d（x）F（（x））C
第二类换元积分法
设x（t）单调、可导且导数不为零，f[（t）]（t）有原函数F（t），则f（x）dxf（（t））（t）dtF（t）CF（1（x））C
分部积分法
u（x）v（x）dxu（x）dv（x）u（x）v（x）v（x）du（x）
有理函数积分
若有理函数为假分式，则先将其变为多项式和真分式的和；对真分式的处理按情况确定。
本章的地位与作用
在下一章定积分中由微积分基本公式可知---求定积分的问题，实质上是求被积函数的原函数问题；后继课程无论是二重积分、三重积分、曲线积分还是曲面积分，最终的解决都归结为对定积分的求解；而求解微分方程更是直接归结为求不定积分。
从这种意义上讲，不定积分在整个积分学理论中起到了根基的作用，积分的问题会不会求解及求解的快慢程度，几乎完全取决于对这一章掌握的好坏。
这一点随着学习的深入，同学们会慢慢体会到！
课后习题全解
习题4-1
1.求下列不定积分：
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直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。
思路分析：
利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！
★
（1）x2x
15
思路:
被积函数2x2，由积分表中的公式
（2）可解。
x2x
解：
53
x2xxdx3xC
★
（2）（3x
思路:
根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：
（3x
1111
（x3x2）dxx3dxx2dx
3x32x2C
4
★（3）（2xx2）dx
思路:
根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
2x
解：
（2xx2）dx2xdxx2dxln22
13x3C
★（4）x（x3）dx
思路:
根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，
分别积分。
31
解：
x（x3）dxx2dx3x2dx
53
22x2C
★★（5）3x423x21dxx21
思路:
观察到
3x43x21
x21
3x221
x2
1后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别
积分。
解：
3x43x21
x21
dx
3x2dx1
13
2dxxarctanxCx
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2
x★★（6）2dx
1x2
2
思路:
注意到x2
1x2
1x
1
2
1x2
，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积
解：
xarctanxC.
注：
容易看出（5）（6）两题的解题思路是一致的。
一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分
x134
★（7）（-+3-4）dx
2xxx
思路:
分项积分。
解：
x13
（-+-
3
2xx
41134
4）dxxdxdx3x3dx4x4dx
x42x
32
★（8）
（2
）dx
1x
思路:
分项积分
解：
11
32dx2dx
1x21x2
3arctanx2arcsinxC.
解：
22dxx2（1x2）
1x
2）dx
1
x12dx1x
2dx
arctanxC.
思路:
xxx？
看到xxxx248x8，直接积分。
解：
xxxdxx8dx8x8C.
15
★★（9）
★★（10）212dx
x2（1x2）
思路:
裂项分项积分
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2x
e1
★（11）xdx
e1
2xxx
解：
ex1dx（e1x）（e1）dx（ex1）dxexxC.
ex1ex1
★★（12）3xexdx
思路:
初中数学中有同底数幂的乘法：
指数不变，底数相乘。
显然3xex（3e）x
解：
3xexdx（3e）xdx（3e）C.ln（3e）
2
★★（13）cot2xdx
思路:
应用三角恒等式“cot2xcsc2x1”。
解：
cot2xdx（csc2x1）dxcotxxC
★★（14）
23x52x
3x
dx
23x52x2
思路:
被积函数x2（5）x，积分没困难。
3x3
解：
xx（）x
23x52dx（2（52）x）dx2x53C.3x3ln2ln3
★★（15）
cos2xdx
2
思路:
若被积函数为弦函数的偶次方时，一般地先降幂，再积分
解：
cos2xd1cosxdx1x1sinxC.
2222
★★（16）dx
1cos2x
思路:
应用弦函数的升降幂公式，先升幂再积分
解：
11121dx2dxsecxdxtanxC.
1cos2x2cos2x22
cos2x
★（17）dx
cosxsinx
思路:
不难，关键知道“cos2xcos2xsin2x（cosxsinx）（cosxsinx）
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解：
dx（cosxsinx）dxsinxcosxC.cosxsinx
★（18）
cos2x
22dx
cosxsinx
思路:
同上题方法，应用“cos2xcos2xsin2x”，分项积分。
解：
cos2x
22cosxsin
dx
x
22
cosxsinx
22dx
cosxsinx
1
2
sinx
1
2x
cosx
dx
★★（19）（
1x
1x
1x
1x
1x
思路:
注意到被积函数
1x
1x21x2
2，应用公式（5）即可。
1x2
解：
1
dx2dx2arcsinx
1x2
C.
1cos2x
dx
★★（20）
1cos2x
思路:
注意到被积函数
2
cosx
1cos2x
1cos2x
2cos2x
12
sec
2
1，则积分易得。
2
解：
2
1cosx121tanxxdxsecxdxdxC.
1cos2x222
★2、设xf（x）dxarccosxC，求f（x）。
知识点：
考查不定积分（原函数）与被积函数的关系
思路分析：
直接利用不定积分的性质1：
d[f（x）dx]f（x）即可。
dx
解：
等式两边对x求导数得：
★3、设f（x）的导函数为sinx，求f（x）的原函数全体。
知识点：
仍为考查不定积分（原函数）与被积函数的关系
思路分析：
连续两次求不定积分即可。
解：
由题意可知，f（x）sinxdxcosxC1
所以f（x）的原函数全体为：
（cosxC1）dxsinxC1xC2。
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★4、
证明函数1e2x
2
exshx和exchx都是
x
e
chx-shx
的原函数
知识点：
考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。
思路分析：
只需验证即可
解：
chxeshxe2x，而ddx[（2e2x）]ddx[exshx]ddx[exchx]e2x
2
★5、一曲线通过点（e2,3），且在任意点处的切线的斜率都等于该点的横坐标的倒数，求此曲线的方程。
知识点：
属于第12章最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。
思路分析：
求得曲线方程的一般式，然后将点的坐标带入方程确定具体的方程即可。
d1
解：
设曲线方程为yf（x），由题意可知：
[f（x）]，f（x）ln|x|C；
dxx
又点（e2,3）在曲线上，适合方程，有3ln（e2）C,C1，所以曲线的方程为f（x）ln|x|1.
2
★★6、一物体由静止开始运动，经t秒后的速度是3t2（m/s），问：
（1）在3秒后物体离开出发点的距离是多少？
（2）物体走完360米需要多少时间？
知识点：
属于最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。
思路分析：
求得物体的位移方程的一般式，然后将条件带入方程即可。
解：
设物体的位移方程为：
yf（t），
d23
则由速度和位移的关系可得：
[f（t）]3t2f（t）t3C，
dt
3又因为物体是由静止开始运动的，f（0）0,C0,f（t）t3。
3
（1）3秒后物体离开出发点的距离为:
f（3）3327米；
（2）令t3360t3360秒。
习题4-2
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★1、填空是下列等式成立。
知识点：
练习简单的凑微分
思路分析：
根据微分运算凑齐系数即可。
解：
（1）dx1d（7x3）;
（2）xdx1d（1x2）;（3）x3dx1d（3x42）;
72122、求下列不定积分。
知识点：
（凑微分）第一换元积分法的练习
思路分析：
审题看看是否需要凑微分。
直白的讲，凑微分其实就是看看积分表达式中，有没有成块
的形式作为一个整体变量，这种能够马上观察出来的功夫来自对微积分基本公式的熟练掌握。
此外第二类
换元法中的倒代换法对特定的题目也非常有效，这在课外例题中专门介绍！
3t
★
（1）e3tdt
思路:
凑微分。
解：
e3tdt1e3td（3t）1e3tC
33
3
★
（2）（35x）dx
思路:
凑微分。
1
解：
（35x）dx
314
（35x）d（35x）（35x）4C
★（3）
312xdx
思路:
凑微分。
解：
312xdx
1d（32x）
232x
1ln|32x|C.
★（4）
3513xdx
思路:
凑微分。
解：
3513xdx
1
3d（53x）
1
3353x
12
1112（53x）3d（53x）（53x）3C.
32
x
★（5）（sinaxeb）dx
思路:
凑微分
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xbx
解：
（sinaxeb）dx1sinaxd（ax）bebd（）
ab
1bcosaxbebCa
★★（6）costdt
1
思路:
如果你能看到d（t）dt，凑出d（t）易解。
2t
解：
costdt2costd（t）2sintC
★（7）tan10xsec2xdx
思路:
凑微分。
解：
tan10xsec2xdxtan10xd（tanx）1
11
11tanxC.
dx
★★（8）
xlnxlnlnx
思路:
连续三次应用公式
（3）凑微分即可。
dx
解：
xlnxlnlnx
d（ln|x|）d（ln|lnx|）lnxlnlnx
lnlnx
ln|lnlnx|C
★★（9）tan1xxdx
1x2
思路:
本题关键是能够看到xdx是什么，是什么呢？
就是
1x2
d1x2！
这有一定难度！
解：
tan1x2xdxtan1x2d1
x2
1x
ln|cos1x2|C
★★（10）
dx
sinxcosx
思路:
凑微分。
解：
方法一：
倍角公式sin2x2sinxcosx。
方法二：
将被积函数凑出tanx的函数和tanx的导数
方法三：
三角公式sin2xcos2x1，然后凑微分
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★★（11）
ex
dx
ex
解：
dxexdxdexx
exexe2x11（ex）2arctanexC
思路:
凑微分：
★（12）xcos（x2）dx
解：
xcos（x2）dx
cosx2dx2
1sinx2
dxexdxdexdex
xx2x2xx2eee11e1（e）
思路:
凑微分
★★（13）xdx2
23x2
xdx1dx21d（23x2）
思路:
由凑微分易解。
23x2223x2623x2
解：
xdx
23x2
1d（23x2）
623x2
61（23x2）2d（23x2）
1323x2C
★★（14）cos2（t）sin（t）dt
思路:
凑微分
解：
cos2（t）sin（t）dt
1212
cos（t）sin（t）dtcos（t）dcos（t）
★★
3x3
（15）3x4dx
1x
思路:
凑微分
33
3x334x3
4dx4dx
1x441x4
314dx4314d（1x4）3ln|1x4|C.
41x441x44
sinx
★（16）3dx
cosx思路:
凑微分。
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解：
sin3xdx13dcosx112C.
cos3xcos3x2cos2x
x9
★★（17）dx
2x20
思路:
经过两步凑微分即可。
解：
9
2x20
dx11
102
10dx20x
10
1xarcsin（）C2102
10
x
1x
★★（18）914xx2dx
思路:
分项后分别凑微分即可。
1x1x解：
dxdxdx
94x294x294x2
★★
（19）
dx
2x21
思路:
裂项分项后分别凑微分即可。
解：
2xd2x1
（2x1）（
dx
（2x1）
1
2
1
121x1）dx
★（20）（4xd5xx）2
（45x）
思路:
分项后分别凑微分即可。
解：
（4xd5xx）251（4（455xx）24）
1
dx
25
（1412）d（45x）
45x（45x）2
★（21）
x2dx
（x1）100
思路:
分项后分别凑微分即可。
解：
（xx2d1）x100
（x11）2dx（（x1）2
（x1）100（（x1）100
2（x1）1）dx
100100
（x1）100（x1）100
10
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xdx
★★（22）
x81
思路:
裂项分项后分别凑微分即可。
xdx
44
解：
xx8dx1（x41）（x41）
1111112
2（x41x41）xdx4（x41x41）dx2
★（23）cos3xdx
思路:
凑微分。
cosxdxdsinx。
解：
cos3xdxcos2xcosxdxcos2xdsinx（1sin2x）dsinx
★★（24）cos2（t）dt
思路:
降幂后分项凑微分。
解：
cos2（t）dt1cos2（t）dt1dt1cos2（t）d2（t）224
★★★（25）sin2xcos3xdx
思路:
积化和差后分项凑微分
解：
111
sin2xcos3xdx（sin5xsinx）dxsin5xd5xsinxdx
2102
★★★（26）sin5xsin7xdx思路:
积化和差后分项凑微分。
解：
111
sin5xsin7xdx（cos2xcos12x）dxcos2xd2xcos12xd（12x）
★★★
（27）tan3xsecxdx
思路:
凑微分tanxsecxdxdsecx。
解：
tan3xsecxdxtan2xtanxsecxdxtan2xdsecx（sec2x1）dsecx
arccosx
★★（28）101x2dx
1
思路:
凑微分dxd（arccosx）。
1x2
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arccosx
解：
10
101x2dx10arccosxdarccosx
10arccosx
ln10
C.
★★（29）
dx
（arcsinx）21x2
1
思路:
凑微分1dx
d（arcsinx）。
1x
dx
解：
22
（arcsinx）21x2
darcsinx
2
（arcsinx）
Carcsinx
arctanx
★★★★（30）dx
x（1x）
思路:
凑微分arxct（a1nxx）dx21arc（tanx）2xdx2arctanxd（arctanx）。
x（1x）
解：
arctanx
x（1x）dx
2arctan2xdx2arctanxd（arctanx）
1（x）2
★★★★（31）
lntanxdxcosxsinx
思路:
被积函数中间变量为tanx，故须在微分中凑出tanx，即被积函数中凑出
secx，
解：
lntanxdxcosxsinx
lntanx
2dxcosxtanxtanx
lntanx
dtanxlntanxd（lntanx）
★★★★（32）
1lnx
2dx（xlnx）2
思路:
d（xlnx）（1lnx）dx
1lnx
解：
2dx（xlnx）
2d（xlnx）
（xlnx）2
1C
xlnx
★★★★（33）
dx
1ex
解：
方法思路:
将被积函数的分子分母同时除以ex，则凑微分易得。
方法二思路:
分项后凑微分
12
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x
ex，裂项后凑微分
方法三：
思路:
将被积函数的分子分母同时乘以
dx
★★★★（34）dx
x（x64）
解：
方法一:
思路：
分项后凑积分
方法二：
思路:
利用第二类换元法的倒代换
令x1t，则dxt12dt
★★★★（35）
dx
x8（1x2）
解：
方法思路：
分项后凑积分
方法二：
思路:
利用第二类换元法的倒代换。
令x1t
，则dx12dt。
t2
（t6
1）dtt1
11x
75ln|
7x75x53x3x21x
1）dt（t6t4t21）dt21（t11
t4t21）dt（2t1
1t51t3t1ln|t1|C1111111532t1
|C
3、求下列不定积分。
知识点：
（真正的换元，主要是三角换元）第二种换元积分法的练习。
思路分析：
题目特征是被积函数中有二次根式，如何化无理式为有理式？
三角函数中，下列二
恒等式起到了重要的作用。
为保证替换函数的单调性，通常将交的范围加以限制，以确保函数单调。
不妨将角的范围统统限制在锐角范围内，得出新变量的表达式，再形式化地换回原变量即可。
★★★
（1）2
11x2
思路:
令xsint,t，先进行三角换元，分项后，再用三角函数的升降幂公式
2
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解：
令xsint,t
2，则dxcostdt。
ttantCarcsinx
211x2
xC.（或arcsinx11xC）
万能公式tan2t1sicnotst1sicnotst，又sintx时，
cost1x2）
x9
★★★
（2）dx
x
思路:
令x3sect,t（0,），三角换元。
2
解：
令x3sect,t（0,），则dx3secttantdt。
2
3x29x29
x3secx时，cosx,sinx,tanx
xx
★★★（3）
dx
3
（x21）
思路:
令xtant,t2，三角换元。
解：
令xtant,t
2，则dxsec2tdt。
★★★（4）
dx
（x2a2）3
思路:
令xatant,t，三角换元。
★★★★（5）
x21dx
xx41
思路:
先令ux2，进行第一次换元；然后令utant,t
，进行第二次换元。
2
2
解：
令xatant,t，则dxasec2tdt。
解：
x21
x
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