不定积分整章教案.docx
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不定积分整章教案
不定积分整章教案
1NO.
设是定义在区间上的函数，如果存在函数，对于,f（x）F（x）,x,II
都有,或,F（x）,f（x）dF（x）,f（x）dx
则称函数为函数在区间上的一个.F（x）f（x）I
2,,例如，cosx是的原函数,因为.又因为,sinx（sinx）,cosx（x）,2x
222,x,所以x和x，1都是2的原函数.（x，1）,2x
一个函数若有原函数，原函数是否唯一？
（不唯一，无数多个）
同一函数的无数多个原函数之间是什么关系？
如果，为函数在区间上的任意两个原函数,F（x）G（x）f（x）I
,,,（F（x））,f（x）（G（x））,f（x）
于是有,,.（G（x）,F（x））,G（x）,F（x）,f（x）,f（x）,0所以,或.G（x）,F（x）,CG（x）,F（x），C
：
任意两个原函数相差一个常数。
函数的所有原函数称为的，记作:
.f（x）f（x）f（x）dx,其中“x”称为积分号，称为被积函数，称为被积表达式，称f（x）f（x）dx,
为积分变量.由前面的讨论可知：
如果是的一个原函数,那么.F（x）f（x）f（x）dx,F（x），C,
dx求.2,1，x
11,解由于，所以是的一个原函数，因此（arctanx）,arctanx221，x1，x
2NO.
dx.,arctanx，C2,1，x
求.dxx,
1,，1,,，1,,解当,（x）,（,，1）x时,我们知道，，亦有,,,,1（x）,x,，1
11,,，1,,，1即是的一个原函数，因此;xxxdx,x，C,,，1,1，
11,当时，我们所要求的不定积分为.因为，因此,,,1dx（lnx）,,xx
1．dx,lnx，C,x
d1）或;，，f（x）dx,f（x），，df（x）dx,f（x）dx,,dx
2）,或.F（x）dx,F（x），CdF（x）,F（x），C,,
如果函数在某一区间上连续，则在这区间上函数可积f（x）f（x）
，1x,
（1）xdx,，C（,,,1）,（是常数）;
（2）;kkdx,kx，C,,,，1
11（3）;（4）;dx,lnx，Cdx,arctanx，C2,,x1，x
dx（5）,arcsinx，C;（6）;cosxdx,sinx，C,,21,x
（7）;（8）sinxdx,,cosx，C,
dx2;,secxdx,tanx，C2,,cosx
dx2（9）,cscxdx,,cotx，C;（10）;secxtanxdx,secx，C,,2,sinx
xx（11）;（12）;cscx,cotxdx,,cscx，Cedx,e，C,,
3NO.
xaxadx,，C（13）;（14）;（a,1）shxdx,chx，C,,lna
（15）.chxdx,shx，C,
（1）[f（x），g（x）]dx,f（x）dx，g（x）dx,,,
事实上，,,[f（x）dx，g（x）dx],[f（x）dx]，[g（x）dx],f（x），g（x）.,,,,
：
有限个函数的和的情况也有这一性质.
（为常数，）.kk,0kf（x）dx,kf（x）dx,,
1求.[3,2x，,5sinx]dx2,x
1dx解[3,2x，,5sinx]dx,3dx,2xdx，,5sinxdx22,,,,,xx
221,，xx,3（x，C）,2（，C），（，C）,5（,cosx，C）12342,2，1
12,.3x,x,，5cosx，Cx
2xx1，，.dx2,xx（1，）
21111xx1，，解,（，）dx,dx，dxdx22,,,2,xx1，x1，xxx（1，）
.，Carctanx，lnx
4x求dx.2,x1，
4224,1，1（，1）（,1），1xxxx解dxdxdx==222,,,x1，1，1，xx
4NO.
1122,（x,1，）dx,xdx,dx，dx22,,,,，1，1xx
3x,,x，arctanx，C.3
x2求sindx,2
x112解sindx,（1,cosx）dx,（1,cosx）dx,,,222
11,.[dx,cosxdx],（x,sinx），C,,22
1已知曲线在其上点的切线斜率，且曲线经过点P（x,y）k,x45y,，求此曲线方程．
（2）21解设曲线方程为,，由假设，y,f（x）f（x）,x4
x112故,=，，，，fx,fxdx,xdxx，C,,84图5.1-12x5即y,，C，为常数，曲线经过点（2，），以此点坐标代入方程，得C82
254xy,，2，解得.因此所求方程为.,，CC,2828
2已知某产品的边际收入函数为,xR（x）,60,2x,2x（为销售量）,求总
收入函数.R（x）
2解,R（x）,R（x）dx,（60,2x,2x）dx,,
223.,60x,x,x，C3
当时,,从而,于是x,0R,0C,0
223R（x）,60x,x,x3
5NO.
求．cos2xdx,
1解x,u，令2，得cos2xdx,cos2xd（2x）,,2
111,cos2xd（2x）,cosudu,sinu，C,222
1代回原变量，得.cos2xdx,sin2x，C,2
一般的我们有如下结论：
设u是的连续函数，且，f（u）f（u）du,F（u），C,设,,有连续的导数，则=．u,,（x）,（x）F[,（x）]，Cf[,（x）],（x）dx,
dF[,（x）]证明只需证明,即可．,f[,（x）],（x）dx
dF[,（x）]dF[,（x）],,,,，又由，故,F[,（x）],（x）F（u）,f（u）,f[,（x）],（x）dxdx
1求.dx,3,2x
解令，则，故u,3,2xdu,,2dx
dx1d（3,2x）1du11.,,,,,,lnu，C,,ln3,2x，C,,,3,2x23,2x2u22
求,tanxdx．
sinx解=因为，dx,sinxdx,dcosxtanxdx,,cosx
设u,cosx，则，因此，du,,sinxdx
sinxdu,tanxdx,=.dx,,,lnu，C,,lncosx，C,,cosxu
练习：
．,cotxdx,lnsinx，C
熟练以后，可直接写出结果:
1求.dx22,，ax
6NO.
1111x1x1,dx,d（）,arctan，C解=.dx,2,22,xxaaaaa，ax221，（）1，（）aadx求（a>）.0,22ax,
xd（）dx1dxxa解,,,arcsin，C.,,,22aaxxa,x221,（）1,（）aa1求.dx22,,xa
1111解由于,所以,（,）22ax,ax，a2x,a
dx111111,（,）dx,（dx,dx）22,,,,,，,，2axaxa2axaxa,xa
111,[d（x,a）,d（x，a）],,2ax,ax，a
1x,a1,,ln，C.[lnx,a,lnx，a]，C2ax，a2a
3求.sinxdx,
322解sinxdx,sinxsinxdx,,（1,cosx）d（cosx）,,,
132,=.,cosx，cosx，C,d（cosx），cosxd（cosx）,,322求与.cosxdxsinxdx,,
1，cos2x11x12解=.dx,dx，cos2xdx,，sin2x，Ccosxdx,,,,22224
1,cos2xx12.sinxdx,dx,,sin2x，C,,224
求.cscxdx,
7NO.
xxx2d（）secd（）dxdx222解,,,cscxdx,,,,,,xxxxxsinx22sincostancostan22222
xd（tan）x2,.,，Clntan,x2tan2
xx22sinsin1,cosxx22又=.,,cscx,cotxtan,xsinxsinx2cos2
所以上述不定积分又可表示为
.cscxdx,lncscx,cotx，C,
练习：
secxdx,lnsecx，tanx，C,
求sin2xcos3xdx.,
解利用积化和差公式
1,sin,cos,,,,sin（,，,），sin（,,,）2
1得,sin2xcos3x,,,sin5x,sinx2
111所以sin2xcos3xdx,（sin5x,sinx）dx,sin5xdx,sinxdx,,,,222
11,.,cos5x，cosx，C102
设函数,,严格单调、可导且，设具有原函x,,（t）,（t）,0f[,（t）],（t）
1数.则,,（x）f[,（t）],（t）dt]，其中是的反函数.x,,（t）f（x）dx,[,1,,t,,（x）
1证设,,[F（,（x）），C],f（x），只需证f[,（t）],（t）dt,F（t），C,
1ddFtdt（）,1而,,f[,（t）],（t）,,f[,（t）],f（x）.F,x,,（（））,,（t）dxdtdx
8NO.
dx求.,1，x
2解作变量代换x,t（以消去根式），于是，,从而x,tdx,2tdtdxt1,2dt,2（1,）dt,,,1，t1，t1，x
2t,2ln（1，t），C,2x,2ln（1，x），C.
22求aa,xdx（>）.0,
解积分难点在于被积函数中的根号，为去掉根号，令
,22，,则,,x,asint,,t,dx,acostdta,x,acost22
2222a,xdx,acost,acostdt,acostdt,,,
21，cos2ta12,,,adt,t，sin2t，C,,,,222,,
22xx,ax回代变量，由cos,，得,,sint,t,arcsintaaa
222axxa,x22故有a,xdx,（arcsin，），C2,2aa
2axx22,arcsin，a,x，C.22a
dx求>（a0）,22x，a
22解利用三角公式1，tant,sect来化去根式，
,2设dx,asectdt<<,则,（,）x,atantt22
222222,于是x，a,a，atant,a1，tant,asect
9NO.
2asectdx,,dt,,sectdt.,lnsect，tant，C,22asectx，a
22x，xa由sec,，得,因此,tant,taa
22xx，adx,ln（，），C,22aax，a
22C,C,lna,其中.,ln（x，x，a），C11dx求（a>0）,22xa,
解设x>，令，0x,acht
22利用公式cht,sht,1有
222222，dx,ashtdtx,a,a（cht,1）,asht,asht
dxasht于是有,dt,t，C，,,22ashtx,a
22,xaxt注意：
，,，两边取导数得eshtchtaa
22t,ln（x，x,a）,lna
dx22所以,ln（x，x,a），CC,C,lna,其中.11,22x,a
dx求,x1，e
2dtx2解为化去根式，令x,lnt,2lnt，则，，dx,e,tt
21，,ttdx,dt,2dt,,,x（1，）（1，）tttt1，e
10NO.
11，，,2,dt,2[lnt,ln1，t]，C,,,t1，t，，
2t,,.,ln，C,,1，t,,
2x，，edxx将回代得.,，Ct,eln,,,xx1，e，e1,,，，dx求.2,2x，4x，3
dx1dx1dx解,,2,,,31222x，4x，322x，2x，（x，1），22
111x，1,d（x，1）,,2arctan，C,112222（x，1），（）
222,arctan2（x，1），C.2
dx求.,24x，9
dx1d（2x）dx解,,,,,2222224x，9（2x），3（2x），3
12.,ln（2x，4x，9），C2
11NO.
,,,,,，移项得,.（uv）,uv，uvuv,（uv）,uv
对这个等式两边求不定积分，得,,.
（1）uvdx,uv,uvdx,,
简便起见,公式
（1）常写成下面的形式：
.
（2）udv,uv,vdu,,
求.xcosxdx,
解这个积分用换元积分法不易求得结果。
现在试用分部积分法来求它。
设u,x，,则，，利用分部积分公式
（2）dv,cosxdxdu,dxv,sinx
得.xcosxdx,xsinx,sinxdx,xsinx，cosx，C,,
：
恰当选取u和，一般要考虑下面两点：
dv
（1）v要容易求得；
（2）要比容易积出.vduudv,,
x求.xedx,
xx解设u,x，dv,edx,则，v,e,于是du,dx
xxxxx.xedx,xe,edx,xe,e，C,,
2x求.xedx,
2xx解设u,x，dv,edx,则，v,e,利用公式
（2）得du,2xdx
2x2xx.xedx,xe,2xedx,,
2x2xxxedx,xe,2xedx,,
2xxx2x,xe,2（xe,e），C,（x,2x，2）e，C.
熟练以后，不必写出uv、，只要在心里想着就可以了.
求.lnxdx,
1解.,xlnx,xdlnx,xlnx,x,dx,xlnx,x，Clnxdx,,,x
12NO.
求.xarctanxdx,
222xxx解,arctanxd（）,arctanx,d（arctanx）xarctanxdx,,,222
222211，,1xxxx1,arctanx,dxxdx,arctan,2,,2x22221，x1，
2x11,arctanx,（1,）dx2,22，1x
2x1,arctanx,（x,arctanx），C.22
x求.esinxdx,
xxxxxx解esinxdx,sinxde,esinx,edsinx,esinx,ecosxdx,,,,
x注意到与所求积分是同一类型的，需再用一次分部积分，ecosxdx,
xxxxxx,esinx,cosxde,esinx,（ecosx,edcosx）esinxdx,,,
xxx.,esinx,ecosx,esinxdx,
x1xesinxdx.,e（sinx,cosx），C,2
3求.secxdx,
32解secxdx,secx,secxdx,secxdtanx,secxtanx,tanxdsecx,,,,
22,secxtanx,secxtanxdx,secxtanx,secx（secx,1）dx,,
33,secxtanx,（secx,secx）dx,secxtanx,secxdx，secxdx,,,
3,,secxtanx，lnsecx，tanx,secxdx,
13NO.
13.,（secxtanx，lnsecx，tanx），Csecxdx,2
dx求n（其中为正整数）.I,n22n,（x，a）
解当n>1时,
dxx1I,,,xd[]n,122n,122n,122n,1,,x，ax，ax，a（）（）（）
22n,2xxnxax,[,（,1）（，）],2dx,,22n,1222n,2,xaxa（，）（，）
2xxndx，2（,1）,22n,122n,（x，a）xa（，）
222xaa，,x,ndx，2（,1）22n,122n,（x，a）xa（，）
2dxax2（n1）[dx]，,,,22n,122n,122n,,（x，a）（xa）（xa），，x2，2（n,1）（I,aI）,n1n,22n,1（x，a）
1x于是I,[，（2n,3）I]nn,1222n,12a（n,1）（x，a）
1x由此作递推公式，并由I,即得.I,arctan，Cn1aa
14NO.
P（x）n,,
（1）R（x）Q（x）m
其中xnmP（x）Q（x）、分别是关于的次和次的实系数多项式.nm
当n,m时，称为;时,称为.n,m
对于有理假分式,P（x）Q（x）的次数大于的次数，应用多项式的除法，nm
P（x）P（x）nl,,，,
（2）R（x）r（x）Q（x）Q（x）mm
即有理假分式总能化为多项式与有理真分式之和.多项式的积分容易求得,故只需
讨论有理真分式的积分.
P（x）设n,nm,<.如果R（x）nQ（x）m
2,2u,,（x，Px，q）（x，rx，s）Q（x）,a（x,a）（x,b）.......，m0
其中,、、...、、...是正整数，各二次多项式无实根，则可唯,,R（x）,
一地分解成下面形式的部分分式之和
P（x）AAA1,12n,,，，...R（x）{，2,,,Q（x）axa（xa）（x,a）0m
BBB,12，...+...，，，2,x,b（x,b）,（xb）
，，Mx，NMxNMxN,,1122，，，...，2222,，，，，xpxq（xpxq）（x，px，q）
，，，RxSRxSRxSuu1122，，，，，......}（3）2222u，，，，，xrxs（xrxs）（xrxs）其中：
AABBMMNN,,...,,,...,,...,,...,22121112
15NO.RRSS,,...,,,...,都是实常数.2211
最终归结为求下面四类部分分式的积分：
AA
（1）n,
（2）（......）,,2,3n（x,a）x,a
Bx，CBx，C（3）n,（4）（......）.,2,322nx，px，q（x，px，q）
2其中x，px，q为常数，且二次式无实根.A,B,C,a,p,q,
所以，有关有理函数积分问题得以全部解决.
4x求.dx2,，,2xx
x,4x,4AB解设,,，，2（x，2）（x,1）x，2x,1x，x,2
有x,4,A（x,1），B（x，2）,（A，B）x，2B,A由于此式为恒等式，故两端同次幂的系数应相等.
A，B,1A,2,,即，解得，,,2B,A,,4B,,1,,
x,421故，从而,,2x，2x,1x，x,2
4dxdxxdx,2,2,,,x，2x,1，,2xx
.,2lnx，2,lnx,1，C
3，xx求dx.,,1x
解分子多项式的次数高于分母多项式的次数，由
3x，x2232x，x,（x，x，2）（x,1），2,x，x，2，，有，于x,1x,1
3，xx22是dx,[x，x，2，]dx,,,1x,x1
16NO.
32xx,，，2x，2lnx,1，C。
32
2xx2，2，13求.dx22,xx（,2）（，1）
22x，2x，13ABx，CDx，E解设,,，，22222x,2（x,2）（x，1）x，1（x，1）解得,A,1,B,,1,C,,2,D,,3,E,,4
22x，2x，131x，23x，4有,,,,22222x,2（x,2）（x，1）x，1（x，1）
2xxdxxx2，2，13，23，4于是.dxdxdx,,,22222,,,,x,2xxxx（,2）（，1），1（，1）分别求上式等号右端的每一个不定积分:
1.dx,lnx,2，C1,x,2
x，212xdx12.dx,dx，2,ln（x，1），2arctanx，C2222,,,22x，1x，1x，1
3x，4xdxdx3dxdx,3，4,,，4222222222,,,,（x，1）（x，1）（x，1）2（x，1）（x，1）
1x1由递推公式有I,dx,，arctanx，C.23222,2（x，1）2（x，1）
3x，432x有dx,,，，2arctanx，4C32222,（x，1）2（x，1）x，1
4x,3,，2arctanx，4C.322（x，1）
2xx2，2，13于是dx22,xx（,2）（，1）
17NO.
14x,32,lnx,2,ln（x，1）,2arctanx,,2arctanx，C222（x，1）
21（x,2）4x,3.,ln,,4arctanx，C222x，12（x，1）
由cosx及经过有限次四则运算所构成的函数,记做sinx
.R（sinx,cosx）
R（sinx,cosx）dx有多种方法,其中有一种是万能的
2x设，则有，，tan,t（,,,x,,）x,2arctantdx,dt221，t
xxx2sincos2tan2t222，sinx,,,2xxx1，t222sin，cos1，tan222
xxx222cos,sin1,tan21,t222，cosx,,,2xxx1，t222cos，sin1，tan222
221,2tt有,R（sinx,cosx）dx,R（,）dt=.2221，1，1，tttx换元称为.tan,t2
dx求.,3，5cosx
22x1,t解令，则，tan,tdx,dtcosx,221，t21，t
12dx2dt,,,dt22,22,,3，5cosx5（1,）1，tt3，3，5,5tt3，21，t
18NO.
1111,,dt,,,,dt,,,2,4，2,2tt4,t,,
xtan，2112,ln，C,.,,（lnt，2,lnt,2），Cx44tan,22
1，sin,cosxx求dx.,（2,sin）（1，cos）xx
222tx1,t解令，则，,.tan,tdx,dtsinx,cosx,2221，t21，1，tt
221,tt1，,221，sin,cosxx21，1，ttdx,,dt,22,（2,sin）（1，cos）xx21,1，ttt（2,）（1，）221，1，tt
2t，t2t,12dt,[1，]dt,t，lnt,t，1，C,,2,2t,t，1t,t，1
xxx2,tan，lntan,tan，1.，C222
：
尽管“万能公式”在求三角函数有理式的积分时是万能的，但有时不是最好
的
sincosxx求.dx4,1，sinx
sincosxxsinx解令得dx,dsinxsinx,t,44,,1，sin，x1sinx
2sincosxxt1d（t）12dx,dt,,arctant，C4422,,,221，sinx1，t1，（t）12.,arctan（sinx），C2
5sinx求dx.4,cosx
19NO.
445sinsinxsinxsinxxdx,dx,,d（cosx）解，444,,,cosxcosxcosx
令，则cosx,t
22245sin（1,t）1,2t，t21xdx,,dt,,dt,,（1,，）dt44424,,,,cosxtttt
2112.,,（t，,），C,,,cosx，C33tcosx3t3cosx
ax，bnR（x,）dx，,cx，d
ndtb
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