不定积分教案.docx

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不定积分教案

第五章不定积分教学安排说明

章节题目：

5.1不定积分的概念

5.2不定积分的性质

5.3换元积分法

5.4分部积分法

学时分配：

共6学时。

5.1不定积分的概念1学时

5.2不定积分的性质1学时

5.3换元积分法2学时

5.4分部积分法2学时

本章教学目的与要求：

理解并掌握原函数与不定积分的概念；熟练掌握不定积分的基本公式和基本积分方法，熟练地利用换元积分法与分部积分法求不定积分。

课堂教学方案

（一）

课程名称：

5.1不定积分的概念；5.2不定积分的性质

授课时数：

2学时

授课类型:

理论课

教学方法与手段：

讲授法

教学目的与要求：

理解并掌握原函数与不定积分的概念；熟练掌握不定积分的基本公式，了解不定积分的基本运算法则，能够用不定积分的基本公式和性质求不定积分

教学重点、难点：

教学重点：

原函数和不定积分的概念，不定积分的性质及儿何意义，不定积分的基本公式；教学难点：

不定积分的概念及儿何意义和用不定积分的性质求不定积分。

教学内容

5.1不定积分的概念

1.原函数与不定积分

在微分学中，我们讨论了求已知函数的导数与微分的问题。

但是，在科学、

技术和经济的许多问题中，常常还需要解决相反的问题，也就是要山一个函数的已知导数（或微分），求出这个函数。

这种由函数的已知导数（或微分）去求原来的函数的运算，称为不定积分，这是积分学的基本问题之一。

定义1如果函数/（X）与F（x）为定义在某同一区间内的函数,并且处处都有

F'（x）=/（x）或dF（x）=/（x）dr,

则称F（x）是f（x）的二个原函数.

根据导数公式或微分公式，我们很容易得出一些简单函数的原函数•如

（sinx）'=cosx,

故sin工是cosx的一个原函数；

（sin・x+l）'=cosx,

故sinx+1也是cosx的一个原函数：

（x2）r=2x,

故*是力的一个原函数；

（x2+2/=2xr

故*也是2工的一个原函数.

山此可见，一个函数的原函数并不是唯一的•对此有以下两点需要说明：

第一，若在某区间内F（x）为/⑴的一个原函数，即F\x）=/（x）,WlJ对任意常

数C,由于（F（x）+CY=/（x）,所以函数F（x）+C都是/（X）的原函数.这说明如果

函数有原函数，那么它就有无限多个原函数.

第二，若在某区间内F（x）为/（X）的一个原函数，那么，/G）的其它原函数和

F（x）有什么关系？

设①（劝是在同一区间上的另一个原函数，即①'（x）=/（x）,于是有

[①（x）-F（x）]r=①'（X）一F\x）=0,

山于导数恒为零的函数必为常数，因此

即①（x）=F（x）+c「这说明/（X）的任意两个原函数之间只差一个常数.

因此，如果F（x）是/（兀）的一个原函数，则/（兀）的全体原函数可以表示为

F（x）+C（其中C为任意常数）.

为了更方便地表述一个函数的全体原函数，我们引入下面不定积分的概念.

2•不定积分的概念

定义2函数/（x）在某区间内的全体原函数称为/（X）在该区间内的不定积分,记为

f（x）dx,

其中记号J称为积分号,/（A）称为被积函数,/（x）dLv称为被积表达式,X称为积分变量•即J7（x）dx=F（x）+C・

这说明，要计算函数的不定积分，只需求出它的一个原函数，再加上任意常数C就可以了.

例1求f（x）=2x的不定积分.

解：

因为（x2Y=2xfffi以打（x）dx=j2xdx=x2+C.

例2求f（x）=ex的不定积分.

解：

因为（exY=ex,J?

f以打（v）dr=|exdx=ex+C.

3•不定积分学的几何意义

不定积分的几何意义:

若F（x）是/（a）的一个原函数，则称y=F（x）的图象为

/（x）的一条积分曲线•于是的不定积分在儿何上表示/（%）的某一条积分曲

线沿纵轴方向任意平移所得一组积分曲线组成的曲线族•若在每一条积分曲线上横坐标相同的点处作切线,则这些切线互相平行（如图4・1）,任意两条曲线的纵坐标之间相差一个常数•给定一个初始条件，就可以确定一个常数C的值，因而就确定了一个原函数，于是就确定了一条积分曲线.

例3设曲线通过点（1,2）,且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍,求此曲线的方程.

解：

设所求的曲线方程为y=f（x）f按题设，曲线上任一点（x,y）处的切线斜率为

cLv

说明y=是2x的一个原函数•因为2x的全体原函数为

J2xdx=X1+C,

所以曲线方程为$=/（a）=x2+C,乂由于曲线过点（1,2）,故/（I）=2,1+C=2,解得C=l,于是所求曲线为y=f（x）=x2+\.

例4一物体作直线运动，速度为叩）=2厂+加/$，当f=ls时,物体所经过的路程为3m,求物体的运动方程。

解：

设物体的运动方程为s=5（r）.依题意有s\t）=v（r）=2t2+1,所以

5（r）=J（2r+\）dx=-t3+t+C

将/=l,s=3代入上式，得7=芈,因此，所求物体的运动方程为

3

s（t）=-t+t+-

33

一般，若F⑴是函数/（x）的原函数，那么y=F（x）所表示的曲线称为/（x）的一条积分曲线。

不定积分J/（a-Xv在儿何上表示曲积分曲线y=F（x）沿y轴方向上下平移而得到的一族曲线，称为积分曲线族。

这就是不定积分的儿何意义。

课堂练习：

填空

（y=x4（y=csc2%（y=-+^x

X

小结：

本节讲述了原函数的概念，不定积分的概念，性质及儿何意义。

4.基本积分表及常用的积分公式

第一节我们知道积分与微分互为逆运算，因此由第二章的导数的基本公式可以相应地写出不定积分的基本公式。

列表如下：

kdx=kx+C仏是常数）:

（6）Jsinxdx=-cosx+C；

（7）JcosxcLv=sinx+C:

（8）f———dx=fsec2xdx=tanx+C；

Jcos'xJ

（9）f—t：

—dx=fcsc2xdx=-cotx+C；

Jsin2x」

（10）

j*j1,dx=arcsinx+C；

（11）

f—.v=arctanx+C；

J1+x2

（12）

Jsecxtanxdx=secx+C；

（13）

JcscxcotiiLv=-cscx+C；

以上13个基本积分公式是求不定积分的基础，若能熟记，则对不定积分的运算会起到关键性的作用.

以上门个公式是求不定积分的基础，必须熟记。

例5求下列不定积分：

（1）

（2）（3）

5.2不定积分的性质

根据不定积分的定义，可以得到其如下性质：

性质1两个函数之和（差）的不定积分等于这两个函数的不定积分之和（差），即

J[/（x）±g（x）]dx=j/（x）dv±Jg（x）dx•

证明：

根据导数的运算法则，

[j/（A-Xv±Jg（x）dA]'=[jf（x）dx]f±[Jg（x）dx]'=f（x）±g（x）,因此j/（A-）dr±jg（x）dx是f（x）±g（x）的原函数,而且上式含有不定积分记号，因此已经含有任意常数，故上式即为f（x）±g（x）的不定积分•证毕.

类似可证明如下性质.

性质2不为零的常数因子可以移到积分号前

例1求不定积分-2sinx）dx.

解:

\（ex-2sinx）dr=fVdv-2fsinxdx=ex+2cosx+C.

例2求J（2,-3cosx+4）〃x

例4求不定积分j（2x+x2）dx.

注意：

在分项积分后，每个不定积分的结果都应有一个积分常数，但任意常数的和仍是常数，因此最后结果只要写一个任意常数即可。

解：

|—_/.v=J认=j（x-2+丄）心=—2x4-ln|A-|+C

上面例题都是属于基本积分法的应用，就是利用基本积分公式和积分运算法则直接求不定积分•但有时并不是被积函数直接就符合基本积分公式，需要对被积函数作适当的恒等变换•如用代数运算或三角关系等对被积函数进行变形，是变形后的被积函数能直接使用基本公式和运算法则求出不定积分.

解:

rsin2x,r2sinxcosx,小

v=dx=2\sinxdx=-2cosx+C•JcosxJcosx」

例9求不定积分j3Z\k・

例10求不定积分j£

”1

解：

由于亠"=扌一1+亠，所以

1+X\+x~

J]2dv=j（x2-14--—-）dx=t-x+arctanx+C.

小结：

本节讲述了不定积分的基本公式和基本运算法则，以及利用直接积分法求函数的积分方法。

作业：

P1511：

3

（1）（4）（6）（7）（10）（11）

课堂教学方案

（二）

课程名称：

5.3换元积分法

授课时数：

2学时

授课类型:

理论课

教学方法与手段：

讲授法

教学目的与要求：

掌握第一类换元积分法和笫二类换元积分法求不定积分的基本方法和步骤；强调第二类换元积分法与第一类换元积分法之间的区别；了解笫二类换元积分法适用的函数类型

教学重点、难点：

教学重点：

第一类换元积分法和第二类换元积分法；教学难点:

第一类换元积分法中中间变量“=0（力的选取，灵活地运用微分公式凑微分du=d（p（x）=第二类换元积分法中适当选取单调连续函数x=卩⑴，将积分

Jf（x）dx化为积分J/|肖（/）以/）（〃，求出结果。

教学内容

5.3换元积分法

有时仅仅依靠不定积分的性质和基本积分表来计算不定积分是非常有限的，因此有必要讨论求不定积分的一种重要方法,其实质是把复合函数的求导法则反过来用于求不定积分，也就是利用变量代换来求不定积分，这种方法称为换元积分法•按照

换元方式的不同，通常把换元法分为两类.

1.不定积分的第一类换元法（凑微分法）

例1求不定积分J总严.

分析基本积分公式表中没有与该积分一致的公式，因此该积分不能直接曲积分公式与不定积分的性质求得•但注意到一•是复合函数，且d（2x+l）=2dx,于是2x+1

可做如下的变换和计算：

解J姑4『召加=£召心+1）,

=—f—dw（令"=2x+l），2Ji（

1

•2=llnh/l+C,

2=丄山12x+ll+C（将u=2x+\回代）,

2

由（丄si2x+ii+cy=-^―，验证上述积分结果正确.

22x+1

一般地，对于积分J/（av+/7）dr，总可以作变换u=ax+b,把它化为

Jf（ax+=J丄/（ox+b）d（ax+b）

=丄[打（"）血].-

&—J」u^ax^b

一般地，有：

定理1若ff（x）dx=F（x）+C且“=（p（x）可导,则

jf（u）dx=F（“）+C•

定理1表明，在基本积分公式中，将X换成任一可导函数II=后公式仍然成

立，从而扩充了基本积分公式的使用范围•定理中的结论可表示为j/[^（x）]d^（x）=F[

J（x）dx=F[（p（x）]+C.

山此得到如下求不定积分的步骤，即

J/*[久x）]0（x）dx=Jf[

j（2x+1）叫仪=-J（2x+l）,0（2x+l）Uv=-j（2x+l）I0d（2x+1）

22

=-jHl（,dw（换元，令w=2x+l）

2

上述方法称为第一类换元法或凑微分法.

注意：

如果中间换了元，积分完了后，一定要回代，即将积分后的函数中的变量"换成仅X）;如果熟练过后，可以不要换元这步，就将0（x）当作一个变量来积分即可，最后也不需要回代了。

例2求不定积分J（2A-+l）,0dA-・

解：

利用凑微分方法dx・=-d{ax+b），此时a=2,Z?

=1,

a

f（2x+\）wdx=-f（2x+l）l0（2x+l）Uv=lf（2x+l）,od（2x+1）（凑微分）

=—（2x+l）n+C（将h=2x+1回代）.

例3求J（3x+l）\7.v

-J（3x+1）8-（3x+l）7/x=打（3x+l）\7（3x+1）

例4求Jxe"厶

解：

^xexdx=^ex-2xdx=Je'=+C

例5求JAdx解：

jAdx=jlii2xd（Inx）=—In3x+C

AX3

解：

h烏才訂也汕訂血dg）

1<1（1+2In%）（凑微分公式）

J

2」1+2Inx

=（令"=l+21nx）

=iInIzH+C=1In11+2inxI+C（将“=1+2Inx回代）.22

注：

一般情形有/（Inx）-dx=/（lnx）d（lnx）•

x

当运算熟练后，可以不把换元和回代过程写出来，而是直接计算下去.

例7求不定积分

解：

依据不定积分的第-类换元法，有心扣）十

（2）,所以

例8求不定积分・

Jtz"-x・

解：

［/.dv=4J（）dx=I*

J-x2ciJa+xa-x2aJ

rxf1r2xdx1fd（l+x2）In（1+x2）—

丿17严日仃7勺冃=—+c-

dx1rdx

2a）a_x

=—In\a+x|-—In\a-x\+C=—lnh/+A|

la112a112a\a-x\

例9求fdx（aH0）

J牙.

解：

]•亠心料（丄一丄）如占j•些二2—J如的

x-ax+a

JQ-Q2aJx-ax+a2aJx-aJx+a

=^）-（hi|.v_6z|-hi|x+t/|+C=^-ln

例10求f/^dx（a>0）

J\la2-x2

例11求f—t—~~dx（a0）

Jcr+2

解：

f-rdx=—f

岔+f"1+（兰raJ\+（-y

aa

例13求不定积分jsin2xdx.

解：

方法一Jsin2acLv=—jsin2.vd（2x）=-—cos2x+C；

22

方7去二[sin2.x（lx=2[sin,vcosaxLv=2[sinAtl（sina）=（sinx）2+C:

方法三

sin2ax1v=2Jsinxcosxdx=-2Jcos如（cosx）=-（cosx）2+C.

在此例中三种方法得到的结果并不一样，这说明不定积分的结果不是唯一的,采用不同的方法，可以出现不同形式的结果•但不同形式的结果，他们之间只相差一个常数•

例14求不定积分jsecxdx.

同理Jescxdx=In|escx-cotx|+C

例15求不定积分Jes'nxcosxdx.

解：

依据不定积分的第一类换元法,有cosxdv=d（sinx）,即

J

sinxcosxdx=J严'd（sinx）=严x+c.

解：

凑微分一cLv=d（arctanx）,有

1+x

j山:

—ch=j（arctanx）2d（arctana）=£（arctanxY.

第一类换元积分法在积分中是经常使用的方法，不过如何适当地选取代换却没有一般的规律可循，只能具体问题具体分析•要掌握好这种方法，需要熟记一些函数的微分公式，并善于根据这些微分公式对被积表达式做适当的微分变形.

下面是部分经常使用凑微分法的积分类型及其凑微分的方法:

（1）

（2）

（3）

（5）

Jf（ax+h）dx=—Jf（ax+b）d（cix+b）；J/（Inx）丄dr=|/（Inx）d（lrtv）；J7a0dA=J7e）d（eX）；j/（sinx）cosxdx=J/（sinx）d（sinx）；Jf（cosx）sinxdx=-J/（cosx）d（cosx）；

2.第二类换元积分法

笫一类换元积分法是先凑微分，再用新变量“代替0（0,但是有些不定积分需要作相反方式的换元，即令x=（pg把/作为新的积分变量，从而简化积分计算，最

例17求不定积分J才亍a.

解：

令t=Jx-3（t>0）,即x=t24-3,此时dr=2/d/,于是

J注右耳2td.x=2j（/'+3）dx=2（y+3f）+C,再将f=V7二5回代，整理后得J护护=討+6）（—3卡+c.

一般地，

定理2（第二类换元积分法）设函数f（x）在某区间/上连续，乂*如）在/对应的区间上的导数0（f）连续，且0（『）工0,则有换元公式

Jf（x）dx=[]7[0（0]0（/）宙]“山

其中t=（p^（x）是x=0（f）的反函数.

对于被积函数中含有纭帀的不定积分，可令纭帀=4即作变换*=丄（广一b）,（dHO）,心殳严亿以简化计算.

aa

例18求f—

J1+Vx

解：

令V7=tMx=r,dx=2tdt.于是

=2（/—ln|l+f|）+C=2[yfx—ln（l+]+C

例19求不定积分j"严.

例20求不定积分

解：

令/=匹応，则兀=严-1,血=6广df,于是有

]+/2『3『5

1+yr+x

Jl+X

dr=2^1+7+-^/（l+x）5+C.

如果被积函数中含有二次根式yjcr-X2,yla2+X2,ylx2-a2,（d>0）时，通常

采用三角函数换元的方法去掉根号:

含硏卞时，设XFsin/；含、”7时，设

x=atanf；含一川时，设x=asect.

例21求不定积分J/」、心.yja2-x2

7T7T.

解：

x=asint,（-—

22

f（1d.v=f,1acostdt=fdr=r+C.

」J宀/sinhJ

再\hx=asint,得『=3心血丄,将其回代上式，得，fj—!

d.v=arcsin—+C.

aJV«2-x2"

dx（a>0）

解：

^x=asec/（0

y/x2-a2

tant=9

2

于是J—

\lx-c

=dx=fasccttdntjt=fsccfjx=lnlsecf+tan/I+C},根据sect=丄矢口,2」atantJa

因此

=]n（yjx2-a1+x）+C（其中C=G-Ina）

例23求不定积分

JE—4

则有

2

再将FC汽回代，得到

=|lnl3x+>/9x2-4l+C,

解：

x=atant（

22

asee-"t.r,,-|

at=sectat=lnsecr+tan/+C0asectJ

=lnJl+tan'/+tant

=ln（x+y/x2+a2）+C

其中C=Co-Ina.

综上所述，当被积函数含有形如J/-/或厶2±°2的根式时,可作如上三种变换，上述三种变换称为三角代换。

有些函数即可用第一类换元法乂可用笫二类换元积分法来积分。

上面的三个例子中，最后的回代过程可借助直角三角形的边角关系进行。

如当被积函数中含时，设X=«sinr，可作辅助直角三角形如图，易得cosr=\"_「，工、等其它三角函数值；当含有含J/+F时，设ayja2-x2

x=«tanr,可作辅助直角三角形如图牛3；当含有JF—/时，设x=asec7,可作辅助直角三角形如图4・4,

图5」

利用直角三角形的边角关系，即可找出积分结果中新变量/的三角函数还原为原积分变量X的关系式

下面再列出部分初等函数的不定积分，以补充基本积分公式表：

（1）j

tanxdx=-lnIcosxI+C:

（2）I

\cotxdx=-InIsinxI+C；

（3）

JsecAxLv=-lnlsecx+tanxl+C；

（4）escxdx=-InIescx-cotxI+C:

（5）f—cU=—arcsin—+C（oHO）:

」犷+对aa

（6）=—lnl^-^l+C（«^0）；

J/dlaa-x

（7）f.dx=arcsin—+C（a>0）；

（8）f■dx=InIx+\/x2±a2I+C（a>0）；

Jy/x2±a2

（9）[（a2-x2）d.v=—arcsin—+—>ja2-x1+C（a>0）・J2al

有些函数即可用第一类换元法乂可用第二类换元积分法来积分。

例25求fAdx

J77^3

解仁用第一类换元法，得

23丄？

=_（x-3P+6（x-3f+C=FJ（x-3）'+6V7^5+C

解2：

用笫.二类换兀法。

令厶一3=人贝Ijx=厂+3、dx=2tdt

dx

+X

小结：

本节分别讲述了用第一类、第二类换元积分法求函数的积分

作业：

P1893

（2）（3）（6）（7）（8）（9）（10）（15）（17）（20）4

（1）（4）（5）（6）

课堂教学方案（三）

课程名称：

5.4分部积分法授课时数：

2学时

授课类型:

理论课

教学方法与手段：

讲授法

教学目的与要求：

掌握分部积分法的步骤和积分法适用的函数类型。

教学重点、难点：

教学重点：

分部积分法公式的使用，正确地选取函数

v=v（x）求出不定积分；教学难点：

用分部积分法时，掌握对不同的函数

积分怎样选择心），V=