高三向量知识点及典型例题.docx
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高三向量知识点及典型例题
09级高三数学总复习讲义——向量
知识清单一、向量的有关概念
1.向量:
既有大小又有方向的量叫做向量.向量的大小叫向量的模（也就是用来表示向量的有向线段的长度）.
2.向量的表示方法:
⑴字母表示法:
如a,b,c,等.
⑵几何表示法:
用一条有向线段表示向量.如AB,CD等.
⑶坐标表示法:
在平面直角坐标系中,设向量OA的起点O为在坐标原点,终点A坐标为
x,y,则x,y称为OA的坐标,记为OA=x,y.
注:
向量既有代数特征,又有几何特征,它是数形兼备的好工具.
3.相等向量:
长度相等且方向相同的向量.向量可以自由平移,平移前后的向量相等.两向量a与b相等,记为ab.
注:
向量不能比较大小,因为方向没有大小.
4.零向量:
长度为零的向量叫零向量.零向量只有一个,其方向是任意的.
5.单位向量:
长度等于1个单位的向量.单位向量有无数个,每一个方向都有一个单位向量
6.共线向量:
方向相同或相反的非零向量,叫共线向量.任一组共线向量都可以移到同一直线上.规定:
0与任一向量共线.
注:
共线向量又称为平行向量.
7.相反向量:
长度相等且方向相反的向量.二、向量的运算
（一）运算定义
1向量的加减法，②实数与向量的乘积，③两个向量的数量积,这些运算的定义都是“自然的”，它们都有明显的物理学的意义及几何意义.
其中向量的加减法运算结果仍是向量，两个向量数量积运算结果是数量。
研究这些运算,发现它们有很好地运算性质,这些运算性质为我们用向量研究问题奠定了基础,向量确实是一个好工具.特别是向量可以用坐标表示,且可以用坐标来运算,向量运算问题可以完全坐标化.
坐标语言
记
OA=（x1,y1）,OB=（x1,y2）
则OAOB=（x1+x2,y1+y2）
刻划每一种运算都可以有三种表现形式：
图形、符号、坐标语言。
主要内容列表如下：
运算图形语言符号语言加法与减法OA+OB=OC
OBOA=AB
x2-x1,y2-y1）
OA+AB=OB
两个向量的数量积:
①a·b=b·a;②（λa）·b=a·（λb）=λ（a·b）;③
（a+b）·c=a·c+b·c注：
根据向量运算律可知，两个向量之间的线性运算满足实数多项式乘积的运算法则，正确迁移实数的运算性质可以简化向量的运算，
22
例如（a±b）2=a2abb（三）运算性质及重要结论
⑴平面向量基本定理:
如果e1,e2是同一平面内两个不共线的向量,那么对于这个平面内任
一向量a,有且只有一对实数1,2,使a1e12e2，称1e12e2为e1,e2的线性组合。
1其中e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的基底;
2平面内任一向量都可以沿两个不共线向量e1,e2的方向分解为两个向量的和,并且这种分解是唯一的.
这说明如果a1e12e2且a1'e12'e2,那么1122.
3当基底e1,e2是两个互相垂直的单位向量时,就建立了平面直角坐标系,因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础.
向量坐标与点坐标的关系：
当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标，
即若A（x，y），则OA=（x,y）；当向量起点不在原点时，向量AB坐标为终点坐标减去起点坐标，即若A（x1,y1），B（x2,y2），则AB=（x2-x1,y2-y1）
⑵两个向量平行的充要条件符号语言：
a//bab（b0）
坐标语言为：
设非零向量ax1,y1,bx2,y2,则a∥b（x1,y1）=λ（x2,y2），
即x1x2,或x1y2-x2y1=0,在这里,实数λ是唯一存在的,当a与b同向时,λ>0；当a与
y1y2
b异向时,λ<0。
|λ|=|a|,λ的大小由a及b的大小确定。
因此,当a,b确定时，λ的符|b|
号与大小就确定了.这就是实数乘向量中λ的几何意义。
⑶两个向量垂直的充要条件
符号语言：
abab0
⑷两个向量数量积的重要性质：
①a2|a|2即|a|a2（求线段的长度）;
以上结论可以（从向量角度）有效地分析有关垂直、长度、角度等问题,由此可以看到向量知识的重要价值.
注:
①两向量a,b的数量积运算结果是一个数abcos（其中a,b）,这个数的大小与两个向量的长度及其夹角的余弦有关.
2bcos叫做向量b在a方向上的投影（如图）.数量积的几何意义是数量积ab等于a的模与b在a方向上的投影的积.
x1,y2y1）,
③如果P1（x1,y1）,P2（x2,y2）,则P1P2=（x2
（y2y1）2,这就是平面内两点间的距离公式
课前预习
2.平面内三点A（0,3）,B（3,3）,C（x,1）,若AB∥BC，则x的值为（）（A）-5（B）-1（C）1（D）5
3.设a，b，c是任意的非零平面向量，且相互不共线，则：
①（a·b）c（c·a）b=0②|a|-|b|<|ab|
22
3（b·c）a（c·a）b不与c垂直④（3a+2b）·（3a2b）=9|a|2-4b|2中，真命题是（）（A）①②（B）②③（C）③④（D）②④
ab
4.△OAB中,OA=a,OB=b,OP=p,若p=t（），t∈R，则点P在（）
|a||b|
（A）∠AOB平分线所在直线上（B）线段AB中垂线上
（C）AB边所在直线上（D）AB边的中线上
5.正方形PQRS对角线交点为M，坐标原点O不在正方形内部，且OP=（0，3），OS=（4，
0），则RM=（）
（A）（7,1）（B）（7,1）（C）（7，4）（D）（7,7）
222222
6.已知ax,3,b2,4,ab,则实数x=.
7.已知ab2,8,ab6,4,则a,b,a与b的夹角的余弦值是
8．在△OAB中,OA（2cos,2sin）,OB（5cos,5sin）,若OAOB5,则SOAB
▲.；
9.
2），C（-3，-1），BC边上的高为AD，求点D和向
已知ABC的三个顶点分别为A3,3,B6,0,C5,3,求ACB的大小.
10.已知△ABC中，A（2，-1），B（3，
量AD坐标。
11.在△OAB的边OA、OB上分别取点M、
N，使|OM|∶|OA|=1∶3，|ON|∶|OB|=1∶4，
图1
典型例题
、平面向量的实际背景与基本概念
EG1.如图1，设O是正六边形的中心，分别写出图中与BOA、OAB、OC相等的向量。
变式1：
如图1，设O是正六边形的中心，分别写出C
解：
变式2：
如图2，设O是正六边形的中心，分别写出图中与的模相等的向量以及方向相同的向量。
解：
二、平面向量的线性运算
EG2.如图，在平行四边形ABCD中，ABa，ADb，你能用a，b表示向量AC，DB吗？
变式1：
如图，在五边形ABCDE中，ABa，BCb，
CDc，EAd，试用a，b，c，d表示向量CE和变式2：
如图，在平行四边形ABCD中，若，OAa，则下列各表述是正确的为（
OAOBABB
A．
）
．OCODAB
DED.
C．
CDa+bD
．BC（a+b）
变式3：
已知OA=a，OB=b,
OC=c,OD=d,且四边形
ABCD为平行四边形，则（）
A.a+b+c+d=0
B.a－b+c－d=0
C.a+b－c－d=0
D.a－b－c+d=0
A．充分但不必要条件
C．充要条件
变式6：
在四边形ABCD中，AB=a+2b，则四边形ABCD为（）
A.平行四边形B.矩形
变式4：
在四边形ABCD中，若AB1CD，则此四边形是（）
A．平行四边形B．菱形C．梯形D．矩形
变式5：
已知a、b是非零向量，则|a|=|b|是（a+b）与（a－b）垂直的（）
B
D．既不充分也不必要条件
BC=－4a－b，CD=－5a－3b，其中a、b不共线，
C.梯形D.菱形
变式7：
已知菱形ABCD，点P在对角线AC上（不包括端点A、C），则AP等（）
A.λ（AB+AD）,λ∈（0,1）
C.λ（AB－AD）,λ∈（0,1）
2
B.λ（AB+BC）,λ∈（0,）
2
2
D.λ（ABBC）,λ∈（0,2）
2
变式8：
已知D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、
AB的中点，且BC=a，CA=b，
11
AB=c,则下列各式：
①EF=c－b②BE=a
22
+1b
2
1
③CF=－a+
2
12b
④AD+BE+CF=0其中正确的等式的个数为（
A.1
B.2
C.3
EG3．如图，已知任意两个非零向量a、b，试作OAa
OCa+3b，你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗？
为什么？
变式1：
已知OAa+2b，OB2a
（其中a、b是两个任意非零向量）
证明：
∵ABOBOAa+2b，
D.4
+b，OBa+2bb，
AC2AB所以，A、B、
+4b，OC3a+6b，证明：
A、B、C三点共线．
ACOCOA2a+4b，
C三点共线．
变式2：
已知点A、B、C在同一直线上，并且OAa+b，OB（m2）a+2b，OC（n1）a
+3b（其中a、b是两个任意非零向量），试求m、n之间的关系．
EG4.已知四边形ABCD，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，求证：
EFHG
变式1：
已知任意四边形ABCD的边AD和BC的中点分别为
E、
求证：
ABDC2EF.
三、平面向量的基本定理及坐标表示
EG4.已知a=（4，2），b=（6，y），且a//b变式1：
A．
与向量a=（12，
12，-5
1313
，求
平行的单位向量为（
F，
y．
）
C．
B
12
．，-
13
5
13
12
5
D
125
12
5
13
-
13
．，
．1313
或1123，
-
13
5）
1123，153或
变式2：
已知a（1,2），bx,1，
当a+2b与2a－b共线时，x值为（）
A．1
．2C
D．1
2
变式3：
已知A（0,3）
、B（2,0）、
C（－1,3）与AB2AC方向相反的单位向量是（）
A．（0,1）
．（0,－1）
C．（－1,1）
D．（1,
－1）
变式4：
已知a=（1，0），b=（2，1）．试问：
当k为何实数时，ka－b与a+3b平行,平行时它们是同向还是反向？
EG5.设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别为x1，y1，x2，y2．
（1）当点P是线段P1P2上的中点时，求点P的坐标；
（2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求P的坐标
变式1：
已知两点M3,2，N5,5，MP1MN，则P点坐标是
变式4：
设向量2te17e2与向量e1te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围.
EG7.已知|a|＝3，|b|＝4且a与b不共线，k为何实数时，向量a+kb与akb互相垂直？
变式1：
已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，且向量3a+2b与kab互相垂直，则k的值为（）
A．3B．3C．3D．1
222
变式2：
已知|a|＝1，|b|＝2且（a－b）⊥a，则a与b夹角的大小为．
EG8.已知a=（4，2），求与向量a垂直的单位向量的坐标．
变式1：
若i=（1,0）,j=（0,1），则与2i+3j垂直的向量是（）
A．3i+2jB．－2i+3jC．－3i+2jD．2i－3j
变式2：
已知向量a（1,1），b（2,3），若ka2b与a垂直，则实数k=（）
A．ababB．|ab||ab|
C．（ab）（ab）0D．（ab）20
变式4：
已知向量a＝（3，－4），b＝（2，x），c＝（2，y）且a∥b，ac．求|b－c|的值．
EG9.已知A（1，2），B（2，3），C（2，5），试判断ABC的形状，并给出证明．变式1：
O是ABC所在的平面内的一点，且满足OBOCOCOA0，则
ABC一定为（）
A．正三角形B．等腰直角三角形C．直角三角形D．斜三角形
变式2：
已知A、B、C三点不共线，O是△ABC内的一点，若OA＋OB＋OC＝0，则O是△ABC的（）
A．重心B．垂心C．内心D．外心
2
变式3：
已知ABBCAB0，则△ABC一定是（）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形
变式4：
四边形ABCD中，AB（6,1）,BC（x,y）,CD（2,3）
1）若BC//DA，试求x与y满足的关系式；
（2）满足
（1）的同时又有ACBD，求x,y的值及四边形ABCD的面积。
五、平面向量应用举例
EG10.题目意图：
用平面向量的方法证明平面几何命题：
平行四边形两条对角线的平方和等于其两条邻边的平方和的两倍
变式1：
如图，矩形ABCD内接于半径为r的圆O，点P是圆周上任意一点，求证：
PA2+PB2+PC2+PD2=8r2.
变式2：
已知△ABC中，BCa,CAb,ABc，若abbcca，求证：
△ABC为正三角形.
变式3：
已知平行四边形ABCD的两条对角线AC与BD交于E，O是任意一点，求证
OAOBOCOD4OE.
变式4：
四边形ABCD的边AD和BC的中点分别为E、F，
1
求证：
EF（ABDC）
2
实战训练
1.（08全国一3）在△ABC中，ABc，ACb．若点D满足BD2DC，则AD
则BD（）
5.（08陕西卷15）关于平面向量a，b，c．有下列三个命题：
③非零向量a和b满足|a||b||ab|，则a与ab的夹角为60
（ac）（bc）0,则c的最大值是
8.（08辽宁卷5）已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2ACCB0，则OC（）
21
B．OA2OBC．2OA1OB
33
9.（08海南卷8）平面向量a，b共线的充要条件是
C.
D.存在不全为零的实数1，2，1a2b0
10.（08上海卷5）若向量a，b满足a1，b2且a与b的夹角为，则ab．
11.（08全国二13）设向量a（1，2，）b（2，3），若向量ab与向量c（4，7）共线，则．
12.（08北京卷10）已知向量a与b的夹角为120，且ab4，那么b（2ab）的值为．
13.（08天津卷14）已知平面向量a（2,4，）b（1,2）．若ca（ab）b，则|c|．
14.（08江苏卷5）a，b的夹角为120，a1，b3则5ab▲．
15.（08江西卷13）直角坐标平面上三点A（1,2）、B（3,2）、C（9,7），若E、F为线段BC的三等分点，则AEAF=．
16．（08海南卷13）已知向量a（0,1,1），b（4,1,0），|ab|29且0，则=
17（08福建卷17）已知向量m=（sinA,cosA）,n=（3,1），m·n＝1，且A为锐角.
（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）求函数f（x）cos2x4cosAsinx（xR）的值域.
3A3A
18.在ABC中，角A、B、C的对边分别为a,b,c，已知向量m（cos3A,sin3A）,
22
22
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若bc3a,试判断ABC的形状。
19.已知向量b（m,sin2x）,c（cosx2n,）x,Rf,x（）bc，若函数f（x）的图象经过点（0,1）和
I）求m、n的值；
II）求f（x）的最小正周期，并求f（x）在x[0,]上的最小值；
20.在ABC中，A,B,C所对边分别为a,b,c.已知m（sinC,sinBcosA）,n（b,2c）,且mn0.
（Ⅰ）求A大小.
（Ⅱ）若a23,c2,求ABC的面积S的大小.
21.已知向量a（1tanx,1），b（1sin2xcos2x,0），记f（x）ab．
（1）求f（x）的解析式并指出它的定义域；
（2）若f（π）2，且（0,π），求f（）．
852
22.已知向量m（cosx,sinx）,n（cosx,sinx23cosx）,xR,设f（x）mn.
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期.
（Ⅱ）若f（x）24,且x[,],求sin2x的值.
1342
23.（2007年陕西卷理17.）设函数f（x）=a-b,其中向量a=（m,cos2x）,b=（1+sin2x,1）,x∈R,且函数y=f（x）的图象经过点,2，
4（Ⅰ）求实数m的值；（Ⅱ）求函数f（x）的最小值及此时x的值的集合.
24.（07年陕西卷文17）.设函数f（x）a、b.其中向量
a（m,cosx）,b（1sinx,1）,xR,且f（π）2.
（Ⅰ）求实数m的值;（Ⅱ）求函数f（x）的最小值.
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