相似三角形教案定稿.docx

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相似三角形教案定稿

§32．2相似三角形

32．2．1相似三角形的判定

教材分析：

《相似三角形》是在学生已经较为系统的研究了线段的比、成比例线段、形状相同的图形（相似图形）的基础上进行学习和探究的。

本节课立足于学生已有的生活经验、初步的数学活动经历以及已经掌握的有关数学内容，从观察分析生活中存在的形状相同的图形入手，在类比相似图形的基础上通过小组合作探究，逐步探索、揭示、剖析和理解相似三角形的定义。

设计过程中力图通过生动有趣、便于学生活动和交流的问题情境，并通过观察、分析、动手、动脑等活动，进一步丰富学生对相似三角形定义的正确理解和准确把握。

《相似三角形》是继图形的全等之后对图形形状内容的研究，是对图形全等知识的进一步拓广，是从特殊到一般的发展。

力图引导学生观察、分析生活现实和数学现实中的相似现象，总结相似三角形的有关特征并自觉运用到现实之中，逐步形成正确的数学观。

同时，通过《相似三角形》进一步丰富学生的数学活动经验，有意识的培养学生积极的情感、态度、认识数学丰富的人文价值，促进学生观察、分析归纳、概括等一般能力和审美意识的发展。

教学目标：

·知识与能力目标

1．了解相似比的定义，掌握判定两个三角形相似的方法“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”；

2．掌握判定两个三角形相似的方法1：

如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。

3．掌握判定两个三角形相似的方法2：

如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。

4．掌握判定两个三角形相似的方法3：

如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

·过程与方法

1．培养学生的观察﹑发现﹑比较﹑归纳能力，感受两个三角形相似的判定方法1与全等三角形判定方法（SSS）的区别与联系，体验事物间特殊与一般的关系。

2．会运用“三组对应边的比相等的两个三角形相似”及“两组对应边的比相等且它们的夹角相等的两个三角形相似”的方法进行简单推理。

3．培养学生的观察﹑发现﹑比较﹑归纳能力，感受两个三角形相似的判定方法3与全等三角形判定方法（AAS﹑ASA）的区别与联系，体验事物间特殊与一般的关系。

·情感态度价值观

1．让学生经历从实验探究到归纳证明的过程，发展学生的合情推理能力。

2．从认识上培养学生从特殊到一般的方法认识事物，从思维上培养学生用类比的方法展开思维；

3．通过画图、观察猜想、度量验证等实践活动，培养学生获得数学猜想的经验，激发学生探索知识的兴趣。

教学重点：

1．两个三角形相似的判定引例﹑判定方法讲解，引导学生运用两个三角形相似的判定方法判定两个三角形相似。

2．运用两个三角形相似解决实际问题。

教学难点：

1．探究两个三角形相似的条件；

2．在实际问题中建立数学模型,运用两个三角形相似的判定定理解决问题。

教学方法：

教学中要尽量从现实生活的大量实例出发，让学生经历探索相似三角形定义的过程，体验相似三角形与现实世界的密切联系，体会相似三角形与全等三角形之间的内在联系，从而进一步培养学生从三角形相似的角度分析现实问题、提出相关的数学问题，并加以适当解决的自觉意识和能力。

观察、动手操作等实践活动应贯穿于教学活动的始终。

本节课需要学生对图形进行观察、动手操作和直观发现，例如利用方格纸画出相似三角形，内化三角形的定义。

教学中应该充分利用这一内容的特点，经过实践活动，使学生积累丰富的数学活动经验，掌握相似三角形的定义。

强调学生的动手操作，让学生亲身经历观察、画相似三角形等活动帮助学生积累有关数学活动的经验，并在这个过程中通过独立思考、自主探索和合作交流使学生理解相似三角形的定义，形成技能，发展思维能力。

关注数学思想方法的领会与运用.在以前的数学学习过程中,学生对基本数学思想方法有了初步的感受,本节内容蕴涵了数形结合思想、化归思想、类比与归纳的方法等。

教师要注意让学生领会数学知识中所隐含的数学思想方法。

要在具体问题中渗透数学思想方法,进行潜移默化,让学生在获取知识的过程中逐步感受、了解和领悟数学思想方法。

避免脱离知识、过程而讲思想，防止数学思想教条化而导致数学思想失去活力。

在教学中要注意体现研究图形问题的多种方法，关注学生处理图形问题的思维发展水平，加强相关数学内容的联系和综合运用。

本节课虽然以直观发现、活动操作的形式为主，但在经历了图形全等以及图形的平移、旋转、轴对称以后，研究图形的方式方法不断增多，对此教学中要注意体现；在思维水平上，学生已经经历了从佐证、说理到简单推理的过程，所以教学中要有意识地体现从直观发现到逻辑推理的过渡，为下一章学习证明打下必备的基础。

32．2．1．1相似三角形的判定方法1

教学过程:

新课引入：

1．

复习相似多边形的定义及相似多边形相似比的定义

相似三角形的定义及相似三角形相似比的定义

2．回顾全等三角形的概念及判定方法（SSS）

相似三角形的概念及判定相似三角形的思路。

提出问题：

如图1，在∆ABC中，点D是边AB的中点，

DE∥BC，DE交AC于点E，∆ADE与∆ABC有什么

关系？

分析：

观察图1易知AD=

，AE=

，∠A=∠A，∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，只需引导学生证得DE=

即可，学生不难想到过E作EF∥AB。

∆ADE∽∆ABC，相似比为

。

延伸问题：

改变点D在AB上的位置，先让学生猜想∆ADE与∆ABC仍相似，然后再用几何画板演示验证。

归纳：

平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。

探究方法：

探究1

在一张方格纸上任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的k倍，度量这两个三角形的对应角，它们相等吗？

这两个三角形相似吗？

分析：

学生通过度量，不难发现这两个三角形的对应角都相等，根据相似三角形的定义，这两个三角形相似。

（学生小组交流）

在学生小组交流的基础上引导学生思考证明探究所得结论的途径。

分析：

作A1D=AB，过D作DE∥B1C1，交A1C1于点E

∆A1DE∽∆A1B1C1。

用几何画板演示∆ABC平移至∆A1DE的过程

A1D=AB，A1E=AC，DE=BC

∆A1DE≌∆ABC

∆ABC∽∆A1B1C1

归纳：

如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。

符号语言：

若

，则∆ABC∽∆A1B1C1

运用提高：

1．P47练习题1

（2）。

2．P47练习题2

（2）。

课堂小结：

说说你在本节课的收获。

布置作业：

1．必做题：

P55习题27·2题2

（1），3

（1）。

2．选做题：

P55习题27·2题4，5。

3．备选题：

如图，E是平行四边形ABCD的边BC的延

长线上的一点，连结AE交CD于F，则图中共有相似三角形（）

A、1对B、2对C、3对D、4对

设计思想：

本节课主要是探究两个三角形相似的判定引例﹑判定方法1，因此在教学设计中突出了“探究”的过程，先让学生利用刻度尺、量角器等作图工具作静态探究，然后教师再应用“几何画板”等计算机软件作动态探究，从而给学生以深刻的实验几何的数学学习体验。

此外，本课教学设计在引导学生知识重构的维度上重视应用“比较”

“类比”

“猜想”的教学法，促使学生尽可能进行“有意义”的而非“机械、孤立”的认知建构，并在这一建构过程中发展合情推理能力。

32．2．1．2相似三角形的判定方法2

教学过程：

新课引入：

1、复习两个三角形相似的判定方法1与全等三角形判定方法（SSS）的区别与联系：

如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。

（相似的判定方法1）

2、回顾探究判定引例﹑判定方法1的过程

探究两个三角形相似判定方法2的途径

利用刻度尺和量角器画∆ABC与∆A1B1C1，使∠A=∠A1，

和

都等于给定的值k，量出它们的第三组对应边BC和B1C1的长，它们的比等于k吗？

另外两组对应角∠B与∠B1，∠C与∠C1是否相等？

（学生独立操作并判断）

分析：

学生通过度量，不难发现这两个三角形的第三组对应边BC和B1C1的比都等于k，另外两组对应角∠B=∠B1，∠C=∠C1。

延伸问题：

改变∠A或k值的大小，再试一试，是否有同样的结论？

（利用刻度尺和量角器，让学生先进行小组合作再作出具体判断。

）

探究方法：

探究2

改变∠A或k值的大小，再试一试，是否有同样的结论？

（教师应用“几何画板”等计算机软件作动态探究进行演示验证，引导学生学习如何在动态变化中捕捉不变因素。

）

归纳：

如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。

（定理的证明由学生独立完成）

符号语言：

若∠A=∠A1，

=

=k，则∆ABC∽∆A1B1C1

辨析：

对于∆ABC与∆A1B1C1，如果

=

，∠B=∠B1，

这两个三角形相似吗？

试着画画看。

（让学生先独立思考，再进行小组交流，寻找问题的所在，并集中展示反例。

）

应用新知：

例1：

根据下列条件，判断∆ABC与∆A1B1C1是否相似，并说明理由：

（1）∠A＝1200，AB=7cm，AC=14cm，

∠A1＝1200，A1B1=3cm，A1C1=6cm。

（2）∠B＝1200，AB=2cm，AC=6cm，

∠B1＝1200，A1B1=8cm，A1C1=24cm。

分析:

（1）

=

=

∠A=∠A1＝1200

∆ABC∽∆A1B1C1

（2）

=

=

∠B=∠B1＝1200

但∠B与∠B1不是AB﹑AC﹑A1B1﹑A1C1的夹角，

所以∆ABC与∆A1B1C1不相似。

运用提高：

1、P47练习题1

（1）。

2、P47练习题2

（1）。

课堂小结：

说说你在本节课的收获。

布置作业：

1、必做题：

P55习题27·2题2

（2），3

（2）。

2、选做题：

P56习题27·2题8。

3、

备选题：

已知零件的外径为25cm，要求它的厚度x，需先求出它的

内孔直径AB，现用一个交叉卡钳（AC和BD的长相等）

去量（如图），若OA：

OC=OB：

OD=3，CD=7cm。

求此零

件的厚度x。

设计思想：

本节课主要是探究相似三角形的判定方法2，由于上节课已经学习了探究两个三角形相似的判定引例﹑判定方法1，而本节课内容在探究方法上又具有一定的相似性，因此本教学设计注意方法上的“新旧联系”，以帮助学生形成认知上的正迁移。

此外，由于判定方法2的条件“相应的夹角相等”在应用中容易让学生忽视，所以教学设计采用了“小组讨论＋集中展示反例”的学习形式来加深学生的印象。

32．2．1．3相似三角形的判定方法3

教学过程：

新课引入：

复习两个三角形相似的判定方法1﹑2与全等三角形判定方法（SSS﹑SAS）的区别与联系：

如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。

（相似的判定方法1）

如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。

（相似的判定方法2）

提出问题：

观察两副三角尺，其中同样角度（300与600，或450与450）的两个三角尺大小可能不同，但它们看起来是相似的。

如果两个三角形有两组角对应相等，它们一定相似吗？

延伸问题：

作∆ABC与∆A1B1C1，使得∠A=∠A1，∠B=∠B1，这时它们的第三角满足∠C=∠C1吗？

分别度量这两个三角形的边长，计算

﹑

﹑

，你有什么发现？

（学生独立操作并判断）

分析：

学生通过度量，不难发现这两个三角形的第三角满足

∠C=∠C1，

=

=

。

分别改变这两个三角形边的大小，而不改变它们的角的大小，再试一试，是否有同样的结论？

（利用刻度尺和量角器，让学生先进行小组合作再作出具体判断。

）

探究方法：

探究3

分别改变这两个三角形边的大小，而不改变它们的角的大小，再试一试，是否有同样的结论？

（教师应用“几何画板”等计算机软件作动态探究进行演示验证，引导学生观察在动态变化中存在的不变因素。

）

归纳：

如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

（定理的证明由学生独立完成）

符号语言：

若∠A=∠A1，∠B=∠B1，则∆ABC∽∆A1B1C1

应用新知：

例2如图27·2-7，弦AB和CD相交于⊙O

内一点P，

求证：

PA·PB=PC·PD。

分析：

欲证PA·PB=PC·PD，只需

，欲证

只需∆PAC∽∆PDB，欲证∆PAC∽∆PDB，只需∠A=∠D，∠C=∠B。

运用提高：

1、P49练习题1。

2、P49练习题2。

课堂小结：

说说你在本节课的收获。

布置作业：

1、必做题：

P55习题27·2题2（3）。

2、

选做题：

P57习题27·2题11。

3、备选题：

如图AD⊥AB于D，CE⊥AB于E交AB于F，

则图中相似三角形的对数有　　　　　　　对。

课后思考：

在学习全等三角形的时候，我们得到过这样一个结论：

两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等，只有在以下情况下，它们会全等：

①若这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等；

②若这两个三角形均为钝角三角形，它们全等；

③若这两个三角形均为锐角三角形，它们全等。

根据以上结论是判断如果两个三角形的两组对应边成比例，并且其中一组对边的对角对应相等，那么这两个三角形是否一定相似？

参考答案：

回顾全等三角形一章，“边边角”对应相等的三角形不一定全等的反例：

如下图，△ABD和△ACD中，AB=AC，AD=AD，∠D=∠D，显然△ABD和△ACD不全等。

原因就是△ABD是锐角三角形，而△ACD是钝角三角形；也可以理解为虽然有两组边对应相等，但是在△ABD中，∠D所对的边AB是三条边中最短的一条边，而在△ACD中∠D所对的边AC不是三条边中最短的一条边，一旦这样的两个三角形全等，必将与“同一三角形中大角对大边，等角对等边”的理论相悖。

①中可直接由“H·L”证明全等；②中如下图：

△ABC与△A＇B＇C＇中∠A＞90°，∠A＇＞90°，AB=A＇B＇，AC=A＇C＇，∠B=∠B＇，求证△ABC≌△A＇B＇C＇。

证明：

方法

（一）：

如下图：

将△A＇B＇C＇经过翻折、平移、旋转使A＇C＇与AC重合B＇与B位于直线AC异侧，延长CA交线段BB＇于点E，∵AB=A＇B＇，∴∠1=∠2，又∵∠3=∠4，∴∠1+∠3=∠2+∠4，及∠EBC=∠EB＇C，

∴CB=CB＇，又∵AB=A＇B＇，AC=A＇C＇，∴△ABC≌△A＇B＇C＇。

解法

（二）：

如下图，分别由点A，点A＇做AD⊥BC于D，A＇D＇⊥B＇C＇于D＇，先证：

△ADC≌△A＇D＇C＇（AAS），得到AD=A＇D＇，DC=D＇C＇，再证Rt△ADB≌△A＇D＇B＇（HL），得到BD=B＇D＇，

∴DC+BD=D＇C＇+B＇D＇，即BC=B＇C＇，再由AB=A＇B＇，AC=A＇C＇，得到△ABC≌△A＇B＇C＇（SSS）。

根据以上结论：

我们可以推断用“边边角”判定连三角形相似的以下结论：

两个三角形的两组对应边成比例，并且其中一组对边的对角对应相等，那么这两个三角形不一定相似，只有在以下情况下，它们会相似：

①若这两个三角形均为直角三角形，它们相似；

②若这两个三角形均为钝角三角形，它们相似；

③若这两个三角形均为锐角三角形，它们相似。

原因是在证明是否相似时，只需借助第三个三角形△A1B1C1，△A1B1C1满足与△ABC两组对应边相等，一组对边的对角相等，与△A＇B＇C＇相似，且相似比等于条件给出的两组对应边的比，再通过以上结论，举反例当△ABC为锐角三角形，△A1B1C1为钝角三角形时，△ABC与△A1B1C1显然不相似，又因为△A1B1C1与△A＇B＇C＇相似，∴△ABC与△A＇B＇C＇不相似；只有当满足①②③中一个条件时，通过证明：

△ABC≌△A1B1C1，可以得到△ABC与△A＇B＇C＇相似。

设计思想：

本节课主要是探究相似三角形的判定方法3，由于上两节课已经学习了探究两个三角形相似的判定引例﹑判定方法1﹑判定方法2，因此本课教学力求使探究途径多元化，把学生利用刻度尺、量角器等作图工具作静态探究与应用“几何画板”等计算机软件作动态探究有机结合起来，让学生充分感受探究的全面性，丰富探究的内涵。

协同式小组合作学习的开展不仅提高了数学实验的效率，而且培养了学生的合作能力。