人教版八年级上册 第11章 三角形和多边形 讲义Word版无答案.docx

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人教版八年级上册第11章三角形和多边形讲义Word版无答案

一、三角形相关的概念

（一）三角形的概念

三角形和多边形

第一部分概念总汇

1、三角形定义：

由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

2、三角形的边：

组成三角形的线段叫做三角形的边。

3、三角形的顶点：

相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点。

4、三角形的角：

相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。

（二）三角形中的主要线段

1、三角形的高：

从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。

2、三角形的中线：

在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。

3、三角形的角平分线：

三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

（三）三角形的稳定性：

三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。

（四）三角形的分类

1、三角形按边的关系分类如下：

不等边三角形

三角形底和腰不相等的等腰三角形等腰三角形

等边三角形

2、三角形按角的关系分类如下：

直角三角形（有一个角为直角的三角形）

三角形锐角三角形（三个角都是锐角的三角形）斜三角形

钝角三角形（有一个角为钝角的三角形）

3、把边和角联系在一起，又有一种特殊的三角形：

等腰直角三角形。

它是两条直角边相等的直角三角形。

4、在等腰三角形中，相等的两边都叫腰，另一边叫底，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。

（五）三角形的三边关系定理及推论

1、三角形三边关系定理：

三角形的两边之和大于第三边。

推论：

三角形的两边之差小于第三边。

2、三角形三边关系定理及推论的作用：

①判断三条已知线段能否组成三角形

②当已知两边时，可确定第三边的范围。

③证明线段不等关系。

（六）三角形内角和定理：

三角形三个内角的和等于180度。

注：

在同一个三角形中：

等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。

（七）三角形的外角：

三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角

三角形外角的性质：

性质1：

三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。

性质2：

三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

性质3：

三角形的外角和为360度。

（八）三角形的面积

1

三角形的面积=

2

×底×高

二、多边形的有关概念

（一）多边形：

在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形

1、内角：

多边形相邻两边组成的角叫做它的内角

2、外角：

多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角

3、对角线：

连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.

4、正多边形：

各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形

（二）多边形的内角和：

多边形的内角和定理：

n边形的内角和等于（n-2）∙180°

（三）多边形的外角和定理：

任意多边形的外角和等于360°

（四）多边形对角线的条数：

1、从n边形的一个顶点出发可以引（n-3）条对角线，把多边形分词（n-2）个三角形。

2、n边形共有

条对角线。

第二部分例题讲解

例1、如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=56°，AD⊥BC，DE∥CA．求∠ADE的度。

A

E

BDC

【分析】：

根据平行线的性质推知△AED是直角三角形；在直角△ABD中，利用“直角三角形的两个锐

角互余的性质”求得∠BAD=34°；然后在直角△AED中，利用“直角三角形的两个锐角互余的性质”求

得∠ADE的度数．

【解答】：

∵∠BAC=90°，DE∥AC（已知）

∴∠DEA=180°-∠BAC=90°（两直线平行，同旁内角互补）．

∵AD⊥BC，∠B=56°，

∴∠BAD=34°，

在△ADE中，∵DE⊥AB，

∴∠ADE=56°．

变式1、如图，AE，AD分别是△ABC的高和角平分线，且∠B＝36°，∠C＝76°，则∠DAE的度数为（）

A、40°B、20°C、18°D、38°

A

【解答】

∵△ABC中已知∠B=36°，∠C=76，

∴∠BAC=68°．

∴∠BAD=∠DAC=34，

∴∠ADC=∠B+∠BAD=70°，

∴∠DAE=20°．

BDEC

变式2、如图，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°，求∠DAC的度数。

【解答】

∵∠ADB=∠DAC+∠4

∴180°-∠1-∠2=∠DAC+∠4

∠DAC=63°-∠1

∴180°-∠1-∠2=63°-∠1+∠4

∴180°-∠2=63°+∠4

∵∠3=∠4

∠3=∠1+∠2

∴∠1=∠2

∴180°-∠2=63°+2∠2

∴∠1=∠2=39°

∴∠DAC=63°-39°=24°

变式3、如图，在△ABC中，BE是∠ABC的内角平分线，CE是∠ACB的外角平分线，BE、CE交于E点，试探究∠E与∠A的大小关系．

【解答】

∵∠ACD=∠A+∠ABC，CE平分∠ACD，

∴∠ECD=

∠ACD=

（∠A+∠ABC）（角平分线的定义），

∵BE平分∠ABC，

∴∠EBC=

∠ABC（角平分线的定义），

∵∠ECD是△BCE的外角，

∴∠E=∠ECD-∠EBC=

∠A

例2、一个多边形的每一个内角都等于144,则它的内角和等于（）

A.1260B.1440C.1620D.1800

【分析】一个正多边形的每一个内角都相等，根据内角和外角互为邻补角，因而就可以求出外角的度数，根据任何多边形的外角和都是360°，利用360°除以一个内角的度数就可以知道多边形的边数，然后再根据多边形内角和的公式（n-2）*180°，即可求出。

【解答】

多边形的边数是360°÷（180°-144°）=360°÷36°=10，则内角和是（10-2）×180°=1440°

故选择B

变式1、不能作为正多边形的内角的度数的是（）

A．120°B．（128

）°C．144°D．145°

【解答】

A、（n-2）•180°=120•n，解得n=6，所以A选项错误；

B、（n-2）•180°=（12847）°•n，解得n=7，所以B选项错误；C、（n-2）•180°=144°•n，解得n=10，所以C选项错误；

D、（n-2）•180°=145°•n，解得n=727，不为整数，所以D选项正确．故选D．

变式2、两个正多边形的边数之比为1∶2，内角和之比为3∶8，求这两个多边形的边数、内角和。

【解答】

设小正多边形的边为n，大的为2n

则[（n-2）×180]:

[2n-2）×180]=3:

8

8n-16=6n-6

2n=10n=5

5×2=10

答这两个正多边形分别为正5边形和正10边形

变式3、一个多边形截去一个角后,所得的新多边形的内角和为2520°,则原多边形有

条边。

【解答】

设新多边形的边数是n，则（n-2）180°=2520°，解得n=16，

∵截去一个角后的多边形与原多边形的边数可以相等，多1或少1，

∴原多边形的边数是15，16，17．

例3、求图1、2、3中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数。

【分析】都是根据三角形内角和和外角和的性质进行解答

【解答】

（1）∠FGC=∠B+∠E

∠GFC=∠A+∠D

∠FGC+∠GFC+∠C=∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°

（2）∠FGD=∠B+∠E

∠GFD=∠A+∠C

∠FGD+∠DFG+∠D=∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°（3）连接ED

∠A+∠C=∠ADE+∠CED

∠ADE+∠CED+∠B+∠D+∠E=∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°

变式1、如图，已知DC是△ABC中∠ACB的外角平分线，说明为什么∠BAC＞∠B.

【解答】

∵∠BAC是△ACD的一个外角（已知）

∴∠BAC＞∠ACD（三角形的一个外角大于任意与它不相邻的内角）

∵∠ECD是△BCD的一个外角（已知）

∴∠ECD＞∠B

又∵CD是∠ACB的外角平分线（已知）

∴∠ACD=∠ECD

∠BAC＞∠ACD＞∠B

∠BAC＞∠B

变式2、如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B＝70°，∠C＝30°．

（1）求∠BAE的度数；

（2）求∠DAE的度数；A

（3）探究：

小明认为如果只知道∠B－∠C＝40°，也能得出∠DAE的度数？

你认为可以吗？

若能，请你写出求解过程；

若不能，请说明理由

BDEC

【解答】

（1）.∵AE平分∠BAC，∠B＝70°，∠C＝30°

∴∠BAE=

（180°-70°-30°）=40°

（2）.由

（1）知，∠CAE=40°

∵AD⊥BC

∴∠CAD=90°-30°=60°

∴∠DAE=∠CAD-∠CAE=60°-40°=20°

（3）.能

理由如下：

∵AE是角平分线

∴∠BAE=

∵∠BAD=90°-∠B

∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=

-（90°-∠B）=

若∠B-∠C=40°，则∠DAE=20°

变式3、

（1）如图①②,试研究其中∠1、∠2与∠3、∠4之间的数量关系；

（2）如果我们把∠1、∠2称为四边形的外角,那么请你用文字描述上述的关系式.（3）用你发现的结论解决下列问题:

如图,AE、DE分别是四边形ABCD的外角∠NAD、∠MDA的平分线,∠B+∠C=240,求∠E的度数.

【解答】

（1）解：

∵∠3、∠4、∠5、∠6是四边形的四个内角，

∴∠3+∠4+∠5+∠6=360°，

∴∠3+∠4=360°-（∠5+∠6），

∵∠1+∠5=180°，∠2+∠6=180°，

∴∠1+∠2=360°-（∠5+∠6），

∴∠1+∠2=∠3+∠4；

（2）答：

四边形的任意两个外角的和等于与它们不相邻的两个内角的和；

（3）解：

∵∠B+∠C=240°，

∴∠MDA+∠NAD=240°，

∵AE、DE分别是∠NAD、∠MDA的平分线，

∴∠ADE=

∠MDA，∠DAE=∠NAD，

∴∠ADE+∠DAE=

（∠MDA+∠NAD）=

×240°=120°，

∴∠E=180°-（∠ADE+∠DAE）=180°-120°=60°．

第三部分课后作业

1、已知等腰三角形的一个外角是120°，则它是（）

A.等腰直角三角形B.一般的等腰三角形C.等边三角形D.等腰钝角三角形

2、一个多边形的边数增加一倍，它的内角和增加（）

A.180°B.360°C.（n-2）·180°D.n·180

3、已知三角形的三个外角的度数比为2∶3∶4，则它的最大内角的度数（）.A.90°B.110°C.100°D.120°

4、如图所示，在△ABC中E、F分别在AB、AC上，则下列各式不能成立的是（）

A．∠BOC=∠2+∠6+∠AB．∠2=∠5-∠AC．∠5=∠1+∠4D．∠1=∠ABC+∠4

5、如图，若∠A=32°，∠B=45°，∠C=38°，则∠DFE等于

6、将一个三角形截去一个角后，所形成的一个新的多边形的内角和。

7、如图,已知∆ABC中,∠ABC和∠ACB的角平分线BD,CE相交于点O.

A

（1）若∠ABC=50︒，∠ACB=70︒，则∠B0C=；

（2）若∠ABC=48︒，∠ACB=64︒，则∠B0C=；

（3）若∠A=60,则∠B0C=；O

（4）请探究∠A与∠BOC的关系.

8、

（1）如图①：

求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数。

BC

（2）当图①变为图②时，求上面六个角的和。

（3）当图①变为图③时，求上面六个角的和。

①②③

9、已知：

如图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，如图，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相

交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：

（1）在图中，若∠D=40°，∠B=30°，试求∠P的度数；（写出解答过程）

（2）如果图中∠D和∠B为任意角，其他条件不变，试写出∠P与∠D、∠B之间数量关系．

10、如图甲，在△ABC中，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC．

（1）若∠B=30°，∠C=70°，则∠DAE=；

（2）若∠C﹣∠B=30°，则∠DAE=；

（3）若∠C﹣∠B=a（∠C＞∠B），求∠DAE的度数（用含a的代数式表示）；

（4）如图乙，当∠C＜∠B时我们发现上述结论不成立，但为了使结论的统一与完美，我们不妨规定：

角度也有正负，规定顺时针为正，逆时针为负．例如：

∠DAE=﹣18°，则∠EAD=18°，作出上述规定后，上述结论还成立吗？

；若∠DAE=﹣7°，则∠B﹣∠C=°．