平行四边形经典题型培优提高.docx
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平行四边形经典题型培优提高
平行四边形经典题型
（培优提
中心对称与平行四边形的判定
知识归纳
1.中心对称图形的定义：
把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原图形重合，那么就说这个图形是中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
分析：
一个图形；围绕一点旋转1800；重合.
2.思考：
中心对称与中心对称图形有什么区别和联系?
1）区别：
中心对称是指两个全等图形之间的位置关系，成中心对称的两个图形中，其中一个图形上所有点关于对称中心的对称点都在另一个图形上，反之，另一个图形上所有点关于对称中心的对称点都在这；而中心对称图形是指一个图形本身成中心对称，中心对称图形上所有点关于对称中心的对称点都在这个图形本身上.
2）联系：
如果将中心对称的两个图形看成一个整体
（一个图形），那么这个图形就是中心对称图形；一个中心对称图形也可以看成是关于中心对称的两个图形.
3.中心对称图性质
1）中心对称图形的对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分．
2）中心对称图形的两个部分是全等的．注：
常见的中心对称图形有：
矩形，菱形，正方形，平行四边形，圆,边数为偶数的正多边形，某些规则图形等．
正偶边形是中心对称图形正奇边形不是中心对称图形如：
正三角形不是中心对称图形、等腰梯形不是中心对称图形
4.平行四边形的性质：
1平行四边形两组对边相等。
2平行四边形两组对角相等。
3平行四边形对角线互分平分。
5.平行四边形判定：
定理1、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
定理2、两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
定理3、对角线互相平分的四边形是平行四边形。
定理4、两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
6.三角形的中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
7.逆定理1：
在三角形内，与三角形的两边相交，平行且等于三角形第三边一半的线段是三角
形的中位线
逆定理2：
在三角形内，经过三角形一边的中点，且与另一边平行的线段，是三角形的中位线。
第四节：
中心对称图形
课堂练习
1.下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称
图形的是（）
A•正三角形B•平行四边形
C.等腰直角三角形D.正六边形
2.下列图形中，不是中心对称图形的是（）
3.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）.
（B）心（D）
4.下三图是由三个相同的小正方形拼成的图
形，请你再添加一个同样大小的小正方形，使所得的新图形分别为下列A,B,C题要求的图形，请画出示意图.
（1）是中心对称图形，但不是轴对称图形；
（2）是轴对称图形，但不是中心对称图形；
（3）既是中心对称图形，又是轴对称图形.
A
第五节：
平行四边形的判定
例题讲解
例1：
判断下列说法的正误，如果错误请画出反例图
1一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形。
（）
2一组对边相等，另一组对边平行的四边形
是平行四边形.（）
3一组对边平行，一组对角相等的四边形是
平行四边形.（）
4一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
5两组邻角互补的四边形是平行四边形
（）
6相邻两个角都互补的四边形是平行四边
形。
（）
7对角互补的四边形是平行四边形
（）
8一条对角线分四边形为两个全等三角形,
这个四边形是平行四边形（）
9两条对角线相等的四边形是平行四边形
（）
例2:
如图所示，平行四边形ABCD中，M、N分别为AD、BC的中点，连结AN、DN、BM、
CM，且AN、BM交于点P，CM、DN交于点
Q.四边形MGNP是平行四边形吗？
为什么？
变式1：
CABCD中，E在AB上，F在CD上，且AE=CF,求证：
FM=NEME=NF
课堂练习：
1•点A，B，C，D在同一平面内，从四个条件
中
（1）AB=CD,
（2）ABIICD,（3）BC=AD,
（4）BCIIAD中任选两个，使四边形ABCD是平行四边形，这样的选法有（）
A.3禾申B.4禾申C.5禾申D.6禾申
2.如图所示，□ABCD的对角线AC、BD交于0,
EF过点0交AD于E，交BC
于F,G是0A的中点，H是
0C的中点，四边形EGFH是平行四边形，说明理由.
3.如图：
在四边形ABCD中，ADIIBC，且AD
>BC，BC=6cm，AD=9cm，P、Q分别A、
C同时出发，P以1cm/s的速度由A向D运
动，Q以2cm/s的速度由C向B运动，
秒时直线QP将四边形截出一个平行四边形.
4.如图，在Rt△ABC中，/BAC=90，AB=3，
AC=4，将△ABC沿直线BC向右平移2.5个
单位得到△DEF，AC与DE相交于G点，连
接AD，AE，则下列结论中成立的是.
1四边形ABED是平行四边形；
2、AGD轻\CGE;
3厶ADE为等腰三角形；④AC平分/EAD.
5.在平面直角坐标系XOY中，有A（3,2）,B
（-14）,P是X轴上的一点，Q是Y轴上的一点，若以点A,B,P,Q四个点为顶点的四边形是平行四边形，贝UQ点的坐标是.
6.如图1,图2,△ABC是等边三角形，D、E分别是AB、BC边上的两个动点（与点A、B、C不重合），始终保持BD=CE.
（1）当点D、E运动到如图1所示的位置时，求证：
CD=AE.
（2）把图1中的△ACE绕着A点顺时针旋转60°到厶ABF
的位置（如图2）,分别连接DF、EF.
①找出图中所有的等边三角形
（△ABC除外）,并对其中一个给站
予证明;
②试判断四边形CDFE的形状，并说明理由.
7.如图，以△ABC的三条边为边向BC的同一侧作等边厶ABP、等边△ACQ，等边△BCR，求证：
四边形PAQR为平行四边形。
PD
8.等边三角形ABC的边长为a，PABC内一点，且PD//AB,PEIIBC,PF//AC，那么，PD+PE+PF的值为一个定值.这个定值是多少？
请你说出这个定值的来历.
9.如图所示，M、N分别为平行四边形ABCD边BC、CD上的点，且MN//BD，贝VAND的面积ABM的面积怎样？
请说明理由.
10.如图，某村有一口呈四边形的池塘，在它的四个角A、B、C、D处均种有一棵大核桃树，这村准备开挖池塘建养鱼池，想使池塘面积扩大一倍，又想保持核桃树不动，并要求扩建后的池塘成平行四边形形状，请问这村能否实现这一设想？
若能，请你设计并画出图形；若不能，请说明理由.
D
11.如图，四边形ABCD是一块某地示意图，EFG是流经这块菜地的水渠，水渠东边的地属张家承包，西边的地属李家承包，现村委会在田园规划中需将流经菜地的水渠取直，并要保持张、李两家的承包土地面积不变，请你设
计一个挖渠的方案，就在给出的图形上画出设
计示意图，并说明理由.
第六节：
三角形的中位线
1.如图，△ABC中，AB=AC=6，BC=8，AE平分/BAC交BC于点E,点D为AB的中点，连接DE，则△BDE的周长是（）
A.7+口B.10C.4+2口D.12
2.如图，已知四边形ABCD中，R,P分别是
BC,CD上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当点P在CD上从C向D移动而点R不动时，那么下列结论成立的是（）
A•线段EF的长逐渐增大长逐渐减少
C.线段EF的长不变长与点P的位置有关
3.
B.线段EF的
D.线段EF的
1
C.3:
2D.4:
3
如图DE是厶ABC的中位线，F是DE的中点，CF的延长线交AB于点G，贝VAG:
GD
4.如图，在四边形ABCD中，AD=BC,E,F,
G分别是AB,CD,AC的中点，若
/DAC=20，/ACB=66，则/FEG等于
C.11.5°D.23°
5.如图，M是厶ABC的边BC的中点，AN平分/BAC，且BN丄AN，垂足为N，且AB=6,
BC=10,MN=1.5，则△ABC的周长是（）
A.28B.32C.18D・25
6.如图，在△ABC中，D、E、F分别为BC、
AC、AB的中点，AH丄BC于点H,FD=8cm,则HE的值为（）
A.20cmB.16cmC.12cmD.8cm
7.已知：
如图所示，在△ABC中，点D,E,F分别为BC,AD,CE的中点，且SaABc=4cm2,则阴影部分的面积为cm2.
8.
如下图，已知BE、CD分别是△ABC的角平分线，并且AE丄BE于E点，
AD丄DC于D点.求证：
（1）
DEIIBC;
（2）
9.如图，已知四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点0,ACBD,M、N分别是AB、CD的中点，M、N分别交BD、AC于E、F。
求证：
OEF是等腰三
10.已知：
如图，在四边形ABCD中，AD=BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F.
求证：
/DEN=/F.
16
课下练习
1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A•平行四边形B•正八边形C•等腰
梯形D.等边三角形
2.下面的说法中，正确的是（）
A.对角分别相等的四边形是平行四边形
B•两边分别相等的四边形是平行四边形
C.一组对边平行的四边形是平行四边形
D.—组对边相等的四边形是平行四边形
3.根据下列条件，能作出平行四边形的是（）
A.两组对边的长分别是3和5
B.相邻两边的长分别是3和5,且一条对角线长为9
C.一边的长为7,两条对角线的长分别为
6和8
D.—边的长为7,两条对角线的长分别为
6和5
4.如图，DE是厶ABC的中位线，M是DE的中点，CM的延长线交AB于点N，则Sadmn:
S四边形ANME等于（）
1:
4
C・2:
5D.2:
7
5.如图，已知矩形ABCD中，R、P分别是DC、
BC上的点，E、F分别是AP、RP的中点，当P在BC上从B向C移动而R不动时，那么下列结论成立的是（）
A
p
\
B
c
A•线段EF的长逐渐增大B.线段EF的
长逐渐减小
C.线段EF的长不改变D.线段EF
的长不能确定
6.如图：
Ai,Bi,Ci分别是BC,AC,AB的中点，A2,B2,C2分别是BiCi,AiCi,AiBi的中点…这样延续下去.已知△ABC的周长是i,△AiBiCi的周长是Li,△ABC的周长是L2…AnBnCn的周长是Ln,贝Ln=_
7.如图，在△ABC中，AB=AC・M、N分别是
AB、AC的中点，D、E为BC上的点，连接
DN、EM.若AB=13cm,BC=10cm,DE=5cm,
则图中阴影部分的面积为cm2.
8.如图，在矩形ABCD中，BC=20cm,P、Q、
M、N分别从A、B、C、D出发，沿AD、BC、
CB、DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止、已知在相同时间内，若BQ=xcm
（x工0，贝VAP=2xcm，CM=3xcm，DN=x2cm，
（1）当x为何值时，点P、N重合；
（2）当x为何值时，以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形.
AF
D
BQ.W
C
B
C
*
9.如图，已知AD为厶ABC的角平分线，ABV
AC，在AC上截取CE=AB,M、N分别为BC、AE的中点•求证：
MNIIAD.
10.
（1）如图所示，BD,CE分别是△ABC的
外角平分线，过点A作AF丄BD,AG丄CE,垂足分别为F,G，连接FG，延长AF,AG,与直线BC分别交于点M、N，那么线段FG与厶ABC的周长之间存在的数量关系是什么？
即：
FG=__（AB+BC+AC）（直接写出
结果即可）
（2）如图，若BD,CE分别是△ABC的内角平分线；其他条件不变，线段FG与厶ABC三边之间又有怎样的数量关系？
请写出你的猜想，并给予证明.
（3）如图，若BDABC的内角平分线，CE
ABC的外角平分线，其他条件不变，线段FG与厶ABC三边又有怎样的数量关系？
直接写出你的猜想即可.不需要证明.答：
线段FG与厶ABC三边之间数量关系是—
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