数理方程练习题文档格式.docx
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得
[]00（
0（
2cos（011（,（（cos（0
22（01
cos22cossincos（1cos（sin（2xat
xatxatxat
xattxatdxatuxtxatxatddxatxatadxatddaxatxxatatxxataatττξξξξξξτξξτ+-+-
+-+---⎧-≥⎪⎪⎪⎪
=++-++-≤≤+⎨⎪⎪
⎪+≤⎪⎩+⎧⎪
=+-+-++⎨⎰⎰⎰⎰⎰⎰①②
③⎪⎩
解u（x,t在不同区域上的表达式见下图。
图3.8
例3解在半无界问题
20000（,（0,sin（00
（0ttxxtttxuauxtuxuxxut+===⎧+=∈⨯∞⎪⎪
==≤≤∞⎨⎪
=≥⎪⎩R
解易知定理3.5的条件满足,从而
（（1sin（22（,（（1sin（
22sinsinsinsinsinsinxat
atxxatxatdxatauxtxatatxdxataxxat
xatxxat
ξξξξ+-+-⎧+--+<
⎪⎪=⎨+--⎪+≥⎪⎩
+<
⎧=⎨+≥⎩=+⎰⎰
例1求解二维Cauchy问题
2220
00（,,（0,0（（,tttttuauxytuuxxyxy==⎧-∆=∈⨯∞⎪⎨==+∈⎪⎩RR
解由于
[]
22222232（,（cos（cos（sin（2（cos（cos（cossin2cos（cossincos（cossin
xrxryxxyxxyrxyrxrxrrψξηθθθθθθθθθθθθθ=++++=+++++++++++而
2022
20220
cos0
coscos（cossincos（cossin0ddddπ
π
θθθθπ
θθθθ==+=+=⎰⎰⎰⎰
与
at
at=
2222
00333
112212
（（（33
atatatat=+-=-=⎰
所以
几个函数的Fourier变换
例10（00
ax
ex
fxax-⎧≥=>
⎨
<
⎩
解由定义有
（0
（ix
iax
fxedxedxλλ+∞
+∞
--+===⎰⎰例21
||（0
||axa
xxa
≤⎧∏=⎨
>
（a
ixix
--=
=⎰
⎰
iaiaλλ-=
例32
（xfxe
-=
解由定义与分部积分
（（（ixxix
Fffxedxeedx
λλ
λ
+∞+∞
---
==
⎰⎰
22
（（
xixxix
x
exeedx
id
FxeFf
d
λλλ
----
-∞
-
⎧⎫
=+⎬
⎭
⎡⎤
==-
⎣⎦
显然（
Ff满足如下的常微分方程的Cauchy问题
（
（（0x
dFf
Ff
Ffedx
⎧
=-
⎪
⎪==
⎪⎩
解之得
4
（（（（
FeFf
λλ-
-==
例4||
（ax
fxe-
解设
1
00
fx
⎧≥
=⎨
则
11
（（（
fxfxfx
=+-,由性质1、6及例1得
112222
（（（（（
aiai
FfFfxFfx
aa
-+⎫
=+-=+=⎪
++⎭
例5
Aaxb
gx
≤≤
解由于
bc
ab
gxAx
+
⎛⎫
=∏-
⎝⎭
由性质5及例2得
i
bcbc
FgxAFxAeFx
--
⎡⎤⎛⎫
=∏-=∏
⎢⎥
⎣⎦⎝⎭
sin2abibaλ
+--=
例62
（Axpxe
-=（A>
解设2
1（xpxe-=,
则1（pxp=由性质6与例3有
1（（（（（（（AxFeFpxFpλλλ-==
241（（（xAFpxFeλ
--===
特别地,取1
2A=得2
2（xFeeλλ--
⎛⎫=⎪⎪⎝
。
例7设22
（（aFfeλλ-=,求1（（（FFfx-
解设2
1（（Ffeλλ-=,则1（（（（FfFfλλ=,应用性质7,5与例3有
例1磁致伸缩换能器、鱼群探测换能器等器件的核心是两端自由的均匀杆,它作纵振动.研究两端自由棒的自由纵振动,即定解问题。
200,0（,0（,（,0（0（0,（,00ttxxtx
xuauxltuxxuxxxl
utulttϕψ⎧-=<
==≤≤⎨⎪==≥⎩（0.0.1
解先以分离变数形式的试探解（,（（uxtXxTt=代入（0.0.1的方程和边界条件得
0TaTtλ'
+=>
（0.0.2
及
00（（0（0
XXxlSLXXlλ'
+=<
⎧-⎨
==⎩
解（S-L得其特征值为
0,1,2,nnnlπλ⎛⎫==⎪
（0.0.3
相应的特征函数为
（cos
0,1,2,nnxXxnl
π==（0.0.4
将特征值为（0.0.3代入（0.0.2解得
000（0
（cossin1,2,nnnTtABt
nnana
TtAtBtnllππ=+==+=
（0.0.5于是得到本征振动
000（,0（,cossincos1,2,n
nnuxtABt
nnananuxtAtBtxnlllπππ=+=⎧⎪
⎨⎛
⎫=+=⎪⎪⎝⎭⎩
所有本征振动的叠加得到一般解u（x,t,即
001（,cossincosnnnananuxtABtAtBtxlllπππ∞
⎛⎫=++
+⎪
⎝
⎭∑（0.0.6
适当选取（0.0.6中的系数是他满足初始条件,及令
01
（,0cos
（nnuxAAxxl
ϕ∞
=+=∑两边乘（（cos
π==并从0到l积分得
2（（cos1,2,l
l
nnAdAdnlllπϕξξ
ϕξξξ⎛⎫
===⎪⎝⎭
⎰⎰（0.0.7
由
（,0cos（tnannuxBBxxllπ
πψ∞⎛⎫
=+=
∑两边乘（（cos
0,1,2,nnx
Xxnl
nnBdAdnlanlπψξξ
ψξξξπ⎛⎫===⎪⎝⎭
⎰⎰（0.0.8答案（0.0.6中的00ABt+描写杆的整体移动,其余部分才真正描写杆的纵振动.从（0.0.7、（0.0.8知道A0与B0分别等于平均初始位移和平均初始速度。
由于不受外力作用,
杆以不变的速度B0移动。
解（0.0.6正是傅里叶余弦级数。
这是在x=0和l=0处的第二类齐次边界条件决定的。
例2研究细杆导热问题。
初始时刻杆的一端温度为零度,另一端温度为u0,杆上温度梯度均匀,零度的一端保持温度不变,另一端跟外界绝热。
试求细杆上温度的变化。
解杆上温度（,uxt满足下面的初边值问题
220
00,0（（,00（0,（,00
txxxuauxltakxuxuxllutulttρ⎧-=<
=⎪
=≤≤⎨⎪
==≥⎪⎩（0.0.9
先以分离变数形式的试探解（,（（
uxtXxTt=代入初边值问题（0.0.9的方程及边界条件得
（0.0.10
（211,2,2nnnlπλ-⎛⎫==⎪
（0.0.11
（21（sin1,2,2nnXxxnl
-⎛⎫==
⎪⎝⎭
（0.0.12
将特征值为（0.0.11代入（0.0.10解得2
（212（1,2,nat
lnnTtAe
nπ-⎛⎫
-⎪⎝⎭
==（0.0.13
从而一般解u（x,t为
（2121
（21（,sin2nat
lnnuxtAe
xlππ-⎛⎫∞
-⎛⎫
∑（0.0.14
适当选取（0.0.14中的系数是他满足初始条件,及令
（21（,0sin（02nnuuxAxx
xlllπ∞
-⎛⎫==<
⎪⎝⎭∑
两边乘（21sin2nxlπ-⎛⎫
并从0到l积分得002
02（21（12sin1,2,2122l
knunulAdnlllnπξξξπ--⎛⎫===⎪⎝⎭⎡⎤
⎛⎫-⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦⎰（0.0.15代入（0.0.14得
（2
1202
（12（
21（,
sin2122nak
t
lulnuxtexlnπππ-⎛⎫∞
--⎛⎫=
⎭⎣⎦∑
（0.0.16应当着重指出:
如果考虑早先的时刻即考虑t<
0,则2
12nat
le
π-⎛⎫-⎪⎝⎭
随n的增大而急剧增大,
从而级数解（0.0.16发散1,成为无意义。
这是可以理解的,因为杆上温度分布总是趋于某种
平衡状态,而且只要边界条件相同,不管初始温度分布是怎样的,总是趋于同一平衡状态,所以从某个时刻的温度分布可以推算以后时刻的温度分布,却不能反推早先时刻的温度分布。
这是输运过程不同于振动过程的地方。
例3散热片的横截面为矩形。
它的一边y=b处于较高温度V,其他三边b=0,x=0,x=a则处于冷却介质中因而保持较低的温度v求解这横截面上的稳定温度分布Ux,y即定解问题
0;
0（0,,（,0（,0,（,（0xxyyuuxaybuyvuayvybuxvuxbVxxa+=<
⎧⎪
=<
⎨⎪==<
（0.0.17
解这是二维拉普拉斯方程的第一类边界值问题。
由于不含初始条件,拉普拉斯方程的
边界条件不可能全是齐次的,因为这种条件下的解只能是零。
但是,尽可能把一些边界条件
这是扩散过程不可逆的表现。
化为齐次,毕竟会带来一些方便.常用的办法是把u（x,y分解为v（x,y和w（x,y的线性叠加,
（,（,（,uxyvxywxy=+（0.0.18
其中v（x,y和w（x,y分别满足拉普拉斯方程,并各有一组齐次边界条件,即
0（0,,（,0（,00,（,00xxyyvvxaybvyvvayvyb
vxvxbxa+=<
==<
（0.0.19
00;
0（0,0,（,0
0（,0,（,（0xxyywwxaybwywayybwxvwxbVxxa+=<
（0.0.20
很容易验证,把v和w的泛定方程叠加起来就是u的泛定方程,把v和w的边界条件
叠加起来就是u的边界条件。
于是,问题转化为求解v和w,而v和w各有两个齐次边界条件可以构成本征值问题,不难分别解出.
其实,本例还有一个特殊的简便方法,就是令
（,（,vxyuxyv=-（0.0.21
则原边值问题化为
0（0,0,（,00（,00,（,（0xxyyvvxaybvyvayyb
vxvxbVxvxa+=<
⎨⎪==-<
（0.0.22
以分离变数形式的试探解
（,（（vxyXxYy=（0.0.23
代入（0.0.22的泛定方程和齐次边界条件,可得
0YYλ'
-=（0.0.24
（（00,（0XXSLXXaλ'
+=⎧-⎨
解（S-L得得特征值为
1,2,nnnaπλ⎛⎫
==⎪
（0.0.25
（sin
1,2,nnXxxna
π==（0.0.26
将特征值（0.0.25代入（0.0.24解得
（1,2,nnyya
nnnYyAe
Be
nππ-
=+=（0.0.27
其中An,Bn为任意常数。
这样,分离变数形式的解已求出为
（,sin1,2,nny
yaa
nnnnvxyAeBex
naπππ-⎛⎫=+=⎪⎝⎭
（0.0.28
称为本征解.（0.0.22的一般解v（x,y应是这些本征解的叠加
1（,sinnnyyaannnnvxyAeBexaππ
∞
-=⎛⎫=+⎪⎝⎭
∑（0.0.29
An,
Bn由（0.0.22的非齐次边界条件来确定,即
（11（,0sin0（,sin（nnnnnbbaann
nnvxABxanvxbAeBexVxvaππππ∞
=∞-=⎧
=+=⎪⎪
⎨⎛⎫⎪=+=-⎪⎪⎝⎭⎩∑∑
（0.0.30把右边展开为傅里叶正弦级数。
然后比较两边系数,即得
000
（sin（4（sin（nnannbbaa
nna
ABnVxxdxnaAeBe
nVxxdxv
nanππ
πππ-+=⎧⎪
⎧⎛⎫
⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪+=⎨⎪⎛⎫
⎪⎪
-⎪⎪⎪⎝⎭
⎰⎰为偶数为奇数
由此解出
01（sin（14（sin（a
nnbbaanna
nnbbaanVxxdxnaeeABnVxxdxvnanee
πππππππ--⎧⎛⎫
⎪⎪⎝⎭⎪⎪-=-=⎨⎛⎫⎛⎫⎪-⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪-⎩⎰⎰为偶数为奇数（0.0.31例2求解定解问题
000cossin0,0
0,0tt
xxxxxxltttxuauAtl
uuuuπω====⎧-=⎪⎪⎪
==⎨⎪
==⎪⎪⎩
解应用Duhamel原理,先求解
2000,00,cossinttxxxxxxlttttvavvvxvvAlτπωτ
====⎧
⎪-=⎪⎪
⎪'
==⎪⎩
参照边界条件,试把解v展开为傅里叶余弦级数
（,;
（,cos
nnnx
vxtTtxl
πτ∞
==∑代入泛定方程得
0cos0nnnanxTTllππ∞
=⎡⎤'
+=⎢⎥⎣⎦
∑由此分离出（nTt的常微分方程
0nnaTTl
π'
+=这个常微分方程的解是
000（;
（;
（cos（sin
nnnTtABtnatnatTtABnll
ττττπτπττττ=+---=+≠
这样,解v的傅里叶余弦级数是
001（,;
（（（cos（sincos
nnnvxtABtnatnatnxABlllττττπτπτπττ∞
==+---⎛
⎫++⎪⎝
⎭∑至于系数（nAτ和（nBτ则由初始条件确定。
为此,把上式代入初始条件得
01（（cos
0（（coscossinnnnnnx
AAlnanxx
BBAlllπττπππττωτ
=∞
=+=+=∑∑右边的cossinx
Al
πωτ也是傅里叶余弦级数,它只有一个单项即n=1的项。
比较两边系数,
1（0,,
（sin,（0（1nnl
An
BA
Bna
ττωττπ=∀==≠
到此,求出
（（,;
sinsincoslatxvxtA
all
πτπτωτπ-=按照（131,得出答案
02222
（,（,;
cossinsin1
sinsincostt
lxatuxtvxtdAdallAlataxtalllalππτττωττππππωωπωπ-==⎛⎫=
-⎪
-⎝⎭
对热传导问题,如泛定方程是非齐次的,完全可以仿照冲量定理加以处理。
例3求解定解问题
200sin0,00
txxxxxltuauAtuuuω===⎧-=⎪⎪
==⎨⎪=⎪⎩解首先应用Duhamel原理,0
uxtvxtdττ=⎰
其中（,;
vxtτ是如下定解问题的
2000,0sintxxxxxxltvavvvvAτωτ
===⎧-=⎪
=⎩用分离变数法解之得
12（
12sin1
2（,;
sin12
na
tlnnAvxte
xl
nπτπωτ
τπ
⎛⎫+⎪⎝⎭∞
--=⎛⎫+⎪⎝⎭=
+∑
从而
12（000
1212（,（,;
sinsin12
natttlnnxAuxtvxtdedlnπτπττωττπ⎛⎫+⎪⎝⎭∞--=⎛⎫+⎪⎝⎭==+∑⎰⎰2
022
1212112sin112212sincosnnat
lnxAlnnalnattelππππωπωωωω∞
=⎡⎤
⎛⎫-+⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦⎛⎫+⎪⎝⎭=⋅⎡⎤
+++⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦
⎡⎤⎛⎫⎛⎫+⎢⎥⎪⎪⎝⎭⎢⎥⎪
⋅-+⎢⎥⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣
⎦
∑
例2弦的x=0端固定而x=l端受迫作谐振动sinAtω,则弦的初始位移和初始速度都是零,求弦的振动。
这个定解问题是
200000,sin0,0
ttxxxxltttuauuuAtuuω====⎧-=⎪⎪
==⎨⎪==⎪⎩（0.0.32
x=l端为非齐次边界条件。
如果按上述一般处理方法,应取（,sinvxtAtω=,但是,相应的（,wxt的定解问题中泛定方程为222（（sinttxxttxxwawvavAxtωω-=--=,是非齐次方程,求解麻烦。
能否有较为简便的方法呢?
由于求解的是弦在x=l端受迫作谐振动sinAtω情况下的振动,它一定有一个特解
（,vxt,满足（0.0.32的齐次方程、非齐次边界条件,且跟x=l端同步振动,即其时间部分
的函数亦为sintω,就是说,特解具有分离变数的形式
（,（sinvxtXx
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