版浙江数学知识清单与冲A训练8 直线平面平行.docx
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版浙江数学知识清单与冲A训练8直线平面平行
知识点一 直线与平面平行的判定定理
自然语言
________一条直线与此平面内的一条直线________，则该直线与此平面平行
符号语言
________，b⊂α，且a∥b⇒a∥α
图形语言
知识点二 直线与平面平行的性质定理
自然语言
一条直线与一个平面平行，则________________的任一平面与此平面的交线与该直线________
符号语言
________，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b
图形语言
作用
证明两直线平行
知识点三 平面与平面平行的判定定理
自然语言
一个平面内的________直线与另一个平面平行，则这两个平面平行
符号语言
a⊂β，b⊂β，________，a∥α，________⇒β∥α
图形语言
推论：
如果在两个平面内，各有两组相交直线对应平行，那么这两个平面平行．
知识点四 平面与平面平行的性质
1．平面与平面平行的性质定理
自然语言
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线________
符号语言
α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b
图形语言
作用
证明两直线平行
2.平面与平面平行的性质
如果两个平面平行，那么某一个平面内的直线与另一个平面平行．
例1 如图，在四面体A－BCD中，截面PQMN是正方形，则下列结论错误的是（ ）
A．AC⊥BD
B．AC∥截面PQMN
C．AC＝BD
D．异面直线PM与BD所成的角为45°
例2 已知平面α∥平面β，P是α，β外一点，过点P的直线m与α，β分别交于点A，C，过点P的直线n与α，β分别交于点B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，则BD的长为（ ）
A．16B．24或
C．14D．20
例3 （2016年10月学考）如图，在四面体ABCD中，AB＝CD＝2，AD＝BD＝3，AC＝BC＝4，点E，F，G，H分别在棱AD，BD，BC，AC上，若直线AB，CD都平行于平面EFGH，则四边形EFGH面积的最大值是（ ）
A.
B.
C．1D．2
例4 如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，M，N分别是下底面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝
，过点P，M，N的平面交上底面于PQ，点Q在CD上，则PQ＝________.
例5 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E、F、G分别是BC、DC、SC的中点，求证：
（1）直线EG∥平面BDD1B1；
（2）平面EFG∥平面BDD1B1.
一、选择题
1.A是平面BCD外一点，E，F，G分别是BD，DC，CA的中点，设过这三点的平面为α，则在直线AB，AC，AD，BC，BD，DC中，与平面α平行的直线有（ ）
A．0条B．1条
C．2条D．3条
2．α、β是两个不重合的平面，a、b是两条不同的直线，在下列条件下，可判定α∥β的是（ ）
A．α、β都平行于直线a、b
B．α内有三个不共线点到β的距离相等
C．a，b是α内两条直线，且a∥β，b∥β
D．a，b是两条异面直线且a∥α，b∥α，a∥β，b∥β
3.如图，若Ω是长方体ABCD－A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHB1C1后得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且EH∥A1D1，则下列结论中不正确的是（ ）
A．EH∥FG
B．四边形EFGH可能是梯形
C．Ω是棱柱
D．四边形EFGH是矩形
4．如图，下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形序号是（ ）
A．①②B．③④
C．②③D．①④
5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，给出下列四个推断：
①FG∥平面AA1D1D；
②EF∥平面BC1D1；
③FG∥平面BC1D1；
④平面EFG∥平面BC1D1.
其中推断正确的序号是（ ）
A．①③B．①④
C．②③D．②④
6.如图，四棱锥S－ABCD的所有的棱长都等于2，E是SA的中点，过C，D，E三点的平面与SB交于点F，则四边形DEFC的周长为（ ）
A．2＋
B．3＋
C．3＋2
D．2＋2
7．设α∥β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当A、B分别在平面α、β内运动时，得到无数个AB的中点C，那么所有的动点C（ ）
A．不共面
B．当且仅当A、B分别在两条直线上移动时才共面
C．当且仅当A、B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面
D．不论A、B如何移动，都共面
二、填空题
8．在四面体A－BCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________．
9．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．
10．如图所示，直线a∥平面α，点A在α另一侧，点B，C，D∈a，线段AB，AC，AD分别交α于点E，F，G.若BD＝4，CF＝4，AF＝5，则EG＝________.
11．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC的中点，动点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足条件________时，有MN∥平面B1BDD1.
三、解答题
12．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：
当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO?
答案精析
知识条目排查
知识点一
平面外 平行 a⊄α
知识点二
过这条直线 平行 a∥α
知识点三
两相交 a∩b＝P b∥α
知识点四
1．平行
题型分类示例
例1 C 由截面PQMN是正方形，
所以PQ∥MN∥AC，QM∥PN∥BD，
PQ⊥QM，可得AC⊥BD，
故选项A正确；
由PQ∥AC，可得AC∥截面PQMN，
故选项B正确；
异面直线PM与BD所成的角等于PM与PN所成的角，故选项D正确．由排除法选C.]
例2 B 根据题意可有如图所示的两种情况：
由面面平行的性质定理，得AB∥CD，
则
＝
，
可求得BD的长分别为
或24.
故选B.]
例3 C
例4
a
解析 如图，连接AC，易知MN∥平面ABCD，
∴MN∥PQ，∵MN∥AC，∴PQ∥AC.
又∵AP＝
，∴
＝
＝
＝
.
∴PQ＝
AC＝
a.
例5
证明
（1）如图，连接SB，
∵E、G分别是BC、SC的中点，
∴EG∥SB.
又∵SB⊂平面BDD1B1，
EG⊄平面BDD1B1，
∴直线EG∥平面BDD1B1.
（2）连接SD，
∵F、G分别是DC、SC的中点，
∴FG∥SD.
又∵SD⊂平面BDD1B1，
FG⊄平面BDD1B1，
∴FG∥平面BDD1B1，
且EG⊂平面EFG，
FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G，
∴平面EFG∥平面BDD1B1.
考点专项训练
1．C
取AB的中点H，
连接HE、EF、FG、GH，
∴平面HEFG为平面α，其中AB、BD、CD、AC都与平面α相交，
∵E、F分别是BD、CD的中点，
∴EF∥BC，
而EF⊂α，BC⊄α，∴BC∥平面α.
同理可证AD∥平面α，故选C.]
2．D A错，若a∥b，则不能断定α∥β；
B错，若A、B、C三点不在β的同一侧，则不能断定α∥β；
C错，若a∥b，则不能断定α∥β，故选D.]
3．B 若FG不平行于EH，
则FG与EH相交，交点必然在B1C1上，
与EH∥B1C1矛盾，
所以FG∥EH，故A正确；
由EH⊥平面A1ABB1，得到EH⊥EF，
可以得到四边形EFGH为矩形，
故D正确；
将Ω从正面看过去，就知道是一个五棱柱，
故C正确；
因为EFGH截去几何体EFGHB1C1后，
EH綊B1C1綊GF，
所以四边形EFGH不可能为梯形，
故B错误，故选B.]
4．D 对于①，该正方体的对角面ADBC∥平面MNP，
得出直线AB∥平面MNP；
对于②，直线AB和平面MNP不平行，
因此直线AB与平面MNP相交；
对于③，易知平面PMN与正方体的侧面AB相交，
得出AB与平面MNP相交；
对于④，直线AB与平面MNP内的一条直线NP平行，
且直线AB⊄平面MNP，
∴直线AB∥平面MNP.
综上，能得出直线AB∥平面MNP的图形的序号是①④，故选D.]
5．A ∵在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，
∴FG∥BC1，∵BC1∥AD1，∴FG∥AD1，
∵FG⊄平面AA1D1D，AD1⊂平面AA1D1D，
∴FG∥平面AA1D1D，故①正确；
∵EF∥A1C1，A1C1与平面BC1D1相交，
∴EF与平面BC1D1相交，故②错误；
∵E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，
∴FG∥BC1，
∵FG⊄平面BC1D1，BC1⊂平面BC1D1，
∴FG∥平面BC1D1，故③正确；
∵EF与平面BC1D1相交，
∴平面EFG与平面BC1D1相交，故④错误．
故选A.]
6．C ∵CD∥AB，又CD⊄平面SAB，
∴CD∥平面SAB，
又平面CDEF∩平面SAB＝EF，
∴CD∥EF，又CD∥AB，
∴AB∥EF，∵SE＝EA，
∴EF为△ABS的中位线，
∴EF＝
AB＝1，
又DE＝CF＝
，
∴四边形DEFC的周长为3＋2
.]
7．D
如图所示，A′、B′分别是A、B两点在α、β上运动后的两点，此时AB中点C变成A′B′中点C′，连接A′B，取A′B中点E.连接CE、C′E、AA′、BB′、CC′，
则CE∥AA′，∴CE∥α.
又C′E∥BB′，∴C′E∥β.
又∵α∥β，∴C′E∥α.
∵C′E∩CE＝E.∴平面CC′E∥平面α.
∴CC′∥α.所以不论A、B如何移动，所有的动点C都在过C点且与α、β平行的平面上．]
8．平面ABD与平面ABC
解析
如图，取CD的中点E，连接AE，BE.
则EM∶MA＝1∶2，
EN∶BN＝1∶2，
所以MN∥AB.
所以MN∥平面ABD，
MN∥平面ABC.
9.
10.
解析 A∉a，则点A与直线a确定一个平面，
即平面ABD.
因为a∥α，且α∩平面ABD＝EG，
所以a∥EG，即BD∥EG，
所以
＝
.
又
＝
，
所以
＝
.
于是EG＝
＝
＝
.
11．M∈线段FH
解析 因为HN∥BD，HF∥DD1，
HN∩HF＝H，BD∩DD1＝D，
所以平面NHF∥平面B1BDD1，
故线段FH上任意点M与N相连，
都有MN∥平面B1BDD1.
12．解 当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.
∵Q为CC1的中点，P为DD1的中点，连接PQ，易证四边形PQBA是平行四边形，∴QB∥PA.
又∵AP⊂平面APO，QB⊄平面APO，∴QB∥平面APO.
∵P、O分别为DD1、DB的中点，
∴D1B∥PO.
同理可得D1B∥平面PAO，
又D1B∩QB＝B，
∴平面D1BQ∥平面PAO.
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